非线性双曲型方程有限元方法的误差估计
有限元计算工程误差的允许误差
有限元计算工程误差的允许误差
有限元计算工程误差的允许误差是指在有限元计算中，由于数值计算的限制和模型假设的简化等原因，计算结果和实际结果之间存在的误差。
这些误差可能对工程决策产生影响，因此必须对其进行允许误差的评估和控制。
允许误差的评估需要考虑多种因素，如数值计算方法的精度、模型的准确性、实际工况的复杂程度等。
其中，数值计算方法的精度是评估计算误差的重要因素之一。
通过对数值计算方法的收敛性和稳定性进行分析，可以确定计算误差的上限。
此外，对模型的准确性进行评估也是允许误差评估的重要步骤。
通过与实际测量数据进行比较，可以确定模型误差的大小和分布情况。
控制允许误差的方法包括加强数值计算方法的精度和稳定性、优化模型的准确性、增加采样点、使用不同的计算方法进行验证等。
其中，加强数值计算方法的精度和稳定性可以通过增加计算精度、减小网格尺寸、使用高阶元等方法实现。
优化模型的准确性则需要考虑模型的复杂程度和实际测量数据的可靠性。
增加采样点可以提高计算结果的精度和可靠性，但也会增加计算成本。
使用不同的计算方法进行验证可以帮助确定计算结果的可靠性。
在工程实践中，允许误差的确定和控制是有限元计算的关键问题之一。
只有在误差可控的情况下，才能保证有限元计算结果的准确性和可靠性，从而为工程决策提供重要的支持。
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二阶非线性双曲型方程的近似解法
二阶非线性双曲型方程的近似解法二阶非线性双曲型方程是一类形式为$$u_{tt}-c^2u_{xx}+f(u,u_t,u_x)=0$$的偏微分方程，其中$c$为常数，$f(u,u_t,u_x)$为非线性项。
这类方程通常出现在波动方程、振动方程、输运方程等领域，解析解往往比较难以获得。
因此，我们需要求取它的数值解。
求解二阶非线性双曲型方程的近似解可以利用有限差分法、有限元法或者其他数值方法。
以下我们分别介绍这些方法。
1.有限差分法：有限差分法是一种基于差分逼近的数值求解方法。
它将求解区域离散化为一系列节点，然后利用近似的差分格式替代偏微分方程中的导数项，最终得到一个代数方程组。
常用的有限差分格式有向前差分、向后差分和中心差分。
通过构建差分格式的方程组，可以通过迭代求解来获得方程的数值解。
2.有限元法：有限元法是一种在连续域上建立有限维函数空间的数值求解方法。
它将求解区域进行网格划分，并在每个网格单元内用一个局部插值函数来近似原方程，然后将整个区域的问题转化为一个代数方程组。
通过求解方程组，可以得到方程的数值解。
有限元法具有较高的适用性和精确度，并且可以处理复杂的几何结构。
3.其他数值方法：除了有限差分法和有限元法之外，还可以利用其他数值方法进行近似解的求取。
例如，谱方法基于将原方程展开为一组函数的级数，然后通过调节级数中的系数使得方程在一些选定的离散点满足。
神经网络方法则通过训练神经网络来逼近方程解。
这些方法在特定问题和特定条件下可能会有更好的效果。
总之，二阶非线性双曲型方程的数值求解可使用有限差分法、有限元法或其他数值方法。
具体选择哪种方法需要根据问题的特点和求解精度的要求来决定。
我们可以根据具体问题的需求进行合适的选择，并使用相应的技术工具来实现近似解的求取。
有限元误差估计
有限元误差估计有限元误差估计是计算数值模拟中一种常见的误差估计方法。
有限元方法是一种将连续物理问题离散化为有限元网格的数值方法。
在有限元方法中，通过将物理区域划分成小的单元，构造适当的插值函数来近似原始问题，然后用数值方法求解近似问题。
在有限元方法中，误差是指近似解与准确解之间的差别。
误差估计是计算近似解误差大小的方法。
有限元误差估计有以下两种类型：全局误差估计和局部误差估计。
全局误差估计是对整个求解域内的误差进行估计。
估计方法包括后验误差估计和检验方法。
后验误差估计是通过计算近似解和准确解的误差，然后根据误差的特征来估计整个求解域内的误差。
检验方法是通过对已知问题进行数值实验，比较近似解和准确解的差异，从而估计整个求解域内的误差。
局部误差估计是对每个单元内的误差进行估计。
局部误差估计方法包括超薄元法（超收敛元法）和修正残差法。
超薄元法是通过在每个单元内选择更精确的插值函数来提高近似解的精度，从而减小局部误差。
修正残差法是通过计算修正残差来估计局部误差。
修正残差是近似解和准确解的残差，通过在局部区域中适当地增加修正函数，使得修正残差的估计更加准确。
在有限元误差估计中，还存在一些困难和挑战。
首先，确定精确解是困难的，因为很多实际问题没有解析解。
其次，误差估计需要计算大量的数值积分和求解大规模的线性方程组，计算复杂度较高。
此外，误差估计还与插值函数的选取和网格的划分有关，这是通过经验和实验确定的。
有限元误差估计在工程和科学计算中有着广泛的应用。
它可以用于验证数值模拟结果的准确性，也可以用于适当地改进数值模拟方法，提高计算结果的精度。
因此，有限元误差估计在数值模拟研究中具有重要的意义。
综上所述，有限元误差估计是求解数值模拟问题中必不可少的一部分。
它通过估计近似解与准确解之间的差别，帮助我们判断数值模拟结果的精度和准确性。
有限元误差估计在解决工程和科学计算问题中起着关键的作用。
有限元误差估计
有限元误差估计
有限元误差估计是在有限元方法中用于评估数值解与真实解之间的差异的技术。
它提供了对数值解的准确性和收敛性的估计，帮助评估数值模拟的可靠性和精度。
常见的有限元误差估计方法包括：
1.后验误差估计（Posteriori Error Estimation）：在有限元计算完成后，使用一些后处理技术来估计数值解的误差。
这些技术通常基于残差的计算、解的重构、网格细化等方法。
2.可靠性误差估计（Reliable Error Estimation）：这种误差估计方法旨在提供对数值解误差的下界估计，确保数值解的准确性。
常见的方法包括最小割方法、可靠的后验估计等。
3.马尔可夫不等式（Markov's Inequality）：这是一种基本的误差估计方法，通过将数值解的误差与其范数进行比较，给出误差的上界估计。
4.差分误差估计（Difference Error Estimation）：这种方法通过将有限元离散化的问题与其连续的解进行比较，估计数值解的误差。
常见的方法包括基于差分格式的稳定性分析和收敛性分析。
这些方法的选择和应用取决于具体的数值模拟问题和有限元方法的特点。
通常，有限元误差估计是一个重要的步骤，用于指导网格适应性和误差控制策略，以提高数值解的准确性和效率。
非线性发展方程的无网格比高精度有限元方法
非线性发展方程的无网格比高精度有限元方法石东洋;王俊俊【摘要】对于几类非线性的发展型方程——非线性抛物方程、非线性Schr?dinger方程、非线性Sobolev方程、非线性双曲方程,本文从协调有限元方法、非协调有限元方法、混合有限元方法等不同角度,利用不同技巧深入系统地研究了其线性化的全离散格式的构造、无网格比约束下的超逼近和超收敛分析.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2019(039)001【总页数】19页(P1-19)【关键词】非线性发展方程;线性化的全离散格式;无网格比;超逼近及超收敛性【作者】石东洋;王俊俊【作者单位】郑州大学数学与统计学院,河南郑州 450001;平顶山学院数学与统计学院,河南平顶山 467000【正文语种】中文【中图分类】O242.211 前言众所周知,非线性发展方程的解通常无法直接用解析式写出来,或是写出来的表达式非常复杂,所以利用数值方法给出其近似解就显得尤为重要.而对于有限元方法这一主流方向,我们常见的线性化BE(Backward-Euler)方法和CN(Crank-Nicolson)方法凭借可以避免在每一个时间层都要求解非线性方程的劣势且不降低计算精度的优势,成为了该方向的研究热点之一.事实上,研究一个非线性发展方程的线性化有限元方法总会涉及到一个有限元解关于某种模的有界性问题,由于这些模的先验估计不容易直接得到,通常的处理技巧就是利用逆不等式.比如在二维的情况下,考虑有限元解有界时的经典做法是其中un是原始问题的解,Ih是某个插值算子或者投影算子.由于通常有误差估计(m1,m2为某些正数),要使有界就不可避免的要对时间步长τ有一个限制,从而导致空间网格参数h与时间步长τ需要满足某个比值关系(即网格比).在实际计算中,这样的网格比经常会导致时间步长变的非常小,从而引起很长的耗时.因此,怎样甩掉这些限制就成了备受关注的课题.最近,为了克服这一严重缺陷,孙伟伟、李步扬、王冀鲁、高华东等学者都在此方面做出了许多有价值的工作.其主要思想(见文献[1])是通过引入一个时间离散方程系统,并利用其解Un把误差分裂成两部分——时间误差un−Un和空间误差,利用时间误差的结果得到关于时间离散方程解的正则性,再利用空间误差得到有限元解的无网格比有界性事实上,由于空间误差的分析过程中甩掉了经典误差估计中的截断误差项,只要空间上的误差能写成(m3,m4为某些正数)的形式,网格比即可去掉.