常见概率分布期望方差以及分布图汇总
常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算: VF(x) P(X x)(X) o2、 随机变量函数的概率密度: X 是服从某种分布的随机变量,求 Y f(X)的概率密度: f y (y) f x (x)[h(y)] h'(y)。
(参见 P66〜72)x y3、 分布函数F(x,y) f (u, v)dudv 具有以下基本性质:⑴、是变量x , y 的非降函数;⑵、0 F(x,y) 1,对于任意固定的x , y 有:F( ,y) F(x, )0 ; ⑶、F(x,y)关于x右连续,关于y 右连续;⑷、对于任意的(x i , yj,(X 2, y 2), X i X 2, y i y ,有下述不等式成立:为一维正态分布4、一个重要的分布函数1:F(x,y)2f(x,y)F(x,y)x y62 , 2(x24)( y 9)5、二维随机变量的边缘分布:边缘概率密度:f x (X ) f Y (y)f (x, y)dy f (x, y)dxx y 、 (— arctan-)(— arctan‘)的概率 密度为2 3xF x (x) F(x,)[边缘分布函数:yF Y (y) F( ,y) y[f(u,y)dy]du二维正态分布的边缘分布 f(x,v)dx]dv6随机变量的独立性:若F(x,y) F X (x)F Y (y)则称随机变量X , Y 相互独立。
简称X 与Y 独立7、两个独立随机变量之和的概率密度:f Z (z) f X (x)f Y (z x)dx f Y (y)f X (z y)dy 其中 Z = X + Y 8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布,即2 2 2 2Z aX bY: N(a 1 b 2,a 1 b 2 。
9、期望的性质:…( 3)、E(X Y) E(X) E(Y) ; (4)、若 X , 丫 相互独立,则E(XY) E(X)E(Y) O10、方差: D(X) E(X 2) (E(X))2 O若 X , 丫不相关,则 D(X Y) D(X) D(Y),否则 D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y), D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)称:X 与丫不相关。
常见概率分布总结

x 2πσ2
x≥0
λe−λx,x ≥ 0,λ > 0
xα−1 e−x/β Г α βα
x ≥ 0,α > 0,β > 0
kλ k k−1
! xk−1e−kλx
xn /2−1 2n /2 Г n/2
e−x/2,x
≥0
μ
——
1 λ αβ 1 λ n
μ2
——
1 λ2
2
αβ 1 kλ2 2n
ejμω−μ2ω2/2
x σ2
e−(x 2 +a 2 )/2σ 2
I0
ax σ2
−∞ < ������ < ∞,a> 0
2 Гm
m Ω
m x2m−1 e(−m/Ω)x2
x>0
α α+β
——
σπ
2
1 + r I0
r 2
+
, rI1
r 2
e−r/2
r = a2/2σ2
Г m + 1/2 Ω
Гm
m
αβ α+β 2 α+β+1
∞
rq
pr
p2
1 − qejω
rq p2
N2 − 1 12
pr ejω − q
ej
N +1
ω/2
sin Nω/2 sin ω/2
C 协方差矩阵
e jm ut −uC ut /2
—— (1 − jω/λ)−1 (1 − jωβ)−α (1 − jω/kλ)−k (1 − j2ω)−n/2
韦伯分布
αx β −1 e−α x β /β x ≥ 0,α > 0,β > 0
4_2方差及常见分布的期望方差

《概率统计》 返回 下页 结束
X P 8 0.3 9 0.2 10 0.5
Y P
8 0.2
9 0.4
10 0.4
偏离期望 的平方的 期望
解:
E ( X ) 8 0.3 9 0.2 10 0.5 =9.2(环) E (Y ) 8 0.2 9 0.4 10 0.4=9.2(环)
因此,从平均环数上看,甲乙两人的射击水平是一样的, 但两人射击水平的稳定性是有差别的,怎么体现这个差别呢?
b
1 E ( X ) xf ( x) dx x dx a b a ba 2 2 2 b 1 a ab b E ( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 dx a ba 3 1 2 ab 2 2 2 2 ) D( X ) E( X ) [ E( X )] (a ab b ) ( 3 2
§4.2 方 差
0. 方差概念的引入
随机变量的数学期望是一个重要的数学特征,反应了随机变 量取值的平均大小,但只知道随机变量的数学期望是不够的.
引例1 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹,其落点距 目标的位置如图:
中心
中心
甲炮射击结果
《概率统计》
返回
下页
六个常用分布的数学期望和方差

