数学：1.6 微积分基本定理(教案)
人教版高中数学第一章1.6微积分基本定理
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定 积分的值．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 下列积分值为 2 的是( )
A.∫50(2x－4)dx C.∫311xdx
B.∫0π cos xdx D.∫0π sin xdx
解析：∫50(2x－4)dx＝(x2－4x)|50＝5，∫0π cos xdx＝sin
x|π0 ＝0，∫311xdx＝ln x|31＝ln 3，∫π0 sin xdx＝－cos x|0π ＝2.
x 的原函数为
F(x)
π
＝12x－12sin x，所以 sin2 x2dx＝12x－12sin x|20＝π4－12＝
π－2 4. π－2 答案： 4
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的 平面图形的面积为________．
解析：依题意，所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－ 23＝134. 答案：134
＝sin 1－23. 答案：sin 1－23
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)
数学：1..6 微积分基本定理(教案)
1.6 微积分基本定理一、教学目标知识与技能目标通过实例，直观了解微积分基本定理地含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单地定积分过程与方法通过实例体会用微积分基本定理求定积分地方法情感态度与价值观通过微积分基本定理地学习，体会事物间地相互转化、对立统一地辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力.二、教学重难点重点通过探究变速直线运动物体地速度与位移地关系，使学生直观了解微积分基本定理地含义，并能正确运用基本定理计算简单地定积分.难点了解微积分基本定理地含义三、教学过程1、复习：定积分地概念及用定义计算2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分地一般方法.我们必须寻求计算定积分地新方法，也是比较一般地方法.变速直线运动中位置函数与速度函数之间地联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t>,速度为v(t><），则物体在时间间隔内经过地路程可用速度函数表示为.另一方面，这段路程还可以通过位置函数S<t）在上地增量来表达，即=而.对于一般函数，设，是否也有若上式成立，我们就找到了用地原函数<即满足）地数值差来计算在上地定积分地方法.注：1：定理如果函数是上地连续函数地任意一个原函数，则证明：因为=与都是地原函数，故-=C<）其中C为某一常数.令得-=C，且==0即有C=，故=+=-=令，有此处并不要求学生理解证明地过程为了方便起见，还常用表示，即该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.它指出了求连续函数定积分地一般方法，把求定积分地问题，转化成求原函数地问题，是微分学与积分学之间联系地桥梁. 它不仅揭示了导数和定积分之间地内在联系，同时也提供计算定积分地一种有效方法，为后面地学习奠定了基础.因此它在教材中处于极其重要地地位，起到了承上启下地作用，不仅如此，它甚至给微积分学地发展带来了深远地影响，是微积分学中最重要最辉煌地成果.例1．计算下列定积分：<1）； <2）.解：<1）因为，所以.<2））因为，所以.练习：计算解：由于是地一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有===例2．计算下列定积分：.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形地面积表示所发现地结论.解：因为，所以，，.可以发现，定积分地值可能取正值也可能取负值，还可能是0: ( l ）当对应地曲边梯形位于 x 轴上方时<图1.6一3 > ，定积分地值取正值，且等于曲边梯形地面积；图1 . 6 一 3 ( 2 ）<2）当对应地曲边梯形位于 x 轴下方时<图 1 . 6 一 4 > ，定积分地值取负值，且等于曲边梯形地面积地相反数；( 3）当位于 x 轴上方地曲边梯形面积等于位于 x 轴下方地曲边梯形面积时，定积分地值为0<图 1 . 6 一 5 > ，且等于位于 x 轴上方地曲边梯形面积减去位于 x 轴下方地曲边梯形面积．例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车.设汽车以等减速度=1.8M/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间.当t=0时，汽车速度=32公里/小时=M/秒8.88M/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒于是在这段时间内,汽车所走过地距离是=M,即在刹车后,汽车需走过21.90M才能停住.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间地内在联系，同时它也提供了计算定积分地一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要地定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远地学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌地成果．四、课堂小结本节课借助于变速运动物体地速度与路程地关系以及图形得出了特殊情况下地牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般地函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分地简便方法，运用这种方法地关键是找到被积函数地原函数，这就要求大家前面地求导数地知识比较熟练，希望，不明白地同学，回头来多复习！