直三棱柱外接球半径 PPT
数学空间几何体外接球模型-第4讲直棱柱模型(解析版)
第4讲直棱柱模型一、解题技巧归纳总结1．直棱柱模型：如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心O 的位置，1O 是A B C ∆的外心，则1O O ⊥平面A B C ；第二步：算出小圆1O 的半径1A O r =，111122O O A A h ==（1A A h =也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211O A O A O O =+⇒222(2h R r =+⇒R =，解出R 二、典型例题例1.正三棱柱-111A B C A B C 内接于半径为2的球，若A ，B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为．【解析】Q 正三棱柱-111A B C A B C 内接于半径为2的又A Q ，B 两点的球面距离为π，故∠=︒90A O B ，又∆O A B Q 是等腰直角三角形，∴=A B ，则∆A B C 的外接圆半径为3，则O 点到平面A B C 的距离为3，∴正三棱柱高=3h ，又∆A B C Q 的面积=S ∴正三棱柱-111A B C A B C 的体积8V S h =⋅=．故答案为：8．例2.直三棱柱-111A B C A B C 的各顶点都在同一球面上，若===12A B A C A A ，∠=︒120B A C ，则此球的表面积等于．【解析】设底面三角形A B C 的外心是'O ，'='='=O A O B O C r ，在∆A B C 中==2A B A C ，∠=︒120B A C ，可得=B C==，由正弦定理，=∠2si n B C r B A C ，可得∆A B C 外接圆半径==︒22si n 120r ，设此圆圆心为'O ，球心为O ，在'∆R T O B O 中，易得球半径=R ，故此球的表面积为ππ=2420R ，故答案为：π20．例3.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为.【解析】设正六边形边长为a ，高为h ，底面外接圆的半径为r ，则==12a r ，底面积为==216()2S ，===98V Sh ，解得=h ，代入=+=+=22222(2)(2)14R h r ，解得=1R ，所以球的体积为ππ==34433V R .三、玩转练习1．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120︒的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为()A ．20πB C ．25πD ．【解析】由俯视图是一个顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形，故底面外接圆半径2r =，由主视图可得几何体的高为2，故球心到底面的距离1d =，故球半径R =，故该直三棱柱外接球的表面积为20π，故选：A ．2．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，6AB =，8BC =，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为()A ．624B ．576C ．672D ．720【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，6AB =，8BC =，10AC ∴==，构造长方体1111ABCD A B C D -，∴长方体1111ABCD A B C D -的外接球就是直三棱柱111ABC A B C -的外接球，直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为13，121326A C ∴=⨯=，124AA ∴==，∴直三棱柱111ABC A B C -的表面积为：1111112ABC BCC B ABB A ACC A S S S S S ∆=+++矩形矩形矩形126882462410242=⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯624=．故选：A ．3．在直三棱柱111ABC A B C -中．侧棱长为，AB BC CA ===()A ．1B C ．2D ．4【解析】 在直三棱柱111ABC A B C -中．侧棱长为，AB BC CA ===∴取上底和下底的中心分别为1D 、D ，则1DD 的中点O 为三棱柱的外接球的球心，OB为三棱柱的外接球的半径，OD =1DB ==，2R ∴==．∴此三棱柱的外接球的半径2R =．故选：C．4．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为()A ．83πB ．163πC ．323πD ．643π【解析】该直三棱柱的底面外接圆直径为22r ==，所以，外接球的直径为24R ==，则2R =，因此，该三棱柱的外接球的体积为343233R ππ=．故选：C ．5．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，AB =120ACB ∠=︒，14AA =，则该三棱柱外接球的表面积为()A．3B．C ．32πD ．8π【解析】由题意可知直三棱柱111ABC A B C -中，底面小圆ABC 的半径为r ，由正弦定理得到2sin ABr ACB ==∠，所以2r =，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，=，外接球的表面积为：432ππ= ；故选：C ．6．在直三棱柱111ABC A B C -中，2CA CB ==，90ACB ∠=︒，11CC =，则该三棱柱外接球的体积()A ．12πB ．4πC ．92πD ．8π【解析】如图，把直三棱柱111ABC A B C -补形为长方体，则其外接球的半径32r ==，∴该三棱柱外接球的体积为3439(322V ππ=⨯=．故选：C ．7．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为()A ．4πB ．8πC ．12πD ．323π【解析】 在直三棱锥111ABC A B C -中，1AB CB ⊥，2AB BC ==，12AA =，AB ∴⊥面11BCC B ，即AB BC⊥∴直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为等腰直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C -补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，设D ，1D 分别为AC ，11A C 的中点，则1DD 的中点O 为球心，球的半径R =为2412S R ππ==．故选：C ．8．某直三棱柱的侧棱长等于2，底面为等腰直角三角形且腰长为1，则该直三棱柱的外接球的表面积是()A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【解析】由于直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为等腰直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C -补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为22r ==，表面积为246S r ππ==．