直三棱柱
直三棱柱体积的推导公式
直三棱柱体积的推导公式好的，以下是为您生成的文章：咱今天来聊聊直三棱柱体积的推导公式，这可是数学里一个挺有意思的小角落。
我记得有一次，我去朋友家做客，他家小孩正在为数学作业发愁，其中就有关于直三棱柱体积的问题。
那孩子苦着脸，抓耳挠腮的样子，真让人觉得又好笑又心疼。
咱们先来说说啥是直三棱柱。
直三棱柱呢，就像是一个被切得直直的三棱柱体，上下底面都是三角形，而且侧面和底面垂直。
要推导直三棱柱的体积公式，咱们可以从熟悉的长方体体积开始。
长方体的体积等于长乘宽乘高，这大家都知道。
那直三棱柱和长方体有啥关系呢？咱想象一下，把一个直三棱柱补成一个长方体。
比如说有一个直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是 a 和 b，高是 h。
那咱们把它补成一个以底面直角三角形的斜边为一条棱的长方体。
这时候，你会发现，这个长方体的体积是底面积乘以高，也就是 a×b×h。
但是呢，这个直三棱柱的体积只是这个长方体体积的一半。
为啥呢？因为直三棱柱占了长方体体积的一半呀。
所以直三棱柱的体积就是1/2×a×b×h。
如果底面三角形的面积是 S，高是 h，那直三棱柱的体积 V 就等于S×h。
再举个例子，假如有一个直三棱柱，底面三角形的面积是 10 平方厘米，高是 5 厘米，那它的体积就是 10×5 = 50 立方厘米。
这就好比我们盖房子，知道了房子的底面积和高度，就能算出它能容纳多少东西，直三棱柱的体积也是这么个道理。
回到开头说的那个孩子，我给他这么一讲，他恍然大悟，眼睛都亮了，那种解决难题后的喜悦，真让人感到欣慰。
总之，直三棱柱体积的推导公式其实并不难，只要我们找对方法，多想想，多动手比划比划，就能轻松掌握。
希望大家以后遇到直三棱柱体积的问题，都能轻松搞定，不再头疼！。
认识直棱柱 PPT课件 2 浙教版
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54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。
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55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。
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56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。
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57、理想的路总是为有信心的人预备着。
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58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。
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59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。
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60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。
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74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。
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75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。
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Байду номын сангаас
76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。
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77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。
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78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。
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79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。
例2：观察各直棱柱，然后填表：
直三棱柱 直四棱柱
面数
直三棱柱
5
直四棱柱
6
直五棱柱
7
直六棱柱
8
直n棱柱
n+2
直五棱柱 直六棱柱
棱数 9 12
顶点数 6 8
15
10
18
12
3n
2n
像这样，由若干个平面围成的几何体叫做多面体.
多面体上相邻两个面之间的交线叫做多面 体的棱，几个面的公共顶点叫做多面体的顶点.
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10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。
直三棱柱性质是怎样的_公式有什么
直三棱柱性质是怎样的_公式有什么直三棱柱性质是怎样的直三棱柱是很特殊的棱柱，正因为特殊所以是数学上性质比较好研究的。
类似于正方形是最特殊的四边形一样。
直三棱柱是空间数学里面常见的三维体。
首先各个侧面的高相等，底面是三角形，上表面和下表面平行且全等。
其次所有的侧棱相等且相互平行且垂直于两底面的棱柱。
上下表面三角形可以是任意三角形，正三棱柱是直三棱柱的特殊情况，即上下面是正三角形。
它也有一般三棱柱有5个面、9个边和6个顶点的特点。
不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
最后横截面积和长度一定时，三棱柱状物体纵向支持力最大，横向承受力最小。
直三棱柱的公式有什么直三棱柱的体积公式=底面积__高直三棱柱是各个侧面的高相等，底面是直角三角形，上表面和下表面平行且全等，所有的侧棱相等且相互平行且垂直于两底面的棱柱。
三棱柱也可以视为三面体截去2个顶点，故又称截角三面体，另外，因为正三棱柱具有对称性，且由2种正多边形组成，因此有人称正三棱柱为半正五面体。
直三棱柱的表面积公式=2S底+3S侧面积。
直棱柱和正棱柱区别1、直棱柱每条侧棱垂直底面，2、正棱柱比直棱柱的要求高：3、正棱柱的底面是正多边形;4、正棱柱侧面的每个面全等;5、正棱柱一定是直棱柱，而直棱柱不一定是正棱锥。
长方体如果有两个相对的面为正方形的话就是正棱柱，否则是直棱柱，正方体是正棱柱。
棱柱与圆柱的相同点与不同点相同点：都是由一个平面图形,沿着不和这个平面平行的一条直线拉伸后得到的图形。
底面与侧面的形状不同;不同点：圆柱底面是圆形,棱柱的底面是多边形;圆柱的侧面是曲面,棱柱的侧面是由多个四边形组成的;圆柱是由一个圆形,沿着不和这个圆平行的一条直线拉伸后得到的图形是圆柱体;棱柱是由一个多边形形,沿着不和这个平面平行的一条直线拉伸后得到的图形是棱柱体。
棱柱：棱柱是几何学中的一种常见的三维多面体，指上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体。
若棱柱的底面为n边形，那么该棱柱便称为n-棱柱。
2023年高考数学----立体几何解答题常考全归类真题练习题(含答案解析)
2023年高考数学----立体几何解答题常考全归类真题练习题（含答案解析）1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C -中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值； (3)求平面1ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面111A B C ，且AC AB ⊥，则1111AC A B ⊥以点1A 为坐标原点，1A A 、11A B 、11AC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()2,2,0B 、()2,0,2C 、()10,0,0A 、()10,0,2B 、()10,0,2C 、()0,1,0D 、()1,0,0E 、11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭，则10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 易知平面ABC 的一个法向量为()1,0,0m =，则0EF m ⋅=，故EF m ⊥，EF ⊄平面ABC ，故//EF 平面ABC .（2）()12,0,0C C =，()10,1,2C D =−，()1,2,0EB =，设平面1CC D 的法向量为()111,,u x y z =，则111112020u C C x u C D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=−=⎪⎩，取12y =，可得()0,2,1u =，4cos ,5EB u EB u EB u⋅<>==⋅. 因此，直线BE 与平面1CC D 夹角的正弦值为45.（3）()12,0,2AC =，()10,1,0A D =， 设平面1ACD 的法向量为()222,,v x y z =，则122122200v AC x z v A D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取21x =，可得()1,0,1v =−，则1cos ,5u v u v u v⋅<>==−=⨯⋅因此，平面1ACD 与平面1CC D 2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．