不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法一、不定积分的基本公式和运算法则1.基本公式：- 常数公式：$\int c\,dx = cx + C$，其中c为常数，C为常数。
- 幂函数公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中n为非零常数，C为常数。
- 指数函数公式：$\int e^x\,dx = e^x + C$，其中C为常数。
- 对数函数公式：$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln，x， + C$，其中C为常数。
2.基本运算法则：- 常数倍法则：$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$，其中k为常数。
- 和差法则：$\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$。
- 乘法法则：$\int u \cdot v\,dx = \int u\,dv + \int v\,du$。
- 除法法则：$\int \frac{u}{v}\,dx=i\ln，v，+j\int\frac{dv}{v}$。
直接积分法是指根据不定积分的基本公式和运算法则，直接进行积分计算的方法。
下面介绍一些常见的直接积分法：1.用代换法进行积分：-根据被积函数的形式，选择一个合适的代换，使得原函数的形式更简单。
-对原函数进行代换，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
-将上述结果带入到原函数中，得到最终的积分结果。
2.用分部积分法进行积分：-对于被积函数的乘积形式，选择一个函数进行求导，选择另一个函数进行积分。
- 根据分部积分公式$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，进行积分计算。
3.用换元法进行积分：-对于被积函数的形式，选择一个新的变量代替原来的变量，使得积分变得更简单。
-对原函数进行换元，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
不定积分的基本公式和直接积分法省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
(6) csc2 xdx cot x C ((cot x) csc2 x)
5 反三角函数
(1)
dx arcsin x C arccos x C 1 x2
(arcsin x) 1 ,(arccos x) 1
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
(2) 2x (e x 1)dx 解： 2x (e x 1)dx (2e)x dx 2x dx
(2e)x 2x C (2e)x 2x C
ln(2e) ln 2
1 ln 2 ln 2
(3) x3 x 1dx x2 1
解：
x3 x2
x
1 x2
1 x2
dx
(2) 1 x2 arctan x C arc cot x C
(arctan
x)
1 1 x2
, (arc
cot
x)
1
1 x
2
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分
表
(3)
dx x
ln
|
x
|
C;
阐明： x 0,
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 x
arctan
x
C.
例2 求下列不定积分
(1) sin2
xdx 2
(2)
cos 2x cos x sin
x
dx
解
(1)原式
1
cos 2
x
dx
1 2
(1 cos
不定积分的概念及其线性法则
2 x4 ) dx . 5. ( 2 sin x 3 x e x ) dx . 6. ( 2 2 1 x 1 x
cos 2 x 7. dx . cos x sin x
x 9. sin dx . 2
2
1 8. dx . 2 2 cos x sin x
10. e x 1 d x .
例 2 已知一曲线 y f ( x ) 在点( x , f ( x )) 处的 切线斜率为 sec x sin x ，且此曲线与 y 轴
2
的交点为(0,5) ，求此曲线的方程.
例2 已知一曲线 y f ( x ) 在点( x , f ( x )) 处的
sec 2 x sin x ，且此曲线与 y 轴 切线斜率为
1 cos 2 x sin2 x dx .
1 cos 2 x sin2 x dx
cos 2 x sin2 x dx 2 2 cos x sin x
[sec 2 x csc 2 x ]dx
tan x cot x C .
9. 求积分 解
2
x sin 2 dx .