故选：D ．9．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，二面角11A BD C --的大小为3π，则该正四棱柱外接球的表面积为()A ．12πB ．14πC ．16πD ．18π【解析】如图，AC ，BD 交于O ，易证11A OC ∠为二面角11A BD C --的平面角，即1160A OC ∠=︒，从而1160A OA C OC ∠=∠=︒，2AB = ，OC ∴=，1tan 60CC OC =︒=∴=∴外接球半径为2，144144S ππ∴=⨯=球．故选：B ．10．正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧面是正方形，若底面的边长为a ，则该正六棱柱的外接球的表面积是()A ．24a πB ．25a πC ．28a πD ．210a π【解析】正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧面是正方形，若底面的边长为a ，底面对角线的长度为：2a =．所以该正六棱柱的外接球的表面积是：22244)52r a πππ=⨯=．故选：B ．11．正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧面是正方形，若底面的边长为1，则该正六棱柱的外接球的表面积是()A ．4πB ．5πC ．8πD ．10π【解析】正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧面是正方形，底面的边长为1，则底面最长对角线的长度为2．一一因此该正六棱柱的外接球的半径22151222R =+=．∴该正六棱柱的外接球的表面积245S R ππ==．故选：B ．12．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为()A ．20πB ．25πC ．100πD ．200π【解析】正六棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的直径，就是正六棱柱的对角线的长，所以球的直径为：228610+=，所以球的表面积为：245100ππ⨯=．故选：C ．13．已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为()A ．13πB ．12πC ．11πD ．10π【解析】设正六棱柱的底面边长为x ，高为y ，则69x y +=，0 1.5x <<，正六棱柱的体积2333333(96)3633(96)[]46632x x x V x y x x x ++-=⨯=-= ，当且仅当1x =时，等号成立，此时3y =，91314+=∴外接球的表面积为134134ππ⨯=．故选：A ．14．一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，则它的外接球的体积为()A ．5003πB ．500πC ．40003πD ．4000π【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线， 一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，∴直六棱柱的外接球的直径为228610+=，∴外接球的半径为5，∴外接球的体积为34500533ππ⨯=．故选：A ．15．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是84π．【解析】棱长均为6的直三棱柱，即正三棱柱的底面边长为6，∴底面所在平面截其外接球所成的圆O 的半径23r =6，则球心到圆O 的球心距3d =，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R 满足：22212921R r d =+=+=，∴外接球的表面积2484S R ππ==．故答案为：84π．16．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为323π．【解析】因为是直三棱柱，所以侧棱垂直于底面，，设外接球半径为R ，则24R ==，所以2R =，所以体积344328333V R πππ===．故答案为：323π．17．在直三棱柱111ABC A B C -中，3BC =，120BAC ∠=︒，12AA =，则此三棱柱外接球的表面积为16π．【解析】如图所示，设ABC ∆与△111A B C 的外接圆的圆心分别为1O ，2O ，半径为r ．连接12O O ，取中点为O ，则O 为此三棱柱外接球的球心．在ABC ∆中，1132sin120O B r ==⨯=︒．2R OB ∴==．∴此三棱柱外接球的表面积24216ππ=⨯=．故答案为：16π．18．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，11AC CC ==，则AB =2【解析】如图，设三棱柱的外接球的半径为R，则343R π=，得2R =．由于直三棱柱的外接球的球心是1BC 的中点，∴12BC R ==1Rt BCC ∆中，BC =，∴在Rt ABC ∆中，2AB ==．故答案为：2．19．在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为，在底面ABC ∆中，60,C AB =︒=，则此直三棱柱的外接球的表面积为16π．【解析】由题意可知直三棱柱111ABC A B C -中，底面小圆ABC1=，2=，外接球的表面积为：24216ππ= ．故答案为16π．20．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB =，AC =12BB =，则该三棱柱的外接球表面积为8π．【解析】由题意可知直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，AC =，2BAC π∠=，可得2BC =，设底面ABC 的小圆半径为r ，则22r =，可得1r =；连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径R ，则R ==∴外接球的表面积248S R ππ==；故答案为：8π．21．在直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒且3AB AC ==，14BB =，则此三棱柱外接球的表面积为52π．【解析】由题意可知直三棱柱111ABC A B C -中，3AB AC ==，120BAC ∠=︒，14AA =，∴底面小圆ABC 的半径r 满足：326sin 30r ==︒，即3r =，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：R =∴三棱柱的外接球的表面积为：2452R ππ= ；故答案为：52π．22．在直三棱柱111ABC A B C -中，4BC =，90BAC ∠=︒，12AA =，则此三棱柱外接球的表面积为20π．【解析】 三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，4BC =，90BAC ∠=︒，12AA =，∴可将棱柱111ABC AA B C -=，即为球的直径，∴，∴球的表面积为2420ππ⨯=，故答案为：20π．23．