【解析】（1）因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥； 在ABD △和CBD △中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又因为E 为AC的中点，所以AC BE ⊥； 又因为,DE BE ⊂平面BED ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BED ，因为AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ， 所以AC EF ⊥，所以1=2AFC S AC EF ⋅△， 当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小. 因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ==， 又因为60ACB ∠=︒，所以ABC 是等边三角形， 因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，BE 因为AD CD ⊥，所以112DE AC ==, 在DEB 中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz −，则()()()1,0,0,,0,0,1A B D ，所以()()1,0,1,AD AB =−=−， 设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AD x z n AB x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，取y =()3,3,3n =， 又因为()31,0,0,4C F ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，所以31,4CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos ,21n CF n CF n CF⋅===设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，所以4sin cos ,7nCF θ==所以CF 与平面ABD3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B −−的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．(1)证明：FN AD ⊥；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．【解析】（1）过点E 、D 分别做直线DC 、AB 的垂线EG 、DH 并分别交于点G 、H ． ∵四边形ABCD 和EFCD 都是直角梯形，//,//,5,3,1AB DC CD EF AB DC EF ===，60BAD CDE ∠=∠=︒，由平面几何知识易知，2,90DG AH EFC DCF DCB ABC ==∠=∠=∠=∠=︒，则四边形EFCG 和四边形DCBH 是矩形，∴在Rt EGD 和Rt DHA ，EG DH == ∵,DC CF DC CB ⊥⊥，且CF CB C ⋂=，∴DC ⊥平面,BCF BCF ∠是二面角F DC B −−的平面角，则60BCF ∠=， ∴BCF △是正三角形，由DC ⊂平面ABCD ，得平面ABCD ⊥平面BCF ，∵N 是BC 的中点，∴FN BC ⊥，又DC ⊥平面BCF ，FN ⊂平面BCF ，可得FN CD ⊥，而BC CD C ⋂=，∴FN ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD FN AD ∴⊥．（2）因为FN ⊥平面ABCD ，过点N 做AB 平行线NK ，所以以点N 为原点， NK ，NB 、NF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系N xyz −，设(3,(1,0,3)A B D E，则32M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，333,,,(2,23,0),(2,22BM AD DE ⎛⎫∴=−=−−=− ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面ADE 的法向量为(,,)nx y z =由00n AD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得20230x x z ⎧−−=⎪⎨−+=⎪⎩，取(3,n =−，设直线BM 与平面ADE 所成角为θ，∴3||sin cos ,|||3n BM n BM n BMθ⋅=〈〉====⋅4．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥−P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B −−的正弦值． 【解析】（1）证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥−P ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ， 所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒， 所以ODA OAD ∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ， 又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ， 所以//OE 平面PAC（2）过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系， 因为3PO =，5AP =，所以4OA =，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD，AB = 所以12AC =，所以()O，()B，()P ，()0,12,0C ，所以32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则332AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()43,0,0AB =，()0,12,0AC =，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =，则33302430n AE y z n AB ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则=3y −，0x =，所以()0,3,2n =−；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =，则33302120m AE a bc m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令a =6c =−，0b =，所以()3,0,6m =−；所以cos ,13n m n m n m⋅−===设二面角C AE B −−的大小为θ，则43cos cos ,=13n m θ=， 所以11sin 13θ=，即二面角C AE B −−的正弦值为1113.5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC −的体积．【解析】（1）由于AD CD =，E 是AC 的中点，所以AC DE ⊥.由于AD CDBD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ADB CDB ≅△△，所以AB CB =，故AC BD ⊥，由于DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BED ， 所以AC ⊥平面BED ，由于AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD . （2）[方法一]：判别几何关系依题意2AB BD BC ===，60ACB ∠=︒，三角形ABC 是等边三角形，所以2,1,AC AE CE BE ===由于,AD CD AD CD =⊥，所以三角形ACD 是等腰直角三角形，所以1DE =. 222DE BE BD +=，所以DE BE ⊥，由于AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC . 由于ADB CDB ≅△△，所以FBA FBC ∠=∠，由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBA FBC ≅，所以AF CF =，所以EF AC ⊥， 由于12AFCSAC EF =⋅⋅，所以当EF 最短时，三角形AFC 的面积最小 过E 作EF BD ⊥，垂足为F ，在Rt BED △中，1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅，解得EF =所以13,222DF BF DF ===−=， 所以34BF BD =过F 作FH BE ⊥，垂足为H ，则//FH DE ，所以FH ⊥平面ABC ，且34FH BF DE BD ==， 所以34FH =，所以111323324F ABC ABCV SFH −=⋅⋅=⨯⨯=[方法二]：等体积转换AB BC =，60ACB ∠=︒，2AB =ABC ∴∆是边长为2的等边三角形，BE ∴=连接EFADB CDB AF CF EF ACBED EF BD ∆≅∆∴=∴⊥∴∆⊥∆在中，当时，AFC 面积最小222,,2,,BED EF AD CD AD CD AC E AC DE BE BD BE EDBE DE EF BD BD ⊥==∴+=∴⊥⋅⊥∆==为中点DE=1若在中，32113222BEFBF S BF EF ∆∴=⋅=⋅11233F ABC A BEF C BEF BEF V V V S AC −−−∆∴=+=⋅=6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP ====∥(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．