线性代数第四章练习册答案全
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4．
解：
所以，
§4-2齐次线性方程组
一、选择题
1．已知 矩阵 的秩为 ， 是齐次线性方程组 的两个不同的解， 为任意常数，则方程组 的通解为（D）.
A. ；B. ；
C. ；D. .
解：因为 矩阵 的秩为 ，所以方程组 的基础解系含1个向量。
而 是齐次线性方程组 的两个不同的解，所以 为 的解，
则方程组 的通解为 。
C. ；D. .
二、填空题
1． 元非齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 .
2．若5元线性方程组 的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则 3.
3．设有一个四元非齐次线性方程组 ， ，又 是它的三个解向量，其中 ， ，则非齐次线性方程组的通解为
.
解：因为 是 三个解向量，则
是 的解，
而 ，所以 是 的一组基础解系，
第四章线性方程组
§4-1克拉默法则
一、选择题
1．下列说法正确的是（C）
A. 元齐次线性方程组必有 组解；
B. 元齐次线性方程组必有 组解；
C. 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；
D. 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解.
2．下列说法错误的是（B）
A.当 时，非齐次线性方程组只有唯一解；
B.当 时，非齐次线性方程组有无穷多解；
一、选择题
1．若 ，则 元线性方程组 D.
A.有无穷多个解；B.有唯一解；C.无解；D.不一定有解.
2．线性方程组 （A）.
A.无解；B.只有0解；C.有唯一解；D.有无穷多解.
3．方程組 有唯一解，则 应满足（A）.
A. ；B. ；
C. ；D. .
4．设A＝ ， ， 有解的充分必要条件为（D）．
A. ；B. ；
A． ；B． ；
C． ；D． ．
二、填空题
1． 元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 .
2．当 时，齐次线性方程组 有非零解.
3．写出一个基础解系由 ， 组成的齐次线性方程组_____ .
解：方程组可为 即
三、求解齐次线性方程组
解：
所以，同解方程组为 ，令
所以，通解为 。
四、已知3阶非零矩阵 的每一列都是方程组 的解.
C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则 ；
D.若非齐次线性方程组有无解，则 .
二、填空题
1．已知齐次线性方程组 有非零解，则 1， 0.
2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式 ,则方程组有唯一解
.
三、用克拉默法则求解下列方程组
1．
解：
，
所以，
2．
解：
，
，
所以，
3．
解：
，
，
所以，
2．设线性方程组 有非零解，则下列说法正确的是（C）.
A. 必定为0；B. 必定为1；
C. 为0或1；D.这样的 值不存在.
3． ,且 ， ，则 的基础解系中含有（A）个向量.
A. ；B. ；C. ；D.不确定.
解：因为
所以， ，所以， 。
4．设 为 阶方阵， ，且 是 的三个线性无关的解向量，则 的基础解系为（A）．
①求 的值；②证明 .
①解：因为3阶非零矩阵 的每一列都是方程组的解.所以方程组有非零解。
系数行列式 。
②证明：依题意， 。假设 ，则B可逆，
，矛盾。所以， 。
补充：求证： ， .
证明：依题意，矩阵B的所有列向量 都是齐次线性方程组 的解，而 解空间的维数是 ，所以， ，即 。
§4-3非齐次线性方程组
又 是 的解，
所以， 的通解为
三、求解非齐次线性方程组
解：
四、 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ何值时，线性方程组
（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？
说明:对于方程个数与未知量个数相等的含参数的线性方程组,判别其由唯一解,有无穷解或无解时最好用:方程组有唯一解 系数行列式 ,此种方法简单又不容易出错.
解:方程组有唯一解 系数行列式
解：
所以，
§4-2齐次线性方程组
一、选择题
1．已知 矩阵 的秩为 ， 是齐次线性方程组 的两个不同的解， 为任意常数，则方程组 的通解为（D）.
A. ；B. ；
C. ；D. .
解：因为 矩阵 的秩为 ，所以方程组 的基础解系含1个向量。
而 是齐次线性方程组 的两个不同的解，所以 为 的解，
则方程组 的通解为 。
C. ；D. .
二、填空题
1． 元非齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 .
2．若5元线性方程组 的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则 3.
3．设有一个四元非齐次线性方程组 ， ，又 是它的三个解向量，其中 ， ，则非齐次线性方程组的通解为
.
解：因为 是 三个解向量，则
是 的解，
而 ，所以 是 的一组基础解系，
第四章线性方程组
§4-1克拉默法则
一、选择题
1．下列说法正确的是（C）
A. 元齐次线性方程组必有 组解；
B. 元齐次线性方程组必有 组解；
C. 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；
D. 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解.
2．下列说法错误的是（B）
A.当 时，非齐次线性方程组只有唯一解；
B.当 时，非齐次线性方程组有无穷多解；
一、选择题
1．若 ，则 元线性方程组 D.
A.有无穷多个解；B.有唯一解；C.无解；D.不一定有解.
2．线性方程组 （A）.
A.无解；B.只有0解；C.有唯一解；D.有无穷多解.
3．方程組 有唯一解，则 应满足（A）.
A. ；B. ；
C. ；D. .
4．设A＝ ， ， 有解的充分必要条件为（D）．
A. ；B. ；
A． ；B． ；
C． ；D． ．
二、填空题
1． 元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 .
2．当 时，齐次线性方程组 有非零解.
3．写出一个基础解系由 ， 组成的齐次线性方程组_____ .
解：方程组可为 即
三、求解齐次线性方程组
解：
所以，同解方程组为 ，令
所以，通解为 。
四、已知3阶非零矩阵 的每一列都是方程组 的解.
C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则 ；
D.若非齐次线性方程组有无解，则 .
二、填空题
1．已知齐次线性方程组 有非零解，则 1， 0.
2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式 ,则方程组有唯一解
.
三、用克拉默法则求解下列方程组
1．
解：
，
所以，
2．
解：
，
，
所以，
3．
解：
，
，
所以，
2．设线性方程组 有非零解，则下列说法正确的是（C）.
A. 必定为0；B. 必定为1；
C. 为0或1；D.这样的 值不存在.
3． ,且 ， ，则 的基础解系中含有（A）个向量.
A. ；B. ；C. ；D.不确定.
解：因为
所以， ，所以， 。
4．设 为 阶方阵， ，且 是 的三个线性无关的解向量，则 的基础解系为（A）．
①求 的值；②证明 .
①解：因为3阶非零矩阵 的每一列都是方程组的解.所以方程组有非零解。
系数行列式 。
②证明：依题意， 。假设 ，则B可逆，
，矛盾。所以， 。
补充：求证： ， .
证明：依题意，矩阵B的所有列向量 都是齐次线性方程组 的解，而 解空间的维数是 ，所以， ，即 。
§4-3非齐次线性方程组
又 是 的解，
所以， 的通解为
三、求解非齐次线性方程组
解：
四、 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ何值时，线性方程组
（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？
说明:对于方程个数与未知量个数相等的含参数的线性方程组,判别其由唯一解,有无穷解或无解时最好用:方程组有唯一解 系数行列式 ,此种方法简单又不容易出错.
解:方程组有唯一解 系数行列式