五、教学后记从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点.当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面地体验及感悟.在今天地课堂上，当自己在生物化学班重点及难点均未解决，相反将更多时间纠缠在细节方面，而物理班级恰好相反，教学效果地强烈反差，终于让自己对这个问题有了实践地切身地认识.记得当实习生时，本来一个相当简单地问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重地是学生却听得更为糊涂.一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
微积分基本定理 说课稿 教案 教学设计
微积分基本定理一、教学目标：知识与技能：1.通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分2.通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义过程与方法：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点：了解微积分基本定理的含义。
三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程n有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？（1）下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T - ()()S t v t '=。
3.微积分基本定理对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()baf x dx F b F a =-⎰？若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
微积分基本定理 说课稿 教案 教学设计
微积分基本定理【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。
2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。
【要点梳理】要点一、微积分基本定理的引入我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
（1）导数和定积分的直观关系：如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。
设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达， 即 s=s （b ）－s （a ）。
另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d bav t t ⎰,即 s =()d bav t t ⎰。
所以有： ()d bav t t =⎰s （b ）－s （a ）（2）导数和定积分的直观关系的推证：上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下：如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ， 将区间[a ，b]等分成n 个小区间：[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]， 每个小区间的长度均为1i i b at t t n--∆=-=。
当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移111()'()'()i i i i i b as h v t t s t t s t n----∆≈=∆=∆=。
② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是1tan '()i i i s h DPC t s t t -∆≈=∠⋅∆=⋅∆。
2015高中数学-1.6微积分基本定理-课件(人教A版选修2-2)
[解]
∵f(x)＝－ x
(12t＋
a
4a)dt
＝ (6t2＋ 4at)|x－ a ＝ 6x2＋ 4ax－ (6a2－ 4a2 )
＝ 6x2＋ 4ax－ 2a2，
∴ F(a)＝01[f(x)＋ 3a2 ]dx＝01(6x2＋ 4ax＋ a2)dx
＝ (2x3＋ 2ax2＋ a2 x)|10＝ a2＋ 2a＋ 2 ＝ (a＋ 1)2＋ 1≥ 1，
4
4.02(x2－23x)dx＝ ____3____.
第一章 导数及其应用
B．01 (x＋ 1)dx D．0112dx
第7页，共30页。
栏目 导引
第一章 导数及其应用
求简单函数的定积分
计算下列定积分：
(1)121xdx；(2)02πsin xdx；(3)13(2x－x12)dx；
(4)0－
(cos
9＋2× 3
93－ 2
(4＋2× 3
43)＝ 2
27－(4＋16)＝53.
33
第11页，共30页。
栏目 导引
第一章 导数及其应用
计算分段函数的定积分
计算下列定积分：
(1)若 f(x)＝x2
x≤ 0
cos x－1 x＞0
，求－ π2
f(x)dx；
1
(2)12
[解]
|3－ (1)
2x|dx.
－ π2
第一章 导数及其应用
1．6 微积分基本定理
第1页，共30页。
第一章 导数及其应用
学习导航
学习 目标
1.了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． (重点、难点)
通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，直观 学法 了解微积分基本定理的含义．微积分基本定理不仅揭示 指导 了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定
