1.4第四节 条件概率

P Ai | B
i 1
概率所证明的重要结果都适用于条件概率，例如： P（Φ|B）=0
P（A|B）=1−P（A|B） P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)−P(A1A2|B)等等 (3) P（A）与条件概率P（A|B）的关系：
P(A)>P(A|B)， P(A)<P(A|B), P(A)=P(A|B)这三种 关系都有可能成立。后一种情况就是以后讨论的独立性。
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ” 用乘法公式容易求出
b个白球, r个红球
P(W1W2R3R4)
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
2．计算
一般有两种方法： (1)由条件概率定义：P(B|A)=P(AB)/P(A) （在原样本空间中求P(AB)、P(A)）
(2)按古典概型公式： P(B|A)=NAB/NA （在压缩后的样本空间中考虑）
例1：100件产品，其中5件不合格品，5件不合格品中又有
3件是次品，2件废品。在100件中任意抽一件。
b bc
r
rc
b r b r c b r 2c b r 3c
当 c >0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同 色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病 患者，都会增加再传染的概率.
监狱看守通知三个囚犯, 在他们中要随机地选出一个处决 , 而把另外两个释放. 囚犯甲请求看守秘密地告诉他,另外两 个囚犯中谁将获得自由.
条件概率P(A|B)与P(A)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是 随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A 发生的可能性大小.
而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生” 这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.
P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是 两个不同的概念,在数值上一般也不同.
1．定义:
设A，B是两事件，且P(B)>0，称
P( A |
B)
P AB PB
为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.
注 （1）若P(A)>0，同样可定义
P(B
|
A)
PAB PA
（2）条件概率P（•|B）满足概率定义的三条公理，
即 1. 对于每一事件A，有1≥P（A/B）≥0;
2. P（|B）=1
(2) 从频率的稳定性上看：设实验E做了n次，令： nA,nB,nAB分别表示事件A,B及AB在n次试验中发生的 次数，那么nAB/nB表示在B发生的那些结果中，A又出 现的频率，即：已知B发生的条件下，A发生的条件频 率fn(A|B)。 nAB nAB / n f n ( AB)
nB nB / n fn (B)
例2 一次掷10颗色子，已知至少出现了一个1点，求 至少出现两个1点的概率。
解 设A:掷10颗色子，至少出现一个1点，
B:掷10颗色子，至少出现两个1点，
则AB.
由古典概型：源自文库
P( A)
1
P( A)
1
510 610
,
恰出现
于是所求概率为
一个一
P(B | A)
PAB PA
PB PA
1
510 10 59
先介绍样本空间的划分的定义。
定义：设为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事 件，若
（1） BiBj=Φ,ij , i , j =1,2,…,n;
（2） B1∪B2∪…∪Bn=， 则称B1，B2，…,Bn为样本空间的一个划分。
例如，设试验E为“掷一颗骰子观察其点数”。它的样本空 间为={1，2，3，4，5，6}。E的一组事件B1={1，2， 3}，B2={4，5}，B3={6}是的一个划分，而事件组C1={1， 2，3}，C2={3，4}，C3={5，6}不是的划分。
P(A|B1)= P(A|B2)=2/100; P(A|B3)=4/100
且BiBj=Φ,ij , i , j =1,2,3. B1∪B2∪B3=S
1) 由全概率公式 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)
1) 任取一产品是次品的概率P(A);
2) 任取一产品是次品且恰是由甲厂生产的概率P(AB1); 3) 任取一产品发现是次品,问它是由甲厂生产的概率P(B1|A)
解: ={箱中的全部产品}
乙B2
甲B1
A:任取一产品是次品,
丙B3 Bi:取到的产品分别是由甲,乙,丙厂生产的.
由题意: P(B1)=1/2, P(B2)= P(B3)=1/4,
P(A|B )=P(A)／[1-P(B)]=1/2,
甲
P(A|C )=1/2,
看守说得对.
下面建立两个用来计算复杂概率的重要公式：全概率 公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.
综合运用
加法公式
P(AB)=P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式
P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
P(B)=P(Ā1Ā2Ā3)= P(Ā1)P(Ā2|Ā1)P(Ā3|Ā1Ā2) = (1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200
法二，按题意B=A1∪Ā1A2∪Ā1Ā2A3
而A1，Ā1A2，Ā1Ā2A3 是两两互不相容的事件，故有 P(B)=P(A1)+P(Ā1A2)+ P(Ā1Ā2A3)
义计算出来的，但一般地，条件概率如何定义呢？ 通过简单的运算得：P( A | B) N AB / N P( AB) 2
N B / N P(B) 5
上述关系具有普遍意义： (1) 从古典概率看：P( A | B) N AB N AB / N P( AB)
N B N B / N P(B)
求（1）抽得是废品B的概率;
（2）已知抽得的是不合格品A，它是废品
的概率P(B|A)。
解：
(1)
P(B)
C
1 2
C1 100
1 50
2
( 2 ) 法一（定义）
: P(B | A)
P ( AB ) P(B)
100 5
2 5
100
法二（按古典概型）
P ( B | A ) N AB 2 N A 5
2.全概率公式
设试验E的样本空间为，A为E的事件，B1，B2，…Bn 为的一个划分，且P(Bi)>0(i=1,2，…，n)则
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn) 称为全概率公式。
证：因为A=A=A（B1∪B2∪…∪Bn）=AB1∪AB2∪…∪ABn 由假设P(Bi)>0(i=1,2，…，n)，且 (ABi)∩(ABj )=，i≠j，于是 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn) =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)
第四节 条件概率
一、条件概率的定义
直观上，用来表示在事件A发生的条件下，事件B 发生的可能性大小的数，称为在事件A发生的条件下 事件B发生的条件概率。记为P(B|A).
