《可视化计算》第3章基本算法和策略(A)
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递归过程
一般来说，递归需要有边界条件、递归前 进段和递归返回段
当边界条件不满足时，递归前进； 当边界条件满足时，递归返回
一般递归过程需要通过函数或子程序传递 参数
而RAPTOR中要实现子程序的参数调用，必须使 用其所谓的“中级模式（Intermediate mode） ”
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汉诺塔
有A、B、C三根柱子。A柱子上按从小到大 的顺序堆放了N个盘子，要把所有的盘子从 A柱移动到C柱，移动过程中如下要求：
一次只能移动一个盘子； 不允许把大盘放在小盘上面； 盘子只能放在三根柱子上
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需要考虑以下因素：
如何保存密码表？可以考虑使用字符串A[]，因 为在RAPTOR中，字符串的访问方式与一维数组 完全一样； 加密替换算法，将明文中的字符逐个取出，使 用to_ascii()就可以得到替换密文所需的字符； 解密替换算法，是加密算法的逆运算，需要用 到to_character()函数 为简便起见，测试算法中建议全部输入大写字 母，取消所有单词之间的空格
递归
在数学和计算机科学中，递归是指由一种 （或多种）简单的基线条件(Base case)定义 的一类对象或方法，并规定其他所有情况 都能被还原为其基线条件 具体表现为：一个函数在其定义或说明中 有直接或间接调用自身：
把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问 题相似的规模较小的问题来求解 递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程
递推问题求解
由题意可以得到下表：
分析后可知，猴子吃桃问题递推关系为：
Sn=1 （当n=10时） Sn =2×（Sn+1+1）（当1≤n＜10时）
在此基础上，以第10天的桃数作为基数， 用以上归纳出来的递推关系设计出一个循 环过程，将第1天的桃数推算出来
15 http://xqcheng.gr.xjtu.edu.cn
小猴子摘桃若干，立即吃了一半 还觉得不过瘾，又多吃了一个；
第二天接着吃剩下桃子的一半，仍 觉得不过瘾又多吃了一个，以后小 猴子都是吃剩下的桃子一半多一个 ； 到第10天小猴子再去吃桃子的时候 ，看到只剩下一个桃子； 则小猴子第一天共摘了多少桃子？
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分段函数求解中的问题
最常见的错误的是将函数的数学表达式直 接搬到算法中，例如：“0<=x<=100”； 函数定义中，没有定义x<0，也就是输入为 负数的时候，如何处理。当然，可以实验 一下，当x取负值时结果如何？ 这个算法没有设计输入和规范的输出界面 ，例如输入的提示，输出内容的量纲等
11
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字符和字符串运算
字符和字符串运算在算法中的用途有：
在输入输出界面中的应用，如在输出过程中将 计算结果与量纲结合在一起； 在信息安全中的应用，如信息的加密与解密； 对用户对特定应用的输入的字符串，进行模式 正确性的判断（如电子邮件地址需包含“@” 符号）等
21
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模运算
在算法应用中，有一类计算与模运算（求 除法之余数）有关，例如：
一个星期的模为7天 一天的模是24小时或1440分钟 一年的模是12个月（也可以是365或366天）
而模运算在数字比较和诸多计算案例中有 应用
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求100~1000范围内的平方回数
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汉诺塔递归main子图
33
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汉诺塔递归子程序
34
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斐波那契(Fibonacci)数列
一些问题本身是递归定义的，但它并不适 合用递归算法来求解 如斐波那契(Fibonacci)数列，它的递归定义 为：斐波那契数列为：0、1、1、2、3、 ……，即：
6 http://xqcheng.gr.xjtu.edu.cn
求解流程图
如果需要解决 的问题规模不 大 用蛮力法设计 的算法其速度 是可以接受的
7
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分段函数
收费问题与我们的生活息息相关，如水费 问题、电费问题、话费问题等 这些收费问题往往根据不同的用量，采用 不同的收费方式 以收费为题材的数学问题多以分段函数的 形式出现
所谓平方回数，是指某个数，既是一个回 文数，又是一个平方数， 例如：121是回文数，又是11的平方
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模运算求解分析
一个100以上的平方数，必须从平方根大于 等于10的数字开始计算，而1000可以作为 搜索循环的控制变量
但是，如何求出回文数？
第3章 基本算法和策略 PART A
《可视化计算》
学习目标
什么是基本算法？ 哪些算法在计算问题求解中最为常用？ 算法与算法策略有何区别？ 哪些基本的算法策略在各种算法解决方案 中被普遍采用?