微积分基本定理 教学设计 教案
1. 教学目标1、能说出微积分基本定理。
2、能运用微积分基本定理计算简单的定积分。
3、能掌握微积分基本定理的应用。
4、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分。
2. 教学重点/难点教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
教学难点：微积分基本定理以及利用定理求复合函数定积分的计算。
3. 教学用具多媒体、板书4. 标签一、复习引入【师】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答以下几个问题:1.我们如何确定曲线上一点处切线的斜率呢？2.如何求曲线下方的面积？3.用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程是什么呢？求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法【板书】用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：分割I以百代曲］—►，作和匚事I逼近二、新知介绍【1】微积分基本定理【师】同学们刚刚接触到积分，那么大家通过阅读课本来找出什么是微积分基本定理呢？【生】讨论回答【师】如果£(媒)是在区间回句上的壁画数，并且F1■⑶=的，则J：fG)dx=F(b)-F(江记！F(b)-F(^)=F㈤|＞贝山『欧)收=Fg|：=F(b)—F⑷/值)是F㈤的导函数，F(＞茂处)的原函数.【板书】1.f(x)dx=F(b3-7(a)记：F(b)-F(a)=F(x)|^【板演/PPT】例1：计算下列定积分？(1)J：：dx(2)/；2xdx【师】同学们在练习本上先试着算一下，看看能不能计算出这两个定积分的值？【生】思考讨论【师】请大家注意，一定要按照定积分基本定理来做呢？(然后，演板)2、知识探究(1)微积分基本定理求定积分的一种基本方法，其关键是求出被积函数的原函数，特别注意:y=抑原函数是y=In(x)（2）求定积分时要注意积分变量，有时在被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量。
（3）定积分的值可以是任意实数。
例2：计算定积分【师】同学们根据向量基本定理然后仔细的想一下，计算出结果【生】思考讨论【师】请大家注意，一定要按照向量的定义来做哦。
1.6微积分基本定理第2课时 (精品教案)
§1.6.2微积分基本定理【学情分析】：在上一节教学中，学生已经学习了微积分基本定理，并且初步学会使用微积分基本定理进行求定积分的计算．本节需要在上一节的基础上，进一步理解定积分的几何意义，以及利用几何意义求几何图形的面积．学生在学习了几种初等函数，必然会设法计算它们的一些定积分．另外学生在之前还学习一些具有特殊函数性质（奇偶性）的函数，这些函数也是可以作为研究的对象．【教学目标】：（1）知识与技能：进一步熟悉运用基本定理求定积分；增强函数知识的横向联系; （2）过程与方法：理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系； （3）情感态度与价值观：培养学生的探究精神与创新思想。
【教学重点】：（1）运用基本定理求定积分（2）定积分的值与曲边梯形面积之间的关系【教学难点】：（1）求函数()f x 的一个原函数()F x（2）理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系【教学突破点】：合理利用复合函数的求导法则来求原函数()F x 【教学过程设计】：（基础题）1. 22(sin cos )d x x x ππ-+⎰的值是（ ）(A)0 (B)4π(C)2 (D)4答案：C解释：()2222(sin cos )d cos sin 2x x x x x ππππ--+=-+=⎰2. 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围成的面积是（ ） (A)2(B)3(C)52(D)4答案：B 解释：332222cos d cos d (cos )d S x x x x x x ππππ==+-⎰⎰⎰3202sin sin 123x x πππ=-=+=3. sin (02)y x x π=≤≤与x 轴所围成图形的面积为 答案：4解释：220sin d sin d sin d x x x x x x ππππ=+⎰⎰⎰20cos (cos )4x x πππ=--=4.设201()512x x f x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，求20()f x dx ⎰。
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3)
2 0
sin2x2dx；
(4)2xx1＋1dx. 1
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
微积分基本定理的应用
[典例]
(本题满分 12 分)已知 f(x)＝21x＋＋x12，，xx∈∈[2－，24，]，2]，
若33f(x)dx＝40，求实 k
数 k 的值．
[解析] 由33f(x)dx＝40，得3f(x)dx＝430.
k
k
根据分段函数的解析式，分－2≤k<2 和 2≤k<3 两种情况讨论：……………2 分
0
函数，求 a，b.
[解析] ∵f(x)＝x3＋ax 为奇函数，
∴
1 1
(x3＋ax)dx＝0，
∴
1 1
(x3＋ax＋3a－b)dx
＝
1 1
(x3＋ax)dx＋
1 1
(3a－b)dx
＝0＋(3a－b)[1－(－1)]
＝6a－2b.
∴6a－2b＝2a＋6，即 2a－b＝3.① 又 g(t)＝[x44＋a2x2＋(3a－b)x]0t ＝t44＋a2t2＋(3a－b)t 为偶函数， ∴3a－b＝0.② 由①②得 a＝－3，b＝－9.