二、 基本积分表 P172 (1) kdx kx C ( k 是常数) ;
( 2)
( 3) ( 4)
( 5)
( 6) (7)
x 1 x dx C ( 1) ; 1 dx x ln | x | C ; 1 1 x 2 dx arctan x C arccot x C 1 1 x 2 dx arcsin x C arccos x C cos x dx sin x C ;
y x2 C ,
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式在数学中，不定积分是一种求解函数的原函数的操作。
也就是说，当对一个函数进行不定积分后，得到的是一个包含任意常数的函数集合。
不定积分的四则运算公式是指对不定积分进行加减乘除的操作规则。
一、加法公式：对于两个函数的和的不定积分，有以下公式：∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx二、减法公式：对于两个函数的差的不定积分，有以下公式：∫(f(x) - g(x))dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx三、乘法公式：对于两个函数的乘积的不定积分，有以下公式：∫f(x)g(x)dx = ∫u(x)dv(x) = u(x)v(x) - ∫v(x)du(x)其中，u(x)和v(x)是函数f(x)和g(x)的原函数。
此公式是通过积分部分法得到的。
四、除法公式：对于两个函数的商的不定积分，有以下公式：∫f(x)/g(x)dx = ∫[u(x) + v(x)]/g(x)dx = ∫u(x)/g(x)dx +∫v(x)/g(x)dx其中，u(x)和v(x)是函数f(x)和g(x)的原函数。
此公式是通过将除法转化为乘法再应用乘法公式得到的。
需要注意的是，在进行乘法和除法的不定积分时，对被积函数进行合适的变换或引入中间变量来简化计算。
五、分配律公式：在不定积分的四则运算中，也可以应用分配律。
对于表达式的不定积分，有以下公式：∫(f(x) + g(x))h(x)dx = ∫f(x)h(x)dx + ∫g(x)h(x)dx这个公式可以用于将一个积分问题拆分为多个较简单的积分问题，以简化计算过程。
六、合并同类项公式：在计算积分过程中，有时会遇到求解多个相同形式的不定积分。
可以使用合并同类项的公式进行简化。
如下所示：∫(a f(x) + b f(x))dx = (a + b) ∫f(x)dx这个公式将多个相同形式的函数合并成一个函数，并在常数项上进行求和运算。
以上是不定积分的四则运算公式，这些公式是对不定积分进行运算时常用的规则。
求不定积分的几种基本方法
求不定积分的几种基本方法不定积分是求函数的原函数的过程，也就是求导的逆过程。
下面介绍几种基本的求不定积分的方法：1.直接积分法：直接应用不定积分的定义，逐项求积即可。
这个方法适用于具备初等函数原函数的情况，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 分部积分法：适用于积分项为两个函数的乘积时，将其转化为一个函数的导数和另一个函数的不定积分的积的形式进行求解。
分部积分法的公式为∫u dv = uv - ∫v du，选择不同的u和dv，通过反复应用该公式，可以将原积分项转化为更简单的形式。
3.换元积分法：也称为代换积分法，适用于积分项中含有复杂的函数形式时，通过建立合适的替代变量，将原积分转化为简单的形式。
换元积分法的核心思想是对积分变量进行代换，一般采用的代换方法有三角代换、指数代换、倒代换等。
换元积分法的关键是选取合适的代换变量，使得原积分转化为更容易求解的形式。
4.幂函数积分法：当积分项中含有形如x^n（n是常数）的幂函数时，可以利用幂函数的积分性质求解。
幂函数积分法是直接求解幂函数不定积分的方法，通过对幂函数的不定积分公式进行推导，得到幂函数积分的一般公式。
5.三角函数积分法：当积分项中含有三角函数时，可以利用三角函数的积分性质求解。
三角函数积分法是根据三角函数的不定积分公式进行求解，通过对三角函数的积分公式进行推导，得到不同三角函数的不定积分形式。
6.无穷级数展开法：对于一些特殊的函数，可以通过将其展开为无穷级数的形式，然后对无穷级数逐项求积分来求解原函数。
以上是一些常见的不定积分的基本方法。
在实际求解过程中，还可以结合不同的方法灵活应用，选择最适合的方法求解不定积分。
同时，需要注意积分常数的添加和积分区间的确定，以保证求解结果的正确性。
求不定积分的基本方法
1 例13. 求不定积分 ∫ dx . (2 + cos x) sin x sin x 解: 原式 = ∫ (令 u = cos x) dx 2 (2 + cos x ) sin x 1 =∫ du 2 ( 2 + u )(u − 1) A=1
1 ( 2+u )(u −1)
习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
第四章
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
∫ f ( x ) dx
第一类换元法 第二类换元法
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
分部积分
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1 dx . 例4. 设 y ( x − y ) = x , 求积分 ∫ x − 3y 解: y ( x − y ) 2 = x 令 x − y = t, 即 y = x −t
2
t3 x= 2 , t −1
t t 2 (t 2 − 3) y = 2 , 而 dx = 2 dt 2 t −1 (t − 1)
=
x x − 3 ln(e 6
+ 1) − 2
x 3 ln(e 3
x + 1) − 3 arctan e 6
+C
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3 cos x − sin x dx . 例11. 求 ∫ cos x + sin x
不定积分
dln x
dsin x
(6) f (cos x)sin xdx
dcos x
(7) f (tan x)sec2 xdx
dtan x
(8) f (e x )e x dx
de x
(9) f (arcsin x)
1 1
x2
dx
f
(arcsin
x)d(arcsin
x)
f (arccos x)
x
1 1
t t
2 2
原式
1
2t 1t 2
2t 1t 2
(1
1t 1t
2 2
)
dx
1
2 t
2
dt
2 1t
2
dt
1 2
t
2
1 t
dt
1 2
1t2 2
2t
ln
t
C
1 tan2 x tan x 1 ln tan x C
x) c
09数二三 计算不定积分
ln(1
1 x )dx x
(x 0)
令
1 x t
x
原式 ln(1 t) 2t dt ln(1 t) 1 d (t2 1)
(t 2 1)2
(t2 1)2
ln(1
t)d
( t
1) 2 1
ln(1 t) 1 1 dt
例4. 求
cos3 x 1 sin2
x
2
cos x sin4 x
dx
不定积分的基本公式与运算法
例1 求下列不定积分：
学院
College
（1） x7 d x.