2
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基本算法
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替换加密
Ａ[]保存明文 Key[]保存密码表 B[]保存密文 解密算法，自行 设计
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替换加密的运行结果
28
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23
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ＡＳＣＩＩ码的分类
字母（a~b，A~B）； 数字（0~9）； 标点符号
(，.’”;：+-*/()[]{}@!#$%^&_=|?~`)
空格（space） 其他控制符号（例如，ＣＲ，ＬＦ）
具体符号的编码值参见ＡＳＣＩＩ码表
可递推求解的问题特点
该类题目一般有以下二个特点：
问题可以划分成多个状态； 除初始状态外，其它各个状态都可以用固定的 递推关系式来表示
在实际解题中，该类题目一般不会直接给 出递推关系式，而是需要通过分析各种状 态，找出递推关系式
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猴子吃桃问题
递推法
递推法是利用问题本身所具有的一种递推 关系求解问题的一种方法
Fra Baidu bibliotek
所谓递推，是指从已知的初始条件出发，依据 某种递推关系，逐次推出所要求的各中间结果 及最后结果 其中初始条件或是问题本身已经给定，或是通 过对问题的分析与化简后确定
12
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递推流程图
为了加强交互性，增加了 交互界面，可以输入不同 的天数进行递推 算法使用了两个变量，一 个用于递推的循环控制， 另一个保存递推得到的结 果 注意主要的循环控制变量 是递减的，与题意设计完 全相同，便于理解。 算法中加入了输入数据的 正确性控制，也就是不可 以输入0和负数
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8
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阶梯电价问题
为鼓励节约用电，某市开始采取按月用电 量分段收费办法，某户居民每月应交电费y （元）与用电量x（度）的函数如下：
请设计上述电费的收费算法。
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阶梯电价流程图
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fib(0)=0; fib(1)=1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)
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（当n>1时）
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斐波那契数列的递归求解
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递归的辨识
斐波那契递归实现，调用一次产生二个新 的递归，调用次数呈指数增长，时间复杂 度为O（2n）。
这种使用递归的方式，被称为“天真的递归（ Naive recursion）”。
而使用递推算法求斐波那契数列，时间复 杂度只是为O（n）
37
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递归算法常用于解决三类问题
(1)数据的定义是按递归定义的 (2)问题解法按递归算法实现 (3)数据的结构形式是按递归定义的 典型的递归算法(带参数传递实现)的运行效 率较低
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替换加密
试用以下替换码表，实现通信过程的加密 明码表
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
密码表
QWERTYUIOPASDFGHJKLZXCVBNM
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替换密码求解
汉诺塔递归求解
N个盘子的移动过程分作3大步：
把A柱上面的N-1个盘子移动到B柱； 把A柱上剩下的一个盘子移动到C柱； 把B柱上面的N-1个盘子移动到C柱；
其中N-1个盘子的移动过程又可按同样的方 法分为三大步，这样就把移动过程转化为 一个递归的过程，直到最后只剩下一个盘 子，按照移动一个盘子的方法移动，递归 结束
RAPTOR的字符串与字符
字符串变量可以用 过输入语句和赋值 语句访问 字符变量用 to_character()函数 和通过字符串访问 得到 两种类型的变量不 可以进行比较
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RAPTOR的字符计算