随后,王冀鲁、高华东、司志勇等又把该思想应用于非线性多孔介质流问题[2,3],非线性的Joule Heating方程[4],非线性Thermistor方程[5,6],非线性Schrdinger方程[7,8]和非线性Navier-Stokes方程[9]等.以上研究都考虑了这些非线性发展方程在协调元下关于无网格比的收敛性,有许多问题需要进行更深层次的研究.首先,为了提高有限元解的逼近精度,超收敛的思想已成为了一个重要的研究途径.事实上,在理论分析和实际计算中,若有好的网格,有限元解与有限元插值的误差在某种范数的意义下比有限元解与真解的误差要小得多,即超逼近现象.从上个世纪80年代开始,以林群院士为代表的众多学者专家都在此方面取得了许多有出色的成果,所以如何将无网格比收敛的结果推广到无网格比超收敛上去是我们感兴趣的话题.但是,为了达到超收敛的结果,如果我们把文献[1–9]中所考虑的区域换成更具一般性的矩形区域(不再满足C2的条件),则由椭圆的正则性可以看到,引入的时间离散方程解的有界性就很难达到H3-模.因此,如何在时间离散方程解的有界性较弱的前提下,探讨无网格比的超逼近结果就显得尤为重要.其次,由于非协调元方法在大多数情况下对方程解的正则性要求比较低,因此人们对非协调元的研究一直保持着较高的热度(见以石钟慈院士为代表的众多学者专家所得到的具有特色的工作).这样就很有必要研究怎样利用自由度少、精度高的低阶非协调单元研究非线性发展方程的无网格比的超收敛性.再次,传统的有限元方法对解的光滑度要求都比较高,这会给实际计算造成很多困难,因此混合有限元方法受到了高度的关注.事实上,混合有限元方法的关键性问题在于如何构造出合适的空间对,使其满足LBB条件,这其实是不容易做到的.因此构造特别的格式来降低LBB条件的难度成为了一个热点,比如:文献[10–13]对二阶椭圆问题提出了一种混合元格式,它具有当两个逼近空间满足一个简单的包含关系时,LBB条件容易满足且能避勉因涉及散度算子带来的麻烦等优点.另一方面,直接绕开LBB稳定性条件(如最小二乘法、稳定化有限元方法等)也成为了大家另一个关注的方面.事实上,1998年,Pani在文献[14]中提出了一种称之为H1-Galerkin混合有限元方法．这种方法不需要所选取的混合元空间满足LBB相容性条件,并被广泛应用在各种方程上.例如,长波方程[15],双曲方程[16],带有记忆项的方程[17],积分微分方程[18–20],抛物方程[21].因此,怎样利用H1-Galerkin方法得到非线性发展方程无网格比的超收敛结果是值得深思的.最后,对于线性化的全离散格式来说,由于当时时刻的时间层分析需要用到上一时刻时间层的结论,我们往往会选择数学归纳法进行证明.但是对于每一个时间层的结果到最后都应该由一个统一的系数来控制这个问题显然就不是一件容易的事了.更进一步地,根据不同非线性问题的具体特点,针对不同方程的逼近格式,设计新的高效的有限元数值算法来验证理论分析的正确性也是必须且困难的.最近,我们在文献[22–34]中,在分裂思想的基础上,博采众家之长,创新性的把无网格比、高精度分析与非协调单元、新的线性化离散格式等特色和优势有机结合起来,形成非线性发展方程在全离散格式上无网格比约束的有限元超收敛分析的一套新理论体系.与此同时,更是尝试着探索、研究一些特殊的方程,考虑绕过分裂的方法也达到无网格比的超收敛结果.近期所做的工作,主要的创新点集中表现在以下几个方面:(1)超收敛结果对方程解的光滑性要求比较高,但构造时间离散辅助问题(即时间离散方程系统)时,在多边形区域(例如矩形)下,就无法保证其解较强模的有界性.因此我们利用了一些特殊的、不同以往的技巧,在其解空间较弱的条件下得到无网格比超收敛的结论;巧用Taylor展开式对非线性项进行处理,以保证对时间步长τ的阶不丢失.(2)由于选择的全离散格式是线性化的形式,在利用数学归纳法分析第n层的结果时需要用到第n−1层的结论,我们用一个统一的系数来控制每一个时间层的结果,这也是其数学归纳法成立的关键所在.(3)构造了非线性双曲方程新的二阶格式,以此得到无网格比超收敛结果.而以往对非线性双曲方程的无网格比研究甚至连收敛性也没有见到报道.(4)对一些特殊的非线性发展方程,抛弃分裂误差思想,采用一些新的技巧也证明了其无网格比超收敛性.本文的目的是在前期我们所做的工作的基础上,挑拣出有特色的创新点给予说明,以期窥探出对非线性发展方程无网格比超收敛分析的重要方法和思路,起到抛砖引玉的作用.2 非线性抛物方程的无网格比超收敛分析非线性抛物方程有着深刻的物理背景,它的有限元方法也越来越受人们关注.例如:文献[35]针对一般的非线性抛物方程建立了两种线性化的格式,当τ≤h时,利用线性三角形元得到了L2-模意义下的收敛结果.文献[36]在限制下利用两层时间离散的方法讨论了非线性抛物方程的最优误差估计.文献[37]采用了一个非线性H1投影,当τ4=O(hq),q≤3时,得到了其解在L2-模和H1-模意义下的最优误差估计.文献[1]利用分裂技巧摆脱了此类限制,给出了一类称之为Joule Heating的非线性抛物型方程的协调元无网格比收敛性分析.我们看到,一方面,一般的非线性抛物方程中的非线性项∇·(a(u)∇u)的处理对于超收敛的分析是很有挑战的,特别是在分析空间误差的时候,怎样处理a(u)才可以在不降阶的情况下使其结果能提出空间网格参数h,才能在使用逆不等式的时候不产生网格比,但同时还得能维持数学归纳法所需要要的系数统一性?另一方面,当非线性抛物方程右端的非线性项是局部Lipschitz连续时,对有限元解的正则性要求可能会更苛刻,如何把这些限制考虑进去且得到无网格比超收敛结果是我们想要研究的方向之一.考虑如下非线性抛物方程其中Ω⊂R2是一个矩形,其边界为∂Ω,0<T<∞,X=(x,y),u0(X)是已知光滑函数.a(u)关于u是二阶可导连续的函数,其中0<a0≤a(u)≤a1,a0,a1是某些正数.利用低阶非协调单元(参见文献[21,38–40]),对(2.1)式开展了无网格比超收敛性质的研究.在矩形区域下,引进了一个时间离散方程,证明了时间离散方程解的H2-模有界.绕过时间离散方程解较弱的正则性,利用Taylor展开,在不降低时间方向阶的前提下,得到其CN格式的无网格比超逼近结果.另一方面,限制(2.1)式右端项为仅满足局部Lipschitzt连续条件,利用数学归纳法,巧妙的使用几个不等式,在每一层都得到数值解L∞-模有界的前提下,保证了结果系数的统一性,采用双线性元(参见文献[13,41]),得到其在BE格式下无网格比超逼近结果.2.1 非协调有限元方法首先,设f(u)是Ω上整体Lipschitz连续的函数,Ω是一个四条边都平行于坐标轴的矩形,Γh是一个拟一致正则矩形剖分.对于给定的K∈Γh,令其四个顶点和四条边分别为ai,i=1∼4和.记.定义非协调有限元空间:其中[vh]表示vh跨过单元边界F的跳度,而当F⊂∂Ω时,[vh]=vh.令Ih:H1(Ω)→Vh 为相对应的插值算子,且Ih=Ih|K满足则文献[21,38–40]证明了下面重要引理.引理1 若,则对于任意的vh∈Vh,有进一步地,若,则有这里∇h表示分片梯度,且是Vh上的一个能量模.文献[40]证明了对于任意正整数m,vh∈Vh,设{tn:tn=nτ;0≤n≤N}是[0,T]上的一个等距剖分,时间步长为τ=T/N,设,且u(X,tn)=un,若为一列函数.记利用这些记号,考虑(2.1)式的线性化Galerkin有限元逼近:寻找,使得对于任意的vh∈Vh0,类似于文献[35],由以下方程求解:其中.可以看到先利用(2.7)式计算出,再利用(2.8)式得到.由于线性化后,(2.6)–(2.8)式是一个线性系统,其解的存在唯一性是显然的.下面分步骤地阐述有创新性的重要过程.第一步建立一个时间离散系统,当n>1时求Un满足当n=1时,利用以下式子计算U1:和其中U1,0(X)|∂Ω =0,U1(X)|∂Ω =0.令e1,0,u1−U1,0,en,un−Un(n=0,1,2,···,N). 通过分析时间误差,给出U1,0,Un(n=0,1,2,···,N) 的正则性. 设u和Um(m=0,1,2,···,N) 分别为 (2.1)和(2.9)–(2.11)式的解,u∈L∞(0,T;H3(Ω)),ut,utt∈L∞(0,T;H2(Ω)),uttt∈L∞(0,T;L2(Ω)),则对于m=1,···,N,存在τ0>0,使得当τ≤τ0 时,有和其中C0是一个与m,h和τ无关的正数.此时,注意到由于Ω是矩形,其边界不属于C1,那么就不容易得到Un的H3-模有界性.因此随后的无网格比超收敛分析需要利用新的方法得到.第二步讨论空间误差,也为最终无网格比超逼近结果kIhun−做好准备.给出记号令分别为 (2.9)–(2.11)和 (2.6)–(2.8)式的解,其中m=1,2,···,N,在前面所做工作的前提下,当τ充分小时,有第三步令设分别为(2.1)和(2.6)–(2.8)式的解,则对n=1,2,···,N,有在这个过程中注意到,将τ从内积的一端转向另一端的恒等变化化简过之后需要估计误差如果按照传统的方法,则有这样最终的结果会降一阶.但是若利用Taylor展开则有其中这样就可以保持到想要的结果.