【解析】（1）证明：在四边形ABCD 中，作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ， 因为//,1,2CD AB AD CD CB AB ====， 所以四边形ABCD 为等腰梯形， 所以12AE BF ==，故DE =BD = 所以222AD BD AB +=， 所以AD BD ⊥，因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PD BD ⊥， 又=PD AD D ⋂， 所以BD ⊥平面PAD ， 又因为PA ⊂平面PAD ， 所以BD PA ⊥；（2）如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，BD =则()()(1,0,0,,A B P ，则()()(1,0,3,0,3,3,AP BP DP =−=−=，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则有0{30n AP x n BP ⋅=−=⋅=−=，可取()3,1,1n =， 则5cos ,5n DPn DP n DP ⋅==所以PD 与平面PAB7．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ，而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ，而,,NK MK K NK MK =⊂平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ，（2）因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ⊥，而CB ⊂平面11BCC B ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ，平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，因为AB ⊂平面11ABB A ，故NK AB ⊥，若选①，则AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NK MN N =，故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥，所以1AB BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ， 故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =−，则()2,2,1n =−−， 设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯. 若选②，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，而KM ⊂平面MKN ， 故NK KM ⊥，而11,1B M BK NK ===，故1B M NK =，而12B B MK ==，MB MN =，故1BB M MKN ≅，所以190BB M MKN ∠=∠=︒，故111A B BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ， 故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =−，则()2,2,1n =−−， 设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯.8．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C −−的正弦值． 【解析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ， 则111111112211433333A A BC A A ABC A ABC AB BC C C B V S h h V S A A V −−−=⋅===⋅==，解得h =所以点A 到平面1A BC （2）取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥, 又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =， 且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ， 在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ， 由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ， 所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得AE 12AA AB ==，1A B =2BC =， 则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1AC 的中点()1,1,1D ， 则()1,1,1BD =，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =，则020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩， 可取()1,0,1m =−，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =，则020n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩， 可取()0,1,1n =−r ， 则11cos ,22m nm n m n ⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C −−=本课结束。
数学空间几何体外接球模型-第4讲直棱柱模型(解析版)
第4讲直棱柱模型一、解题技巧归纳总结1．直棱柱模型：如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心O 的位置，1O 是A B C ∆的外心，则1O O ⊥平面A B C ；第二步：算出小圆1O 的半径1A O r =，111122O O A A h ==（1A A h =也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211O A O A O O =+⇒222(2h R r =+⇒R =，解出R 二、典型例题例1.正三棱柱-111A B C A B C 内接于半径为2的球，若A ，B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为．【解析】Q 正三棱柱-111A B C A B C 内接于半径为2的又A Q ，B 两点的球面距离为π，故∠=︒90A O B ，又∆O A B Q 是等腰直角三角形，∴=A B ，则∆A B C 的外接圆半径为3，则O 点到平面A B C 的距离为3，∴正三棱柱高=3h ，又∆A B C Q 的面积=S ∴正三棱柱-111A B C A B C 的体积8V S h =⋅=．故答案为：8．例2.直三棱柱-111A B C A B C 的各顶点都在同一球面上，若===12A B A C A A ，∠=︒120B A C ，则此球的表面积等于．【解析】设底面三角形A B C 的外心是'O ，'='='=O A O B O C r ，在∆A B C 中==2A B A C ，∠=︒120B A C ，可得=B C==，由正弦定理，=∠2si n B C r B A C ，可得∆A B C 外接圆半径==︒22si n 120r ，设此圆圆心为'O ，球心为O ，在'∆R T O B O 中，易得球半径=R ，故此球的表面积为ππ=2420R ，故答案为：π20．例3.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为.【解析】设正六边形边长为a ，高为h ，底面外接圆的半径为r ，则==12a r ，底面积为==216()2S ，===98V Sh ，解得=h ，代入=+=+=22222(2)(2)14R h r ，解得=1R ，所以球的体积为ππ==34433V R .三、玩转练习1．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120︒的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为()A ．20πB C ．25πD ．【解析】由俯视图是一个顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形，故底面外接圆半径2r =，由主视图可得几何体的高为2，故球心到底面的距离1d =，故球半径R =，故该直三棱柱外接球的表面积为20π，故选：A ．2．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，6AB =，8BC =，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为()A ．624B ．576C ．672D ．720【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，6AB =，8BC =，10AC ∴==，构造长方体1111ABCD A B C D -，∴长方体1111ABCD A B C D -的外接球就是直三棱柱111ABC A B C -的外接球，直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为13，121326A C ∴=⨯=，124AA ∴==，∴直三棱柱111ABC A B C -的表面积为：1111112ABC BCC B ABB A ACC A S S S S S ∆=+++矩形矩形矩形126882462410242=⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯624=．故选：A ．3．在直三棱柱111ABC A B C -中．侧棱长为，AB BC CA ===()A ．1B C ．2D ．4【解析】 在直三棱柱111ABC A B C -中．侧棱长为，AB BC CA ===∴取上底和下底的中心分别为1D 、D ，则1DD 的中点O 为三棱柱的外接球的球心，OB为三棱柱的外接球的半径，OD =1DB ==，2R ∴==．∴此三棱柱的外接球的半径2R =．故选：C．4．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为()A ．