64基和维数(二)

叫做由1,2 ,...,r所生成的子空间。记为 L( 1,2 ,..., r ) 或L( 1,2 ,..., r )
即L( 1,2 ,..., r )
{a11 a22 ... arr ai F,i 1,2,...,r}
1
,

2
,...,

叫做生成子空间
表示。
则称1,2,..., n是V的一个基。
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2、1, 2 ,..., n是V的一个基，那么 V L(1,2,...,n )。
即V的一个基就是V的一组线性无关的生成元。
3、基的重要意义还在于：
定理6.4.2 设1,2,...,n是向量空间V的一个 基，那么V的每一个向量都可以唯一地表为
{(a1, a2,0) a1, a2 F} 因为W1 W2中每一向量表示成W1与W2中向量的 和的方式是唯一的,故W1 W2是直和,即W1 W2
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例10、 在F 3中,1 1，0，0， 2 0，1，0， 取：
W1 L(1) {(a1,0,0) a1 F} W2 L(1,2 ) {(b1,b2,0) b1,b2 F} 则W1 W2 L(1) L(1,2 ) L(1,1,2 ) L(1,2 ) {(a,b,0) a,b F}
r
L(
1,2 ,..., r )
的一组生成元。
3、可以由有限个向量生成的子空间叫做有限生 成子空间。
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4、几点注意 (1)生成子空间提供了一种构造子空间的方法； (2)有限生成的子空间所含向量个数不一定有限；
只有L(0)={0}所含向量个数是有限的； (3)除零空间外，任意一个向量空间都可以构造出 无数个子空间，当然其中可能有许多是相同的； (4)等价的向量组生成相同的子空间。
中的每个向量都能唯一地表示成 1 2 ,1 W1,2 W2
则称W1 W2为这两个子空间的直和,记为W1 W2
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例9、 在F 3中,1 1，0，0， 2 0，1，0， 取：
W1 L(1) {(a1,0,0) a1 F} W2 L(2 ) {(0, a2,0) a2 F} 则W1 W2 L(1) L(2 ) L(1,2 )
1、子空间的和
W1、W2是向量空间V的两个子空间,
(1)定义 :W1 W2 {1 2 1 W1,2 W2}； (2)W1 W2也是V的子空间； (3)设1,2,,s与1, 2,t是V的两个向量组, 则L(1,2,,s ) L(1, 2,t ) L(1,2 ,,s , 1, 2 ,t )
1,
2
,
.
.
.
,
的线性组合。
n
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4、有限生成的非零向量空间一定有基，其基就 是生成元组的一个极大无关组。
即若V

L(1,
2
,
.
.
.,
m
)，则1,

2
,...,
的一个
m
极大无关组i1 ,i2 ,...,ir 就是V的一个基。
5、一个向量空间如果有基的话，其基一般并不
(3) 余子空间不唯一。
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例12、 设S {A M n (F ) A A},
T {A M n (F ) A A} 证明: (1)S,T是M n (F )的子空间; (2)M n (F ) S T ; (3)S T {0}.
证明：（1）→（2）→（3）→（4） →（1）
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3、余子空间 (1)定理：设W是向量空间V的一个子空间， 那么一定存在V的一个子空间U，使得
V W U
(2)定义：设W是向量空间V的一个子空间，
如果V的子空间U满足V W U ，则称U为
W的一个余子空间。
例11、在几何空间V3中，W为过原点的平面， 那么W的余子空间是任一过原点且不在此平面 内的直线。
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5、定理6.4.1 设 1,2,...,n 是向量空间V 的
一组不全为零的向量,而 i1 ,i2 ,...,ir 是它的一
个极大无关组。那么
L1,2,...,n L i1 ,i2 ,...,ir
根据这个定理,如果有限生成子空间 L1,2,...,n
因为W1 W2中每一向量表示成W1与W2中向量 的和的方式不是唯一的,故W1 W2不是直和, 不能写成W1 W2。
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(2)直和的等价条件
设W1、W2是向量空间V的两个子空间, 则下列条件等价: (1)W1 W2是直和; (2)W1 W2 {0} (3) dim(W1 W2 ) dim W1 dim W2 (4)W 1,W2的基可凑成W1 W2的基
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2、n维向量空间中任意多于n个向量的向量组一 定线性相关。
3、定理6.4.4 设 1,2,...,r 是n维向量空间
Ｖ中一组线性无关的向量．那么总可以添加 n – r
个向量 r1,...,n ，使得 1,...,r ,r1,...,n
作成Ｖ的一个基。特别地，n维向量空间中任意n
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问题 :W1 W2中任一向量都可以表示成一个W1 中向量1与一个W2中向量 2的和,即 1 2 ,1 W1,2 W , 那么这种表示是不是唯一的？
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2、子空间的直和 (1)直和的定义 设W1、W2是向量空间V的两个子空间,如果W1 W2
唯一。但一个向量空间的任意两个基是彼此等价
的，并且所含向量个数相同。
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6.4.3 向量空间的维数
1、定义 一个向量空间V的基所含向量个数叫 做V的维数。记作dimV。 零空间的维数定义0。
例如：dimV2 2，dimV3 3； dim F n n； dim M m,n (F ) mn； dim Fn[x] n 1。
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第6章 向量空间
6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
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6.4 基和维数
一、内容分布 6.4.1 生成子空间 6.4.2 向量空间的基 6.4.3 向量空间的维数 6.4.4 子空间的和、直和、余子空间
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二、教学目的 1．掌握有限维向量空间基与维数的概念 及其求法． 2．理解基在向量空间理论中所起的作用． 3．了解子空间的和、直和、余子空间． 三、重点、难点 基和维数的概念及求法、维数定理． 四、难点 子空间的直和、余子空间．
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6.4.1 生成子空间
1、设V是数域F上向量空间，1, 2 ,, r
是V 中r个向量，则
W {a11 a22 ... arr ai F,i 1,2,...,r}
构成V的一个子空间。
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2、{a11 a22 ... arr ai F , i 1,2,...,r}
(1)(2)(3)即M n (F ) S T
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课堂练习
P235-236：1,5
课外作业
P236：2,3,4,7
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不等于零子空间, 那么它总可以由一组线性无关 的生成元生成。
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6.4.2 向量空间的基
1、定义 设V是数域F上一个向量空间，如果在
V中存在一组向量 1,2 ,..., n 满足： （1） 1,2,...,n 线性无关； （2）V的每一个向量都可以由 1,2,...,n 线性
个线性无关的向量都可以取作基。
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4、定理6.4.5 设Ｗ和Ｗ都是数域Ｆ上向量空 间Ｖ的有限维子空间．那么Ｗ＋Ｗ也是有限维
的，并且
dim（Ｗ＋Ｗ） ＝dimＷ＋dimＷ－dim（Ｗ∩Ｗ）
维数公式
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6.4.4 子空间的和、 直和、余子空间