在这里我们还指出本节的结果对于正方形网格上的非协调单元(参见文献[42]),矩形的带约束的非协调单元(参见文献[43])和P1-非协调四边形单元(参见文献[44])也成立,因为这些单元都满足引理1.2.2 协调有限元方法限制f(u)为局部Lipschitz连续的,利用双线性协调单元可研究(2.1)式的无网格比超逼近性质(区域及剖分如前面一样).定义其有限元空间Vh0为其中Ih:H2(Ω)→Vh0是相对应的插值算子,且对于以上双线性元有以下高精度结果[41].引理2 若,则对于任意的vh∈Vh0,有考虑(2.1)式的线性化有限元逼近:寻找,使得其中,显然(2.19)式在每一个时间层只需要解决一个线性问题.引入时间离散方程:当n≥1时求Un满足接下来,我们分别就时间误差和空间误差中的新技巧予以说明.时间误差记,则有注意到在第n−1层中归纳假设(2.21)式成立后,进一步地得到是必需的.主要表现在以下两个方面.1.在第n层估计中,误差方程左端有,右端部分在的前提下有估计项和可以看到,此时当τ充分小时,在第n层误差方程的右端才可以去掉.2.由于f的局部Lipschitz连续,要想估计误差方程右端项,则必须得有做前提,这样就保证了空间误差注意到,由于f的局部Lipschitz连续,在估计下面误差时,利用前面的结论以及协调元的性质,有这样可以估计得到注1更进一步地,我们在文献[34]中将文献[10–12]中的混合元和无网格比的思想有机的结合起来,利用分裂内积等思想,得到了(2.1)式关于原始变量u的H1-模和~p=∇u的L2-模的无网格比超收敛结果.3 非线性Schrdinger方程的无网格比超收敛分析对于非线性Schrdinger方程来说,文献[7,8]利用分裂技巧得到了协调元的无网格比收敛结果.但是怎样能够使得其无网格比的超收敛结果成立呢？首先,要使得时间误差H2-模的阶比文献[7,8]有所提高,这样才能为下面的无网格比超逼近结果做铺垫.其次,可以看到,文献[7,8]是利用投影算子来得到的无网格比的收敛结果的.事实上,对我们而言,仅用投影算子是不能直接利用插值后处理技巧得到整体超收敛的.所以从这个角度考虑,利用插值算子更有优势.但是,若仅仅考虑插值算子得到超逼近的结果,则在tn时刻对时间离散方程解Un的正则性要求就比较高了,而在矩形网格下,要想得到Un的H3-模以上的有界性并不是那么容易的事情.既然单独利用插值算子或者投影算子都不能得到令人满意的效果,那把二者结合在一起是否会有更好的结果?考虑如下 Schrdinger方程其中Ω同(2.1)式,i是虚数单位,u0(X)是已知复值函数.另外,f(s)是一个实值函数,且关于s是二阶可导连续的.在克服非线性Schrdinger方程由于虚数单位i所带来困难的同时,需要采用新的技巧,得到每一层数值解的L∞-模有界性质,保证其每一层解的存在唯一性,并导出其无网格比超逼近性质.一方面,我们利用新的技巧得到了比文献[8]更高阶的时间误差,从而导出了结果更好的时间离散方程解的正则性,这也为下面无网格比的超逼近奠定了基础.另一方面,在证明过程中我们引入了经典的Ritz投影算子,避开了对引入的时间离散方程解的正则性要求过高的麻烦,得到了合适的空间误差结果.同时,结合插值算子和Ritz投影算子相结合的思想达到了超逼近的结果.最后,利用文献[41]中的插值后处理算子得到了整体超收敛性质.选用上一部分的区域,剖分和双线性元单元,且仍定义其有限元空间为Vh0.令Rh:是定义在Vh0上的相对应的Ritz投影算子有且更进一步地,当u∈H3(Ω),又由文献[13]可知其中Ih是定义在Vh0上相对应的插值算子.下面我们仍采用了分裂技巧,分别给出时间误差和空间误差上分析时所遇到的困难和解决方法.时间误差对于CN格式将误差方程相邻两层相减,则就变成至此,得到的结果kenk2=O(τ2)相关估计,可以比文献[8]的结果高二分之一阶,也就是这样的结果导出了,为后面的无网格比超逼近结果奠定了基础.对于BE格式得到结果kenk2=O(τ)比文献[7]中的结果阶高二分之一阶,这也导出了,也为下面的空间误差做出了铺垫.空间误差 1.对误差方程相邻两层相减,对比文献[45]中的结果,可以看到不需要的有界性也得到了无网格比高精度的结果,这就改进了已有结论.2.使用插值算子和投影算子相结合的思想:若仅使用插值算子,为了得到高精度结果,避免不了利用高精度结果(∇(un−Ihun),∇vh)=O(h2)kunk3kvhk1或者(∇(un−Ihun),∇vh)=O(h2)kunk4kvhk0,则对Un和un的正则性要求过于苛刻.然而,在Ω为一个矩形的前提下,目前只能得到kUnk2的有界性,此时选用投影算子Rh是合适的.另一方面,若仅仅使用投影算子Rh,则不能构造相应于Rh的插值后处理算子,也就不能得到整体超收敛结果了.4 非线性Sobolev方程H1-Galerkin混合有限元方法的无网格比超收敛分析Sobolev方程起源于流体通过裂隙岩石的流动、二阶流体的热力学剪切和粘土的固结等物理现象.到目前为止,已有很多文献研究了它的数值方法.例如:文献[46]得到了当τ=O(hd/3)(d≤3)时,在三种情况下关于H1-模最优误差估计结果.而文献[47]利用混合有限元方法,在条件τ=O(h)下得到了最优误差估计.文献[38]控制条件为τ=O(h1+ε)(ε>0)时分别利用协调有限元和非协调有限元讨论了其特征有限元方法,也得到了H1(Ω)-模和L2(Ω)-模的最优误差估计.大家都知道,H1-Galerkin方法是一个不需要满足LBB条件的混合有限元方法,加上一些技巧的应用,还可得到关于流量~p=∇u散度模的误差估计.但是由于H1-Galerkin混合有限元方法需要的时间离散方程解的正则性较高,在矩形区域下不容易得到,所以对于一般的诸如非线性抛物方程利用上述分裂技巧直接处理暂时还不能去掉h和τ的比值.非线性Sobolev方程有着其自身的特点,它比非线性抛物方程多了一个非线性的导数项,正是多了这一项,使得我们考虑在分析的时候可以不用以上的分裂法就得到无网格比超收敛结果.因此我们通过与前面不同的分析,不引进时间离散方程,即在不必考虑所谓的时间误差的前提下,避免由于时间离散方程解的正则性达不到相应的要求而带来的麻烦,给出了无网格比的超逼近结论.考虑如下非线性Sobolev方程:这里对于正数b1,有|b(u)|≤b1,其余同(2.1)式中的假设.首次尝试选择非协调元单元对及零阶Raviart-Thomas(RT)单元)构造H1-Galerkin混合有限元格式去解决(4.1)式的无网格比超逼近问题.给出一个重要引理,完全不同于文献[1–9]的思路,先估计和k∇ξ1k0的结果,再通过不等式k∇ξnk0≤给出k∇ξnk0超收敛性,其中,Ih是相对应的插值算子.采用非协调元,假定所有符号同第二节.设零阶RT单元的空间定义为对于,定义相对应的插值算子Πh为其中是单元边上li的外法线.令,相对应的弱形式是:寻找,使得其中.给出线性化的CN全离散格式:寻找,使得n≥2时,当n=1时,和其中.下面先给出一个新的引理.引理3 对于任意的,则有这里仅给出该引理成立的关键点.事实上,由的定义可知,在K上为常数,利用的插值定义以及空间性质,图1其中l1,l3分别为K的下边和上边,l2,l4分别为K右边和左边,则有注意到,由于该引理的证明利用了的插值定义,若此时将单元对换成协调单元对Q11×Q10×Q01,此结果将不再成立.令由引理3,并利用数学归纳法,可分以下几步分析说明非线性Sobolev方程的无网格比超收敛结果第一步 .第二步利用,得到利用Gronwall引理,当τ充分小时有所以第三步进一步地,将(4.9)式代入(4.10)式,当τ充分小,利用Gronwalls引理有,再利用(4.9)式得到kξnkh≤Ch2+Cτ2.这里强调以下三点(1)如果直接估计kξnkh,对τ和h的比例限制将不可避免;(2)在分析中起到重要的作用;(3)在通常的估计中,的阶低一阶,而在这里保持了一样的阶.5 非线性双曲方程在物理上,双曲方程是一类一直很受关注的偏微分方程,它可以用来描述声波和电磁波的传播等现象,其中也有很多文献关注其非线性问题的有限元方法.例如,文献[48]和[49]分析了非线性双曲方程的全离散格式,其中文献[48]讨论了混合有限元方法,达到了最优误差估计.文献[49]利用Galerkin交替方向法讨论了一类三维非线性双曲方程,利用先验估计的结果得到了误差的H1(Ω)-模和L2(Ω)-模.但上述结果也都没有摆脱h和τ的比值限制,在文献[48]和[49]中分别需要假设条件τ=O(h),hr=O(τ)(1≤r≤k+1,k≥0)和τ=O(h2).因此,如何有效的对非线性双曲方程展开无网格比的研究具有相当重要的科学价值.另一方面,在现有的参考文献中对非线性双曲方程的二阶线性化格式讨论的非常少,怎样构造新的非线性双曲方程的线性化全离散格式,使得其有更好的稳定性以及超收敛结果也值得进行深入的探讨. 考虑如下非线性双曲方程关于方程的一些基本假设如同第二节.我们将对(5.1)式创造性地构造一个新的线性化二阶格式,技巧性地证明其截断误差的二阶性质,给出其相对应的时间离散方程解的正则性,并由此得到在非协调单元下无网格比的超逼近结果.本节仍采用第二节中非协调元的空间.记则有利用这些记号,考虑(5.1)式线性化的逼近方程:寻找,使得当n≥2,有利用如下方程求解:和其中,且utt(0)可以利用utt(0)=∇·(a(u0)∇u0)+f(u0)得到,u0是已知函数.