《线性代数》向量组的线性相关与线性无关

a11 a21
an1
即行列式 D = a12 a22
an2 = 0 ?
核心问题！
a1n a2n
ann
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
特殊方法（举例）
亦即
例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1
0
0
0
α1
=
0
,
0
α2
=
1
,
0
α3
=
0 1
,
α4
=
即 b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合，也就是说b可由 a1，a2 ，a3线性表示.
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量 组a1，a2 ， ，am线性表示.
0
0
0
0
0
1
证: 对于向量组a1, a2, a3, a4,设有
一组数k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立
k1α1 + k2α2 + k3α3 + k4α4 = o ,
k1 0 0 0 k1 0
0 0 0
+
k2 0 0
+
0 k3 0
一的.
证明： 先证明b可由向量组a1，a2， ，am线性表示. 因为向量 组a1，a2，，am，b线性相关，因而存在一组不全为零的数l1， l2，， lm及l，使
l1a1+l2a2+ + lmam+ lb=o ， 这里必有l0，否则，上式成为
l1a1+l2a2+ + lmam=o ， 且l1，l2，，lm不全为零，这与线性无关矛盾.因此l0 .
ann 0
a11k1 + a21k2 +
a12k1 + a22k2
+
a1nk1 + a2nk2 +
+ an1kn = 0 + an2kn = 0
+ annkn = 0
从而得向量组a1，a2， ，an，线性无关(相关)的充分必要条件是:
a11 a21
an1
D = a12 a22
an2 (=)0 .
即只有当k1=k2=k3=k4=0时，上
式才成立，所以向量组a1, a2, a3, a4,线性无关.
特殊方法（举例）
亦即方程组
例8. 讨论下列向量组的线性相关性.
1
0
3
2
α1
=
1
1
,
α2
=
2
,
1
α3
=
1
,
0
α4
来自百度文库
=
-4
-3
2
3
1
-7
1 0 3 2 0
1 1
+
0 0 k4
=
k2 k3 k4
=
0 0 0
,
从而得
k1 0
k2 k3 k4
=
0 0 0
,
即
1 0 0 0 0
k1
0 0
+
k2
1 0
+
k3
0 1
+
k4
0 0
=
0 0
,
0 0 0 1 0
011
即代数方程组只有零 解： k1=k2=k3=0.
所以方程组只有零解 k1=k2=k3=0 ，从而b1，b2，b3线性无关.
讨论： 1.含有零向量的向量组是否线性相关. 2.仅有一个向量构成的向量组线性相关的条件. 3.仅有两个向量构成的向量组线性相关的条件. 4.单位向量组e1，e2， ，en是否线性相关.
例3．零向量是任何一组向量的线性组合.
这是因为o=0a1+ 0a2+ + 0 am . 例4．向量组a1，a2 ， ，am中的任一向量ai(1im)都是此
向量组的线性组合.
这是因为ai=0a1+ + 1ai + + 0 am .
例5．线性方程组的向量表示(向量方程)
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1
例2．任何一个n维向量a=(a1, a2, , an)都是n维向量组
e1=(1, 0, , 0)，e2=(0, 1, , 0)， ，en=(0, 0, , 1)的线性组合.
这是因为a=a1e1+ a2e2+ + an en .
注：向量组 e1，e2， ，en称为 n 维单位（或基本）向量组.
所以，表示法是惟一的.
定理3 如果向量组中有一部分向量（称为部分组）线性 相关，则整个向量组线性相关.
证明：设向量组a1，a2， ，am中有r个向量的部分组线性相关， 不妨设a1，a2， ，ar线性相关，则存在一组不全为零的数l1， l2，， lr使
l1a1+l2a2+ + lrar=o， 因而存在一组不全为零的数l1，l2，，lr，0，0，，0使
判定定理等进行判定，特别当利用定义时可使用观察法.
特殊方法，用于n 个n维向量组的情形. 可通过行列式判定.
一般方法（举例）
例6. 讨论下列向量组的线性相关性.
1
0
2
α1
=
1 1
,
α2
=
2 1
,
α3
=
4 3
1
3
5
解: 对于向量组，显然有
即
α3 = 2α1 + α2 ,
2α1 +1α2 + (-1)α3 = o,
故
β
=
(-
l1 l
)α 1
+
(-
l2 l
)α 2
+
+
(-
lm l
)α m
，
即b可由向量组a1，a2， ，am线性表示.
定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1，a2， ，am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表示，且表
示式是惟一的.
证明： 再证表示法惟一.
设b可表示成以下两种形式，
k1
+
2 1
k2
+
1 0
k3
+
-4 -3
k4
=
0 0
.
2 3 1 -7 0
因该方程组的系数行列式
解: 对于向量组a1, a2, a3, a4,设有
一组数k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立
k1α1 + k2α2 + k3α3 + k4α4 = o ,
即方程组
1 0 3 2 0
k1
1 1
+
k2
2 1
+
k3
1 0
+
k4
-4 -3
=
0 0
,
2 3 1 -7 0
103 2
1 2 1 -4 =0,
1 1 0 -3
2 3 1 -7
所以，线性方程组有非零解，
从而，向量组a1, a2, a3, a4,线性
am1 am
amn
bm
b1
b
=
b2
.
