2020年中考数学压轴解答题01 因动点产生的等腰三角形问题(学生版)

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律

专题01 因动点产生的等腰三角形问题

【类型综述】

数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈,动态几何问题是近年来中考的热点问题,以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题,动态问题的解答,一般要将动态问题转化为静态问题,抓住运动过程中的不变量,利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题,将几何问题转化为代数问题。

在动态问题中,动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型,可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合,也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合,从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.

【方法揭秘】

我们先回顾两个画图问题：

1．已知线段AB＝5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

2．已知线段AB＝6厘米,以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点C．

已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外．

在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类．

如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB＝AC,②BA＝BC,③CA＝CB三种情况．

解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？

如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的,夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来,那么就用几何法．

①如图1,如果AB＝AC,直接列方程；②如图2,如果BA＝BC,那么1

cos

2

AC AB A

=∠；③如图3,如果CA＝

CB,那么1

cos

2

AB AC A

=∠．

代数法一般也分三步：罗列三边长,分类列方程,解方程并检验．

如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来,那么根据两点间的距离公式,三边长（的平方）就可以罗列出来．

图1 图2 图3

【典例分析】

【例1】抛物线2

29

y x bx c =-++与x 轴交于1,05,0A B （-），（）两点,顶点为C ,对称轴交x 轴于点D ,

点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与,C D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ,交x

轴于点F ．

()1求抛物线的解析式；

()2当PCF V 的面积为5时,求点P 的坐标；

()3当△PCF 为等腰三角形时,请直接写出点P 的坐标．

【例2】如图1,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P 是直线l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求点P 的坐标；

（3）在直线l 上是否存在点M ,使△MAC 为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在,请说明理由．

图1

【例3】如图1,点A 在x 轴上,OA ＝4,将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点P ,使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求点P 的坐标；若不存在,请说明理由．

图1

【例4】在平面直角坐标系xOy 中,已知(0,2)A ,动点P 在3

3

y x =

的图像上运动（不与O 重合）,连接AP ,过点P 作PQ AP ⊥,交x 轴于点Q ,连接AQ ．

（1）求线段AP 长度的取值范围；

（2）试问：点P 运动过程中,QAP ∠是否问定值？如果是,求出该值；如果不是,请说明理由． （3）当OPQ ∆为等腰三角形时,求点Q 的坐标．

【例5】如图1,在矩形ABCD 中,8AB =,10AD =,E 是CD 边上一点,连接AE ,将矩形ABCD 沿AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上点F 处,延长AE 交BC 的延长线于点G ．

（1）求线段CE 的长；

（2）如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合）,且DMN DAM ∠=∠,设

AM x =,DN y =．

①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值；

②是否存在这样的点M ,使DMN V 是等腰三角形？若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由． 【例6】如图1,已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝8,BC ＝6,点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动,同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动,它们到C 点后都停止运动,设点P 、Q 运动的时间为t 秒． （1）在运动过程中,求P 、Q 两点间距离的最大值；

（2）经过t 秒的运动,求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；

（3）P ,Q 两点在运动过程中,是否存在时间t,使得△PQC 为等腰三角形．若存在,求出此时的t 值,若不存在,请说明理由．（24.25≈,结果保留一位小数）

图1

【变式训练】

1．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知(23,2)B ,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合）,连接PC ,过点P 作PD PC ⊥,交x 轴于点D ．下列结论：①

23OA BC ==；②当点D 运动到OA 的中点处时,227PC PD +=；③在运动过程中,CDP ∠是一个定

值；④当△ODP 为等腰三角形时,点D 的坐标为23⎫

⎪⎪⎝⎭

．其中正确结论的个数是（ ）