时间误差引入时间离散方程,利用其解Un分裂误差,通过估计时间误差得到Un的正则性.令,则有和注意到,在这一节里针对非线性双曲方程构造了一个新的线性化的二阶格式,可以看到要证明其截断误差为O(τ2)是非常不容易的.另一方面,在得到误差结果时,由于C0在第n层和第n+1层必须统一,则在估计误差时,我们需要利用ēm+1≤τ(m≤n−1),而不是ēm+1≤C0τ2(m≤n−1)来得到结果.空间误差利用以上结果得到超逼近结果,令,则有在此过程中,有以下几点需要特别关注1.如果将本节使用的单元换成协调单元(比如Q11单元),由于没有的和的H2-模的有界性,则结果(5.8)式将不成立.2.(5.8)式的右端不能直接被估计成C1(h2+τ2),否则h和τ的比值将无法避免.事实上,也不能将其估计为C1h,因为利用数学归纳法,我们需要统一n层和n+1层的,所以利用了.进一步地,在误差估计过程中会出现以下项如果利用类似前面的估计方法,将τ从内积的一端转向另一端,则有结果,这时将不可避免的出现网格比.为了克服关键问题,重新分裂内积为则有其中以及rn=Un−IhUn.这样可得到最后可导出以下结果6 总结与展望本文在矩形区域下,对非线性抛物方程、非线性Schrdinger方程、非线性Sobolev方程、非线性双曲方程,讨论了它们线性化的全离散格式的构造以及无网格比超收敛分析.首先,把原来文献中已有的对非线性发展方程无网格比收敛的结果,进一步延伸到对非线性发展方程无网格比的超逼近和超收敛的研究中.由于要想得到高精度的结果,对原始方程解正则性的要求往往都会比较高.那么怎样绕过在矩形区域下,引入的时间离散方程解的有界性达不到H3(Ω)时,有技巧的得到无网格比超逼近结果是之前文献所不曾见过的.其次,对于非线性发展方程,其非线性项中a(u)的处理也是之前很少有的.我们创新性的利用Taylor展开式,保持了最后时间方向上的误差不丢失阶.。
有限元误差估计
有限元误差估计引言有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种广泛应用于工程和科学领域的数值分析方法。
它通过将一个连续问题离散化为有限个子域，然后在每个子域上构建局部近似函数来求解问题。
有限元误差估计是在使用有限元方法求解问题时评估数值解与真实解之间的误差的重要步骤。
本文将详细介绍有限元误差估计的概念、原理和常用方法，以及其在工程和科学领域中的应用。
1. 有限元误差估计概述在使用有限元方法求解偏微分方程等连续问题时，我们通常需要将问题离散化为一个由节点和单元组成的网格。
然后，在每个单元上构建近似函数，并利用这些近似函数来计算数值解。
然而，由于近似函数只是对真实解的近似，因此数值解必然存在一定的误差。
有限元误差估计就是通过对离散化后得到的数值解进行分析，评估其与真实解之间的误差大小。
它是验证数值解精度和可靠性的重要手段之一。
2. 有限元误差估计原理有限元误差估计的原理基于两个关键概念：局部近似和全局汇总。
局部近似是指在每个单元上构建的近似函数，它能够较好地逼近真实解。
全局汇总是指将每个单元上的近似函数通过加权求和等方式得到整个域上的数值解。
在有限元方法中，我们通常使用残差作为误差的度量。
残差是真实解满足偏微分方程的程度，即方程左侧减去方程右侧得到的差值。
通过对残差进行分析，我们可以推导出数值解与真实解之间的误差估计。
3. 有限元误差估计方法有限元误差估计方法可以分为两大类：直接方法和间接方法。
3.1 直接方法直接方法是通过对离散化后得到的数值解进行分析，直接给出误差估计。
其中一种常用的直接方法是基于残差平方积分技术（Residual Squares Integration Technique）。
该方法通过对残差平方进行积分，并利用一些数学技术来推导出误差估计。
3.2 间接方法间接方法是通过构造辅助问题，利用辅助问题的解与真实解之间的关系来估计误差。
其中一种常用的间接方法是基于重构技术（Recovery Technique）。
非线性双曲型积分微分方程的H1-Galerkin混合有限元方法的误差估计
ｖ ｉ ｓ ｃ ｏ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｉ ｙ ｔ ｅ ｑ ｕ ａ ｉ ｔ ｏ ｎ ｓ ． Ｏｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｅ ｓ ｔ ｉ ａ ｔ ｍ ｅ ｓ ａ ｒ ｅ ｄ ｅ ｒ ｉ ｖ ｅ ｄ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｅ ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｓ ｏ ｌ ｕ ｉｏ ｔ ｎ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ
本文利用 Ｈ １ － Ｇ ａ ｌ ｅ ｒ ｋ ｉ ｎ混合 有限元方法 考虑如下一类非 线性双 曲型积 分微分方 程 ，求 使得对
非线性双曲型方程的混合有限元两层网格算法
非线性双曲型方程的混合有限元两层网格算法陈艳萍;王克彦【摘要】针对一类非线性双曲型方程,利用混合有限元法,构造了1种混合有限元两层网格算法,给出了两网格方法的误差分析.结果表明,当两层网格算法所选取的粗网格和细网格步长满足H=O(h1/2)时,能获得渐近最优的离散逼近解.并用数值例子验证了该混合有限元两层网格算法的有效性.【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(048)003【总页数】6页(P1-6)【关键词】非线性双曲型方程;混合有限元;两层网格算法;误差分析【作者】陈艳萍;王克彦【作者单位】华南师范大学数学科学学院,广州510631;华南师范大学数学科学学院,广州510631【正文语种】中文【中图分类】O241.1考虑下述非线性双曲型方程的混合问题:其中Ω是 2空间中的有界区域,∂Ω为其充分光滑边界;ut=∂u/∂t,utt=∂2u/∂t2.并作以下假定:(A1)κ=K -1是一致对称正定的矩阵, 即存在常数K*, K*>0, 使得(A2)f=f(u)为已知的有界光滑函数, 且存在常数K1, 使得(A3)对于r>0, 假设满足式(1)的解函数u有下列正则性双曲型方程描述声波、光波、多孔介质波传播问题和流体力学等众多物理现象,对许多实际问题具有重要的理论价值及现实意义.目前, 许多数值求解方法被应用到双曲问题, 如有限差分法[1-2]、有限元法[3-4]和有限体积元法[5-6]等等.混合有限元方法是在有限元方法的基础上发展起来的一个分支, 已成为偏微分方程数值求解的一种重要方法. 20世纪70年代, BABUSKA[7]和BREEZZI[8]基于B-B相容性条件获得了混合有限元方法的一般理论. FALK和OSBORN[9]改进了该方法，推广了混合有限元方法的适应性. RAVIART和THOMAS[10]针对二阶椭圆问题,提出了R-T混合有限元的构造方法,通过引入中间变量将高阶微分方程降阶, 从而降低了对有限元空间的光滑性要求, 与标准有限元只能通过后处理对微分算子进行计算相比, 其数值解的精度往往会提高. 在过去的几十年里, 混合有限元方法得到了广泛的应用[11-13].两层网格算法是一类求解非线性偏微分方程的高效算法, 它的基本思想是：通过构造2种不同尺度(粗网格和细网格)的有限元空间, 首先在粗网格上求解原来的非线性问题, 然后利用粗网格上的数值解将原问题用合适的方式进行线性化, 再在细网格上求解相应的线性化问题. 该方法最先由XU[14-15]提出和讨论, 他将两层网格思想与非线性Galerkin方法相结合，成功运用于求解半线性和非线性椭圆型问题. 随着对这种高效的有限元两层网格算法研究的深入,许多学者已经将它应用于各类不同的、具有实际应用背景非线性的偏微分方程问题. DAWSON等[16]研究了非线性问题的有限差分两层网格方法; WU和ALLEN[17]使用了扩展混合有限元两层网格方法研究了半线性反应扩散方程; HOLST等[18]分析了半线性界面问题的两层网格算法; ZHOU等[19]研究了Maxwell特征值问题两层网格算法; CHEN等[6,20]分别使用两网格有限元和两网格有限体积元法研究了双曲型方程; 最近, CHEN等[21-23]研究了针对抛物型方程问题的混合有限元两网格方法.本文针对非线性双曲型方程构造了混合有限元两层网格算法, 通过将非线性问题的求解转化为1个节点数较少的粗网格上的非线性问题和1个细网格上的线性问题, 使问题在一定程度上得到了线性化, 从而加快了非线性问题的求解速度.同时给出了两层网格法的误差分析, 根据误差估计和数值算例可知两层网格算法在不降低解的精度的情况下提高了计算效率.采用标准的Banach空间记号Lp(Ω) (p>1),具有范数‖·‖p, 设(·,·)表示L2(Ω)或(L2(Ω))m中的内积. W m,p(Ω)表示定义在Ω 上的Sobolev空间, 其范数记为‖·‖m,p, 定义为‖φ‖‖D αφ‖为简单起见, 当p=2时, 记W m,2(Ω)=H m(Ω),把上述范数简记为‖·‖m=‖·‖m,2,‖·‖=‖·‖0,2.