即
12
若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为λ的指数分布,其概率密度为:
f
(
x)
1
θ
e
x θ
0
x0 x0
E(X )
xf ( x)dx
x
1
e
x θ
dx
x
( x)de θ
0
θ
0
(
x)e
x
x
e dx
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
即: 若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np,D( X ) np(1 p)
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立,且X在区间(1,5)上服从
均匀分布, Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
E( X ) xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
常见分布的期望和方差)

常见分布的期望和方差概率与数理统计重点摘要X — 41、 正态分布的计算: F(x) = p(x 兰x)=e ( ------ )。
c2、 随机变量函数的概率密度:X 是服从某种分布的随机变量, 求丫 = f(X)的概率密度:f Y (y)= f x (x)[h(y)]|h'(y)|。
(参见P66〜_ x y3、分布函数F(x,y)=f f f(u,v)dudv 具有以下基本性质:0<F(x,y)<1,对于任意固定的 x , y 有:F^,y) = F(x^)=0 ;对于任意的(x i , y i ), (x 2, y 2), X i<:x 2,y i<y 2,有下述不等式成立:r 24、一个重要的分布函数: F(x,y)=l&+arcta n 与Q+arcta n')的概率密度为:f (x, y)=丄 F (x, y) = 2 22兀亠 2 2 2 3 c x c y 兀(x + 4)(y +9)5、二维随机变量的边缘分布:f x (x) = J*f(x, y)dy边缘概率密度:tf Y (y) = Lcf(x,y)dxx -beF X (x^F(x^^ f J f f (u,y)dy]du边缘分布函数: '4; 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
⑴、 是变量x , y 的非降函数;⑵、 ⑶、 F(x,y)关于x 右连续,关于y 右连续;⑷、yF Y(y)=F(P,y) = UJf(x,v)dx]dv随机变量的独立性:若 F(x, y) =F x (x)F Y (y)则称随机变量X ,Y 相互独立。
简称X 与Y 独立。
两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布,即 Z=aX+b Y L N(a 已卄巴^务;+b 2cr 2)o13、k 阶原点矩:vk=E(X k),k 阶中心矩:4k =E[(X-E(X))k] o16、独立同分布序列的中心极限定理:6、 7、 两个独立随机变量之和的概率密度:f z (z) = J f x (x)f Y (z-x)dx= J f Y (y)f x (z-y)dy 其中Z = X + YJ-oC9、 期望的性质: (3)、EX Y )EX( )EY();(4)、若 X ,Y 相互独立,则 E(XY) = E(X)E(Y) o10、方差: D(X ) =E(X 2)-(E(X))2o若 X , Y 不相关,贝y D(X + Y) = D(X) + D(Y),否贝U D(X + Y) = D(X)+D(Y) + 2Cov(X,Y),D(X -Y) = D(X) +D(Y) -2Cov(X,Y)11、协方差:Cov(X,Y) =E[(X -E(X))(Y-E(Y))],若 X , Y 独立,则 Cov(X,Y) = 0,此时称:X 与 Y 不相关。
概率论与数理统计:六大基本分布及其期望和方差

概率论与数理统计:六大基本分布及其期望和方差绪论:概率论中有六大常用的基本分布,大致可分成两类:离散型(0-1分布、二项分布、泊松分布),连续型(均匀分布、指数分布、正态分布)。
补充:在进入正文之前先讲一下期望和均值的一些区别:期望和均值都具有平均的概念,但期望是指的随机变量总体的平均值,而均值则是指的从总体中抽样的样本的平均值,即前者是理想的均值,而后者则是实际观测出来的数据的均值。
例如:对于一个六面的骰子,其期望E = (1+2+3+4+5+6)/ 6 = 3.5。
然后掷5次骰子,每次掷的点数分别为1,3,5,5,1,则平均值为(1+3+5+5+1)/ 5 = 3。
可以发现两者并不相等。
方差(variance):方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,方差度量了随机变量与期望(也可说均值)之间的偏离程度。
标准差为方差的开根号。
协方差(Covariance):用于衡量两个变量之间的误差,而方差是协方差的特殊情况,即当两个变量相同的情况。
其公式如下:,表示含义为:E(∑(“X与其均值之差” * “Y与其均值之差”))当协方差为正时:表示两变量正相关(即同时变大变下)。
当协方差为负时:表示两变量负相关(即你变大,我变小,反之亦然)。
当协方差为0时:两变量相互独立。
相关系数:其公式如下,表示的含义为用X和Y的协方差除以X 和Y的标准差。
所以相关系数也可以看成协方差,一种剔除两个变量量纲影响,标准化后的特殊协方差。
正文:1、0-1分布已知随机变量X,其中P{X=1} = p,P{X=0} = 1-p,其中 0 < p< 1,则成X服从参数为p的0-1分布。
其中期望为E(X) = p 方差D(X) = p(1-p);2、二项分布n次独立的伯努利实验(伯努利实验是指每次实验有两种结果,每种结果概率恒定,比如抛硬币)。
其中期望E(X) = np 方差D(X) = np(1-p);3、泊松分布表示单位时间内某稀有事件发生k次的概率,其公式为其中方差和期望均为,详细了解请☞戳4、均匀分布若连续型随机变量X具有概率密度,则称X在(a,b)上服从均匀分布其中期望E(X) = (a+b)/ 2 ,方差D(X) = (b-a)^2 / 12。
六个常用分布的数学期望和方差