已知直三棱柱111ABC A B C -的高为，BC =，120BAC ∠=︒，则该三棱柱外接球的表面积为16π；【解析】设直三棱柱111ABC A B C -的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P ，M ，设ABC ∆的外接圆半径为r ，直三棱柱111ABC A B C -的外接球的半径为R ，如图所示：，∴直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心O 为线段PM 的中点，在ABC ∆中，BC =120BAC ∠=︒，∴由正弦定理得：022sin120BCr ==，1r ∴=，∴在Rt OMC ∆中，OC R =，12OM =⨯=，1MC r ==，∴22214R =+=，∴直三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为：2416R ππ=，故答案为：16π．24．已知直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，侧面11BCC B 的面积为16，则直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径的最小值为【解析】设2BC x =，12BB y =，则416xy =， 直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，∴直三棱柱111ABC A B C -=∴直三棱柱111ABC A B C -外接球半径的最小值为故答案为：．25．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，则正四棱柱的外接球的表面积为24π．【解析】 正四棱柱的各顶点均在同一球的球面上，∴正四棱柱的体对角线等于球的直径， 正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，∴正四棱柱1111ABCD A B C D -的体对角线l ==∴球的直径2r =即球的半径r =，∴球的表面积为2424r ππ=，故答案为24π．26．已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为36π．【解析】设正四棱柱的底面边长为x ，高为y ，则418x y +=，0 4.5x <<，=，当且仅当4x =时，半径的最小值3=，∴外接球的表面积的最小值为4936ππ⨯=．故答案为36π．27．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =12AA =，设四棱柱的外接球的球心为O ，动点P 在正方形ABCD 的边长，射线OP 交球O 的表面点M ，现点P 从点A 出发，沿着A B C D A →→→→运动一次，则点M 经过的路径长为．【解析】由题意，点P 从点A 出发，沿着A B C D A →→→→运动一次，则点M 经过的路径是四段大圆上的相等的弧． 正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =12AA =，∴=，∴3AOB π∴∠=，AB ∴所在大圆，所对的弧长为3π=，∴点M 经过的路径长为3．故答案为：3．28．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD CD =，24AB BC ==，四边形ABCD 的外接圆的圆心在线段AC 上．若四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为36π．【解析】由题意四边形ABCD 的外接圆的圆心在线段AC 上，可得ABC ∆和ACD ∆都是以AC 为斜边的直角三角形，因为24AB BC ==，所以AC =AD CD =，所以AD CD ==，所以四边形ABCD 的面积1142922S =⨯⨯+⨯．因为四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，所以14AA =，所以该四棱柱的外接球的半径3R ==，故该四棱柱的外接球的体积为34363R ππ=．故答案为：36π．29．已知六棱柱A BCD 1EF A -111B C D 11E F 的底面是正六边形，侧棱与底面垂直，若该六棱柱的侧面积为48，底面积为，则该六棱柱外接球的表面积等于32π．【解析】设AB a =，1AA b =， 六棱柱的侧面积为48，底面积为，648ab ∴=262= ，2a ∴=，4b =，∴该正六棱柱的外接球的半径R ==．∴该正六棱柱的外接球的表面积2432S R ππ==．故答案为：32π．30．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为25π．【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，∴直六棱柱的外接球的直径为5，∴外接球的半径为52，∴外接球的表面积为254254ππ⨯=．故答案为：25π．31．正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则它的外接球的表面积为22(4)a h π+．【解析】 正六棱柱的12个顶点都在同一球面上，∴球的直径等于正六棱柱的体对角线． 正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，∴=设球的半径为R ，则2R =．∴球的半径R =∴外接球的表面积为22222444(4)4a h R a h πππ+=⨯=+．故答案为：22(4)a h π+．32．已知矩形A BCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为13π．【解析】设正六棱柱的底面边长为x ，高为y ，则69x y +=，0 1.5x <<，正六棱柱的体积2333(96)633(96)[]46632x x x V x y x x x ++-=⨯=-= ，当且仅当1x =时，等号成立，此时3y =，=∴外接球的表面积为134134ππ⨯=．故答案为：13π．33．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为100π．【解析】如图，；正六棱柱的外接球的直径是正六棱柱体对角线FH 的长，侧棱垂直于底面，FG GH ∴⊥；在FGH ∆中，由勾股定理得：222226(24)100FH FG GH =+=+⨯=，2(2)100R ∴=，即24100R ππ=；∴它的外接球的表面积为100π．故答案为：100π．34．已知正六棱柱的高为8，侧面积为144，则它的外接球的表面积为100π．【解析】设正六棱柱的底面正六边形的边长为a ，则正六棱柱的侧面积为6848144a a ⨯==，得3a =，因此，底面正六边形的外接圆直径为226r a ==，设它的外接球的半径为R ，则22222(2)(2)868100R r =+=+=，5R ∴=，因此，该正六棱柱的外接球的表面积为24100S R ππ==．故答案为：100π．。
微专题7 立体几何中的“三球”问题 归纳 课件
PA∩AB＝A，PA⊂平面 PAB，AB⊂平面 PAB，所以 BC⊥
平面 PAB.又 PB⊂平面 PAB，所以 BC⊥PB，所以△PAC，
△PBC 都是以 PC 为斜边的直角三角形．如图，取 PC 的中点 O，连接
OA，OB，则 OA＝OB＝OP＝OC，即点 O 为三棱锥 P－ABC 外接球的球
心．因为在 Rt△PAC 中，PA＝3，AC＝2，所以 PC＝ 32＋22＝ 13，所
【答案】80π
3 已知菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，沿BD把△ABD折 起，得到三棱锥A′－BCD，且二面角A′－BD－C的平面角为120°，则 三棱锥A′－BCD外接球的表面积为________.
