高中数学选修2-2导数导学案加课后作业及参考答案

§1.1.1

函数的平均变化率导学案

【学习要求】

1．理解并掌握平均变化率的概念．

2．会求函数在指定区间上的平均变化率．

3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．

【学法指导】

从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.

【知识要点】

1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)

－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商x

x f x x f ∆-∆+)()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 ．

2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy

Δx ＝__________

表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 .

【问题探究】

在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数

学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题． 探究点一 函数的平均变化率

问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？

问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？

例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？

跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则：

（1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．

探究点二 求函数的平均变化率

例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]．

跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )时的平均变化率．

问题 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？

探究点三 平均变化率的应用

例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？

跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成

果？

【当堂检测】

1．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________

2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________

3．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是________．

【课堂小结】

1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f (x )的平均变化率的步骤： （1）求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； （2）计算平均变化率Δy Δx ＝1

2

12)

()(x

x x f x f --.

【拓展提高】

1．设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆- 2．质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）

A ．6t +∆

B ．9

6t t

+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆

【课后作业】

一、基础过关

1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( )

A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率

B ．在x 0处的变化率

C ．在x 1处的变化率

D ．以上都不对 2．函数f (x )＝2x 2－x 在x ＝2附近的平均变化率是

( ) A ．7

B ．7＋Δx

C ．7＋2Δx

D ．7＋2(Δx )2

3．某物体的运动规律是s ＝s (t )，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是 ( ) A ．v ＝s (t ＋Δt )－s (t )

Δt

B ．v ＝s (Δt )Δt

C ．v ＝s (t )

t

D ．v ＝s (t ＋Δt )－s (Δt )

Δt

4. 如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是 ( )

A ．1

B ．－1

C ．2

D ．－2

5．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在[2,2.1]时间内的平均速度为 ( ) A ．0.41

B ．3

C ．4

D ．4.1

6．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线， 当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________. 二、能力提升

7．甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，则________跑得快． 8．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀 率为28π

3

，则m 的值为________．

9．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1

x 中，平均变化率最大的是________．

10．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π

2之间的平均变化率，并比较它们的大小．

11．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率．

12．已知气球的体积为V (单位：L )与半径r (单位：dm )之间的函数关系是V (r )＝4

3πr 3.

（1）求半径r 关于体积V 的函数r (V )；

（2）比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？

三、探究与拓展

13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？

§1.1.2

瞬时速度与导数导学案

【学习要求】

1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义．

2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率． 3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法． 4．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．

【学法指导】

导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可以从物理意义，几何意义多角度理解导数.

【知识要点】

1．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为 ．

设物体运动路程与时间的关系是s ＝s (t )，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率

t

t s t t s ∆-∆+)()(00，当Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs

Δt ＝__________________

2．瞬时变化率：一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0

Δy

Δx

＝_________________. 3．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是_________________，我们称它为函数y ＝f (x )

在x ＝x 0处的 ，记为 ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy

Δx ＝________________

4．导函数：如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b ) ．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数)(x f '，于是在区间(a ，b )内，)(x f '构成一个新的函数，把这个函数称为函数y ＝f (x )的 ．

记为 或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为

【问题探究】

探究点一 瞬时速度

问题1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态？

问题2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？

例1 火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 s m /.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0? 问题4 火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？

跟踪训练1 质点M 按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s )．若质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8s m /，求常数a 的值．

探究点二 导 数

问题1 从平均速度当Δt →0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？