(1)当－2≤k<2 时，
3f(x)dx＝2 (2x＋1)dx＋3 (1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋x3332
【数学】1.6《微积分基本定理(第2课时)》课件(人教A版选修2-2) (2)
π
πБайду номын сангаас
(cosx－e )dx＝ cosxdx－ exdx (3)－π －π －π
1 ＝sinx|－π－e |－ π＝ π－1. e
0 x0
0
(2)0 (sinx－cosx)dx＝0 sinxdx－ 0 cosxdx
π π ＝(－cosx)|0 －sinx|0 ＝2. 0 0 x
变式训练 1 计算下列定积分： ∫105x4dx； (1) 2 3 ( x＋ 1 )26xdx. (2)1 x
解：(1)∵(x5)′＝5x4， ∫105x4dx＝x5|10＝105－25＝99968. ∴ 2 2 3 3 1 2 ( x＋ ) 6xdx＝ (x＋1＋2)6xdx (2)1 1 x x ＝1(6x2＋6＋12x)dx＝(2x3＋6x＋6x2)|3 1 ＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.
0 0
【解】
2
(1)1(x2＋2x＋3)dx
2 2
2
＝1x2dx＋12xdx＋13dx x 2 25 22 2 ＝ |1＋x |1＋3x|1＝ . 3 3
π
3
(2)0 (sinx－cosx)dx＝0 sinxdx－ 0 cosxdx
π π ＝(－cosx)|0 －sinx|0 ＝2. 0 0 x
0 b
3.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上， x 轴下 在 方的面积为 S 下，则 (1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图①，则 a
b
S上 f(x)dx＝_____
(2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图②，则a f(x)dx＝______． －S下
b
(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时， b S上－S下 如图③，则 f(x)dx＝____________．
微积分基本定理 精品教案
1.6微积分基本定理教学设计总体设计：复习旧知、设题引入、探究归纳、定理导出与应用、定理延伸、课堂小结与布置作业1、复习旧知老师和学生一起复习定积分的几何意义：f (x )d x 的几何意义：表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积。
设计意图：复习定积分的几何定义是为了加深学生对定积分的印象，为微积分基本定理的探究导出做好铺垫。
2、体验探究引例：如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是()t s s =，由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度是()()t s t v '=。
设这个物体在时间段[]b a ,内的位移为S ，你能分别用()()t s t v ,表示S 吗?2.1引导学生把探究的基本思路分解成以下2个方向：（1）根据位移的定义探索发现并得出()()a s b s S -=——基本定理的右端雏形（2）从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s 可以用定积分表示为——基本定理左端雏形 ()d .ba s v t t =⎰3、探究生成综上可得到：()()()a s b s dt t v ba -=⎰——基本定理雏形 4、定理的导出与应用4.1由定理导出得到定理雏形可以直接归纳一般连续函数()x f 在区间[]b a ,的积分与其导数的关系，即微积分基本定理：如果()x f 是区间[]b a ,连续函数，若()()()()()a F b F dx x f x f x F b a -=='⎰则该公式也称作牛顿——莱布尼茨公式4.2可以简要介绍一下牛顿和莱布尼茨。