2
即
a1 x1 + a2 x2 + + an xn = b,
bm
或
x1 a1 + x2 a2 + + xn an = b.
7.2 线性相关与线性无关 (Linear dependent & Linear independent)
定义2 设有n维向量组a1，a2， ，am，如果存在一组
不全为零的数 k1，k2， ，km，使
k1a1+k2a2+ + kmam=o 成立，则称向量组a1，a2， ，am线性相关，否则，即只有
当k1，k2， ，km全为0时
k1a1+k2a2+ + kmam=o 才成立，则称向量组a1，a2， ，am线性无关.
线性相关性判定方法
一般方法，用于m 个n维向量组的情形. 一般可通过定义或
a1n a2n
ann
特殊方法（解题步骤）
①设有一组数k1，k2， ，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立.
(1)
②通过向量的线性运算,将(1)式化为如下齐次方程组
a11 a21
an1 0 a11k1 + a21k2 + + an1kn = 0
k1
a12 ...
k1，k2， ，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
由向量的运算性质可得
k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
a11 a21
an1 0
k1
a12 ...
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2 ...
=
0 ...
a1n a2n
结论： 1.含有零向量的向量组一定线性相关.
2.仅有一个向量构成的向量组线性相关当且仅 当该向量为零向量. 3.仅有两个向量构成的向量组线性相关当且仅当 这两个向量的分量对应成比例. 4.单位向量组e1，e2， ，en线性无关.
7.3 线性相关性判定定理
定理1 向量组a1，a2， ，am线性相关的充要条件是：向量组
相关.
解题要点：找向量方程的 非零解.
例9．设向量组a1，a2，a3线性无关，令 b1=a1+a2，b2=a2+a3， b3=a3+a1 .试证向量组b1，b2，b3也线性无关. (拆项重组法)
证明：设有一组数k1 ,k2 ,k3 ,使 k1b1+ k2b2+k3 b3 =o，
即
k1(a1+a2)+ k2(a2+a3)+k3 (a3+a1)=o，
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量 组a1，a2 ， ，am线性表示.
b =l1a1+l2a2+ + lmam， 及 b=m1a1+m2a2+ + mmam，
两式相减得
(l1-m1)a1+(l2-m2)a2+ + (lm-mm)am =o ， 由a1，a2， ，am线性无关可知
l1-m1=l2-m2= =lm-mm=0， 从而 l1=m1，l2=m2， ，lm=mm，
2.7 向量组的线性相关与线性无关
1.线性组合与线性表示 2.线性相关与线性无关 3.线性相关性判定定理
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量 组a1，a2 ， ，am线性表示.
充分性. 不妨设a1可由其余向量线性表示,即
a1=l2a2+l3a3+ + lmam， 则存在不全为零的数-1，l2，l3， ， lm，使
(-1)a1+l2a2+l3a3+ + lmam=o ， 即a1，a2， ，am线性相关.
定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1，a2， ， am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表示，且表示式是惟
中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.
证明：必要性. 因为a1，a2， ，am线性相关，故存在不全
为零的数l1，l2， ， lm，使 l1a1+l2a2+ + lmam=o .不妨设
l10，于是
α1
=
(-
l2 l1
)α 2
+
(-
l3 l1
)α 3
+
+
(-
lm l1
)α m
，
即a1为a2，a3， ，am的线性组合.
整理得 (k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=o .
因为向量组a1，a2，a3线性无关，所以必有
k1 + x2 + k3 = 0 k1 + k2 + x3 = 0 ， k1 + k2 + k3 = 0
亦即向量方程只有零 解： k1=k2=k3=0.
101 由于 1 1 0 =20，
例1．设 a1=(1, 0, 0)，a2=(0, 1, 0)，a3=(0, 0, 1)， b=(2, -1, 1)， 则b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合.
因为 2a1-a2 + a3 =2(1, 0, 0)-(0, 1, 0)+(0, 0, 1) =(2, -1, 1)= b ，
其中,
a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
a1 j
a
j
=
a2 j
,
j
= 1, 2,..., n
;
a11
a12
a1n
b1
amj
a21
x1+
a22
x2+ +
a2n
xn =
b2
即存在一组不全为零的数
练习：讨论下列向量组的线性 相关性，其中：
1
0
2
6
α1
=
0
,
α2
=
1
,
α3
=
2 ,
α4
=
6
.
k1 = 2, k2 = 1, k3 = -1,
使得
k1α1 + k2α2 + k3α3 = o, 所以向量组a1, a2, a3,线性相关.
特殊方法（推导）
对于n个n维向量组成的向量组a1，a2， ，an，设有一组数
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2 ...
=
0
...
a1n a2n
ann 0
或
a12k1 + a22k2 + a1nk1 + a2nk2 +
+ an2kn = 0 + annkn = 0
(2)
③判断上面关于k1, k2, , kn方程组(2)有无非零解?