创卫人人有责
本文是关于初二叙事作文的创卫人人有责,感谢您的阅读!
创建文明城市不是高大上,创建文明城市就是要从点滴小事做起,聚“点滴小事”成“文明大事”。
3月15日下午,我们小区以“创建国家卫生县城、人人有责人人受益”为主题的创卫公益活动隆重举行。
创建国家卫生城市,我们一家都去当了志愿者。
3月15日上午8:30---12:00、下午13:30---18:00,我们一家与40名志愿者叔叔阿姨,在社工部主任的带领下,协助交警维护交通秩序、摆放整齐非机动车、劝阻行人抽烟、捡垃圾烟头、清除野广告、发放宣传创卫知识手册,用实际行动支持创卫工作。
创建文明城市关键是要从点滴小事做起。
事事文明了,人人文明了,文明城市创建才能成功。
为迎接创建卫生城市工作,进一步营造人人支持创建、个个参与创建的浓厚氛围,3月16日,我们市里消防支队组织志愿者开展道路卫生“大扫除”活动。
上午,志愿者们走出营区,清理道路两边草坪上的垃圾并对路边草坪进行浇水,清理草坪垃圾,志愿者们积极认真,哪怕是一片纸屑,一个烟头,一块塑料,都绝不放过,不知不觉一个小时过去了,道路旁边的草坪也变得清洁、干净,过路行人赞不绝口。
表现出了崭新的风貌,战士们深刻体会到“精神文明建设”不是一句口号,而是与自己的工作息息相关。
创建卫生城市不是过了这几天检查,而是为了卫生文明深入人心,从每时每刻做起,从我们身边做起,从小事做起………
本文来自于互联网,仅供参考和阅读。
常见分布的数学期望和方差