接下来定义如下空间:W=L2(Ω),V=H(div;Ω)={υ(L2(Ω))2,▽·υL2(Ω)},其范数定义为设Th为区域Ω上四边形或三角形的拟一致剖分,其剖分步长为h. 采用混合有限元方法, 其逼近子空间记为Vh×Wh⊂V×W, 它是拟一致剖分Th下的k (k≥1)阶的Raviart-Thomas空间[10], 对R-T空间, 将利用以下结论:▽·υhWh(∀υhVh).设Qh为L2投影算子,则有假设1<q<∞, 对于任意的φL2(Ω)或者φ(L2(Ω))2, L2投影算子具有如下的逼近性质：同时利用标准混合有限元空间的Fortin投影算子Πh:(H1(Ω))2Vh, 使得对任意的qH(div,Ω),有对任意的qH(div,Ω), 投影算子Πh有如下的逼近性质：对于空间Wh和Vh, 具有逆估计(w Wh, υVh).设p=-K▽u, 则有κp=-▽u. 现在, 定义方程(1)的弱形式如下:求(u,p)W×V满足设Δt>0,N=T/Δt,N+,tn=nΔt,tN=T,n=0,1,…,N. 为了简便起见, 引入下面记号: 对方程(8)离散化, 可得(whWh,n≥1),接下来定义一椭圆混合投影, 将方程(8)的解(u,p)通过椭圆混合法投影到有限维空间(Rhu, Rhp)Wh×Vh,满足下列方程由方程(8)和方程(12), 得到误差方程为了后面的理论分析,给出以下引理.引理1[21]199 对于1≤r≤k+1,2≤q<∞,tJ,有引理2[21]200 对于1≤r≤k+1,2≤q<∞,tJ,有引理3[13]389 对于1≤r≤k+1,2≤q<∞,tJ,有下面将得到全离散混合有限元解和椭圆混合法投影之间的超收敛现象.引理4[24] 已知g是剖分Th上的逐段分片光滑函数, 如果是g(u)在剖分Th的每一个元上的平均值, 且‖▽g‖0,∞≤M, 则为了分析方便, 记αn=un-Rhun,γn=pn-Rhpn,δn=Qhun-Rhun.引理5 已知Wh×Vh是混合有限元离散格式(9)～(11)的解,(Rhun,Rhpn)Wh×Vh是它们的椭圆混合投影, 假设条件(A1)～(A3)成立, 且有那么当k≥1, Δt充分小时, 存在不依赖于h的常数C, 使得C(hk+2+Δt2).证明方程(13)可写为:(▽Wh),(υhVh).由方程(8)可得(κpn+1,υh)-(▽·υh,un+1)=0 (υhVh).令式(17)减去式(10)和式(15), 易得(▽(T1,wh)+(T2,wh)+(T3,wh) (whWh),其中.式(11)与式(18)相减并利用式(16)得到(κζn+1,υh)-(▽·υh, ξn+1)=0(υhVh).注意到,于是将式(20)改写为(κ∂tζn,υh)-(▽·υh,∂tξn)=0(υhVh).分别在式(19)、(21)中取检验函数然后相加,得到(T1,∂tξn)+(T2,∂tξn)+(T3,∂tξn).式(22)两端同乘以2Δt并对t从1到l-1(1<l<N)求和,可得}.接下来利用文献[12]185-187中引理6的证明方法, 可获得方程的全离散解和椭圆混合法投影之间的超收敛结果(式(14)). 进一步, 利用三角不等式、引理1～引理3及引理5可获得混合有限元的误差估计.定理1 如果条件(A1)～(A3)成立,Wh×Vh是混和有限元方程(9)～(11)的解, 且初始函数,则当Δt充分小时, 存在不依赖于h的常数C, 使得C(hk+1+Δt2).本节构造了非线性双曲型方程(1)的全离散两网格混合有限元格式.对区域Ω进行2个拟一致三角形网格剖分TH和Th,得到有限维空间WH×VH(⊂Wh×Vh).此算法可以分为2步进行: 首先在粗网格TH上解1个非线性问题(即原问题); 然后在细网格Th上解1个线性问题(即原问题线性化). 算法如下:第1步：在粗网格TH上求解非线性问题：求(uH, pH)(WH×VH)，满足(▽VH),(wHWH,n≥1),(▽VH,n≥1).第2步：在细网格Th上求解线性问题: 求(Wh×Vh)，满足(▽Vh),(whWh, n≥1),(▽Vh, n≥1).首先估计‖‖0,p.引理6 设(uH, pH)WH× VH是粗网格上的解, 条件(2)～(4)成立, 且有那么对1≤n≤N, 2≤q<∞, Δt充分小时, 存在不依赖于H 的常数C, 满足证明利用三角不等式、逼近性质(5)、引理2、引理5及逆估计(7), 易得到式(29).定理2 已知Wh×Vh是方程(27)、(28)的解, 如果条件(2)～(4)成立, 取初始函数,那么存在与h和Δt无关的C,使得C(hk+1+H2k+2+Δt2).证明令n=un-Qhun 和n=pn-Πhpn. 分别将式(17)、(18)减去式(27)、(28), 得到误差方程:(▽,(κωn+1,υh)-(▽·υh,μn+1)=-(κn+1,υh),其中f .注意到于是将式(33)改写为(κ∂tωn,υh)-(▽·υh,∂tμn)=-(κ∂tn,υh).将方程(32)和方程(34)中的检验函数分别替换成wh=∂tμn和, 然后相加得到(F1,∂tμn)-(κ∂t).式(35)两边同乘以2Δt, 对t从1到l-1(1<l<N)求和, 得(κ∂t}.对式(36)左端进行估计. 由初始条件(30), 得到在式(33)中, 当n=0, υh=ω1时, 易得ω1=0. 进而有以下估计(‖ωl‖2+‖ωl-1‖2).下面估计方程(36)的右端，有‖‖2}.对于F1中的每一项, 利用逼近性质(5)、引理4和引理6, 可以得到‖‖2),C‖‖·‖∂tμn‖≤C(h2k+2+‖μn‖2+‖‖2),C(H4k+4+‖‖2).由式(40)～(42), 得到F1的估计如下:‖μn‖‖‖2).接下来, 利用Fortin投影算子性质(6), 有n-(‖∂tn-‖+‖‖)·‖‖≤因此, 结合式(37)～(39)、(43)、(44), 可得式(36)的估计:‖‖2+‖ωl‖2+‖ωl-1‖2≤C{Δt4+h2k+2+H 4k+4+‖μn‖‖ωn‖‖‖2+‖tt(·,t)‖2dt}.在式(45)两边同时加上‖μl‖, 并使用不等式利用离散的Gronwall引理可得C{Δt4+h2k+2+H 4k+4}.最后, 由逼近性质(5)、式(6)以及三角不等式，式(31)成立.考虑非线性双曲型方程问题其中由方程(46)的精确解u(x,t)=sin(πx1)sin(πx2)sin t唯一确定.首先对区域Ω进行网格剖分. 在这里对Ω进行三角形单元划分, 采用均匀网格步长(分别取为h={1/16,1/64,1/256}). 使用混合有限元法计算方程(9)～(11)的解, 求解时需要用到非线性牛顿迭代, 如果取步长h=1/256, 则需要计算65 536个点的近似解(uh,ph).使用本文的两层网格算法, 根据定理2, 选取H =O(h1/2)作为粗网格上的步长,用非线性迭代格式(23)～(25)计算出粗网格解(uH, pH), 然后在细网格求解线性问题(26)～(28)，得到两层网格解h), 并使h)≈(uh,ph).由表1和表2可知, 两网格法得到的数值解与直接法求得的结果几乎一致, 同时通过比较计算时间t(利用MATLAB软件的运行时间)可知, 两网格法提高了计算效率, 当计算规模较大的时候, 更能体现两网格法的优势. 这些结果和理论分析的结果一致.该方法简单有效, 我们可以知道当粗网格十分粗时, 即粗网格的网格数比细网格的网格数小得多, 不会影响细网格上有限元方法解的精度, 这样可以将大规模的计算问题转化成小规模问题进行求解.【相关文献】[1] WIRZ H J,SCHUTTER F D,TURI A. 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《高等有限元方法-张年梅》第6章误差估计及收敛new
第六章误差，误差估计及收敛在科学研究和工程计算中，需要对有限元近似解提出一定的精度要求。
因此，仅仅在初始网格上进行一次有限元计算往往是不够的，必须对计算结果进行误差估计，以判断是否满足特定精度的要求；根据上述估计控制计算过程，以最小的代价获得满足要求的结果。
以下主要针对与时间无关的线性问题进行讨论。
§1 误差源一般来说，凡用FEA计算的结果都包含误差。
此处的“误差”是指FEA结果与数学模型精确解之间的不一致。
首先，假设计算软件适合于所处理的任务而不存在缺陷；指定的几何体、边界条件、载荷以及物理模型的材质属性适合手边的问题；用户在把数据输入到软件中时没有犯任何的错误；选择了适用的一般类型的单元（比如空间比平面可能更恰当）。
因此在描述建模误差、用户误差、软件缺陷之后，再分析计算误差的来源。
可能的误差源可以按如下的方法归类。
1、建模误差建模误差指的是物理系统和它的数学模型的差别。
FEA要分析的不是实际问题，而是简化了的数学模型，建模的过程中略去了实际问题中的好多细节，保留下来的用可以接受的数学公式来描述（比如弹性力学的平面理论，薄板理论，热传导方程，等等）。
主要来自于1）几何形状的简化紧固件的细节、小孔、其它的几何不规则性，以及材料属性的微小不均匀性都可能被忽略，至少在初始的分析中是这样的。
2）载荷被简化边界条件被理想化，比如认为支撑是刚性的。