4.3 活学活用例1.利用微积分基本定理解决前面的问题（1）dx x ⎰214 （2）()⎰≥102n dx x n （3）⎰10d x e x解：（1）令4)(x x f =，取551)(x x F ⋅=，则()()x f x F =' 由微积分基本定理得 ()()5101104=-=⎰F F dx x 同理，可以解出（2）11+n （3）1-e ，同时也可以解出dx x ⎰103 练习：课本例题 和课本A 组1.（2）、（4）、（6）5、定理延伸例2.计算下列定积分并给出定积分的几何意义（1）⎰ππ2d sin x x （2）⎰π20d sin x x 通过求解得：（1）1-，（2）0其几何意义如下图:（1） （2）归纳总结：微积分基本定理求的是整个区间的定积分，若要求曲线与x轴围成的面积则需将x轴上下部分分开求解。
1.6微积分基本定理第1课时精品教案
1.6 微积分基本定理【课题 】： 1.6.1 微积分基本定理 【教课目的】：（ 1 ） 知 识 与 技 能 ： 认识微积分基本定理的含义（ 2 ） 过 程 与 方 法 ： 运用基本定理计算简单的定积分（ 3）感情态度与价值观：经过微积分基本定理的学习，领会事物间的互相转变、对峙一致的辩证关系，培育学生辩证唯心主义看法，提升理性思想能力．【教课要点】：经过研究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观认识微积分基本定理的 含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分【教课难点】：认识微积分基本定理的含义．【课前准备】：Powerpoint 课件（或投电影）【教课过程设计】：教课环节教课活动一、 (1)13提师 : 我 们 首 先 回 忆 昨 天 怎 样 计 算 0 x dx ? 生:利用定义进行计算,分四步:①切割;②近似代出替,③作和;④取极限.师 :1利用定义计算x 3dx 时 , 需 要 使 用问n1 2 23技巧性较强.i4 n (n 1) 这 一 结 果 , 题i 1师：从这个事实我们有这样一个感觉，只管我们的 被 积 函 数 简 单 （ 如 f ( x) x 3, f ( x)1），可是利用x定义求它们的定积分依旧会很困难，甚至“求”不 出 ．设计企图指引学生认识用定义计算定积分的困难及师：我们知道加法的逆运算是减法．乘法的逆运算是除法，而两向量的加法运算和减法运算是互 其原由．为逆运算．近似地提出问题：求定积分运算有没有逆运算，假如有，它的逆运算我们怎样去定义？师：数学也是一门应用的科学，假如微积分难以在实质中应用，那么欧洲的十七世纪的科学也不会获得那么快的发展．我们的长辈牛顿和莱布尼茨分别独立有效的创办了微积分的基本定理和运算法例，进而使微积分能广泛应用于科学实践．师：长辈们是怎样发现微积分基本定理呢？此刻我们不如循着长辈踪迹走一走．长辈经过思虑，发现导数和定积分有某种联系．师：我们知道，假如是匀速直线运动速度函数v(t ) v0，那么在直线 v(t) v0下方的面积 S 就是位移S vt0；如果匀变速直线运动速度函数为 v(t ) at ，同样在直线 v(t ) at 下方的面积 S 就是位移S1at02。
高中数学(新课标)选修2课件1.6微积分基本定理
求使3f(x)dx＝430恒 k
成立的 k 值．
【解析】 (1)当 k∈(2,3]时，
k3f(x)dx＝k3(1＋x2)dx＝x＋13x33k ＝3＋13×33－k＋13k3 ＝430， 整理得 k3＋3k＋4＝0，即 k3＋k2－k2＋3k＋4＝0， ∴(k＋1)(k2－k＋4)＝0， ∴k＝－1. 而 k∈(2,3]，∴k＝－1 舍去．
∴∫2ππ(cos x＋sin x)dx＝(sin x－cos x)2ππ ＝(sin 2π－cos 2π)－
(sin π－cos π)＝(0－1)－[0－(－1)]＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
∴∫
0 -π
(ex
－
cos
x)dx ＝ (ex － sin
x)
0 －π
1.6 微积分基本定理
知识导图
学法指导 1.在理解定积分概念的基础上，从图形的角度直观理解微积分 基本定理． 2．从形式上体会原函数与被积函数之间的关系，并深化认识 微积分基本定理． 3．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同 时它也提供了计算定积分的一种有效方法．
高考导航 对于本节知识，高考中多与定积分的几何意义和其他知识相结 合考查定积分的计算，以选择题或填空题的形式呈现，分值 5 分.
(2)当 k∈[－2,2]时，
3f(x)dx＝2(2x＋1)dx＋3(1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋13x332
＝(22＋2)－(k2＋k)＋3＋13×33－2＋13×23 ＝430－(k2＋k)＝430，
∴k2＋k＝0，
解得 k＝0 或 k＝－1，
综上所述，k＝0 或 k＝－1.