83πB ．163πC ．323πD ．643π【解析】该直三棱柱的底面外接圆直径为22r ==，所以，外接球的直径为24R ==，则2R =，因此，该三棱柱的外接球的体积为343233R ππ=．故选：C ．5．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，AB =120ACB ∠=︒，14AA =，则该三棱柱外接球的表面积为()A．3B．C ．32πD ．8π【解析】由题意可知直三棱柱111ABC A B C -中，底面小圆ABC 的半径为r ，由正弦定理得到2sin ABr ACB ==∠，所以2r =，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，=，外接球的表面积为：432ππ= ；故选：C ．6．在直三棱柱111ABC A B C -中，2CA CB ==，90ACB ∠=︒，11CC =，则该三棱柱外接球的体积()A ．12πB ．4πC ．92πD ．8π【解析】如图，把直三棱柱111ABC A B C -补形为长方体，则其外接球的半径32r ==，∴该三棱柱外接球的体积为3439(322V ππ=⨯=．故选：C ．7．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为()A ．4πB ．8πC ．12πD ．323π【解析】 在直三棱锥111ABC A B C -中，1AB CB ⊥，2AB BC ==，12AA =，AB ∴⊥面11BCC B ，即AB BC⊥∴直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为等腰直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C -补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，设D ，1D 分别为AC ，11A C 的中点，则1DD 的中点O 为球心，球的半径R =为2412S R ππ==．故选：C ．8．某直三棱柱的侧棱长等于2，底面为等腰直角三角形且腰长为1，则该直三棱柱的外接球的表面积是()A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【解析】由于直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为等腰直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C -补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为22r ==，表面积为246S r ππ==．故选：D ．9．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，二面角11A BD C --的大小为3π，则该正四棱柱外接球的表面积为()A ．12πB ．14πC ．16πD ．18π【解析】如图，AC ，BD 交于O ，易证11A OC ∠为二面角11A BD C --的平面角，即1160A OC ∠=︒，从而1160A OA C OC ∠=∠=︒，2AB = ，OC ∴=，1tan 60CC OC =︒=∴=∴外接球半径为2，144144S ππ∴=⨯=球．故选：B ．10．正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧面是正方形，若底面的边长为a ，则该正六棱柱的外接球的表面积是()A ．24a πB ．25a πC ．28a πD ．210a π【解析】正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧面是正方形，若底面的边长为a ，底面对角线的长度为：2a =．所以该正六棱柱的外接球的表面积是：22244)52r a πππ=⨯=．故选：B ．11．正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧面是正方形，若底面的边长为1，则该正六棱柱的外接球的表面积是()A ．4πB ．5πC ．8πD ．10π【解析】正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧面是正方形，底面的边长为1，则底面最长对角线的长度为2．一一因此该正六棱柱的外接球的半径22151222R =+=．∴该正六棱柱的外接球的表面积245S R ππ==．故选：B ．12．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为()A ．20πB ．25πC ．100πD ．200π【解析】正六棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的直径，就是正六棱柱的对角线的长，所以球的直径为：228610+=，所以球的表面积为：245100ππ⨯=．故选：C ．13．已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为()A ．13πB ．12πC ．11πD ．10π【解析】设正六棱柱的底面边长为x ，高为y ，则69x y +=，0 1.5x <<，正六棱柱的体积2333333(96)3633(96)[]46632x x x V x y x x x ++-=⨯=-= ，当且仅当1x =时，等号成立，此时3y =，91314+=∴外接球的表面积为134134ππ⨯=．故选：A ．14．一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，则它的外接球的体积为()A ．5003πB ．500πC ．40003πD ．4000π【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线， 一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，∴直六棱柱的外接球的直径为228610+=，∴外接球的半径为5，∴外接球的体积为34500533ππ⨯=．故选：A ．15．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是84π．【解析】棱长均为6的直三棱柱，即正三棱柱的底面边长为6，∴底面所在平面截其外接球所成的圆O 的半径23r =6，则球心到圆O 的球心距3d =，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R 满足：22212921R r d =+=+=，∴外接球的表面积2484S R ππ==．故答案为：84π．16．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为323π．【解析】因为是直三棱柱，所以侧棱垂直于底面，，设外接球半径为R ，则24R ==，所以2R =，所以体积344328333V R πππ===．故答案为：323π．17．在直三棱柱111ABC A B C -中，3BC =，120BAC ∠=︒，12AA =，则此三棱柱外接球的表面积为16π．【解析】如图所示，设ABC ∆与△111A B C 的外接圆的圆心分别为1O ，2O ，半径为r ．连接12O O ，取中点为O ，则O 为此三棱柱外接球的球心．在ABC ∆中，1132sin120O B r ==⨯=︒．2R OB ∴==．∴此三棱柱外接球的表面积24216ππ=⨯=．故答案为：16π．18．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，11AC CC ==，则AB =2【解析】如图，设三棱柱的外接球的半径为R，则343R π=，得2R =．由于直三棱柱的外接球的球心是1BC 的中点，∴12BC R ==1Rt BCC ∆中，BC =，∴在Rt ABC ∆中，2AB ==．故答案为：2．19．在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为，在底面ABC ∆中，60,C AB =︒=，则此直三棱柱的外接球的表面积为16π．【解析】由题意可知直三棱柱111ABC A B C -中，底面小圆ABC1=，2=，外接球的表面积为：24216ππ= ．故答案为16π．20．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB =，AC =12BB =，则该三棱柱的外接球表面积为8π．【解析】由题意可知直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，AC =，2BAC π∠=，可得2BC =，设底面ABC 的小圆半径为r ，则22r =，可得1r =；连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径R ，则R ==∴外接球的表面积248S R ππ==；故答案为：8π．21．在直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒且3AB AC ==，14BB =，则此三棱柱外接球的表面积为52π．【解析】由题意可知直三棱柱111ABC A B C -中，3AB AC ==，120BAC ∠=︒，14AA =，∴底面小圆ABC 的半径r 满足：326sin 30r ==︒，即3r =，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：R =∴三棱柱的外接球的表面积为：2452R ππ= ；故答案为：52π．22．在直三棱柱111ABC A B C -中，4BC =，90BAC ∠=︒，12AA =，则此三棱柱外接球的表面积为20π．【解析】 三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，4BC =，90BAC ∠=︒，12AA =，∴可将棱柱111ABC AA B C -=，即为球的直径，∴，∴球的表面积为2420ππ⨯=，故答案为：20π．23．