(北师大版)数学必修五：2.2《三角形中的几何计算》ppt课件

[解析] 由已知条件得 (2R)2(sin2A－sin2C)＝2RsinB( 2a－b)， 即有 a2－c2＝ 2ab－b2， 又 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝ 22， ∵C∈(0，π)，∴C＝π4，A＋B＝34π.
∴S＝12absinC＝ 42ab＝ 42·4R2sinAsinB ＝ 2R2sinAsin(34π－A)＝ 2R2sinA( 22cosA＋ 22sinA) ＝R22(sin2A＋1－cos2A)＝R22[ 2sin(2A－π4)＋1]． 当 2A－π4＝π2，即 A＝38π时，Smax＝ 22＋1R2.
4．若coasA＝cobsB＝cocsC，则△ABC 的形状为__________．
▪ [答案] 等边三角形
[解析] 解法一：由正弦定理得csoinsAA＝csoinsBB＝csoinsCC， 即 tanA＝tanB＝tanC， ∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C， ∴△ABC 为等边三角形．
▪ 对于平面图形的计算问题，首先要把所求的 量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余 弦定理解决．构造三角形时，要注意使构造 三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化 运算．
▪ 如图，△AOB是等边三角形，∠AOC＝45°， OC＝，A，B，C三点共线．
▪ (1)求sin∠BOC的值． ▪ (2)求线段BC的长．
tan(A＋B)＝_－__ta_n_C___，sinA＋2 B＝__c_o_s_C2___， 1
cosA＋2 B＝__si_n_C2____，tanA＋2 B＝__ta_n_C2____； (5)在△ABC 中，tanA＋tanB＋tanC＝__ta_n_A_·_ta_n_B_·t_an_C_____.
解法二：由正弦定理得 a＝2RsinA，b＝2RsinB， c＝2RsinC，代入coasA＝cobsB＝cocsC得： csoinsAA＝csoinsBB＝csoinsCC， 由csoinsAA＝csoinsBB得，sinAcosB－sinBcosA＝0， ∴sin(A－B)＝0.又－π<A－B<π.
课堂典例讲练
三角形中基本量(如长度、高度、角度等)的 计算问题
▪
在△ABC中，已知∠B＝45°，D是
BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，
求AB的长．
▪ [分析] 在△ADC中，利用余弦定理求出
∠ADC，从而可求出∠ADB，在△ABD中，利
用正弦定理求出AB．
[解析] 在△ADC 中，AD＝10，AC＝14，DC＝6， 由余弦定理得 cos∠ADC＝AD2＋2ADDC·D2－C AC2 ＝1002＋ ×3160－ ×1696＝－12，∵∠ADC∈(0，π)
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.
在△ABD 中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦
定理得sin∠ABADB＝sAinDB，
∴AB＝AD·ssinin∠BADB＝10sisni4n560°°＝10×2
3 2 ＝5
6.
2
▪ [方法总结] 解决这类问题的关键是待求量纳 入三角形中，看已知条件是什么，还缺少哪 些量，这些量又在哪个三角形中，应选择正 弦定理还是余弦定理求解.
1.已知△ABC 周长为 20，面积为 10 3，A＝60°，则 BC 边
长为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
▪ [答案] C
[解析] 由题设 a＋b＋c＝20，12bcsin60°＝10 3，
∴bc＝40.
a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.
∴a＝7.
(2)△ABC 的面积 S＝12acsinB＝ 42aC．
由已知及余弦定理得 4＝a2＋c2－2accosπ4.
又 a2＋c2≥2ac，故 ac≤2－4
， 2
当且仅当 a＝c 时，等号成立．
因此△ABC 面积的最大值为 2＋1.
▪ [方法总结] 本题考查了运用正弦定理、余弦 定理和两角和差的正弦公式，解三角形等基 本知识，求解与余弦定理相关最值问题要注 意不等式的应用．
第二章 解三角形
第二章 §2 三角形中的几何计算
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
4 本节思维导图
3 易混易错点睛
5 课时作业
课前自主预习
我国南宋数学家秦九韶(约 1202～ 1261)独立地发现了求三角形面积的方 法．他把三角形的三边分别叫作大斜、 中斜、小斜(如图)，他在著作《数书九章》卷五中记述：“以 小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于以；以小斜幂乘大 斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”用 今天的符号来表示即是 S＝ 14[a2c2－c2＋a22－b22]，你能用所 学的知识证明这个结论吗？
2 21
∴si2nA＝
3 30
，∴sinA＝
70 14 .