微积分基本定理教案
微积分基本定理教案教案标题：微积分基本定理教案教学目标：1. 理解微积分基本定理的概念和意义；2. 掌握微积分基本定理的两个部分：第一部分——积分与原函数的关系，第二部分——定积分的计算；3. 能够运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。
教学准备：1. 教材：微积分教材；2. 教具：黑板、粉笔、投影仪；3. 学生辅助教学资料：练习题、习题答案。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用导数的概念引出积分的概念，复习导数的定义和求导法则。
2. 提问学生：如果已知一个函数的导数，能否还原出原函数？为什么？二、讲解微积分基本定理的第一部分（10分钟）1. 定义积分和原函数的关系：如果函数F(x)在[a, b]上连续，且F'(x) = f(x)，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。
2. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第一部分求函数的不定积分。
三、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。
3. 对部分练习题进行讲解和解答，引导学生理解微积分基本定理的应用。
四、讲解微积分基本定理的第二部分（10分钟）1. 定义定积分的概念：如果函数f(x)在[a, b]上连续，则∫[a, b] f(x) dx表示函数f(x)在[a, b]上的面积或曲线长度。
2. 引出微积分基本定理的第二部分：如果函数f(x)在[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。
3. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第二部分计算定积分。
五、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。
3. 对部分练习题进行讲解和解答，巩固学生对微积分基本定理的掌握。
六、拓展应用（10分钟）1. 提供一些实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。
(vip免费)【数学】1.6《微积分基本定理(第1课时)》课件(人教A版选修2-2)
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现 。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题 ，她能很快找到问题的原因，并马上拿 出解决办法。
Si
t
s'
(ti 1 )
b
n
a
v(ti 1 )
S s1 s2
si
sn
n i 1
Si
n i 1
b a v(t) n
n
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
a
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
公式2:
b a
xndx
=
nxn++11|ab
作业：P６２ A 1 (2)(3)(5)(6)
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
1.6微积分基本定理课件人教新课标4
ax ln a
1
ex x
e x ln | x |
付出，不一定会有收获；不付出，却一 定不会有收获，不要奢望出现奇迹.
e x ln | x |
例1
计
算
下
列
定
积
分
:
1
2
1
1 x
d
x
;
2
3 1
2
x
1 x2
dx .
解 （1）因为 ln x ' 1 ,
x
所以
2 1
1dx x
ln
x
|12
ln 2 ln 1 ln 2.
（2）因为
x2
'
2
x,
1 x
'
1 x2
,
3
1
2x
1 x2
dx
3
2xdx
3 2 3x2 + 2x -1 dx = ____9_____ -1
4
2
1
ex +1 dx = ___e_2___e___1__
3．计算定积分
3 1
3
x
2
1 x2
dx
解:
因为
x3
'
3x2
,
1 x
'
1 x2
所以原式
3 3x2dx
1
31 1 x2 dx
3 3x2dx
1
3 1
1 x2
dx
x3
3 1
1 x
3 1
33 13
1 3
1 1
76 3
4.计算下列定积分 : 1
π
cos 2xdx ;
教学设计7：1.6 微积分基本定理
1.6 微积分基本定理教学目标1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．教学知识梳理知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？答案 由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．梳理 (1)微积分基本定理①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )；②结论：ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )；③符号表示：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．(2)常见的原函数与被积函数关系①ʃb a c d x ＝cx |b a (c 为常数)．②ʃb a x n d x ＝⎪⎪1n ＋1x n ＋1b a (n ≠－1)．③ʃb a sin x d x ＝－cos x |b a .④ʃb a cos x d x ＝sin x |b a . ⑤ʃb a 1xd x ＝ln x |b a (b >a >0)． ⑥ʃb ae x d x ＝e x |b a .⑦ʃb a a x d x ＝ ⎪⎪a x ln a b a (a >0且a ≠1)．⑧ʃb a x d x ＝⎪⎪⎪2332x b a (b >a >0)． 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答案 当被积函数f (x )≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f (x )≥0不恒成立，则不相等．梳理 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则(1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则ʃb a f (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方，x 轴下方均存在时，如图③，则ʃb a f (x )d x ＝S 上－S 下．特别地，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.教学案例类型一 求定积分 命题角度1 求简单函数的定积分例1 计算下列定积分．(1)ʃ10(2x ＋e x )d x ；(2)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ； (3)π220(sin cos )d ;22x x x -⎰ (4)ʃ30(x －3)(x －4)d x .解 (1)ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ＝(ln x －3sin x )|21＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.(3)∵⎝⎛⎭⎫sin x 2－cos x 22 ＝1－2sin x 2cos x 2＝1－sin x ， ∴ππ22200(sin cos )d (1-sin )d 22x x x x x -=⎰⎰ π20(cos )|x x =＋ ＝⎝⎛⎭⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1. (4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12，∴ʃ30(x －3)(x －4)d x＝ʃ30(x 2－7x ＋12)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－72x 2＋12x 30＝⎝⎛⎭⎫13×33－72×32＋12×3－0＝272. 