【解析】如图，取BD的中点H，连接A′H，CH.因为ABCD为菱形， 所以A′H⊥BD，CH⊥BD，故∠A′HC为二面角A′－BD－C的平面角， 即∠A′HC＝120°.由题意，得△A′BD，△BCD为正三角形，则外接 球的球心位于过△A′BD，△BCD的中心且和它们所在面垂直的直线上， 故分别取△A′BD，△BCD的重心为G1，G2，过点G1，G2分别作两个平 面的垂线交于点O，则点O为三棱锥外接球的球心．由题意，得球心到
面 ABC，又因为 OH∥AD，所以 AD⊥平面 ABC.因为
AB⊂平面 ABC，所以 AD⊥AB.在 Rt△ABD 中，AD＝
BD2－AB2＝2.在 Rt△ABC 中，AB＝2BC＝2，所以 AC＝ AB2－BC2＝ 3，
所以
S△ABC＝12AC·BC＝
23，故
VD－ABC＝13AD·S△ABC＝
【答案】C
3 已知在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AA1＝2，BC＝ 3AC， 则当该三棱柱的体积最大时，其外接球的体积为( C )
高考二轮复习《专题三：简单几何体的外接球》课件
AC BD 7,则此四面体的外接球的表面积为 55 .
6
A
7
5
7
B 6
a
D
c
5
b
C
a2 b2 36
a2
c2
49
b2 c2 25
R 1 a2 b2 c2
2
1 55 2
课程小结
关键
几何体的外接球
确定球心
棱锥的外接球
交点
棱柱的外接球
过外心的 面的垂线
棱的中垂 面
.
A
B
C
自主探究
6.在三棱锥 A BCD中，BC CD 2, BC CD, AB 平
面 BCD, AB 4 ，则此三棱锥的外接球的表面积为 24 .
A
D
B
C
B
C
自主探究
6.在三棱锥 A BCD中，BC CD 2, BC CD, AB 平
面 BCD, AB 4 ，则此三棱锥的外接球的表面积为 24 .
体的外接球的表面积为 28 .
AMC 120o,OMC 60o
A
MM1
1 CM 3
1，
O
D
OM1
3，Q
M1C
2 CM 3
2
M
M1
B
R OC 7
C
巩固训练
2.已知正三棱锥 A BCD ，底面边长为2 ，侧棱长为 2 则该正
三棱锥的外接球的表面积为 6 . A
O RD
B
M
C
巩固训练
3.已知四面体 A BCD中，AB CD 5 , AD BC 6,
自主探究
1.棱长为 a的正方体的外接球的半径为
3a 2
高考数学一轮复习第六章专题六几何体的外接球与内切球问题课件
)
A.4 3π
B.8π
C.12π
D.20π
解析：在底面△ABC 中，由正弦定理得底面△ABC 外接圆的
半径为
r＝2sin B∠CBAC＝2sin2
3π＝ 4
2.
直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的半径 R＝ ( 2)2＋12＝ 3，
r2＋A2A12＝
则直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的体积为43πR3＝4 3π.
当
λ＝12时，cos〈E→B，E→G〉＝2
3
2 .
∴cos〈E→B，E→G〉的最大值为2
3
2 .
∵A→C＝(－1，1，0)，A→F＝(0，1，1)， ∴E→B·A→C＝E→B·A→F＝0. ∴EB⊥AC，EB⊥AF. ∵AC∩AF＝A，∴EB⊥平面 AFC. ∵E→B·E→G>0，∴cos〈E→B，E→G〉即为 EG 与平面 AFC 所成角
如图 6-7 所示，把四面体 S-ABC 补全为长方体 ABCD-SPMN， 其中 SA，AB，BC 为长方体中首尾相连且两两相互垂直的三条棱， 点 H 为 PM 中点.
图 6-7
∵GH∥AP，∴G，H 两点到平面 AEF 的距离相等.
设点 H 到平面 AEF 的距离为 d.
∵△APF 是边长为 2 2的等边三角形，
[例 1]已知一个圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内
切球的表面积为( )
A.π
B.32π
C.2π
D.3π
解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图
6-1 所示.设球的半径为 r，易知轴截面三角形边 AB
上的高为 2 2，因为△SOD∽△SBE，所以SSOB＝OBED，
即2 32－r＝1r，解得 r＝ 22.所以圆锥内切球的表面
培优课 与球有关的切接问题课件-2024届高三上学期数学一轮总复习
所以球表面积S=4πR2=28π.
故选A.
常见的构造长方体模型
(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内,如图1所示.
(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图2所示.
墙角模型
(3)正四面体 P-ABC 可以补形为正方体且正方体的棱长 a= ,如图 3 所示.
依然有外接圆圆心（外心），底面多边形的外心到底面各顶点的距离都相等，故过底面多边
形的外心作底面的垂线即可。
球心位置推广：过底面多边形的外心作底面的垂线，则垂线上任一点到多边形各顶点的距离
都相等，则外接球的球心位于这条垂线上，可利用勾股定理求出外接球半径。
两个类型：
一般地,设棱锥的高为H,底面外接圆圆心为1 ,底面外接圆半径为r,接球球心为,外接球半径
3 2
)
3
h为三棱锥的高，
a为底边长
圆柱外接球模型
ℎ
2
2 = 2 +( )2
侧面与底面垂直的锥体外接球半径模型
l 2
= + −( )
4
①面ABD与面CBD互相垂直
2
22
12
②1 、2 为上面两个面的外接圆半径
③l为两个面的交线，也即BD
2.普通棱锥的外接球：
对于普通棱锥来说，底面不是正多边形，也没有底面正多边形的中心的概念，但底面多边形
ℎ
棱柱外接球半径R满足：R2=(2)2+r2.