to_character()函数可以把一个数字传换成 ASCII码字符； 逆运算函数to_ascii()，将一个字符串中的某 个字符取出，转换成为数字，以便进行编 码的比较 有了to_ascii() ，就可以进行字符性质的判 断（大写、小写、标点、符号、空格等）
由于是在三位数中求回文数，也就是要求 个位与百位上相等
这个时候，模（在RAPTOR中模运算符：mod） 运算就可以派上用场
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求平方回数流程图
请思考一下，这 个算法还使用了 其他什么算法思 想？
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蛮力法求解
三种鸡的个数为穷举对象
分别设为x，y，z
以三种鸡的总数（x+y+z）和买鸡用去的钱 的总数(x*5+y*3+z/3)为判定条件，穷举各 种鸡的个数 由于三种鸡的和是固定的，只要穷举二种 鸡（x，y），第三种鸡就可以根据约束条件 求得（z=100-x-y），这样就缩小了穷举范 围
在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点 、局部变量等开辟了栈来存储 递归次数过多容易造成栈溢出等问题
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RAPTOR与递归
RAPTOR不支持全局变量（子图和子程序皆 可访问的公共变量），如果所有算法参数 要靠子程序参数传递，是极为不现实 理论上而言，所有递归算法都可以用非递 归算法来实现 递归的应用：
蛮力法 分段函数 递推法 模运算 字符和字符串运算 递归 组合计算 迭代法
3 http://xqcheng.gr.xjtu.edu.cn
蛮力法
计算机问题求解的第一号方法被称为蛮力 法(Brute Force) ，也称穷举法 采用蛮力算法解题的基本思路：
确定穷举对象、穷举范围和判定条件； 一一穷举可能的解，验证是否是问题的解
在蛮力算法中，穷举对象的选择也是非常 重要的，它直接影响着算法的时间复杂度 ，选择适当的穷举对象可以获得更高的效 率
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百钱买百鸡问题
某个人有一百块钱，打算买一百只鸡。到 市场上一看，公鸡五块钱一只，母鸡三块 钱一只，小鸡一块钱三只。现在，请编一 个算法，算出如何能刚好用一百块钱买一 百只鸡?
递归过程
一般来说，递归需要有边界条件、递归前 进段和递归返回段
当边界条件不满足时，递归前进； 当边界条件满足时，递归返回
一般递归过程需要通过函数或子程序传递 参数
而RAPTOR中要实现子程序的参数调用，必须使 用其所谓的“中级模式（Intermediate mode） ”
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汉诺塔
有A、B、C三根柱子。A柱子上按从小到大 的顺序堆放了N个盘子，要把所有的盘子从 A柱移动到C柱，移动过程中如下要求：
一次只能移动一个盘子； 不允许把大盘放在小盘上面； 盘子只能放在三根柱子上
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需要考虑以下因素：
如何保存密码表？可以考虑使用字符串A[]，因 为在RAPTOR中，字符串的访问方式与一维数组 完全一样； 加密替换算法，将明文中的字符逐个取出，使 用to_ascii()就可以得到替换密文所需的字符； 解密替换算法，是加密算法的逆运算，需要用 到to_character()函数 为简便起见，测试算法中建议全部输入大写字 母，取消所有单词之间的空格
递归
在数学和计算机科学中，递归是指由一种 （或多种）简单的基线条件(Base case)定义 的一类对象或方法，并规定其他所有情况 都能被还原为其基线条件 具体表现为：一个函数在其定义或说明中 有直接或间接调用自身：
把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问 题相似的规模较小的问题来求解 递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程
递推问题求解
由题意可以得到下表：
分析后可知，猴子吃桃问题递推关系为：
Sn=1 （当n=10时） Sn =2×（Sn+1+1）（当1≤n＜10时）
在此基础上，以第10天的桃数作为基数， 用以上归纳出来的递推关系设计出一个循 环过程，将第1天的桃数推算出来
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小猴子摘桃若干，立即吃了一半 还觉得不过瘾，又多吃了一个；
第二天接着吃剩下桃子的一半，仍 觉得不过瘾又多吃了一个，以后小 猴子都是吃剩下的桃子一半多一个 ； 到第10天小猴子再去吃桃子的时候 ，看到只剩下一个桃子； 则小猴子第一天共摘了多少桃子？
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分段函数求解中的问题