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F (x )．(2)由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )．跟踪训练1 计算下列定积分．(1)ʃ21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)π2220(cos sin )d 22x x x -⎰； (3)ʃ94x (1＋x )d x .解 (1)ʃ21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3＋ln x 21＝⎝⎛⎭⎫12×22－13×23＋ln 2－⎝⎛⎭⎫12－13＋ln 1 ＝ln 2－56. (2)π2220(cos sin )d 22x x x -⎰ π20cos d x x =⎰ ＝sin x π20|＝1.(3)ʃ94x (1＋x )d x＝ʃ94(x ＋x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2332x ＋12x 294 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×329＋12×92－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×324＋12×42＝2716.命题角度2 求分段函数的定积分例2 (1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，求π21()d ;f x x -⎰(2)计算定积分ʃ21|3－2x |d x .解 (1)π21()d f x x -⎰＝ʃ0－1x 2d x ＋π2(cos 1)d ,x x -⎰ 又因为⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，(sin x －x )′＝cos x －1，所以原式＝ ⎪⎪13x 30－1＋(sin x －x )π20|＝⎝⎛⎭⎫0＋13＋⎝⎛⎭⎫sin π2－π2－(sin 0－0) ＝43－π2. (2)ʃ21|3－2x |d x 322312(32)d (23)d x x x x =-+-⎰⎰ ＝(3x －x 2)321|＋(x 2－3x )232|＝12.反思与感悟 分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．跟踪训练2 (1)ʃ1－1e |x |d x ＝________.【答案】 2e －2【解析】 ʃ1－1e |x |d x＝ʃ0－1e－x d x ＋ʃ10e x d x ＝－e －x |0－1＋e x |10 ＝－e 0＋e 1＋e 1－e 0＝2e －2.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋e x ，0≤x ≤1，x －1x ，1<x ≤2，求ʃ20f (x )d x . 解 ʃ20f (x )d x＝ʃ10(2x ＋e x )d x ＋ʃ21⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝(x 2＋e x )|10＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x 21＝(1＋e)－(0＋e 0)＋⎝⎛⎭⎫12×22－ln 2－⎝⎛⎭⎫12×1－ln 1 ＝e ＋32－ln 2. 类型二 利用定积分求参数例3 (1)已知t >0，f (x )＝2x －1，若ʃt 0f (x )d x ＝6，则t ＝________.(2)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．答案 (1)3 (2)⎣⎡⎦⎤23，2解析 (1)ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ＝6，解得t ＝3或－2，∵t >0，∴t ＝3.(2)ʃ21(kx ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2. 反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．跟踪训练3 (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．(2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 答案 (1)[0,2) (2)33 解析 (1)f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2(x ∈(0,1])．∴f (x )的值域为[0,2)．(2)∵ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c . 又f (x 0)＝ax 20＋c ， ∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－33. ∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 当堂检测1．若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】 D【解析】 ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.2．π230(12sin )d 2θθ-⎰等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 【答案】 D 【解析】π230(12sin )d 2θθ-⎰ π30=cos d θθ⎰＝sin θπ30|＝32. 3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，2－x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34B.45C.56D ．不存在【答案】 C 【解析】 ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝ ⎪⎪13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝56. 4．已知函数f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则ʃ31f (－x )d x ＝________.【答案】 23【解析】 ∵f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nx n －1＋m ＝2x ＋2，解得n ＝2，m ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ，则f (－x )＝x 2－2x ，∴ʃ31f (－x )d x ＝ʃ31(x 2－2x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 231＝9－9－13＋1＝23. 5．已知f (x )＝⎩⎨⎧ 4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算：ʃπ0f (x )d x . 解 ʃπ0f (x )d x ππ2π02()d ()d f x x f x x =+⎰⎰ππ2π02=(4-2π)d cos d ,x x x x +⎰⎰ 取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以ππ2π02(4-2π)d cos d x x x x +⎰⎰＝(2x 2－2πx )π20|＋sin x ππ2|＝－12π2－1， 即ʃπ0f (x )d x ＝－12π2－1.。
人教A版高中数学选修微积分积分定理学案