二、棱锥的外接球：
1．正四面体的外接球与内切球：
当正三棱锥的侧棱与底边相等时，构成正四面体。
题型一:若有三棱锥三边两两垂直的,则用补法构造一个长方体,该长体的体对线为该几何体的外
【课件】球与多面体的内切、外接课件2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
o2
o
5πa2
●
R
r o1
课堂练习
2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球
32π
的体积为
，那么这个正三棱柱的体积是(
3
A．96 3
C．24 3
)
B．16 3
√D．48
3
1 3
3
设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径 R＝ × a＝ a，
3 2
6
3
正三棱柱的高为 a.
3
4 3 32π
三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或
A
正方体．
P
B
C
探究新知
总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系
1.若正四面体棱长为a，外接球半径为R，内切球半径为r，则
r PO R
6
R
a
4
R : r 3 :1
6
r
a
12
6
6
6
a
a
a.
3
4
12
P
P
a
a
A
V 球＝ πR ＝ .∴a＝4 3.
3
3
3
3
2
∴V 柱＝ ×(4 3) × ×4 3＝48 3.
4
3
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥 ①内切球
P
例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与
它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
A
解1：如图，P-ABC为正三棱锥,
设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E ∴PD=2,易知
1
V锥体 Sh
3
外接球与内切球半径
× ( + + ) × =
2
足高h=2r的圆柱有内切球。
正方形对角线交点。
4.长方体：长方体外接球的球心为其体对角线的中点
对于长宽高分别为a.b.c的长方体，其外接球半径为：
2
特别地：对于正方体，其长宽高均为a，故其外接球半径为
R=√23
注：对于一般几何体可建立直角坐标系，根据球心到各顶点距离相等建立 方程组求解。
二丶内切球半径
1.正方体：
正方体内切球球心位于其体对角线中点处，对于边长为a的正方体，其
内切球半径
R=2
2.正三棱锥：
正三棱锥内切球球心到各面距离均为R（R为内切球半径），故以内切球 球心为顶点，各面为底面将其分成4个三棱锥。（其中3个以侧面为底 的三棱锥体积相同，当棱长均为a时，分成的4个三棱锥体积均相同）对于边长为a的正三棱锥，各面均为边长为a的正三角形，内切球球心到各面距离均为R，故由分成的小三棱锥体积和等于正三棱锥体积可得：
（4）有一侧面与底面垂直（侧面A1B1C1⊥底面B1C1CB）且底面为矩形的四棱锥A1-B1C1CB的外接球半径为：
ℎ
R = √2+ （ ）2
其中：r为棱锥中与底面垂直的侧面△A1B1C外接圆的半径，h为与侧面A1B1C1垂直的矩形的边BB1的长度。
注：三角形外接圆半径可由正弦定理推导，即= ××ℎ
33其中，S为正三棱锥各面面积，h为正三棱锥的高且h=√6故R=√6
12
3.正四棱锥：推导方法同正三棱锥内切球半径推导一样，以内切球球心为顶点，各面 为底面将正四棱锥分成4个体积相等的三棱锥和一个四棱锥。（其中4个以侧面为底的三棱锥体积相同）
侧面面积为1=1×2× sin60°=√32
几何体外接球半径常见的求法
多面体外接球、内切球半径的求法 与球有关的问题，一种是内切，一种是外接。
作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。
解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。
一：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
注：1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
r S V 表31= 练习：设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则cb a S r ++=2，类比这个结论：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于（ ）A ．4321S S S S V +++B ．43212S S S S V +++C ．43213S S S S V +++D ．43214S S S S V +++ （等体积法：()R S S S S V V V V V SBC O SAC O SAB O ABC O ⨯+++=+++=----432131，所以43213S S S S V R +++=．） 二：1、球的表面积公式 ，球的体积公式 。
2、球的截面性质：截面圆的半径r 与球心到截面的距离d 和球的半径R 的关系是 。
