1.基与维数

1．基与维数
结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基.
(i)零向量可由唯一地线性表示；
(ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示；
(iii).
结论2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则，且.
例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间.
域F是F上向量空间，基是 {1}，.
C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，.
R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里.
令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间.
1) 1, 线性无关：
设，. 则 (否则，,矛盾)，因此.
2) 1, , 线性无关：
设，，i=1,2,3 . ( 1 )
,
两端平方得
,
由于1, 线性无关，故
假如，则，且，即 . 矛盾.
因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而
将代入(1)，便得这说明1, , 线性无关.
3) 1, , ,线性无关：
设，，i=1,2,3,4 . 则有
. ( 2 )
假如不全为零，则
得到"1, , 线性相关"的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得
又由1, 线性无关得. 这样，我们证得了1, , ,线性无关.
故{1, , ,}是F的一个基..
例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间.
对任意的正整数n，可证得线性无关：
设，使 ( 3 )
取n+1个实数，使
ab.
由(3)知
即
其中
而
. 用左乘(4)两端，得
这说明线性无关.
故C[a,b]是R上无限维向量空间.
引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,...,s. 试证明
证对s作数学归纳.
当 s=1 时，结论显然成立.
设，且对个V的不等于V的子空间结论成立.
下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在
1) 当时，，故；
2) 当时，由于，因此显然 ,,...,.且存在，使（否则，如果,,...,，, , ,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样，故
例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V的一个基.
证取V的一个基，令. 对任意从中删去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则由引理知, 故存在
令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基.
设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基.
对任意，有
.
这样的子空间共有个. 由引理知
存在
令. 则||=k+1，且中任意n个不同的向量是V的基.
这个过程进行下去，满足条件的无限集S即可找到.
另证：设是V的一个基，令
令
让,,...,F互不相同，则
由于
其行列式是Vandermonde行列式，即
故线性无关，是Ｖ的一个基. Ｓ中含无穷多个向量.
例４设是Ｆ上n(>０)维向量空间V的子空间，且i=1,2,3,...,s. 则存在V的一个基，使得该基中每一个向量都不在中.
证：对s作数学归纳.
当时，取的一个基，，将其扩充为V的一个基. 可证明出线性无关，是V的基，且, i=1,2,...,r,
设，且对个V的子空间结论成立. 现考虑V的s个子空间 , 由归纳假设知存在V的一个基，使
1）如果，那么即满足要求;
2）如果. 不妨设∈, , 由最多有一个F中的数，使, （否则，如果有两个不同的数, , 使，则，故，矛盾），所以除可能的之外，F 中有非零数，使同理有F 中非零数，使显然易证线性无关，是V的基，且满足要求.
例5 设W是的由全体形如的向量所生成的子空间, 证明
证
令
(j)
是第i行第j列位置元素是1，而其余的个元素全是零的n阶方阵.
对, i≠t,
对, (j) ∈ W.
(j)
容易验证 }是线性无关的（共个向量）
故而W中每个矩阵其迹为0. 因此，故
引理设是向量空间V的子空间，则
(i)
(ii)
例 6 设是F上向量空间V的子空间.
(i) 证明：
(ii)举一个例子，使上述严格不等式成立.
证 (i)
=
=
=
(ii) 在中，令
++=（1，0，0）,(-1,0,1)）,而==={0}, =={0},此时=2<3=-+dim()
例7 设A,B.令={∣AB=},= {B∣}
求证是的子空间,且dim=秩B-秩(AB)
证显然,故B=,即 , ,B,B是的任意向量, ,F,
AB()= =0
B()
因而是的子空间 .
当秩B=秩(AB)时,齐次线性方程组AB=与B=同解.因此={0},故dim=0=秩B－秩(AB)
以下我们假设秩B>秩(AB).ABX=0与BX=0不是同解的. {0},{0}.
秩B=n
此时{0},设{，，...}为的一个基,
其中 t=n- 秩(AB) .则有=(B，B，...B)
设B+B+...+B=0, F,i=1,2,...t
则B(++...+)=0,而BY=0只有零解,
故++...+=0, 又，，...线性无关.所以=0，i=1,2,...n
这说明{B，B，...B}是的一个基
dim=t=n-秩(AB)=秩B-秩(AB)
秩B<n
令={B=}，是B=的解空间，dim=n- 秩B>0
显然
由于我们事先假设了秩B秩(AB),所以.设{，，...}是的一个基. P=n-秩B>0
扩充成的一个基，，，...,，..., t=n-秩(AB)
而=(B，B，...B,B，...,B)= (B，...,B)
设=0， F, j=p+1,...,t.
则B()=0
即故存在,F，使=
+=0
而，，...,，...,线性无关，所以=0，k=1,2,,...,t
这说明B,B，...,B线性无关,是的一个基.
因此 dim=t-p=[n-秩(AB)]-【n-秩B]= 秩B-秩(AB)
例8 设,是向量空间v的子空间,且dim(+)=dim()+1
证明,下述两条必有一条成立:
(ⅰ) +=,=;
(ⅱ) +=,=;
2.直和的刻画：
结论：设是F上的向量空间V的有限维非零子空间，则下述诸条件彼此等价：（ⅰ）∩（）={0}，i=1,2，...s;
（ⅱ）∩（）={0}，i=1,2,...,s-1;
(ⅲ) 对任意§∈，§表为§=§+§+...+§,§∈，i=1,2,...,s,的表示法唯一；
（ⅳ）一旦§+§+...+§=0，§∈，i=1,2,...,s,就有§=0，i=1,2,...,s；
（ⅴ）令{，， ,...， }为的基，i=1,2,...,s,则{，,...，,,,...,,...,,,...,}是的基；
（ⅵ）dim()=dim
证明：（ⅰ）（ⅱ）：
{0}∩（）∩（）={0}
（ⅱ）(ⅲ)
§∈，令§=§+§+...+§，§=§+§+...+§，§，§，i=1,2,...,s (§-§)+(§-§)+(§-§)=0 (1)
假如§-§，§-§，§-§不全为零向量，设第一§个非零向量是§-§；如 j=s,这与(1)式矛盾.如 j<s,则§-§=（§-§）+...+(§-§)则∩（）,且≠0,矛盾.
因此, §-§，§-§，§-§全是零向量,即有§=§, i=1,2,...,s
； (ⅲ) （ⅳ）:显然
（ⅳ）（ⅴ）：设=0，则++...+=0,（其中，，）
由（ⅳ）可知=0，i=1,2,,...s.
又由于，， ...线性无关,故=0, j=1,2,...;i=1,2,...s.
因此，{，， ...}线性无关，且是的生成元，故{，， ...}是的一个基。