经常把问题表示为平面的而不是三维的，或线性的而不是非线性的，或静态的而不是动态的，等等。
总体来说，建模误差指的是有意的合理的和经过考虑的近似，而不是错误，常常还有载荷及边界条件实际性能方面的不确定误差。
2、用户误差用户误差指的是在理解了物理问题，决定了要分析回答的问题，以及创建了合适的数学模型之后软件用户所犯的错误。
用户误差包括1）选错一般的单元类型（可能需要壳体单元的地方选择成了平板单元）；2）选择不合适的单元尺寸和形状；3）数据输入中的直接错误以至于使所描述的模型并不是想要的模型。
关于一类二阶非线性双曲型方程全离散有限元方法的稳定性和收敛性估计
ＡＭ Ｓ（ ９ １ ｕ ｊ ｃ ｌ ｓ ｉｉ ａｉ ｎ ６ Ｎ １ ９ ）ｓ ｂ ｅ ｔｃａ ｓｆｃ ｔ０ ｓ ５
中图法分类号
０２ １８ ４．２
１ 引
考虑 如 下混 合 问题 ：
言
・
国家 自ｊ 科学基 金 和 国家教 育部博 士 点基金 资 助课题 ｆ ！ ｌ 收稿 日期 ｔ９ ９ ２ １ ９ －ｌ 一∞．
Ｏ Ｎ ＴＨ Ｅ Ｔｌ ＡＴＩ Ｎ Ｆ Ｓ ＥＳ Ｍ Ｏ Ｏ ＴＡ ＢＩ ＴＹ ＬＩ ＡＮ Ｄ ＣＯ ＮＶ ＥＲＧ ＥＮ ＣＥ Ｆ Ｏ ＴＨ Ｅ ＦＵ ＬＬ— ＳＣＲ ＥＴＥ ＮＩ ＤＩ ＦＩ ＴＥ
ＥＬＥＭ ＥＮＴ Ｍ ＥＴＨＯＤ ＦＯＲ ＣＬＡＳ ＥＣＯＮＤ Ａ Ｓ ＯＦ Ｓ
ｄ
ｄ（，） （，）∑ ａ（，） ∑ Ｉ其中Ｖｒ ， ，） 户 ＝ 户 ， ｉ 户ｒ ｊ ≥ ｚ ， 一（ ｒ ∈Ｒ． ”
Ｉ 一 １ Ｊ － ｌ 一
（ ） ≤ ｚ， ≤ Ｃ。 ， ２ Ｃ２ 声） ， （ 声）关于 Ｌ ｐｃｉ ｉｓｈｔ 续 ． ｚ连 （ ）岛（ 户） ［ ， ） 有 界 ． ， ， ， ，． ３ ， 和 （ 户 ］ （＝１ ２ … ）６（・，・） ∈ｃ 力×Ｒ） （ ． （）ｆ（ ， 荧 于 户 Ｌｐｃ ｌ ４ ｘ 户） ｉｓｈｔ ｚ连续 ， ２，） ０） ｆ（ ｏ ∈Ｌ （ ．
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｅ
Ｓ ａ ｉ ｔ ｎ ｒ ｏ ｅ ｔｍ ａ ｅ ａ ｅ ｅ ｔ ｂ ｉｈｅ ｏ ｈ ｉ ｉｅ ｅ ｅ ｔｂｌ ｙ ａ ｄ ｅ ｒｒ ｓｉ ｔｓ ｒ ｓａ ｌ ｉ ｓ ｄ ｆ ｒ ｔ ｅ ｆｎ ｔ ｌ ｍｅ ｔ ｎ
ｍｅ ｈ ｄ ｔ ｏ ｖ ｌ ｓ ｆｓ ｃ ｎ ｒ ｅ ｙ ｅ ｂ ｌ ｑ ａ ｉ ｎ ． ｅ ｎ ｔ ｏ ｏ ｓ ｌ ｅ ａ ｃ ａ ｓ ｏ ｅ ｏ ｄ ｏ ｄ ｒ ｈ ｐ ｒ ｏ ｉ ｅ ｕ ｔｏ ｓ Ｍ ａ ｗｈ ｌ ｏ ｔｍ ａ ｃ ｉ ｅ， ｐ ｉ ｌ ｒ ｔ ｓ ｏ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｎ Ｈ ｚａ ｄ Ｌｚ ｎ ｒ ａ ｅ ｏ ｔ ｉ ｅ ａ ｅ ｆＣ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｉ ＿ ｎ ＿ ｏ ｍ ｒ ｂ ａ ｎ ｄ． Ｋｅ ｒ ｓ ｆｎ ｔ ｌ ｍ ｅ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ｉ ｉｅ ｅ ｅ ｎ ，ｈ ｐ ｒ ｏ ｉ ｅ ｕ ｔｏ ｓ，ｅ ｒ ｒ ｅ ｔｍ ａ ｅ ｙ ｅｂ ｌ ｑ ａｉｎ ｃ ｒｏ ｓｉ ｔ．
非线性双曲守恒律方程基于偏迎风数值通量RKDG方法的最优误差估计
非线性双曲守恒律方程基于偏迎风数值通 量RKDG方法的最优误差估计
程瑶
(苏州科技大学 数理学院, 江苏苏州 215009)
摘 要: 针 对 具 有 光 滑 解 的 一 维 非 线 性 双 曲 守 恒 律 方 程, 研 究 了Runge-Kutta间 断Galerkin (RKDG)方法, 其中空间变量采用基于偏迎风数值通量的间断Galerkin方 法, 时间变量采用三阶显式全变差不增的Runge-Kutta方法. 借助能量技术以及最新 提出的广义Gauss-Radau投影, 证明了通常时空限制条件下全离散方法的最优误差估 计. 数值实验验证了理论结果. 关键词: 双曲守恒律; RKDG方法; 数值通量; 投影; 误差估计 中图分类号: O241.1 文献标识码: A 文章编号: 1000-4424(2018)04-0453-12
(5)
这里θ > 1/2为偏迎风参数. 注意到: 当θ = 1时, 通量(5)是完全迎风的. 关于初值, 本文选
取uh(0) = πhu0(x), 其中πh为局部L2投影. 具体定义为: 对任意的z ∈ L2(Ω ), πhz ∈ Vh满足
πhz(x) − z(x), vh(x) Ij = 0, ∀vh ∈ Vh.
如Lax-Friedrichs通量, Godunov通量, Engquist-Osher通量等等[9]. 本文将考虑如下的偏迎风数
值通量
fˆ(uh)
=
θf (1
(u−h ) + (1 − θ)f − θ)f (u−h ) + θf
(u+h ), (u+h ),
若 f (q) ≥ 0, ∀q ∈ [min(u−h , u+h ), max(u−h , u+h )], 其余情形,
有限元误差估计
有限元误差估计有限元误差估计是工程领域中一项重要的技术，用于对有限元模型的精度进行评估和改进。
有限元方法是一种常用的数值求解工具，它将复杂的连续体问题离散化为有限多个简单的元素，通过对这些元素进行求解得到整个物体的行为。
然而，在实际应用中，由于物体的复杂性和数值计算的近似性，有限元模型的误差是不可避免的。
误差估计的目的是通过分析有限元模型中的误差源，预测数值解的误差大小，从而提供改进模型的指导。
误差源可以分为离散化误差和模型误差。
离散化误差是由于将连续问题离散化为有限元问题时所引入的误差，它取决于网格的精度和元素的形状。
模型误差是由于对真实物体进行建模时所引入的误差，它取决于对物体的理解和假设的准确性。
误差估计的方法有很多种。
其中一种常用的方法是后验误差估计，它通过对有限元解的局部平滑性进行分析，得到每个元素上的误差估计值。
这些误差估计值可以用来确定哪些元素的精度不够，从而指导网格的细化或者对有限元模型的改进。
另外一种方法是基于解析解的误差估计，它通过与真实解进行比较，评估数值解的误差大小。
这种方法对于已知解析解的问题特别有用。
误差估计对于工程领域来说具有重要的指导意义。
它可以帮助工程师们了解数值求解的精度和可靠性，从而减少工程设计中的风险。
此外，误差估计还可以帮助工程师判断哪些模型参数对于结果的精度影响最大，进而优化参数选择和模型设计。
通过合理地使用误差估计方法，工程师们可以在设计过程中不断提高模型的准确性和可靠性，从而提高工程质量和效率。
综上所述，有限元误差估计是一项重要的技术，它为工程师们提供了评估和改进有限元模型的方法。
通过对误差源进行分析和估计，工程师们可以优化模型的精度和可靠性，从而提高工程设计的质量和效率。
在工程实践中，我们应该始终重视误差估计，并合理运用其结果，以确保工程设计的准确性和可靠性。
有限元法在双曲拱桥计算中的研究
１ 空间有 限元模型 的建立
该 桥是 连 接河 东 区与 河西 区 的重要 交通 要道 ［． 桥 为多跨双 曲拱 桥 ， 长 ３０ ６ 纠该 全 ６． ８米． 中主桥 为 其
９ ８ 肋 波空腹式等截面双曲拱 ， 跨径为（０ ９４ ４ ２８｛ ０ ９９ｍ． ７ ．１ ＋７ ．９ －７． ６ ） 东引桥为三跨 １ 肋 ９ － ｏ 波实腹式双 曲拱 ， 净跨 径 为 ２ ｍ． 引桥 为 １ ６ 西 Ｏ肋 ９波实 腹式 双 曲拱 ， 跨径 为 １ｍ． 面宽 （Ｏ ×２ ５） 设计荷 净 ８ 桥 １＋２ ． ｍ， 载为 中华 人 民 共 和 国 交 通 部 １ ５ 年 “ 路 工 程 设 计 准则 ” 载 设 计 之 汽一 １ 级 、 － ６ ， 群 荷 载 ６ 公 ９ 荷 ３ 拖 ０人
变形． １ ２ 模 型的单 元类型 ．
在 有 限元模 型 中 ， 凝 土 和拱 上 填 料 选用 三 维 实 体 单元 Ｓ ｌ ６ 拟． 单 元 有 ８个 结 点 ， 混 ｏｉ ５模 ｄ 该 每个 结 点 有 ， ， 个 方 向 的 自由度 ， 有模 拟 弹塑 性 、 变形 、 Ｙ 三 具 大 大应 变 、 变 、 变 、 力刚化 的能力 ． 单元 徐 蠕 应 该
有 模 拟 弹塑性 、 大变形 、 变 、 变 、 力刚化 的 能力 ． 引桥 共用 １ ２ 徐 蠕 应 西 ７９ ０个单 元 ， ５４ ０个节 点． ２ １
１ ： 模 型 的材 料参 数 ． ３
１．． 拱 肋 采 用２ 号钢 筋 混凝 土 容 重 ） —２ Ｎ／ ； ３１ ５ ， ５ｋ ｍ。 弹性 模 量Ｅ 一 ２ ８ ×１ ＭＰ ； 松 比 一 １ ．５ ０ ａ泊
非线性双曲型方程及其解法
非线性双曲型方程及其解法双曲型方程是偏微分方程中的一种重要类型，被广泛应用于物理、工程、生物等领域。
其中的非线性双曲型方程具有很大的复杂性，难以用传统方法解析求解。
本文将介绍非线性双曲型方程及其解法。