（2）
1 d x. x
（3） 3xex d x.
解 （1） x7dx 1 x71 C 1 x8 C.
7 1
8
（2）
1 dx
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Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
4·2 不定积分的基本公式与运算法 则、直接积分法
案例研究
我国自行研制的动车组列车
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1 x2 2sin x 3x C. 2
问：最后的结果为什么只写一个任意常数？
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直接积分法
定义 直接用积分基本公式与运算性质求不定积 分，或者对被积函数进行适当的恒等变形（包括代数变
1 x
d
x
ln
x
C.
讨论 当 x 0 时，有
ln x (ln x) 1 ,
x 当 x 0 时，也有
ln x ln(x) (x) 1 1
x x x 所以 ln | x |是 1 的原函数.
x
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业
大学微积分中的不定积分计算
大学微积分中的不定积分计算微积分是数学的一个重要分支，它主要研究函数的微分和积分运算。
在微积分中，不定积分是一个常见且重要的概念。
不定积分，也称为反导数，是求解函数的导函数的逆运算。
不定积分的计算方法有很多种，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
下面将介绍这些不定积分计算方法的基本原理和应用。
一、基本积分公式基本积分公式是不定积分计算的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等的积分公式。
1. 常数函数的积分常数函数的积分公式非常简单，即常数函数的不定积分等于该常数乘以自变量。
例如，对于函数f(x)=5，其不定积分为∫f(x)dx=5x+C，其中C为常数。
2. 幂函数的积分幂函数是指以自变量为底的指数函数。
对于幂函数f(x)=x^n（n≠-1），其中n为实常数，其不定积分的计算公式为：∫f(x)dx= （1/(n+1)）*x^(n+1) + C其中，C为常数。
3. 指数函数的积分指数函数的积分也是一种常见的不定积分计算。
对于指数函数f(x)=e^x，其中e为自然对数的底数，其不定积分的计算公式为：∫f(x)dx=e^x+C其中，C为常数。
4. 三角函数的积分三角函数的不定积分计算也是微积分中的重要内容。
对于一些常见的三角函数，如sin(x)、cos(x)、tan(x)，它们的不定积分计算公式如下：∫sin(x)dx=-cos(x)+C∫cos(x)dx=sin(x)+C∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C其中，C为常数。
二、换元积分法换元积分法，也称为代入法，是一种常用的不定积分计算方法。
它通过代入一个新的变量，将原积分转化为一个更容易求解的形式。
换元积分法的基本思想是，根据函数的链式法则，进行变量代换。
首先，选择一个新的变量，然后确定该变量与原变量之间的关系，最后将原积分式子中的变量全部换成新的变量。
举例来说，当我们需要计算∫(2x+1)^2dx时，我们可以使用换元积分法。
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式1.加法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，则它们的和函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx + C2.减法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，则它们的差函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) - g(x)]dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx + C3.乘法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，则它们的乘积函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) * g(x)]dx ≠ ∫f(x)dx * ∫g(x)dx乘法的不定积分不能直接用乘法法则，而是需要通过换元法、分部积分等方法来计算。
4.除法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，且g(x)不等于0，则它们的商函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) / g(x)]dx ≠ ∫f(x)dx / ∫g(x)dx除法的不定积分也不能直接用除法法则，而是需要通过换元法、分部积分等方法来计算。
此外，还有一些辅助的运算公式可以用于简化不定积分的计算：5.常数倍公式：如果k为常数，则有：∫k * f(x)dx = k * ∫f(x)dx + C6.积分换元公式：设y=g(x)是函数g的一个可导函数，而f是g的一个原函数，则有：∫f(g(x)) * g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F表示函数f的一个原函数。
7.分部积分公式：设函数u(x)和v(x)在区间上连续且可导，则有如下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx + C以上是不定积分的四则运算公式及其辅助公式。
在实际计算中，根据具体的函数表达式，可以灵活运用这些公式来简化不定积分的计算。