（ⅴ）（ⅰ）:
设（ⅴ）成立.令i{1,2,...,s}.(),=,又=，故+=0
由于{，，...,}线性无关,故=0,l=1,2,...,j=1,2,...,s,因此，=0，这说明（ⅰ）成立.
（ⅴ）（ⅵ）：显然
（ⅵ）（ⅴ）：令dim=,i=1,2,...,s
令{，， ...}是的基，由（ⅵ）知dim=dim=,向量组{，， ...}是的生成元组，且该向量组所含向量个数为= dim，故该向量组是的一个基.
注：①如果只要求上述结论中前四条彼此等价，那么我们可以去掉诸是"有限维"且"非零"的限制.
②当诸是有限维时,前四条与（ⅵ）彼此等价
定义:设是F上向量空间v的子空间，如果上述结论中的（ⅰ），（ⅱ），(ⅲ) ，（ⅳ）之一成立，那么称和为直和，记为...
若v=,则称是的余子空间.
例1:设c(F),f(x),g(x)F[x] ,且（f(x),g(x)）=1.令, ,分别为奇次线性方程组f(c)g(c)x=0,f(c)x=0,g(c)x=0的解空间.求证=
证明 (f(x),g(x))=1
u(x),v(x)F[x],使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.
因而 u(c)f(c)+v(c)g(c)=
任取，，=u(c)f(c)+v(c)g(c)
f(c)g(c)=0.
这说明+.至于是显然的，所以
任取.f(c)=0; g(c)=0，故=u(c)f(c)+v(c)g(c)=u(c).0+ v(c).0=0
，这说明={0}
因此=
例2 设是实数域R上全体n阶方阵关于矩阵的加倍，数与矩阵的乘法所构成的向量空.令={A∣A的主对角线上方的元素全为0}；={A∣A的主对角线元以及主对角线下方的元素全为0}
试证明:=
例3 设V是定义在R上的全体实函数所组成的向量空间。

令={f(x)∣f(x)= f(-x)}; ={f(x)∣f(x)=-f(-x)}
证明, 及都是的子空间,且=
例若 w是v的子空间，且wv,则w在v中的余子空间不是唯一的
演讲稿
尊敬的老师们，同学们下午好：
我是来自10级经济学（2）班的学习委，我叫张盼盼，很荣幸有这次机会和大家一起交流担任学习委员这一职务的经验。

转眼间大学生活已经过了一年多，在这一年多的时间里，我
一直担任着学习委员这一职务。

回望这一年多，自己走过的路，留下的或深或浅的足迹，不仅充满了欢愉，也充满了淡淡的苦涩。

一年多的工作，让我学到了很多很多，下面将自己的工作经验和大家一起分享。

学习委员是班上的一个重要职位，在我当初当上它的时候，我就在想一定不要辜负老师及同学们我的信任和支持，一定要把工作做好。

要认真负责，态度踏实，要有一定的组织，领导，执行能力，并且做事情要公平，公正，公开，积极落实学校学院的具体工作。

作为一名合格的学习委员，要收集学生对老师的意见和老师的教学动态。

在很多情况下，老师无法和那么多学生直接打交道，很多老师也无暇顾及那么多的学生，特别是大家刚进入大学，很多人一时还不适应老师的教学模式。

学习委员是老师与学生之间沟通的一个桥梁，学习委员要及时地向老师提出同学们的建议和疑问，熟悉老师对学生的基本要求。

再次，学习委员在学习上要做好模范带头作用，要有优异的成绩，当同学们向我提出问题时，基本上给同学一个正确的回复。

总之，在一学年的工作之中，我懂得如何落实各项工作，如何和班委有效地分工合作，如何和同学沟通交流并且提高大家的学习积极性。

当然，我的工作还存在着很多不足之处。

比日：有的时候得不到同学们的响应，同学们不积极主动支持我的工作；在收集同学们对自己工作意见方面做得不够，有些事情做错了，没有周围同学的提醒，自己也没有发觉等等。

最严重的一次是，我没有把英语四六级报名的时间，地点通知到位，导致我们班有4名同学错过报名的时间。

这次
事使我懂得了做事要脚踏实地，不能马虎。

在这次的交流会中，我希望大家可以从中吸取一些好的经验，带动本班级的学习风气，同时也相信大家在大学毕业后找到好的工作。

谢谢大家！。