已知直三棱柱111ABC A B C -的高为，BC =，120BAC ∠=︒，则该三棱柱外接球的表面积为16π；【解析】设直三棱柱111ABC A B C -的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P ，M ，设ABC ∆的外接圆半径为r ，直三棱柱111ABC A B C -的外接球的半径为R ，如图所示：，∴直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心O 为线段PM 的中点，在ABC ∆中，BC =120BAC ∠=︒，∴由正弦定理得：022sin120BCr ==，1r ∴=，∴在Rt OMC ∆中，OC R =，12OM =⨯=，1MC r ==，∴22214R =+=，∴直三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为：2416R ππ=，故答案为：16π．24．已知直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，侧面11BCC B 的面积为16，则直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径的最小值为【解析】设2BC x =，12BB y =，则416xy =， 直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，∴直三棱柱111ABC A B C -=∴直三棱柱111ABC A B C -外接球半径的最小值为故答案为：．25．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，则正四棱柱的外接球的表面积为24π．【解析】 正四棱柱的各顶点均在同一球的球面上，∴正四棱柱的体对角线等于球的直径， 正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，∴正四棱柱1111ABCD A B C D -的体对角线l ==∴球的直径2r =即球的半径r =，∴球的表面积为2424r ππ=，故答案为24π．26．已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为36π．【解析】设正四棱柱的底面边长为x ，高为y ，则418x y +=，0 4.5x <<，=，当且仅当4x =时，半径的最小值3=，∴外接球的表面积的最小值为4936ππ⨯=．故答案为36π．27．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =12AA =，设四棱柱的外接球的球心为O ，动点P 在正方形ABCD 的边长，射线OP 交球O 的表面点M ，现点P 从点A 出发，沿着A B C D A →→→→运动一次，则点M 经过的路径长为．【解析】由题意，点P 从点A 出发，沿着A B C D A →→→→运动一次，则点M 经过的路径是四段大圆上的相等的弧． 正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =12AA =，∴=，∴3AOB π∴∠=，AB ∴所在大圆，所对的弧长为3π=，∴点M 经过的路径长为3．故答案为：3．28．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD CD =，24AB BC ==，四边形ABCD 的外接圆的圆心在线段AC 上．若四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为36π．【解析】由题意四边形ABCD 的外接圆的圆心在线段AC 上，可得ABC ∆和ACD ∆都是以AC 为斜边的直角三角形，因为24AB BC ==，所以AC =AD CD =，所以AD CD ==，所以四边形ABCD 的面积1142922S =⨯⨯+⨯．因为四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，所以14AA =，所以该四棱柱的外接球的半径3R ==，故该四棱柱的外接球的体积为34363R ππ=．故答案为：36π．29．已知六棱柱A BCD 1EF A -111B C D 11E F 的底面是正六边形，侧棱与底面垂直，若该六棱柱的侧面积为48，底面积为，则该六棱柱外接球的表面积等于32π．【解析】设AB a =，1AA b =， 六棱柱的侧面积为48，底面积为，648ab ∴=262= ，2a ∴=，4b =，∴该正六棱柱的外接球的半径R ==．∴该正六棱柱的外接球的表面积2432S R ππ==．故答案为：32π．30．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为25π．【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，∴直六棱柱的外接球的直径为5，∴外接球的半径为52，∴外接球的表面积为254254ππ⨯=．故答案为：25π．31．正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则它的外接球的表面积为22(4)a h π+．【解析】 正六棱柱的12个顶点都在同一球面上，∴球的直径等于正六棱柱的体对角线． 正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，∴=设球的半径为R ，则2R =．∴球的半径R =∴外接球的表面积为22222444(4)4a h R a h πππ+=⨯=+．故答案为：22(4)a h π+．32．已知矩形A BCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为13π．【解析】设正六棱柱的底面边长为x ，高为y ，则69x y +=，0 1.5x <<，正六棱柱的体积2333(96)633(96)[]46632x x x V x y x x x ++-=⨯=-= ，当且仅当1x =时，等号成立，此时3y =，=∴外接球的表面积为134134ππ⨯=．故答案为：13π．33．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为100π．【解析】如图，；正六棱柱的外接球的直径是正六棱柱体对角线FH 的长，侧棱垂直于底面，FG GH ∴⊥；在FGH ∆中，由勾股定理得：222226(24)100FH FG GH =+=+⨯=，2(2)100R ∴=，即24100R ππ=；∴它的外接球的表面积为100π．故答案为：100π．34．已知正六棱柱的高为8，侧面积为144，则它的外接球的表面积为100π．【解析】设正六棱柱的底面正六边形的边长为a ，则正六棱柱的侧面积为6848144a a ⨯==，得3a =，因此，底面正六边形的外接圆直径为226r a ==，设它的外接球的半径为R ，则22222(2)(2)868100R r =+=+=，5R ∴=，因此，该正六棱柱的外接球的表面积为24100S R ππ==．故答案为：100π．。
2023年高考数学总复习《立体几何》附答案解析
所以 z1＝0，
，故可取
， ，，
于是 ＜ ， ＞
，
设所成锐二面角为θ，所以 sinθ
，
所以平面 PAD 和平面 PBE 所成锐二面角的正弦值为 ．
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∴CF CC1 AA1 ， ∵∠BAC＝90°，
∴CD
，
在 Rt△FCD 中，tan∠FDC 맨
，
故直线 DF 与平面 ABC 所成角的正切值为 ．
2．如图所示，四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠BCD＝60°，E 是 CD 的中点，PA⊥底面 ABCD，PA＝2． （1）证明：平面 PBE⊥平面 PAB； （2）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的正弦值．
【解答】（1）证明：如图所示，连接 BD，由 ABCD 是菱形且∠BCD＝60°， 知△ABC 是等边三角形． ∵E 是 CD 的中点， ∴BE⊥CD，又 AB∥CD， ∴AB⊥BE，∴BE⊥平面 PAB， 又 BE⊂平面 PBE， ∴平面 PBE⊥平面 PAB． （2）解：在平面 ABCD 内，过点 A 作 AB 的垂线，如图所示，以 A 为原点建立空间直角
【解答】（1）证明：连接 DG、FG， 由直三棱柱的性质知，BB1∥CC1，且 BB1＝CC1， ∵B1E＝2EB，C1F＝2FC， ∴EB∥FC，且 EB＝FC， ∴四边形 BCFE 为平行四边形， ∴EF∥BC，EF＝BC， ∵BD＝2DA，CG＝2GA， ∴GD∥BC，且 GD BC， ∴EF∥GD，且 GD EF， ∴四边形 DEFG 为梯形，即 D、E、F、G 四点共面， ∴点 G 在平面 EFD 内． （2）解：由直三棱柱的性质知，CC1⊥平面 ABC， ∵F 为 CC1 上一点， ∴点 F 在平面 ABC 上的投影为点 C， 连接 CD，则∠FDC 即为直线 DF 与平面 ABC 所成角． ∵点 D 在棱 AB 上，且 BD＝2DA， ∴AD AB ， ∵C1F＝2FC，
2021年秋北师大版九年级数学上册5.2.2直棱柱的三视图教案
三：
开放
训练
表达
应用
活动1直四棱柱三种视图的画法
图5－2－64
画出如图5－2－64所示的直四棱柱的主视图、左视图和俯视图．
处理方式：先由学生想象，然后动手画出四棱柱的主视图、左视图和俯视图，再以小组为单位交流四棱柱的三种视图，看看谁画的最准确，派代表向全班展示，并说明画四棱柱三种视图的考前须知．同时老师要引导学生归纳总结画四棱柱三种视图的考前须知并加以强调：
图5－2－56
2．画出以下几何体的三种视图．
图5－2－57
处理方式：第1题先让学生独立考虑，然后口答；第2题找3名同学板演，其余同学在练习本上完成．学生在画视图时，会出现圆柱的主视图和左视图画得不一样，第二个图形的俯视图没有画圆心，长方体的主视图和左视图画的一样等错误，老师引导学生讨论、补充、修正，共同纠错．
【板书设计】
第2课时直棱柱的三视图
画视图的考前须知：
正三棱柱
四棱柱
练习：
学生活动区
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
精心设计问题对学生进展启迪，帮助学生跨越思维障碍，获得了比拟理想的效果，整堂课的教学效果比拟好.
②[讲授效果反思]
视图题目多数难度不大，是学业程度考试中的必考内容，同时也是学生的必要得分点，在教学设计上，根据课标和教材的设计要求，结合近几年来中考相关题目的特点，从根本几何体、组合几何体三视图的画图和探究三种视图之间的关系等方面对本节内容展开教学，进而打破难点.
最后学生动手完善画出上述三棱柱的正确的三种视图，如图5－2－61所示.