例 设有100件的某一批产品，其中有5件不合格品，而
5件不合格品中又有3件是次品，2件是废品。现任意在 100件产品中抽取一件，求 1）抽得的是废品的概率； 2）已知抽得的是不合格品,它是废品的概率。
610
610
1
510 610
点
610 3 510 610 510
.
二、关于条件概率的三个定理
1.乘法公式
由条件概率定义，若P(B)>0，则P(AB)=P(A|B)P(B) 若P(A)>0,则 P(AB)=P(B|A)P(A)
上述公式可推广到任意有穷多个事件时的情形，例如， 设A，B，C为事件，且P(AB)>0，则
例 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活 到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活 到25岁以上的概率是多少？
解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求为P(B|A) .
依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P(B | A) P( AB) P(B) 0.4 0.5 P( A) P( A) 0.8
在利用条件概率求无条件P时，条件P往往用古典概型计算。
例2. 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破
的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打 破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下 打破的概率为9/10，试求透镜落下三次而未打破的概 率。 解：Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”， 以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”。 因为B=Ā1Ā2Ā3 ，故有
P(B ) 1 7 27 197 P(B) 1 197 3
2 20 200 200
200 200
（波里亚罐子模型）
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一 个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出 的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次，试求第一、 二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.
P(ABC)= P(A)P(B|A)P(C|AB) 这里，注意到由假设P(AB)>0可推得P(A)≥P(AB)>0. 一般，设A1,A2,…,An为n个事件，n≥2,且P(A1A2…An-1)>0，则 有: P(A1A2…An )= P(A1)•P(A2|A1)… •P(An-1|A1A2…An-2)•P(An|A1A2…An-1)
解：令A表示“抽得的是废品”这一事件，B表示“抽得
的是不合格品”这一事件按古典概率计算易得：
P( A)
C
1 2
C1 100
1 50
P( A | B) N AB 2 N B 5
这好象给了我们一个 “情报”，使我们得以在 某个缩小了的范围内来考 虑问题.
由此看到P（A）≠ P（A|B）
本例中条件概率P（A|B）是根据条件概率的直观意
全概率公式的来由, 不难由上式看出:
“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随 着某个Bi出现，适当地去构造这一组Bi往往可以 简化计算.
例 一箱同类型的产品,由三家工厂生产,其中1/2由甲厂生产, 乙丙厂各生产1/4,又甲乙厂生产的产品均有2%的次品率, 丙厂有4%的次品率,求
例1.盒中5个白球，2个黑球，连续不放回地取3次球，求第
一、二次取得白球且第三次才取得黑球的概率。
解：设Ai表示第 i 次取到黑球
P A1 A2 A3 P A1 P A2 | A1 P A3 | A1 A2
565545542 4 7 6 5 5 6 5 5 4 5 21
丙乙 甲
因为我已经知道他们两人中至少 有一人要获得自由，所以你泄露 这点消息是无妨的.
如果你知道了你的同伙中谁将获释，那 么，你自己被处决的概率就由1/3增加到 1/2,因为你就成了剩下的两个囚犯中的一 个了.
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
NO！
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决} C={囚犯丙被处决} 依题意，P(A)=1/3,
如果n足够大， fn(AB)接近P(AB),fn(B)接近P(B),则 nAB/nB接近P(A|B),因此，在统计概率中上式亦成立。
(3) 从直观上看：
B AB A
S
若事件B已发生, 则为使 A 也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必 属于AB. 由于我们已经知道B已 发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有公式.
已知
:
P( A1 )
1 2
,
P( A2
|
A1 )
7 10
,
P( A3
|
A1 A2 )
9 10
,
P( A1 A2 )
P( A2
|
A1 )
P( A1 )
7 10
1
1 2
7 20
P( A1 A2 A3 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) 9 1 7 1 1 27 10 10 2 200
3. 设A1，A2……两两不相容，则有
P
i 1
Ai
B
i 1
P
Ai
B
P
i 1
Ai
B
P
(
i 1
Ai
)B
P(B)
(条件概率定义 )
P
（
i 1
Ai
B）
P(B)
PAi B
(运算法则 ) i1 P(B)
( Ai B, A j B互不相容 )
P Ai B
i1 P(B)