一、非线性双曲型方程的定义和特点非线性双曲型方程可以用以下形式表示：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = F(u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial t})$$其中，$u(x,t)$表示未知函数，$F$是非线性函数。
与线性双曲型方程不同的是，非线性双曲型方程中的$F$函数中包含了未知函数和其偏导数，这使得方程的解析解难以求得。
另外，非线性双曲型方程还具有以下特点：1. 波动性：非线性双曲型方程中的解通常表示为波的形式，具有波动性质。
2. 非线性叠加性：非线性双曲型方程中的波可叠加产生新的波形，这种叠加通常是非线性的。
3. 非局部效应：非线性双曲型方程中波的传播通常具有非局部效应，即波在一处的变化将影响其他区域的波动。
二、非线性双曲型方程的解法由于非线性双曲型方程中的$F$函数中包含未知函数和其偏导数，所以直接求解这类方程的解析解是非常困难的。
因此，通常采用数值方法求解。
1. 有限差分方法有限差分方法是求解双曲型方程的常用数值方法。
它将双曲型方程转化为差分方程，然后利用离散的数据点进行求解。
有限差分方法的思路是将连续的空间和时间离散化，使得双曲型方程中的连续导数转化为有限差分方法中的差商。
最终，可以得到一个差分方程组，使用迭代方法求解。
有限差分方法的优点是简单易用，但是它只适用于简单的几何区域，而且需要小心处理边界条件。
2. 有限元方法有限元方法也是求解双曲型方程的重要数值方法。
它将区域离散化为若干个小单元，然后将双曲型方程转化为差分方程组。
差分方程组的未知数是单元节点处的函数值，需要用迭代方法求解。
线性有限元法的稳定性和误差分析【文献综述】
文献综述信息与计算科学线性有限元法的稳定性和误差分析有限元方法的基本思想是用较简单的问题代替复杂问题后再求解.它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成, 对每一单元假定一个合适的、较简单的近似解, 然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件）, 从而得到问题的解.这个解不是准确解, 而是近似解, 因为实际问题被较简单的问题所代替.由于大多数实际问题难以得到准确解, 而有限元不仅计算精度高, 而且能适应各种复杂形状, 因而成为行之有效的工程分析手段.和每一项新技术的推出的背景一样, 有限元方法的产生也是由于时代的迫切需要, 而新技术的出现后也需要经历历史的重重考验.在上个世纪40年代, 由于航空事业的快速发展, 对飞机内部结构设计提出了越来越高的要求, 即重量轻、强度高、刚度好, 人们不得不进行精确的设计和计算.正是在这一背景下,有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域, 成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法[1,2].关于有限元方法早期的一些成功的实验求解方法与专题论文, 完全或部分的内容对有限元技术的产生做出的贡献, 首先在应用数学界第一篇有限元论文是1943年Courant R发表的, 文中描述了他使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的近似解, 由于当时计算机尚未出现, 这篇论文并没有引起应有的注意. 1956年, M.J.Turner (波音公司工程师),R.Clough, H.C.Martin以及L.J.Topp 等四位共同在航空科技期刊上发表一篇采用有限元技术计算飞机机翼的强度的论文, 文中把这种解法称为刚性法(Stiffness), 一般认为这是工程学界上有限元法的开端. 1960年, RayClough教授在美国土木工程学会(ASCE)会议上, 发表一篇名为《The Finite Element in Plane Stress Analysis》的论文, 将应用范围扩展到飞机以外之土木工程上, 同时有限元法(Finite Element Method)的名称也第一次被正式提出.由此之后, 有限元法的理论迅速地发展起来, 并广泛地应用于各种力学问题和非线性问题, 成为分析大型、复杂工程结构的强有力手段.并且随着计算机的迅速发展, 有限元法中人工是难以完成的大量计算工作能够由计算机来实现并快速地完成.因此, 可以说计算机的发展很大程度上促进了有限元法的建立和发展.有限元方法在国内的产生和发展情况大致如下, 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献, 其中比较著名的有: 陈伯屏（结构矩阵方法）, 钱令希（余能原理）, 钱伟长（广义变分原理）, 胡海昌（广义变分原理）, 冯康（有限单元法理论）[3]. 遗憾的是由于当时环境所致, 我国有限元方法的研究工作受到阻碍, 有限元理论的发展也逐渐与国外拉开了距离. 20世纪60年代初期, 我国的老一辈计算科学家较早地将计算机应用于土木、建筑和机械工程领域.当时黄玉珊教授就提出了“小展弦比机翼薄壁结构的直接设计法”和“力法－应力设计法”; 而在70年代初期, 钱令希教授提出了“结构力学中的最优化设计理论与方法的近代发展”. 这些理论和方法都为国内的有限元技术指明了方向. 1964年初崔俊芝院士研制出国内第一个平面问题通用有限元程序, 解决了刘家峡大坝的复杂应力分析问题. 20世纪60年代到70年代, 国内的有限元方法及有限元软件诞生之后, 曾计算过数十个大型工程, 应用于水利、电力、机械、航空、建筑等多个领域[4,5,6].关于有限元法的一些基本知识, 文献[2,7,8,9]对本文的研究起到至关重要的作用,本文首先引入两点边值问题[2]d d ()(),,d d ()0,()0,u Lu p qu f x a x b x x u a u b ⎧=-+=<<⎪⎨⎪'==⎩ 其中1min 0()(),(),()0,(),()0.f x C I p C I p x p q C I q x ∈⎧⎪∈≥>⎨⎪∈≥⎩使用有限元方法求解的稳定性. 这一部分, 可以参考文献[3], 将上述问题变成等价的变分问题相应的矩阵表达形式b AU =, 我们可以讨论对有限元方程b AU =的系数矩阵、右端向量发生扰动对解向量的影响, 特别地, 当A 对称时, 取min max )(λλ=A cond , 我们有结论[7]:存在正常数C , 使得2min )(-=Ch A cond , h 为剖分单元的步长.我们还可以对上述两点边值问题, 讨论其有限元解法的收敛性, 参考文献[7], 可得该问题的变分形式即为求线性有限元解)()(1I H V x u E h E h ⊆∈,使h E h h h h V v v f v u a ∈∀=),,(),(,其中d d (,)()d ,d d (,)d ,b h h h h h h a b h h a u v a u v p qu v x x x f v f v x ⎧=⋅+⎪⎨⎪=⋅⎩⎰⎰ 我们可以得到正交投影性质h E h h h V v v u u a ∈∀=-,0),(,以及最佳逼近性质h h V v h hv u u u 0inf 1∈∀-≤-β, 其中∑=-=-n k e h h k x u x u x u x u 12,121)()()()(, 2221,()()[(()())(()())]d k kh h h e e u x u x u x u x u x u x x ''-=-+-⎰, 特别地, 参考文献[10], 我们还可以得到11I h u u C u u -≤-,h E I V x u ∈)(, 为)(x u 的分段线性插值多项式, 即满足插值条件n k x u x u k k I )1(0),()(==,于是, 我们可以得到线性有限元解函数)(x u h 与真解函数)(x u 之间的误差在空间1H 的范数意义下有如下误差估计式011u Ch u u C u u I h ''≤-≤-, 其中220(())d ba u u x x ''''=⎰, 利用Nitsche 技巧, 可得误差估计式 020u Ch u u h ''≤-.参考文献[1]R. A. Adams. Sobolev spaces. Academic Press, New York, 1975.[2]李荣华. 偏微分方程数值解法. 北京: 高等教育出版社.2005.[3]冯康. 基于变分原理的差分格式. 应用数学与计算数学, 1965, 2(4):237~261.[4]夏道行, 吴卓人, 严绍宗等. 实变函数论与泛函分析[M]. 北京: 高等教育出版社,1985.[5]Wu Haijun and Li Ronghua. Error estimate for finite volume element methods for generalsecond elliptic problems. NM for PDE, 2002, 693~708.[6]舒适. 偏微分方程典型离散化方法的基本理论与算法分析. 内部讲义, 2007, 5~68.[7]陈传淼, 黄云清. 有限元高精度理论. 湖南科技出版社, 1995.[8] C. Bernardi. and R. Verfurth. Adaptive finite element for elliptic equations with nonsmoothcoefficients. Numerische Mathematik, 2000.85: 579~608.[9] A. Bowyer. Computing Dirichlet Tessellations. Computer Journal, 1981, 24(2):162~166.[10]李开泰, 黄庆怀. 有限元方法及其应用. 科学出版社, 2006.。