例1.(1)．用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）A ．320πB ．3520π C ．π520 D ．3100π （2）在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π．求球的表面积． （3） 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．（4）已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．(5)．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比（ ）A ．316B ．916C ．38D ．932（6）棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ．22 B ．1 C ．212+ D ．2[（7）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3C 、1372π3cm 3D 、2048π3cm 3(8)已知正三角形C AB 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面C AB 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是（ ）A ．74π B ．2π C ．94π D ．3π 三：平面图形外接圆半径的求法a 、直角三角形的外接圆半径b 、等边三角形的外接圆半径c 、三角形外接圆半径的公式（正弦定理）d 、矩形的外接圆半径e 、是不是任何平面四边形都有外接圆（内对角互补的平面四边形有外接圆）f 、若平面四边形有外接圆，则求其中三点构成的三角形的外接圆即可（正弦定理）g 、三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，则正弦定理：r Cc B b A a 2sin sin sin === 余弦定理： abc b a C ac b a c B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+=-+=-+= 练习： 平面四边形ABCD 中，AB=1，AD=3，∠BAD=60º,AB ⊥BC,AD ⊥CD,则四边形ABCD 外接圆的半径r= . 四：几个结论1、空间四边形OABC 中，若0A=0B=0C,在O 在平面ABC 内的射影是△ABC 的 心。
几何体外接球和内接球半径几种求法课件
目录
CONTENTS
• 几何体外接球和内接球的基本概念 • 几何体外接球的求法 • 几何体内接球的求法 • 几何体外接球和内接球的典型例题解析 • 几何体外接球和内接球的注意事项
01
CHAPTER
几何体外接球和内接球的基 本概念
定义与性质
外接球
对于一个多面体，外接球是指包 含该多面体的所有顶点的球体。
单位要统一
在计算过程中，所有的长度单位必须 统一，否则会导致计算错误。
精度问题
在计算过程中，需要注意精度问题， 以避免舍入误差导致的结果偏差。可 以使用高精度的数学库或工具进行计 算，以确保结果的准确性。
THANKS
谢谢
详细描述
首先，设长方体的三个边分别为a、b、c，然后利用勾股定理 计算其对角线的长度。这个对角线的长度就是外接球的直径 ，因此，通过除以2即可得到外接球的半径。
利用向量求外接球半径
总结词
利用向量求外接球半径是一种基于向量的方法。通过向量的运算和性质，结合几 何体的特征，可以求出外接球的半径。
详细描述
几何体外接球和内接球的半径公式
对于正四面体，外接球的半径 $R = frac{sqrt{6}}{4}a$，其中 $a$ 是正四面体的边长；内接球
的半径 $r = frac{sqrt{6}}{12}a$。
对于正六面体，外接球的半径 $R = frac{sqrt{3}}{2}a$，其中 $a$ 是正六面体的边长；内接球 的半径 $r = frac{a}{2sqrt{3}}$
05
CHAPTER
几何体外接球和内接球的注 意事项
确定几何体的外心和内心
确定外心
外心是外接圆的圆心，也是三条垂直平分线 的交点。对于三角形，外心是三条垂直平分 线的交点；对于矩形，外心是两条对角线中 点连线的交点；对于正四面体，外心是三条 高线与底面交点的连线的交点。
直三棱锥外接球半径公式
直三棱锥外接球半径公式直三棱锥外接球半径公式是指在给定直三棱锥的情况下，通过计算可以得到外接球的半径。
直三棱锥是一种特殊的三棱锥，它的底面是一个等边三角形，而其他三个面都是以底面的三个顶点为顶点的三个等腰三角形。
在几何学中，直三棱锥被广泛应用在建筑、工程和科学研究等领域。
要计算直三棱锥的外接球半径，我们需要了解一些基本的几何知识。
首先，我们知道直三棱锥的底面是一个等边三角形，即底面的三条边相等。
假设这个等边三角形的边长为a。
其次，我们知道直三棱锥的高度是指从顶点到底面的距离，假设直三棱锥的高度为h。
根据几何学的原理，直三棱锥的外接球半径可以通过以下公式计算：R = a / (2 * sin(π/3))其中，R表示外接球的半径，a表示等边三角形的边长，sin表示正弦函数，π表示圆周率。
这个公式的推导可以通过利用直三棱锥的几何特性进行证明。
首先，我们可以通过连接直三棱锥的底面三个顶点和顶点到底面三个中点的线段，将直三棱锥分割为四个小三棱锥。
由于底面是等边三角形，所以这四个小三棱锥的底面都是等边三角形。
接下来，我们可以观察到这四个小三棱锥的外接球半径是相等的。
由于底面是等边三角形，所以这四个小三棱锥的高度也是相等的。
根据几何学的原理，一个三棱锥的外接球半径等于其底面边长与高度的比值的一半。
因此，我们可以得到直三棱锥的外接球半径公式。
通过上述公式，我们可以计算出直三棱锥的外接球半径。
这个公式可以帮助我们在实际应用中确定直三棱锥的外接球的大小，从而进行相关计算和设计。