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
•复习1原函数的定艾。
2不定枳分的定艾。
3不定枳分的性质。
4不定枳分的几何意义。
•引入在不定枳分的定义、It质以及基本处直的基础上，我们进一步来讨论不定枳分的计偉冋趣，不定枳分的it算方法主耍有三种：有接枳分法、换元枳分法和分部枳分法。
・ »g»a第二节不定枳分的基本公式和运算頁接枳分法-基本枳分公式由干求不定枳分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式《］应地可以得到枳分的基2(secx/= secxtanx d(secx) = secAtairxz/v J sec x tan xdx = secx + C3(-csc.r^cscACOtx d(-cscx)=cscxcotxrfr ^cscxcotxdx = -cscx + C4 (arctan x)r = —1 + .Ld(arctan x) = —1 + x?Zv [ —dx = arc tan.v + C5 (arcsin xY =,丨= d( arcsin A*)=―.=■2 x/l+ .V2l.\ f 严1 .. dx = arcs in x +CJ vr+x2以上十五个公述是求不定枳分的U t t,恋须熟记，不仅要记右端的结果，连要熟悉左端被枳函数的的形式。
求因数的不定枳分的方法叫枳分法。
(2 ) j xjxdx此例表明，对某些分式或根式函数求不定枳分时，可先把它们化力x"的形氏，然后应用显函数的枳分公式求枳分。
二不定枳分的基本运算法则a«i两个因数代数和的枳分，等干各因数枳分的代数和，即J [/W 土g(x)肚=J/(A>/A± j g(x\LxSi 1对于有限多个函数的和也成立的.违则2被枳因数中不为零的常数因子可提到枳分号外，即J kf(x\l.x = kj* f(x\lx( " 0 )M 2 求J (2x' 4-1-e x }dx解J(2x3+\—e x)dx =21x3dx + jdx-j e x dx二—X” + x — 0' + C o例1 •求下列不定枳分.(1)ii貝中毎一項的不定枳分虽然都应当有一个枳分常数，但是逹里并不需要在毎一頂后面则上一个枳分常数，因为代意常釵之利if是任意常数，所以迪里只把它的和C写在末尾，以后仿此。
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法-推荐下载
函数的的形式。
求函数的不定积分的方法叫积分法。
1.求下列不定积分.（1）
例
解：（1）
（2）
x
1 x 2 dx ＝
xdx ＝
3
x 2 dx
1 x2
dx
x2dx x21 C 1 C
5
2
x
2 1
5 2
C
（2） x xdx
x
此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为 x 的形式，然后应用幂函
数的积分公式求积分。
二 不定积分的基本运算法则
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
不定积分-(公式大全)
所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x旳原函数。
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上旳一种原函数，
C是一种任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上旳原函数 ⑵ f(x)该在区间I上旳全体原函数能够表达
为F(x)＋C 证明：
＝
1
2 xsin2x＋
1
2 cos2x＋C
2
4
有时，用分部积分法求不定积分需要连续使
用几次分部积分公式才能够求出成果。
例5：求∫x2e-2xdx
解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，则v(x)＝ 1 e2x
2
于是
x2e2xdx 1 x2e2x 2x( 1 e2x )dx
2
2
1 x2e2x xe2xdx 1 x2e2x ( 1 xe2x 1 e2xdx)
则原式为∫u(x)·v'(x)dx旳形式
∵(ex)'＝ex ∴v(x)＝ex，
由分部积分公式有
∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C
例2 求∫xcos2xdx
解：令 u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，则v(x)＝ 1 sin2x
于是∫xcos2xdx＝
1
xsin2x－
1
2 ∫sin2xdx
2
2
2
2
1 x2e2x 1 xe2x 1 e2x C
2
2
4
由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数旳
次数能够降低一次。假如所得到旳积分式还需要用分
部积分法解，那么，能够再用分部积分公式做下去。
为了简化运算过程，下面简介:
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包权
人书友圈7.三端同步
f (x)dx g(x)dx
f (x) g(x). 法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即
f1(x) f2(x) fn(x)dx f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx.
法则 2 被积函数中的不为零的常数因子可以 提到积分号前面，即
kf (x)dx k f (x)dx (k 为不等于零的常数)
当 x < 0 时，因为ln( x) 1 (1) 1 ,
x
x
所以
1 dx ln(x) C . x
综合以上两种情况，当 x 0 时，得
1 dx ln| x | C . x
例 2 求不定积分.