非线性Pochhammer-Chree方程的有限元方法误差估计
（ ＾ ， ） ）一 （ ０ ） ） Ｖ ∈ Ｓ （ ， “（ ０ ， “（ ， ， ＾ ｎ） （ （ ０ ， “ ｚ， ） ）一 （ （ ） ） Ｖ ∈ Ｓ （ ． ｌ ， ， ＾ ｎ）
维普资讯
第１ 期
任 宗修 等 ： 线 性 Ｐ ｃ ｈ ｍｍ ｒ ｈｅ 非 ｏｈ ａ ｅ－ ｒｅ方程 的有 限元 方 法误 差 估计 Ｃ
２ ３
２ 半 离散 格 式 及 误 差 估 计
设 Ｓ （ 是 Ｈ ｎ）的 有 限 维 子 空 间 ， 有 以下 逼 近 性 质 ： ｎ） （ 且
Ｕ（ ０）一 Ｕ （ ｚ， ｏ ｚ）， ∈ ｎ ， ｚ Ｕ （ ０）一 Ｕｌ ｚ）， ∈ ｎ ， ， ｚ， （ ｚ ｕ（ ￡ ｘ， ）一 ０， ∈ ａ ， ｚ ｎ ０ ｔ 丁，
（） １
（ ２） （） ３ （ ４）
其 中 ｎ是 一个 有界 区域 ， 。 ） Ｕ （ ）满足本 文讨 论所需 要 的光滑 性 ， ｓ 三 ０， （ 是 ｎ上 的 Ｓ ｂ ｌｅ Ｕ（ ， ｚ 对 三 ＝ Ｗ ｎ） ｏ ｏｖ
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（ 河南 师范 大 学 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ， 南 新 乡 ４ ３０ ） 河 ５ ０ ７
摘 要用 限方研 了性纵形方 ： 一 “ 吉 ） 。初值题 造半 ：有元法究弹杆 向变程“ 一 一 （ 的边 问， 了 “ ＝ 构
双曲型非线性方程数值解法研究
双曲型非线性方程数值解法研究数值计算是一门与数学密切相关的学科，在科学研究中起到了不可替代的作用。
其中，解方程是数值计算中的重要任务之一。
本文将介绍双曲型非线性方程数值解法的研究，重点讨论了有限差分法和有限元法两种常用方法。
一、双曲型非线性方程双曲型偏微分方程是数学中的一类重要方程，广泛应用于物理学、计算机科学、工程学等领域。
其中，双曲型非线性方程是指方程中包含非线性项，其形式可以表示为：∂u/∂t + a(x,t,u)∂u/∂x = f(x,t,u)其中，u表示未知函数，x表示自变量，t表示时间，a(x,t,u)表示某个函数，f(x,t,u)表示某个非线性函数。
由于一般情况下，双曲型非线性方程并没有解析解，需要采用数值方法进行求解。
二、有限差分法有限差分法是一种常用的数值解法，适用于解决偏微分方程等问题。
它的基本思路是将方程中的导数用差分的方式离散化，并将未知函数在网格点上进行逼近。
具体步骤如下：1. 将自变量x分为若干个等距离的网格点，表示为x0, x1,x2, …, xn。
2. 将时间t也离散化，表示为t0, t1, t2, …, t m。
3. 用差分公式将方程中的导数离散化，得到一个关于未知函数u和已知的边界条件的代数方程组。
4. 求解代数方程组，得到u在离散化网格点上的近似解。
5. 对近似解进行误差分析，判断求解结果的准确性。
有限差分法的优点是简单易懂，但由于其精度受到网格点分布的影响，适用于较简单的问题。
三、有限元法有限元法是一种广泛用于求解偏微分方程的数值方法。
它利用三角分解将复杂的求解区域划分为若干个简单的形状，然后将未知函数在每个元素区域内进行逼近，得到关于未知函数和已知的边界条件的代数方程组。
有限元法的基本流程如下：1. 将求解区域分解为若干个简单的几何单元。
2. 将未知函数在每个几何单元内进行逼近，得到一个代数方程组。
3. 将每个几何单元的代数方程组组合起来，得到关于未知函数和已知的边界条件的代数方程组。
非线性双曲型积分微分方程的各向异性非协调有限元逼近
给 Ⅲ 半． 格 式 下 的 有 限 元 解 的 收 敛 性 分 析 和 误 差 估 计 。在 精 确 解 适 当光 滑 的 前 提 下 ， 利 用 新 晦散 的 技 巧 和 精 细 估 汁得 到 了其 超 逼 近 性 质 。 同 时利 用 插 值 后 处 理 技 术 导 出 整 体超 收 敛 结 果 。本 文 的 结 论 表 Ｉ传 统 有 限 元 分 析 中 对 阀 格 的 正 则性 要 求 和 对 Ｒｉ — ｏｔｒａ 影 的 依 赖 不 足 必 要 的 ， ｊ Ｊ Ｊ ｔ Ｖ ｌ ｒ投 ｚ ｅ 从 Ｉ ～ 步 扩 艘 １ 协 调 有 限 元 方 法 的 用 范 刚 。 ｍ进 ｒ 关 键 词 ：双 曲型 积 分 微 分 方程 ； 各 向异 性 ； 非 协 训 元 ；半 离 散 ； 超 收 敛
＝
且 具有 各 向异 性特 征 ［。 ５ 】 有 限元 空 间 Ｖｈ 义 为 定
ｐｌ＝ｈ￣ ∈， Ｔ ｖｓ０ ， 。 Ｋ 户 ∈ｈ ｈ ＝，ｃ ｈ Ｉ Ｖ ，Ｉｄ Ｆ ） Ｉ
这里 ］ ｈ表示 跨过单元边界Ｆ的跳跃度，当Ｆ ｃ ２ ＾ ＝ｕ ， Ｋ： 一 Ｋ 为参考单 ＾ 【时， 】 ＾ Ｆ
２８ ７
工
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第２ 卷 ７
淌 １１ 高 谢 ， ） ２） ， ｊ ２４ ＝ －・ Ｉ ３ ， １
容易验证，对任意的 ∈Ｈ ） （ ，其插值 函数可表示为
＝
喝 三 一） 丢 一） 丢 ＋ 一５ ＋（ ２ ） 十（ 啦＋（ 叼 （ 噍 ２ ）三 ＋ 一 ） ， 喝 ＋ ９ ） 惦 惦（ 叩
获 得 同样 的 收敛 效 果 。 另 一 方 面 以往 对 非 线 性 双 曲型方 程 、 非 线 性 双 曲型 积 分 微 分 方 程 及 一 般
有限元误差估计
有限元误差估计简介有限元方法是一种常用的数值分析技术，用于求解复杂的工程问题。
在进行有限元分析时，我们通常关注的是解的准确性和可靠性。
误差估计是一种重要的技术，用于评估有限元解与真实解之间的差距，并为优化模型和提高计算效率提供指导。
误差来源在有限元分析中，误差可以来自多个方面。
主要的误差来源包括： 1. 几何近似误差：由于将实际结构简化为离散节点和单元网格，引入了几何近似误差。
2. 材料模型误差：由于材料模型假设和参数的不精确性，引入了材料模型误差。
3. 数值积分误差：由于对积分过程进行数值近似，引入了数值积分误差。
4. 边界条件近似误差：由于对边界条件进行离散化处理，引入了边界条件近似误差。
误差控制为了提高有限元方法的准确性和可靠性，我们需要对上述各种类型的误差进行控制。
常用的误差控制方法包括： 1. 网格收敛性分析：通过逐渐细化有限元网格，观察解的变化情况，以判断误差是否收敛。
2. 解析解对比：将有限元解与已知的解析解进行对比，以评估误差大小。
3. 后验误差估计：根据已知的数值解和有限元解之间的关系，构建合适的后验误差估计公式，用于评估误差大小。
后验误差估计方法后验误差估计是一种基于已知数值解和有限元解之间关系的方法，用于评估有限元解的准确性。
常用的后验误差估计方法包括： 1. 能量范数法：通过利用能量范数定义和泛函分析方法，构建能量范数下的后验误差估计公式。
2. 基于残量法：通过求解残量方程或残量平方方程，构建基于残量的后验误差估计公式。
3. 基于重构法：通过将有限元解重新插值到更精细的网格上，并与原始网格上的有限元解进行对比，构建重构后验误差估计公式。
误差估计的应用误差估计在有限元分析中具有广泛的应用，主要包括以下几个方面： 1. 网格适应性：通过评估误差大小，可以指导网格划分和细化，以提高解的准确性。
2. 模型优化：通过评估误差大小，可以指导模型参数的优化和调整，以提高解的可靠性。
非线性拟双曲方程的有限元配置法数值分析
非线性拟双曲方程的有限元配置法数值分析
王强;陶建华
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2012(029)001
【摘要】基于有限元配置法,采用分片双三次Hermite插值多项式空间作为逼近函数空间,本文对粘性振动及神经传播过程中涉及的一类非线性拟双曲方程的初边值问题建立了二维半离散和全离散格式.并对两种格式证明了数值解的存在唯一性,应用微分方程先验估计的理论和技巧得到了L2模最佳阶误差估计.数值实验结果表明:所提方法在保证整体误差估计要求且不增加计算量的前提下,比传统有限元方法有更高的逼近精度,并扩展了配置法的应用范围.
【总页数】11页(P96-106)
【作者】王强;陶建华
【作者单位】天津大学机械工程学院,天津300072;天津大学理学院数学系,天津300072;天津大学机械工程学院,天津300072
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
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