图5－2－61
板书：
三种视图的分布：
图5－2－62
活动内容2：
假如把上面的正三棱柱换一种摆法(如图5－2－63)，那么它的三视图又是怎样的呢？
直棱柱体积公式推导
直棱柱体积公式推导好嘞，以下是为您生成的关于“直棱柱体积公式推导”的文章：在咱们学习数学的道路上，直棱柱体积公式那可是个相当重要的知识点。
想象一下，一个直棱柱就像一个被拉长的盒子，它的体积到底怎么算呢？这可藏着不少有趣的秘密。
记得有一次，我去一个工厂参观，看到工人们正在制作一个个直棱柱形状的金属零件。
那些零件整整齐齐地摆放在工作台上，阳光透过窗户洒在上面，反射出耀眼的光芒。
我好奇地凑过去，问其中一位工人师傅：“师傅，你们做这些零件，怎么知道用多少材料呀？”师傅笑着说：“这就得靠算体积啊！”咱们先来说说直棱柱是啥。
直棱柱就是那些侧面和底面都垂直的棱柱，像长方体、正方体，那可都是直棱柱家族里的“明星成员”。
那直棱柱的体积公式是怎么来的呢？咱们从最简单的长方体开始。
一个长方体就像是用一块块小砖头整齐码放起来的。
假设长方体的长、宽、高分别是 a、b、c，那它一层一层地码起来，一层的面积就是长乘以宽，也就是 ab。
那有多少层呢？正好就是高 c 这么多层。
所以长方体的体积 V 就等于底面积乘以高，也就是 V = abc 。
再看正方体，它其实就是长、宽、高都相等的特殊长方体。
假设边长是 a ，那它的体积 V 就等于 a×a×a ，也就是 a³。
从长方体和正方体，咱们再推广到一般的直棱柱。
不管这个直棱柱的底面是什么形状，咱们都可以把它想象成是由无数个非常非常小的面积相等的小面组成的。
就好像是用一片片小叶子铺满了底面。
这些小面的面积加起来就是底面的面积 S ，然后再乘以棱柱的高 h ，这不就得到了直棱柱的体积 V = Sh 嘛。
比如说，有一个直三棱柱，底面是一个三角形，底面积算出来是 10 平方厘米，高是 5 厘米。
那它的体积就是 10×5 = 50 立方厘米。
是不是一下子就清楚多啦？回到最开始我在工厂看到的那些金属零件，工人们就是根据这个体积公式，准确地计算出需要多少材料，才能做出符合要求的零件。
直三棱柱底边直角三角形外接球表面积公式
直三棱柱底边直角三角形外接球表面积公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直三棱柱是一种特殊的三维几何体，其底部为一个直角三角形，侧面为三个等边三角形，顶部为一个正三角形，整体形状呈现出一种立方体的外观。
本文将探讨直三棱柱的底边直角三角形外接球表面积的计算方法。
我们需要了解底边直角三角形外接球的定义和特点。
在直三棱柱中，底边直角三角形的三边长度分别为a、b和c，且已知其中直角边为c，底边直角三角形的外接球半径为R。
根据几何知识，底边直角三角形外接球的表面积计算公式为：S = 4πR^2接下来，我们将分步骤来推导该公式。
1. 计算外接球的半径R底边直角三角形外接球的半径R可通过以下步骤计算得出：a) 底边直角三角形的斜边为c，由勾股定理可得：c^2 = a^2 + b^2即：b) 外接圆的半径R等于外心到三角形三个顶点的距离的平均值，而直三棱柱的底边直角三角形中，外心恰好位于直角边上。
根据外心的定义，外接球的半径R为：R = √(0.5(a+b+c) * 0.5(-a+b+c) * 0.5(a-b+c) * 0.5(a+b-c)) / (a+b+c)根据外接球的表面积公式S = 4πR^2，将上一步计算得出的外接球半径R代入，即可得到底边直角三角形外接球的表面积。
通过以上推导步骤，我们可以得出直三棱柱底边直角三角形外接球表面积公式：S = 4πR^2。
现在，让我们通过一个实例来进一步理解和应用这个公式。
假设直三棱柱的底边直角三角形边长为3、4、5，则底边直角三角形外接球的半径R为：c = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5将R = 3代入公式S = 4πR^2中，可得：S = 4π * 3^2 = 36π直三棱柱底边直角三角形外接球的表面积为36π。
总结：直三棱柱底边直角三角形外接球表面积公式为S = 4πR^2，通过计算底边直角三角形的外接球半径R，将其代入公式即可求得。
希望本文的解析和实例能够帮助读者更好地理解和运用这个公式。
叶县第三中学九年级数学下册第三十二章投影与视图32.3直棱柱和圆锥的侧面展开图教学课件新版冀教版2
随机事件，P（取出数字3）= 1 .
5
把分别写有数字1、2、3、4、5的5张一样的小纸片捻 成小纸团放进盒子里，摇匀后，随机取出一个小纸团，试
问： （3）“取出数字小于4”是什么事件？它的概率是多少？
随机事件，有3种可能：1，2，3
性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).
例如，上述摸球试验中，
P（摸出红球）＝
1 2
.
又如，在转盘试验中，
P（指针指向红色区域）＝
1 3
.
把分别写有数字1、2、3、4、5的5张一样的小纸片捻 成小纸团放进盒子里，摇匀后，随机取出一个小纸团，试 问： （1）取出的序号可能出现几种结果？每个序号数字取出的 可能性一样吗？
我们用1 表示取到红球的可能性，取到白球的可能性也是 1 .
2
2
问题2：如图是一个能自由转动的游戏转盘，红、
黄、绿3个扇形的圆心角均为120°，让转盘自由转
动，当它停止后，问：
（1）指针可能停在哪个扇形区域？ 红、黄、绿
（2）全部可能结果有几种？ 3种
（3）每种结果的可能大小如何？
由于每个扇形的圆心角度数相等， 对指针指向“红色区
如图，PO是圆锥的高，PA是母线.
把圆锥沿它的一条母线剪开 , 它的侧面可以 展开成平面图形 , 像这样的平面图形称为圆锥的 侧面展开图 , 如下图.
P
A
圆锥的侧面展开图是一个扇形.这个扇形的半径 是圆锥的母线长PA , 弧长是圆锥底面圆的周长.
例2 如下图 , 小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个 圆锥形帽子〔接缝忽略不计〕 , 如果做成的圆锥 形帽子的底面半径为10cm , 那么这张扇形纸板的 面积S是多少 ？
棱柱3
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教学过程
教学内容
备课札记
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3.直棱柱的侧面积和全面积 直棱柱的侧面展开图—矩形 S 直棱柱侧= c (c 表示底面周长， 表示侧棱长) S 棱柱全=S 底+S 侧
三、例题 例 3.直三棱柱底面各边的比为 17︰10︰9，侧棱长为 16cm，全面积为 1440cm，求底面各边之长.
翔宇教育集团课时设计活页纸
总 课 题 课 题 棱柱 总课时 4 主备人：杜士明 第 3 课时
棱柱的直观图、侧面积、全面 课 型 新授课 积 1、掌握斜二测画法的画法规则，并能正确画出直棱柱的直观图 2、掌握直棱柱的侧面积、全面积公式 3、培养学生空间想象能力，进一步建立规范作图的意识 直棱柱的有关性质 斜二测画法的画法规则
（ ） C．12 D．18
1 3
2、已知斜棱柱的高为 4，和侧棱垂直的截面周长为 8，侧棱与底面成 60°角，则斜棱柱的侧面 积 是 （ ） A．32 B．16 C．16 3 D．
64 3 3
3、长方体的高等于 h,底面积等于 S,过相对侧棱的面积等于 S1 ，此长方体的侧面积等于 （ ）
2 2 A．2 S1 h S 2 2 C．2 S1 2 h S 2 2 B. 2 2 S 1 h S
15 2
C．
17 2
D． 3 . .