总结一下，直三棱锥外接球半径公式是通过计算直三棱锥的底面边长和高度来确定外接球的半径。
这个公式的推导基于直三棱锥的几何特性，可以在建筑、工程和科学研究等领域中得到应用。
通过计算直三棱锥的外接球半径，我们可以更好地理解和应用直三棱锥的几何性质。
三棱柱的内外接球半径公式
三棱柱的内外接球半径公式三棱柱是一个有六个面的多面体，其中三个面是等边三角形，另外三个面是矩形。
在三棱柱中，我们可以找到内接球和外接球。
内接球是指与棱柱的每个面都相切的球，而外接球是指与棱柱的每个顶点都相切的球。
在这篇文章中，我们将探讨如何计算三棱柱的内接球和外接球的半径。
首先，我们来计算三棱柱的内接球半径。
对于一个三棱柱，我们可以将其切割成三个平面等边三角形和三个矩形。
由于三棱柱的每个面都是等边三角形，我们可以将其中一个面的边长记为a。
根据三角形的性质，我们知道三角形内接圆的半径r与三角形的面积A的关系为r=A/s，其中s为三角形的半周长。
三角形的半周长s可以通过边长a来计算，即s=3a/2现在我们需要计算三角形的面积A。
由于我们假设三棱柱的每个面都是等边三角形，所以三角形的面积公式为A=a^2*√3/4将三角形的面积A和半周长s代入内接圆半径的公式，我们可以得到内接球半径的公式为：r=(a^2*√3/4)/(3a/2)=a*√3/6所以，三棱柱的内接球半径公式为r=a*√3/6接下来，我们来计算三棱柱的外接球半径。
对于一个三棱柱，我们可以将其切割成三个平面等边三角形和三个矩形。
由于三棱柱的每个顶点都位于一个面的外接圆上，我们可以将其中一个面的外接圆半径记为R。
根据三角形的性质，我们知道三角形外接圆的半径R与三角形的边长a的关系为R = a / (2sin(π / 3))。
将三棱柱的每个面的边长取为a，我们可以得到外接球半径的公式为：R = a / (2sin(π / 3))=a/(2*√3/2)=a/√3=a*√3/3所以，三棱柱的外接球半径公式为R=a*√3/3综上所述，三棱柱的内接球半径公式为r=a*√3/6，外接球半径公式为R=a*√3/3这些公式可以帮助我们计算三棱柱的内接球和外接球半径，从而深入理解三棱柱的几何特性。
几何体的外接球课件
O R
B
C
l 设柱体的高为l , 底面外接圆的半径为r, 则有R r 2
2
2
构造直角三角形使用技巧
椎体的外接球
O
O
O1
A
O1
A
设椎体的高为h, 底面外接圆的半径为r, 则有R r h R
2
2
补形法的使用技巧
根据题中给出的线面位置关系，将其放到特殊的 几何体中，转化为直接法或构造直角三角形法。
小结1 如何求直棱柱的外接球半径呢？ （1）先找外接球的球心： 它的球心是连接上下两个多边形的外心 的线段的中点； （2） 再构造直角三角形，勾股定理求解。
二、构造直角三角形
2010 年理 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
OB OO O1B
1 1 2 6 6 3 ∴V 棱锥＝ Sh＝ a · a＝ a . 3 3 2 6 1 根据 r· S ＝V 棱锥，有 3 全 6 3 3V棱锥 3× 6 a 42－ 6 r＝ ＝ a. 3＝ 12 S全 ( 7＋1)a
构造直角三角形使用技巧
球心在几何体外部
设椎体的高为h, 底面外接圆的半径为r, 则有R r h R
多面体外接球的半径的求法
• 方法一：直接法
• 方法二：构造直角三角形 • 方法三：补形
一、直接法
2010 年文 (7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a 、a 、a,其顶点都在一个 球面上，则该球的表面积为 （A ） 3 a2 （B） 6 a2 （C ） 12 a 2 （D ） 24 a 2
2 1
2
构造直角三角形使用技巧
任意直棱柱的外接球 圆柱的外接球
球与正三棱锥和正三棱柱的切接关系 ppt课件
斜高 h 2 a , 高 h a2 ( 3 b)2 a2 6 a2 3 a
2
3
9
3
代入正三棱锥内切球半径公式：
得：
r a 3
3 36
3a
r 3 bh 6h 3 b
OK C HD
B
P
K O
又 正三棱锥外接球半径
R 3a 2
H
D
r 3 3 3 3 3 2 3 1
PA2 PH PO , 即 a2 6 a PA2 AO2 PO2 ,即 a2 1 x2
a2 1 6 a2 3 a2 , a2 2 , a 2 , x 3
42
7
§4 球与棱柱切接问题举例
PA 2 PH PM , 即 a2 h 2R
或在RtΔAHO中， AH 2 HO2 AO2
,
即 （ 3 b)2 (h R)2 R2 3
1
正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）
P
P
设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，
高为h，斜高为h ́，内切圆半径为r，
又∠APB=∠BPC=∠CPA=60°∴Δ PAB、Δ PBC、Δ PCA、Δ ABC为全等的
等边三角形，∴P---ABC为正四面体；O---ABC为正三棱锥。
由已知得球半径R=1，设PA=a，OP=x，设P在底面ABC上的射影为H（也是O在底面 ABC上的射影），则AH⊥PH.在RtΔ PAO中，有：
于A，B，C三点，若球的体积为 4 ， 则OP的距离为（ B ）
3
A. 2 B. 3 C. 1 D. 2
P
2
P
解析：先想象一下图形，画出示意图
人教版高中数学外接球问题常见解法(共15张PPT)教育课件
面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。，求其外
接球的半径.