(1) x 2 xdx ;
(2) 1 dx . x
解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基
5
2 cos x 4 x 2 5
C 2 ) 2
2 5
5
x2
C3
(C1 2C 2 2C 3 )
5
e x 2 cos x 4 x 2 C.
5
其中每一项虽然都应有一个积分常数，但是由于
任意常数之和还是任意常数，所 以 只 需 在 最 后
不定积分的基本公式和直接积分法
不定积分的基本公式和直接积分法不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求一个函数的原函数。
在求解不定积分时，可以使用基本公式和直接积分法。
一、基本公式基本公式是指一些常见函数的不定积分公式，它们是通过求导的反向过程来得到的。
以下是一些常见的基本公式：1. 常数函数的不定积分：∫k dx = kx + C，其中k为常数，C为常数项。
2. x的幂函数的不定积分：∫x^n dx = 1/(n+1) x^(n+1) + C，其中n不等于-13. e^x函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C。
4. 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C，其中x不等于0。
5.三角函数的不定积分：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
- ∫cos(x) dx = sin(x) + C。
- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C。
- ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C。
6.反三角函数的不定积分：- ∫1/√(1-x^2) dx = arcsin(x) + C。
- ∫1/√(1+x^2) dx = arctan(x) + C。
- ∫1/x dx = ln，x， + C。
直接积分法是通过一些变换和方法来求解不定积分。
以下是几种常用的直接积分法：1. 换元法：通过进行变量代换，将不定积分转化为容易求解的形式。
例如，当遇到∫f(g(x))g'(x) dx的形式时，可以令u = g(x)，从而将不定积分转化为∫f(u) du。
2.部分分式法：将一个有理函数拆分为若干个分式的和，并分别对每个分式进行积分。
这通常用于分解分母是多项式的情况。
3. 分部积分法：将复杂函数的积分转化为简单函数的积分。
根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du，选择一个函数作为u，另一个函数作为dv，并计算∫v du。
4. 微分与积分的互换：有时候，我们可以通过对函数进行微分来简化不定积分的求解。
基本积分公式直接积分法资料
1 d x arcsin x C 1 x2
arccos x C
(arc
tanx)
1
1 x
2
1 1 x2
d
x
arctan
x
C
(arc
cot
x)
1
1 x2
arccot x C
3.2.2 直接积分法
由已知函数求出全部原函数的方法称为 积分法．把被积函数（经恒等变形后）直接 运用不定积分的性质和基本积分公式求出不 定积分的方法称为直接积分法．
1 x2
d
x
1 x
C
ax d x 1 ax C
ln a
ex d x exC
1 x
d
x
ln
x
C
(sin x) cosx
cos x d x sin x C
(cosx) sin x sin x d x cos x C
(tan x) 1 sec2 x cos2 x
s ec2 x d x tan x C
C． xf (x)dx x f (x)dx
D． 3 f (x)dx 3 f (x)dx
（2）下列运算正确的是（ D ）．
A．
F(x)dx F(x) C或 dF(x) F(x) C
作业解析：P120 5题
5．求经过点（1，1），且切线斜率为 x 2 的曲线方程．
解：设曲线方程为y f (x),依题意y x2,
所以y x2dx 1 x3 C, 3
又因为曲线过(1,1)点,有1 1 C,所以C 2 ,
1) x2
1
d
x
(x2 1)(x2 1) 1
1 x2
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
•复习1原函数的定义。
2不定积分的定义。
3不定积分的性质。
4不定积分的几何意义。
•引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种:直接积分法、换元积分法和分部积分法。
.朔受瞒第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法-基本积分公式由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基：以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。
求函数的不定积分的方法叫积分法。
例1.求下列不定积分.（1） J （ 2 ） J xQ解：（1）二 E* = #+c = -l + c（2）J Xyfxdx =j x 2 “X = § X 2 + C此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为的形式，然后应用嘉函数的积分公式求积分。
W.二不定积分的基本运算法则法则1两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即J[/U) 土sMV^ = J 了 E ± J gE法则1对于有限多个函数的和也成立的.法则2被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即J kf(x\lx = k^f{x\ix ( " 0 )例2 求J(2/ + i_b)火解J (2x3 +1 - e" )dx = 2 J 工七江 + j dx - J e 'dx= — x4 +x-e x +Co2注其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C写在末尾，以后仿此。
注检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。
如上例由T(-x4+x-e x+ Cy = 2x3+ \-e x ,所以结果是正确的。
2三直接积分法在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式^两个基本性质求出结果(如上例)但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。
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•复习1 原函数的定义。
2 不定积分的定义。
3 不定积分的性质。
4 不定积分的几何意义。
•引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算
问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。
•讲授新课
第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法
一基本积分公式
由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：
以函
数的的形式。
求函数的不定积分的方法叫积分法。
例1•求下列不定积分.（1）
AdX
（ 2） XdX
_ 1
丄+
彳
解：（1 ） . 2
dx
=
x'dx
C=-1C
X
-2 1
X
3
2
5
（2
）.XXdX = χ2
dx =
2
X 2
C J 5
此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为
数的积分公式求积分。
不定积分的基本运算法则
X 〉的形式，然后应用幕函
法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即
[f (X) — g (x)]dx = f (x)dx — g (x)dx
法则1对于有限多个函数的和也成立的.