6、正方体的对角线为 a，那么这个正方体的全面积为
7、用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为 9 2 ，那么原正方形的面积为 8、用斜二测画法，画底面边长为 3cm,高为 4cm 的正三棱柱的直观图.
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9、已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 各条棱长都是 a,且 A1A=A1B=A1C，求此三棱柱的全面积.
直三棱柱外接球半径 PPT
棱 （3）底面△ABC中，∠ACB=120°,AC=BC=2。 柱
的 外
解：O1是三角形ABC外心，在△ABC中，
接
∠ACB=120°， AC=BC=2，
球 半
由余弦定理得AB= 2 3
径
由正弦定理得△ABC的外接圆半径
O1C=2 在RT△OO1C中，
O1C= 2 ， OO1=2
∴R=OC= 2 2
的
外
接
球
半
径
直 三 棱 柱 的 外 接 球 半 径
直三棱住外接球半径
如图：直三棱柱ABC-A1B1C1中，棱柱高为4，
直 在如下情况求该三棱柱外接球半径。
三 棱
（1）底面△ABC中，AC⊥BC，边长AC=4,BC=2；
柱
的
外
解：在RT△ABC中，AC=4，
接
球
BC=2
半 径
∴AB= 2 5，O1C= 5
在RT△OO1C中，O1C= 5 ，
OO1=2 ∴R=OC=3
如图：直三棱柱ABC-A1B1C1中，棱柱高为4，
直 在如下情况求该三棱柱外接球半径。 三 棱 （2）底面△ABC是正三角形，边长为2；
柱
的
外
解：O1是正三角形ABC中心，
接
球 半 径
边长为2，O1C=
23 3
在RT△OO1C中，O1C=
2
3 3
，
OO1=2 ∴R=OC= 4 3
3
直 三
如图：直三棱柱ABC-A1B1C1中，棱柱高为4， 在如下情况求该三棱柱外接球半径。
直
三
棱 直三棱住外接球半径求解的一般步骤：
柱 的
（1）求上下底面外接圆的圆心
3.4 直棱柱的表面展开图
直三棱柱 直四棱柱
直四棱 柱
杜登尼(Dudeney,1857-1930年)是19 世纪英国知名的谜题创作者．“蜘蛛 和苍蝇”问题最早出现在1903年的 英国报纸上，它是杜登尼最有名的谜 题之一．它对全世界难题爱好者的挑 战，长达四分之三个世纪．
E D
们的路程与上述 B 结C 果有没有联系?
5cm
H
A
6cm
G
4cm
F
如图，有一边长4米立方体形的房间，一只蜘蛛在A处，一只 苍蝇在B处。⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？
将前、右、上三个面做有标记的立方体盒子展开，以
下各示意图中是它的展开图的是（ C ）
A
B
C
D
下面的图形是正方体的表面展开图，如果把
它们叠成正方体，哪个字母与哪个字母对应（即 哪个面与哪个面是对面的）
AB CD E F
AB C D EF
合作游戏----争连做连小看小数学家
有如一图种，牛上奶面包的装图盒形如分图别所是示下。面为哪了个生立产体这图种形包展装开 盒的，形需状要？先把画它出们展用开线图连纸起样来。。
将立方体沿某些棱剪开后铺平,且六 个面连在一起，这样的图形叫立方体 的表面展开图。
口诀
展开图规律之一:立方体的展开过程需要剪七刀.
展开图规律之二: 异层 “日”字连,整体没有“田 ”
“一三二”, “一四一”.
“一”一在四同一层型可任意；
“三个二”成阶梯，
“二个一三三”二，型“日”字连；
异层 “日”字连
S
T
P
H
R
U
V
M
N
直三棱柱的体积公式
直三棱柱的体积公式直三棱柱是一种几何体，它的体积是由其底面积乘以高得到的。
下面我将详细介绍直三棱柱的体积公式以及相关知识。
一、直三棱柱的定义和特点直三棱柱是一种由三个平行的矩形面和三个与之垂直的矩形面围成的立体。
它的底面是一个矩形，而顶面也是一个与之相等的矩形，三个侧面则是相等的长方形。
直三棱柱具有以下几个特点：1. 底面和顶面是平行的，且相等。
2. 侧面是相等的长方形，它们的边长与底面和顶面的边长相等。
3. 所有的侧面都垂直于底面和顶面。
直三棱柱的体积公式是通过底面积和高来计算的。
底面积可以用长乘以宽来表示，而高则是指直线距离底面和顶面之间的垂直距离。
因此，直三棱柱的体积公式可以表示为：体积 = 底面积 × 高三、直三棱柱的体积计算示例为了更好地理解直三棱柱的体积公式，我们来举一个具体的计算示例。
假设一个直三棱柱的底面长为5厘米，宽为3厘米，高为8厘米，那么它的体积可以通过以下计算得到：体积 = 底面积 × 高= (5厘米 × 3厘米) × 8厘米= 15厘米² × 8厘米= 120厘米³四、直三棱柱的应用领域直三棱柱的体积公式在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 建筑工程：在建筑设计和施工中，直三棱柱的体积公式可以用来计算柱子、立柱或柱形建筑物的容量。
2. 土木工程：在土木工程中，直三棱柱的体积公式可以用来计算水池、水塔或储罐的容量。
3. 包装设计：在包装设计中，直三棱柱的体积公式可以用来计算盒子或容器的容量，帮助设计合适的包装尺寸。
4. 学术研究：在数学和几何学研究中，直三棱柱的体积公式是基础知识，用于解决各种几何问题。
五、总结直三棱柱是一种几何体，其体积由底面积和高来计算。
直三棱柱的体积公式是底面积乘以高。
这个公式在建筑、土木工程、包装设计以及学术研究等领域有着广泛的应用。
通过理解和应用直三棱柱的体积公式，我们可以更好地解决各种几何问题，从而在实际生活和工作中得到更好的应用。
第4讲 直棱柱