1.6微积分积分定理【学习目标】1. 通过实例直观了解微积分积分定理的含义;2. 熟练地用微积分积分定理计算微积分. 【复习回顾】1.基本初等函数地求导公式:2.导数运算法则:3.连续函数)(x f 在[]b a ,上的定积分定义:4.定积分的性质:【知识点实例探究】看课本57—59得出微积分基本定理: 如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数并且)()(/x f x F =,那么=⎰badx x f )(___________例1.计算下列定积分: (1)⎰211dx x (2)dx xx ⎰-312)12(例2.计算下列定积分:⎰πsin xdx ,⎰ππ2sin xdx ,⎰π20sin xdx .由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.例3.计算下列定积分:(1)⎰--22)4)(24(dx x x (2)dx x x x ⎰--21232 (3)dx xx 232)1(⎰+(4)dx x x )1(41⎰-(5)⎰+20)sin 3(πdx x x (6)⎰-21)2(dx xe x(7)⎰12dx ex(8)⎰462cos ππxdx(9)⎰312dx x (10)⎰+1021dx x x(11)dx x⎰202)2(sin π(12)⎰-a dx x a 022(13)dx x x⎰+11【作业】1.下列各式中,正确的是 A.)()()(///a f b f dx x f ba-=⎰B.)()()(///b f a f dx x f ba -=⎰C.)()()(/a fb f dx x f ba-=⎰D.)()()(/b f a f dx x f ba-=⎰2.已知自由落体的运动速度g gt v (=为常数),则当[]2,1∈t 时,物体下落的距离是A.g 21 B.g C.g 23D.g 2 3.若,2ln 3)12(1+=+⎰a dx xx 则a 的值是A.6B.4C.3D.2 4.dx x ⎰--1121等于A.4πB.2πC.πD.π2 5.)(x f 是一次函数,且⎰⎰==1010617)(,5)(dx x xf dx x f ,那么)(x f 的解析式是A.34+xB.43+xC.24+-xD.43+-x6.已知⎰--=-aadx x 8)12(,则a =( )7.设)(x f 是奇函数,求⎰-aadx x f )(=( )8.设[][]⎩⎨⎧∈-∈=2,1,21,0,)(2x x x x x f ,求⎰20)(dx x f9.求dx x x )1(11+⎰-10.课本62页B 组2.11.课本62页B 组3.。
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1.6 微积分基本定理
一、教学目标
知识与技能目标
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二、教学重难点
重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义
三、教学过程
1、复习：
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为
21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即
2
1()T T v t dt ⎰=12()()
S T S T -
而()()S t v t '=。
对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有
()()()
b a f x dx F b F a =-⎰若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则
()()()
b
a f x dx F
b F a =-⎰
证明：因为()x Φ=()x
a f t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故
()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）
其中C 为某一常数。
令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=
()a a f t dt ⎰=0即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()
F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a
f t dt ⎰令x b =，有()()()
b
a f x dx F
b F a =-⎰此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即
()()|()()
b b a a f x dx F x F b F a ==-⎰ 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1）2
11dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x
-⎰。
解：（1）因为'1(ln )x x
=，所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x
==-=⎰。
（2））因为2''211()2,()x x x x
==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dx x
x -=-⎰⎰⎰233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。
练习：计算
120x dx ⎰解：由于313
x 是2x 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 120x dx ⎰=3101|3x =33111033⋅-⋅=13
例2．计算下列定积分：
2200
sin ,sin ,sin xdx xdx xdx π
πππ⎰⎰⎰。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为'(cos )sin x x -=，
所以
00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x π
ππ=-=---=⎰，
22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππ
ππππ=-=---=-⎰，
2
200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰. 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等
于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且
等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。
设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。
当t =0时，汽车速度0v =32公里/小时=
3210003600
⨯米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t= 4.931.8≈秒于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
4.93
4.9300(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰⎰= 4.93201(8.88 1.8t )21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽
车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
四、课堂小结
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积
分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
五、教学后记
从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点。
当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面的体验及感悟。
在今天的课堂上，当自己在生物化学班重点及难点均未解决，相反将更多时间纠缠在细节方面，而物理班级恰好相反，教学效果的强烈反差，终于让自己对这个问题有了实践的切身的认识。
记得当实习生时，本来一个相当简单的问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重的是学生却听得更为糊涂。
一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决。