最常见的错误的是将函数的数学表达式直 接搬到算法中，例如：“0<=x<=100”； 函数定义中，没有定义x<0，也就是输入为 负数的时候，如何处理。当然，可以实验 一下，当x取负值时结果如何？ 这个算法没有设计输入和规范的输出界面 ，例如输入的提示，输出内容的量纲等
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字符和字符串运算
字符和字符串运算在算法中的用途有：
在输入输出界面中的应用，如在输出过程中将 计算结果与量纲结合在一起； 在信息安全中的应用，如信息的加密与解密； 对用户对特定应用的输入的字符串，进行模式 正确性的判断（如电子邮件地址需包含“@” 符号）等
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模运算
在算法应用中，有一类计算与模运算（求 除法之余数）有关，例如：
一个星期的模为7天 一天的模是24小时或1440分钟 一年的模是12个月（也可以是365或366天）
而模运算在数字比较和诸多计算案例中有 应用
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求100~1000范围内的平方回数
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汉诺塔递归main子图
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汉诺塔递归子程序
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斐波那契(Fibonacci)数列
一些问题本身是递归定义的，但它并不适 合用递归算法来求解 如斐波那契(Fibonacci)数列，它的递归定义 为：斐波那契数列为：0、1、1、2、3、 ……，即：
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求解流程图
如果需要解决 的问题规模不 大 用蛮力法设计 的算法其速度 是可以接受的
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分段函数
收费问题与我们的生活息息相关，如水费 问题、电费问题、话费问题等 这些收费问题往往根据不同的用量，采用 不同的收费方式 以收费为题材的数学问题多以分段函数的 形式出现
所谓平方回数，是指某个数，既是一个回 文数，又是一个平方数， 例如：121是回文数，又是11的平方
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模运算求解分析
一个100以上的平方数，必须从平方根大于 等于10的数字开始计算，而1000可以作为 搜索循环的控制变量
但是，如何求出回文数？
第3章 基本算法和策略 PART A
《可视化计算》
学习目标
什么是基本算法？ 哪些算法在计算问题求解中最为常用？ 算法与算法策略有何区别？ 哪些基本的算法策略在各种算法解决方案 中被普遍采用?
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基本算法
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替换加密
Ａ[]保存明文 Key[]保存密码表 B[]保存密文 解密算法，自行 设计
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替换加密的运行结果
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ＡＳＣＩＩ码的分类
字母（a~b，A~B）； 数字（0~9）； 标点符号
(，.’”;：+-*/()[]{}@!#$%^&_=|?~`)
空格（space） 其他控制符号（例如，ＣＲ，ＬＦ）
具体符号的编码值参见ＡＳＣＩＩ码表
可递推求解的问题特点
该类题目一般有以下二个特点：
问题可以划分成多个状态； 除初始状态外，其它各个状态都可以用固定的 递推关系式来表示
在实际解题中，该类题目一般不会直接给 出递推关系式，而是需要通过分析各种状 态，找出递推关系式
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猴子吃桃问题
递推法
递推法是利用问题本身所具有的一种递推 关系求解问题的一种方法
Fra Baidu bibliotek
所谓递推，是指从已知的初始条件出发，依据 某种递推关系，逐次推出所要求的各中间结果 及最后结果 其中初始条件或是问题本身已经给定，或是通 过对问题的分析与化简后确定
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递推流程图
为了加强交互性，增加了 交互界面，可以输入不同 的天数进行递推 算法使用了两个变量，一 个用于递推的循环控制， 另一个保存递推得到的结 果 注意主要的循环控制变量 是递减的，与题意设计完 全相同，便于理解。 算法中加入了输入数据的 正确性控制，也就是不可 以输入0和负数
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阶梯电价问题
为鼓励节约用电，某市开始采取按月用电 量分段收费办法，某户居民每月应交电费y （元）与用电量x（度）的函数如下：