法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即
kf (x)dx = k f (x)dx ( k = O )
3
X
例 2 求(2x 1 -e )dx
解
(2x 3
1-e" )d )=2 x 3dx + dx - e x dx
1 4 X =X X —e C 。
2
注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，
但是这里并不需要在每一项后面加上
一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和
C 写在末尾，以后仿此。
注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。
如上例 由于(-X 4 ^e X C) = 2X 3 ^e X ,所以结果是正确的。
2
三直接积分法
在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时，被 积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结 果，这样的积分方法叫直接积分法。
例3 求下列不定积分
解：
(1)首先把被积函数^x - I 1
化为和式，然后再逐项积分得
VX
1 √X
(1)J (V Σ+1)( X -^^=)dx
(2)J x 2 dx
)dx
2
1
= x 、XdX 亠 I xdx _ dx — dx
' L L L
√x
2 5 1 1
=x 2 χ2 -x -2x 2 C 。
5 2
注：（ι）求函数的不定积分时积分常数 C 不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。
（2） 等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常
数，所以只要在结果中写一个积分常数
C 即可。
（3） 检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。
若相等，积分
结果是正确的，否则是错误的。
dx
= dx 「2 P x -2arctan X C 。
J χ2 +1
3
-X arctanx C
2 2
解: ( 1) tan XdX= (SeC xT)dx
2
SeC xdx - dx = tan x - x C
(2) sin 2 ；dx
1 - cos X
1
dx = 2 2
上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分, 的恒等变换。
2
X 1^
2
dx= (1_r^)dx X 2 1 X 2
1
上例的解题思路是设法化被积函数为和式,
然后再逐项积分,
是一种重要的解题方法,
须掌握。
练习
x-3x 2 2x 4
X 2
dx ，
2x 2 1
2 2 dx ，
3 x 2(x 2 1)
1 X 2
dx 。
答案
1X 2
-3x 2ln|x|-4
C ,
arcta n
χ-1
c ， X
例4 求下列不定积分.（1）
tan 2
χdx
X
(2
)
s
G dx
1 Sin
不过它实现化和是利用三角式
(2)
X =
2
练习1 cot XdX
答案1 「cot X-X C . 2 X J C
cos dx 3
2
1
(X Sin x) C
2
cos2x I
dx
COSX-S inx
3 Sin X - cosx C
2
例5 设f (sin x)
2
= COS
X，
求f (x) ∙
解：由于f (Sin2x) =cos2x = 1 - sin2x，
所以f (x) =1 -X，故知f (x)是1 - X的原函数，因此
f (X)
2
, X
=(1 - x)dx =X C ∙■ 2
小结基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。
练习求下列不定积分∙
(1) (3)
2
(1「2Sinx )dx (2)(
X
(t 1)2
dt，( 4)
t
-V」
cos X Sin
(9)
答案1
1t 2 )dx
X
(5)(6xχ6)dx，
(6)X，( 7)CSC(CSCX - cot
χ)dx，
(COS- Sin-)2dt，( 10)
2 2
X 2COSX 2ln|X| C，
2
2t ln Itl C，
X
-1X7 C，
ln6 7
一CotX CSCX C，
t 一CoSt C，10 (8)
cos2x I 厂
dx，
Sin X
(tan2χ-1)dx，( 11) e x(3x
√1
2 tan x-cot X C，
2arcsin -3arctaħ C，
3 -x C，
8 -CotX- 2 C，
(3e)x
tan X~2X C , 11 2arcsirκ C。
1 In3 X
2e )d x。
2 -X
小结计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理•然后分项计算.
作业P81:2,3
板书设计。