6
▪ [方法总结] 运用正、余弦定理解决有关问题 时，需根据需要作出辅助线构造三角形，再 在三角形中运用定理求解．
▪ 正、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间 的数量关系，对三角形中的任何元素加以变 化，都会引起三角形的形状、大小等的变化， 但边、角之间仍符合正、余弦定理，所以不 论题目如何千变万化，变换条件也好，变换 结论也好．甚至在立体几何中的计算问题， 只要紧紧抓住正、余弦定理，依托三角恒等 变换和代数恒等变换，就可以将复杂问题化 为简单问题来计算或证明．
－ 3＝145.
∴ab＝
15 2.
①
由正弦定理，得 sinB＝basinA＝
2× 15
23＝
1 5.
由①式可知 a＞b，故∠B＜∠A，因此∠B 为锐角，于是 cosB
＝
1－sin2B＝
2 ，从而 5
tanB＝csoinsBB＝12.
三角形中的面积问题
▪
(2013·全国卷)△ABC的内角A、B、
C的对边分别为a、b、c，已知a＝bcosC＋
2＋ 4
6·sin620°＝1＋
3 3.
∴线段
BC
的长为
1＋
3 3.
利用正、余弦定理求角度问题
在△ABC 中，已知 AB＝436，cos∠ABC＝ 66， AC 边上的中线 BD＝ 5，求 sinA 的值．
[分析] 要求 sinA 的值，需根据“D 是 AC 的中点”这个 条件，取 BC 的中点 E，连结 DE，则 DE∥AB，所以∠ABE＋ ∠BED＝180°，根据题目中的条件 cos∠ABC＝ 66，进而求得 cos∠BED＝－ 66.又由 DE 綊12AB，得 DE＝12×436＝236.在△
▪ 三角形中的常用结论
▪(1)A＋B＋C＝18_0°_______；
▪ (2)在三角形中大边大角________，反之大边大角对
________； 大于
小于
▪ (3)任意两边之和________第三边，任意两边 之差________第三边；
(4)三角形内的诱导公式 sin(A＋B)＝___si_n_C___，cos(A＋B)＝_－__co_s_C___，
在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 所对的边长分别为 a、b、C．设
a、b、c 满足条件 b2＋c2－bc＝a2 和bc＝12＋ 3，求∠A 和 tanB 的值．
[解析] 解法一：由余弦定理，得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12. 因此，∠A＝60°.
在△ABC 中，∠C＝180°－∠A－∠B＝120°－∠B．
35－4× 23＝18－258
3 .
求最大值、最小值的问题
已知⊙O 的半径为 R，在它的内接三角形 ABC 中，有 2R(sin2A－sin2C)＝( 2a－b)sinB 成立，求△ABC 面积 S 的最大值．
▪ [分析] 先根据已知式子由正弦定理把角转化 为边的关系，然后运用余弦定理整理求出 △ABC面积S的最大值．
可得 BD2＝BE2＋ED2－2BE·EDcos∠BED，
即
5＝x2＋83＋2×2 3 6×
6 6 x.
解得 x＝1 或 x＝－73(舍去)，故 BC＝2.
在△ABC 中，利用余弦定理，
可得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝238，
即
AC＝2
21 3.
又 sin∠ABC＝ 1－cos2∠ABC＝ 630，
BDE 中，利用余弦定理可求出 BE，从而 BC 可求．再在△ABC 中，利用余弦定理可求出 AC，再利用正弦定理即可求出 sinA 的值．
[解析] 如图所示，取 BC 的中点 E，连结 DE，则 DE∥
AB，且
DE＝12AB＝2
3
6 .
∵cos∠ABC＝ 66，
∴cos∠BED＝－
6 6.
设 BE＝x，在△BDE 中，利用余弦定理，
由正弦定理，得 12＋ 3＝bc＝ssiinnCB＝sin1s2in0B°－B ＝sin120°cosBsi－nBcos120°sinB＝ 23ta1nB＋12， 从而 tanB＝12.
解法二：由余弦定理，得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12.
因此，∠A＝60°.
由 b2＋c2－bc＝a2，得(ab)2＝1＋(bc)2－bc＝1＋14＋ 3＋3－12
csinB．
▪ (1)求B；
▪ (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
[解析] (1)由已知及正弦定理得
sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，
①
又 A＝π－(B＋C)，
故 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．
由①，②和 C∈(0，π)得 sinB＝cosB．
又 B∈(0，π)，所以 B＝π4.
3．三角形的两边长为 3cm、5cm，其夹角的余弦是方程 5x2