z
P（0,0,2）
球心坐标（1, 3,1）
（A 0,0,0）
C（-1，3,0）
y
R 5
（B 2,0,0） x
轴截面法
学习小结
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、构造直角三角形法 3、向量法
练习1
D
A
D
A
C
C
B
R= 6 , 4
•
•
在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
P 1
1
C
B
B
注意：图中三棱锥的外接球与长方
体的外接球是同一个球。
方法介绍
法二：构造直角三角形
A Q
基本步骤：
2023年高考数学----直棱柱外接球规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----直棱柱外接球规律方法与典型例题讲解【规律方法】如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1 图2 图3 第一步：确定球心O 的位置，1O 是∆ABC 的外心，则1⊥OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径1=AO r ，111122==OO AA h （1=AA h 也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：22211=+OA O A O O ⇒222()2=+hR r⇒=R R【典型例题】例1．（2022·河南新乡·一模（理））已知正三棱柱的侧棱长为l ，底面边长为a ，若该正三棱柱的外接球体积为32π3，当l a +最大时，该正三棱柱的体积为（ ） ABCD【答案】B【解析】因为正三棱柱外接球的体积为3432ππ33R =，所以2R =， 设球心为O ，底面外接圆圆心为O '，由正三棱锥可得12OO l '=，底面外接圆半径r ，所以由勾股定理得22443l a +=， 图3-1图3-2图3-3设l a m +=，当直线l a m +=与曲线22443l a +=相切时，m 最大， 联立方程组22443l a m l a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22763480a ma m −+−=，由Δ0=，得m =−，此时a =，l =所以正三棱柱的体积2V l = 故选：B例1．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AA BC ==，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（ ） AB ．323π CD【答案】C【解析】因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， 所以，1AA ⊥平面ABC所以，要使三棱柱的体积最大，则ABC 面积最大， 因为1sin 2ABC S BC AC ACB =⋅⋅∠△， 令AC x =因为BC，所以2sin ABCSx ACB =⋅∠，在ABC中，2222cos 2AC BC AB ACB AC BC +−∠==⋅所以，224224416(1)43216sin 11212x x x ACB x x −−+−∠=−=，所以，()22422424123384()sin 34434ABCx x x Sx ACB −−+−+−=⋅∠=⋅=≤，所以，当24x =，即2AC =时，2()ABCS 取得最大值3，所以，当2AC =时，ABCS此时ABC为等腰三角形，2,AB AC BC ===所以，()22244121cos ,0,22222AB AC BC BAC BAC AB AC π+−+−∠===−∠∈⋅⨯⨯， 所以23BAC π∠=， 所以，由正弦定理得ABC 外接圆的半径r42sin3r==，即2r =， 所以，直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径222152AA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即R =所以，直三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为343R π=.故选：C例2．（2021·四川泸州·二模（文））直六棱柱的底面是正六边形，其体积是的外接球的表面积的最小值是（ ） A ．4π B ．8πC ．12πD ．24π【答案】C【解析】设正六边形的边长为a，则底面面积为226S ==， 设(0)AC x x =>，则正六棱柱的体积为2V Sh x ==⨯=， 解得24xa =，即24a x=，又由该六棱柱的外接球的直径为2BC r =所以该六棱柱的外接球的表面积为：2222164(4)(),(0)S r x a x x xπππ'==+=+>， 令()216(0)f x x x x =+>，则()2162f x x x'=−， 令()0f x '=，解得2x =，当02x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当2x >时，()0f x '<，()f x 单调递增， 所以当2x =时，()f x 取得最小值12，所以该六棱柱的外接球的表面积的最小值为12π. 故选：C.。
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棱 （3）底面△ABC中，∠ACB=120°,AC=BC=2。 柱
的 外
解：O1是三角形ABC外心，在△ABC中，
接
∠ACB=120°， AC=BC=2，
球 半
由余弦定理得AB= 2 3
径
由正弦定理得△ABC的外接圆半径
O1C=2 在RT△OO1C中，
O1C= 2 ， OO1=2
∴R=OC= 2 2
的
外
接
球
半
径
直 三 棱 柱 的 外 接 球 半 径
直三棱住外接球半径
如图：直三棱柱ABC-A1B1C1中，棱柱高为4，
直 在如下情况求该三棱柱外接球半径。
三 棱
（1）底面△ABC中，AC⊥BC，边长AC=4,BC=2；
柱
的
外
解：在RT△ABC中，AC=4，
接
球
BC=2
半 径
∴AB= 2 5，O1C= 5
在RT△OO1C中，O1C= 5 ，
OO1=2 ∴R=OC=3
如图：直三棱柱ABC-A1B1C1中，棱柱高为4，
直 在如下情况求该三棱柱外接球半径。 三 棱 （2）底面△ABC是正三角形，边长为2；
柱
的
外
解：O1是正三角形ABC中心，
接
球 半 径
边长为2，O1C=
23 3
在RT△OO1C中，O1C=
2
3 3
，
OO1=2 ∴R=OC= 4 3
3
直 三
如图：直三棱柱ABC-A1B1C1中，棱柱高为4， 在如下情况求该三棱柱外接球半径。
直
三
棱 直三棱住外接球半径求解的一般步骤：
柱 的
（1）求上下底面外接圆的圆心
外 （2）连接两个圆心找中点（即为外接球的球心）
接 球
（3）连接球心与底面圆心构造特征直角三角形
半
径
直 作业：如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
三 棱
矩形，平面PAD⊥平面ABCD，且PA ⊥ PD，AB
柱 =4，AD=2，求该四棱锥外接球半径。