第4讲 直棱柱一、内容提要1. 了解直棱柱, 会画直棱柱的三视图,会判断简单物体(直棱柱形状)的三视图,能根据三视图描述直棱柱或实物原型(直棱柱形状).2. 了解直棱柱的表面展开图, 能根据展开图判断和制作立体模型.3. 初步了解直棱柱与其三视图、展开图之间的关系；通过典型实例,知道这种关系在现实生活中的应用(如物体的包装).二. 热身练习[A]组题1．下列几何体中，不属于多面体的是（ ）A．立方体 B ．三棱柱C ．长方体D ．球 2．如图1,下列多面体中,直棱柱的个数是…（ ）A.6个B.4个C.3个D.2个3．下面各个图形是由6个大小相同的正方形组成的，其中能沿正方形的边折叠成一个正方体的是（ ）4．下面图形中是正方体平面展开图的是（ ）图图1A ．B ．C ．D ．5．下面简单几何体的左视图是（ ）6．一物体的主视图是长方形,则该物体不可能是（）A. 圆柱体B. 长方体C. 三棱锥D. 直棱柱 7．如图是一些立体图形的三视图，请根据视图说出这些立体图形的名称：(1)(2)名称： 名称：8．如图2是某品牌牙膏的软包装盒，其尺寸如图所标（单位：cm ），请画出这种包装盒的表面展开图，并计算这个包装盒的表面积．三. 例题分析例1、一个直棱柱有12个顶点,它是几棱柱?有多少条棱?多少个面?例2、把图1折成正方体后，如果相对面所对应的值相等，那么x 的平方根与y 的算术平方根之积为 ．A ．B ．C ．D ．A ．B ．C ．D ．正面图12145图2例3、如图3是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出这个几何体的主视图、左视图.★★例4、已知一个几何体的三视图如图4所示，描述该几何体的形状，并根据图中数据计算它的表面积．(结果精确到1cm 2)★★例5、 如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 在棱CD 上，CB=5cm. 一只壁虎要沿长方休的表面从A 点爬到B 点，需要爬行的最短路径是多少cm?四. 思维提升 [B]组题1．下列实物的形状中，是直棱柱的是（ ）A. B. C. D.2．直棱柱的棱数,一定是下列某自然数的倍数（ ）A.2B.3C.5D.73．如图1所示，八棱柱模型的底面边长都是4cm ，侧棱长为4cm ． 下列说法，错误的是（ ）A ．每个面都是正方形B ．侧面积为128cm 2C ．共有16个顶点D ．共有24条棱32211图3图 5图14．一个直三棱柱(如图4甲)顺着侧棱的方向切一刀,可以得到一个直三棱柱和一个直四棱柱(如图4乙).(1) 对图3甲用同样的方法切一刀, 能否得到两个直三棱柱?如何切?(2) 一个直四棱柱用同样的方法切一刀,得到一个直n 棱柱和一个直m 棱柱, 写出m , n 所有可能的值.5．如图6是一个食品包装盒的侧面展开图.(1) 请写出这个包装盒的多面体形状的名称；(2) 请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积.7．图7表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（ ）★★8。
三棱柱
21
（侧棱与底面倾斜）；
⑵直棱柱两个底面为全等且相互平行的多边形，
各侧棱垂直底面且相互平行，各侧面均为矩形；
⑶当直棱柱的底面为正多边形时，称正棱柱。
6
正三棱柱
直棱柱体
棱柱体 斜棱柱体
正四棱柱 正五棱柱 正六棱柱
· · · · · ·
正三棱柱
正四棱柱
正五棱柱
正六棱柱
7
任务: 画正三棱柱的三视图
一、任务描述
11
二、六棱柱体的投影
正六棱柱
12
画图时，应先画出三个视图的中心线作为投影 图的基准线，然后画出反映实形的那个投影图
（注意放置位置），再根据投影规律画出其他
两个投影。画完底稿后一般应检查各投影图是 否符合点、直线、平面形的投影规律，最后擦 去不必要的作图线，加深需要的各种图线，使 其符合国家标准。
1
2
复习：
三视图 主视图——从正面看到的图 左视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图 画物体的三视图时,要符合如下原则: 位置：主视图 左视图 俯视图 三等规律： 主、俯视图——长对正。
主、左视图——高平齐 俯、左视图——宽相等
挑战“自我”,提高画三视图的能力.
3
常见的基本立体 平面立体 曲面立体
4
平面立体：由若干平面所围成的几何体，如棱 柱、棱锥等。
•平面立体侧表面的交线称为棱线 •若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。 •若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。
棱柱
棱锥
5
棱柱体：
棱柱体——由上下两个底面和若干侧面(也叫棱面)所围成的 立体。 棱 线——棱柱体上各棱面的交线。
1.棱柱
⑴棱柱分为直棱柱（侧棱与底面垂直）和斜棱柱
三棱柱ppt课件
曲面立体
.
4
平面立体：由若干平面所围成的几何体，如棱 柱、棱锥等。
•平面立体侧表面的交线称为棱线 •若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。
•若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。
棱柱 .
棱锥 5
棱柱体：
棱柱体——由上下两个底面和若干侧面(也叫棱面)所围成的 立体。
棱 线——棱柱体上各棱面的交线。
正六棱柱
7
任务: 画正三棱柱的三视图
一、任务描述
正三棱柱的结构如下图所示:它由顶面、底面和三个侧面组成。 它的顶面和底面为正三边形，三个侧面均为矩形，两侧面的交线（棱 线）互相平行。画它的三视图
顶面
侧面
棱线 底面
.
8
二、任务实施
如下图所示，将正棱柱置于三投影面体系中，底面平行于水平面，一 侧面平行于正面
.
21
.
1
.
2
复习：
三视图 主视图——从正面看到的图 左视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图 画物体的三视图时,要符合如下原则: 位置：主视图 左视图
俯视图 三等规律： 主、俯视图——长对正。
主、左视图——高平齐 俯、左视图——宽相等
挑战“自我”,提高画三视图的能力.
.
3
常见的基本立体
平面立体
.
11
二、六棱柱体的投影
.
正六棱柱
12
画图时，应先画出三个视图的中心线作为投影 图的基准线，然后画出反映实形的那个投影图 （注意放置位置），再根据投影规律画出其他 两个投影。画完底稿后一般应检查各投影图是 否符合点、直线、平面形的投影规律，最后擦 去不必要的作图线，加深需要的各种图线，使 其符合国家标准。
正三棱柱的内切球的半径求法
正三棱柱的内切球的半径求法
正三棱柱的性质：上下底面是全等的正三角形，侧面是矩形，侧棱平行且相等；上下底面的中心连线与底面垂直。
正三棱柱是上下底面是全等的两正三角形，侧面是矩形，侧棱平行且相等的棱柱，并且上下底面的中心连线与底面垂直，也就是侧面与底面垂直。
（正三棱柱含于直三棱柱，即正三棱柱是底面是正三角形的直三棱柱）
正三棱柱不一定存有内切球：若正三棱柱存有内切球,则正三棱柱的高一定就是球的直径，此时正三棱柱的棱长为底面边长的(根号3)/3倍。
正三棱柱一定有外接球：但直径一定不是正三棱柱的`高，直径为根号(h^2+4a^2/3),其中h为三棱柱的高,a为底面边长。
正三棱柱：三条两端棱皆平行，上表面和之下表面就是平行且全等的正三角形。
正棱柱就是两端棱都旋转轴底面，且底面就是正多边形的棱柱。