请设计上述电费的收费算法。
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阶梯电价流程图
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fib(0)=0; fib(1)=1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)
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（当n>1时）
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斐波那契数列的递归求解
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递归的辨识
斐波那契递归实现，调用一次产生二个新 的递归，调用次数呈指数增长，时间复杂 度为O（2n）。
这种使用递归的方式，被称为“天真的递归（ Naive recursion）”。
而使用递推算法求斐波那契数列，时间复 杂度只是为O（n）
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递归算法常用于解决三类问题
(1)数据的定义是按递归定义的 (2)问题解法按递归算法实现 (3)数据的结构形式是按递归定义的 典型的递归算法(带参数传递实现)的运行效 率较低
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替换加密
试用以下替换码表，实现通信过程的加密 明码表
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
密码表
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替换密码求解
汉诺塔递归求解
N个盘子的移动过程分作3大步：
把A柱上面的N-1个盘子移动到B柱； 把A柱上剩下的一个盘子移动到C柱； 把B柱上面的N-1个盘子移动到C柱；
其中N-1个盘子的移动过程又可按同样的方 法分为三大步，这样就把移动过程转化为 一个递归的过程，直到最后只剩下一个盘 子，按照移动一个盘子的方法移动，递归 结束
RAPTOR的字符串与字符
字符串变量可以用 过输入语句和赋值 语句访问 字符变量用 to_character()函数 和通过字符串访问 得到 两种类型的变量不 可以进行比较
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RAPTOR的字符计算
to_character()函数可以把一个数字传换成 ASCII码字符； 逆运算函数to_ascii()，将一个字符串中的某 个字符取出，转换成为数字，以便进行编 码的比较 有了to_ascii() ，就可以进行字符性质的判 断（大写、小写、标点、符号、空格等）
由于是在三位数中求回文数，也就是要求 个位与百位上相等
这个时候，模（在RAPTOR中模运算符：mod） 运算就可以派上用场
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求平方回数流程图
请思考一下，这 个算法还使用了 其他什么算法思 想？
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蛮力法求解
三种鸡的个数为穷举对象
分别设为x，y，z
以三种鸡的总数（x+y+z）和买鸡用去的钱 的总数(x*5+y*3+z/3)为判定条件，穷举各 种鸡的个数 由于三种鸡的和是固定的，只要穷举二种 鸡（x，y），第三种鸡就可以根据约束条件 求得（z=100-x-y），这样就缩小了穷举范 围
在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点 、局部变量等开辟了栈来存储 递归次数过多容易造成栈溢出等问题
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RAPTOR与递归
RAPTOR不支持全局变量（子图和子程序皆 可访问的公共变量），如果所有算法参数 要靠子程序参数传递，是极为不现实 理论上而言，所有递归算法都可以用非递 归算法来实现 递归的应用：
蛮力法 分段函数 递推法 模运算 字符和字符串运算 递归 组合计算 迭代法
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蛮力法
计算机问题求解的第一号方法被称为蛮力 法(Brute Force) ，也称穷举法 采用蛮力算法解题的基本思路：
确定穷举对象、穷举范围和判定条件； 一一穷举可能的解，验证是否是问题的解
在蛮力算法中，穷举对象的选择也是非常 重要的，它直接影响着算法的时间复杂度 ，选择适当的穷举对象可以获得更高的效 率
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百钱买百鸡问题
某个人有一百块钱，打算买一百只鸡。到 市场上一看，公鸡五块钱一只，母鸡三块 钱一只，小鸡一块钱三只。现在，请编一 个算法，算出如何能刚好用一百块钱买一 百只鸡?