2.1.4函数的奇偶性2教案学生版

2.1.4函数的奇偶性(二)

【学习要求】

1.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解；

2.会推断奇偶函数的性质．

【学法指导】

通过函数奇偶性的应用，加深对概念的理解，提高分析问题和解决问题的能力，培养知识的迁移能力及数形结合的应用意识．培养利用数学概念进行判断、推理的能力及加强化归与转化能力的训练.

填一填：知识要点、记下疑难点

1.定义在R上的奇函数，必有f(0)＝_0_.

2.若奇函数f(x)在[a，b]上是_增_函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是_增_函数，且有最小值－M.

3.若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是_增_函数.

研一研：问题探究、课堂更高效

探究点一利用奇偶性求函数解析式

例1函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．

跟踪训练1设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝

1

x－1

，求函数f(x)，g(x)的解析式．

探究点二函数的奇偶性与单调性的关系

问题1观看下列两个偶函数的图象在y轴两侧的图象有何不

同？可得出什么结论？

问题2观看下列两个奇函数的图象在y轴两侧的图象有何不

同？可得出什么结论？

例2已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在[0,1)上为增函数．若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求a的取值范围．

跟踪训练2已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－x2)<0.

探究点三奇偶性与单调性的综合

例3设函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)<0，

试判断函数F(x)＝1

在(－∞，0)上的单调性，并给出证明．

跟踪训练3已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；

(2)如果x∈R＋，f(x)<0，并且f(1)＝－1

2，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．

练一练：当堂检测、目标达成落实处

1.若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则下列说法不正确的是()

A．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称B．y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称

C．必有f(1＋x)＝f(－1－x)成立D．必有f(1＋x)＝f(1－x)成立

2.已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f [f (7)]＝________.

3.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －1 －－x 2＋1 －

x －，

(1)求f[f(32

)]的值； (2)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图象；(无需列表) (3)结合图象判断函数的奇偶性，并写出函数的值域和单调增区间．

课堂小结：

1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．

2.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．

3.具有奇偶性的函数的单调性的特点：

(1)奇函数在[a ，b]和[－b ，－a]上具有相同的单调性．

(2)偶函数在[a ，b]和[－b ，－a]上具有相反的单调性．