e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
,D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p , D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e , ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
,Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
,且X ,Y
相互
独立,则 E( XY )
, D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同,则 X Y
与 2X 的关系是则( ).
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
������������
������������ 2
指数分布(负指 数分布)
Γ(1, ������)
������ > 0
������
������ 2
注:指数分布是Γ分布的特殊情况 χ2 分布
������2 (������)
������ ≥ 1
负二项分布(帕
离 散 型
斯卡分布)
B0 (������, ������)
0<p<1 r≥1
K=r,r+1,… P{������ = ������} = (1 − ������)������−1 ������ K=1,2,…
������ ������ 1 ������ ������������ ������
������ 2 ∞ ������⁄ 2
0,n>1
������ , ������ > 2 ������ − 2
非中心 t 分布
������(������, ������)
������ ������ ≥ 1
������ − 1 ������Γ ( ) ������ 2 √ ������ 2 Γ( ) 2 (n>1)
常见的“概率分布表 + 分布图”汇总(内容源自书本,同时本人额外加了许多内容进去。此表可直接打印)整理人:算法君
说明,我们学过的各种概率分布公式较多且形式多样,各分布的数学期望及方差是常用的数据,为方便做题目,也方便记忆故作此表,并在此共享给大家希望给大家提供一定方便!
类
分布
单点分布(退化 分布) (0-1)分布(两点 分布或伯努利分 布) 二项分布
数学期望 a p np
方差 0 1-p np(1-p)
b0 (������, 1) b(1, ������) B(������, ������)
0<p<1 n≥1
K=0,1,2 …
������−1 ������ P{������ = ������} = ������������−1 ������ (1 − ������)������−������
������−������ − ������−������ ������ ������ −
������
������ + ������������ (������是欧拉常数)
������
注:若 X 服从韦布尔分布 W(������, ������),则 ������ = −������ ln ������ ������ + α服从E(������, ������)分布。
t 分布(学生氏 分布)
������(������)
n≥1
������ + 1 Γ( ) ������ 2 −(������+1)/2 2 f(x) = ������ (1 + ������ ) √������������Γ (2)
f(x) = ������������⁄2 ������ − 2 ������ + ������ − 1 ������ ������ 2������ 2 )( )( ) ������+1 ∑ Γ ( ������ 2 ������! 2 + ������ 2 √������Γ (2 ) (������ + ������ 2 ) 2 ������=0
f(x) = {
, ������ > 0
n
2n
其它
������
非中心χ2 分布
������2 (������, ������)
������ ≥ 1 ������ > 0
������ f(x) = {
������+������ ∞ −( ) 2
2������⁄2
������ 2+������−1 ������������ ∑ ������ , (������ > 0) 2������ ������=0 Γ ( 2 + ������) 2 ������! 0 , 其它
, ������ > 0
eμ+ 2
e2μ+������ (������ ������ − 1)
2
2
0 , 其它
λ, μ > 0
逆高斯分布
N −1(μ, λ)
������ 2 2 √ ������ −������(������−������) ⁄(2������ ������) , ������ > 0 f(x) = 2������������ 3 { 0 , 其它
泊松分布
π(������)
������ > 0
均匀分布
U(a, b)
a<b
K=0,1,2,… 1 , ������ < ������ < ������ f(x) = {������ − ������ 0, 其它 f(x) = 1 f(x) = {√2������������������ 1 √2������������ ������ ������ −(������−������)
������(1 − ������) ������2 1 − ������ ������2 ������������ ������ ������ − ������ (1 − ) ( ) ������ ������ ������ − 1
几何分布
G(������)
0<p<1
超几何分布
H(������, ������, ������)
������ ������ −(2������ 2) ������ , ������ > 0 f(x) = {������ 2 0 , 其它
2
������ √ ������ 2
4 − ������ 2 ������ 2
帕雷托分布
P(r, a)
r,a>0
1 ������������������ ������+1 , (������ ≥ ������) f(x) = { ������ 0 , (������ < ������)
2⁄(2������ 2 )
������ + ������ 2 μ
������ 2
(������ − ������)2 12 ������ 2
正态分布(高斯 分布)
N(μ, ������ 2 )
μ σ>0
对数正态分布
若 X~N(μ, σ2 ) 且Y = eX 则 Y 服从该分布
μ σ>0
−(ln ������−������)2⁄(2������ 2 )
������ ������ + ������
������������ (������ + ������)2(������ + ������ + 1)
柯西分布
C(������, ������)
α λ>0
f(x) =
1 1 ������ ������2 + (������ − ������)2
不存在
不存在
N,M,n (M≤N,n≤ N)
P{������ = ������} =
������ ������−������ ������������ ������������−������ ������ ������������
k ∈ Z, max{0, ������ − ������ + ������} ≤ ������ ≤ min{������, ������} P{������ = ������} = ������������ ������ −������ ������! ������ ������
������ + ������
2(������ + 2������)
韦布尔分布
W(������, ������)
������, ������ > 0
������ ������ ������−1 −(������ )������ ( ) ������ ������ , ������ > 0 f(x) = { ������ ������ 0 , 其它
������ − 1 2 ������(1 + ������ 2) ������������ 2 Γ ( 2 ) − ( ������ ) ������ − 2 2 Γ( ) 2 (n>2)
F 分布
������(������1, ������2 )
������1 , ������2
������ + ������2 ������1 +������2 Γ[ 1 ] ������1 ������1 ������1 ������1 − 2 2 −1 2 ( )( ������) (1 + ������) , ������ > 0 ������2 f(x) = Γ (������1 ) Γ (������2) ������2 ������2 2 2 0 , 其它 { f(x) ������������������ ������ + ������ ∞ ( ) Γ( + ������) ������ ������⁄2������ ������⁄2 −������������������ 2 −1 2 ������ 2 ∑ ������ 2 , (������ > 0) ������+������ ������ +������ = Γ( ) ������=0 Γ ( 2 + ������) ������! (������������ + ������) 2 2 0 , 其它 {
,
������2 > 2