第5章线性系统的频域分析法优秀课件
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自动控制原理课件 第五章线性系统的频域分析
P() jQ()
() 90 arctgT1 arctgT2 arctgT3
G( j) K (T1 T2 T3 ) 3T1T2T3 (1 T12 2 )(1 T2 2 2 )(1 T32 2 ) j K 1 2 (T1T2 T2T3 T3T1 ) (1 T12 2 )(1 T2 2 2 )(1 T32 2 )
P( x
)
K (T1 T2 T3 ) x 2T1T2T3 (1 T12 x 2 )(1 T2 2 x 2 )(1 T3 2 x 2 )
2型系统包含两个积分环节，例如
G(s)
K
s 2 (T1s 1)(T2 s 1)
G( j)
K
K
e j ( )
( j) 2 ( jT1 1)( jT2 1) 2 1 T12 2 1 T2 2 2
T
OP
1 2T 2 AP
G( j) arc tg T
2
T
例2 某零型反馈控制系统，系统开环传递函数
G(s)
K
(T1s 1)(T2 s 1)
试概略绘制系统( j) e j() P() jQ()
( jT1 1)( jT2 1)
G( j )
K
(T1 ) 2 1 (T2 ) 2 1
第五章 线性系统的频域分析
本章主要内容与重点 频率特性的基本概念 极坐标图 对数坐标图 奈奎斯特稳定判据 稳定裕度 闭环系统频率特性 系统时域指标估算
本章主要内容
本章介绍了控制系统频率分 析法的相关概念和原理。包 括频率特性的基本概念和定 义、开环频率特性的极坐标 图表示法、波特图表示法、 控制系统稳定性的频率特性 分析法及其应用、控制系统 闭环频率特性、闭环频率特 性与时域性能的关系等。
第5章-线性系统的频域分析法
0.1 0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
（） -96.3 -102.5 -116.6 -140.7 -164.7 -195.3 -219.3 -240.6 -257.5
5-4 频率域稳定判据
一、奈氏判据的数学基础 1、幅角原理
设F(s)为复变函数，F(s)
在s平面上任一点 K*(s z1)(s z2) (s zm)
G( j) j L() 20lg () 90
L(dB) 40 20
0 0.01 0.1
1
20
20dB / dec
10
-40
( ) 90
0 0.01 0.1
1
90
10
4、一阶惯性环节
G(
j)
1
Tj
1
1
e arctgT
1 T 22
L() 20 lg 1 T 22
() arg tgT
5-1 引言
频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法，它 反映正弦信号作用下系统性能。应用频率特性可以 间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频率特性 法的突出优点是组成系统的元件及被控对象的数学 模型若不能直接从理论上推出和计算时，可以通过 实验直接求得频率特性来分析系统的品质。其次， 应用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的结 论，并且有明显的物理意义。在应用频率特性法分 析系统时，可以利用曲线，图表及经验公式，因此， 用频率特性法分析系统是很方便的。
1
T
() 45
L(dB) 0
20
40
60 ( )
0
1 T
精确特性
45
90
渐进特性
20dB/ dec
第五章 线性系统的频率分析法(一)PPT课件
0dB/dec 0
-20
-40
-3dB -20dB/dec
-60
1
0.01
0.1 T 1
45
10
100
0
-90 (
)
-45
-90
-135 ( )
波德图优点：
（1）波德图展宽频带：可视频带(粗), 表示频带(精)
（2）基本环节都可以由渐近线画出
重庆邮电大学自动化学院
6
写成幅值与幅角表达式
•
U U •o i 1j1 T1j1 Tar1 gj1 [T]1 12 T2[ arc T t]an
幅频特性 相频特性
A() 1 12T2
( )arctanT
两条特性曲线如图。
1
A (
0.707 )
05.08.2020
0 0 1
-45 T
-90
(
付氏变换是拉氏变换在s= j 时的特例。
05.08.2020
重庆邮电大学自动化学院
11
三、频率特性的数学表示及作图
1、极坐标图
极坐标图又称幅相图、奈奎斯特（Nyquist）图
复变函数G(j)表为实部、虚部
G ( j) R G ( je ) I ] [G m ( j) [ P ] () j( Q )
P(ω)、Q(ω)分别为频率ω的函数
幅值、幅角表示
G (j)G ()arG g( [)]A()()
05.08.2020
A(ω)、重φ庆(邮ω电)大分学自别动化为学院 频率ω的函数 5
线性系统的稳态正弦响应
sint
A()sin[t+()]
G(s)
引例5－1 RC电路如图所示
R
-20
-40
-3dB -20dB/dec
-60
1
0.01
0.1 T 1
45
10
100
0
-90 (
)
-45
-90
-135 ( )
波德图优点：
（1）波德图展宽频带：可视频带(粗), 表示频带(精)
（2）基本环节都可以由渐近线画出
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6
写成幅值与幅角表达式
•
U U •o i 1j1 T1j1 Tar1 gj1 [T]1 12 T2[ arc T t]an
幅频特性 相频特性
A() 1 12T2
( )arctanT
两条特性曲线如图。
1
A (
0.707 )
05.08.2020
0 0 1
-45 T
-90
(
付氏变换是拉氏变换在s= j 时的特例。
05.08.2020
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11
三、频率特性的数学表示及作图
1、极坐标图
极坐标图又称幅相图、奈奎斯特（Nyquist）图
复变函数G(j)表为实部、虚部
G ( j) R G ( je ) I ] [G m ( j) [ P ] () j( Q )
P(ω)、Q(ω)分别为频率ω的函数
幅值、幅角表示
G (j)G ()arG g( [)]A()()
05.08.2020
A(ω)、重φ庆(邮ω电)大分学自别动化为学院 频率ω的函数 5
线性系统的稳态正弦响应
sint
A()sin[t+()]
G(s)
引例5－1 RC电路如图所示
R
自动控制原理课件：线性系统的频域分析
曲线顺时针方向移动一周时，在 平面上的映射曲线按逆时针方向
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n
i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2
L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )
90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1
0
30
60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n
i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2
L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )
90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1
0
30
60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于
线性系统的频域分析方法教学课件PPT开环频率曲线的绘制
h
7
二、开环幅相曲线的绘制（1）
绘制方法 （1）起点 0 和终点 ； （2）与实轴的交点 ( x , 0 ) ; 穿越频率: x
（3）变化范围（象限和单调性）。
Im [G (j x)H (j x)] 0 (x ) G ( jx ) H ( jx ) k ;k 0 , 1 , 2 ,
G( jx )H( jx ) K
25.11.2020
h
12
二、开环幅相曲线的绘制（5）
例5.设系统开环传递函数为
试绘制系统开环概G 略(s)幅H (相s)曲s 线(T s 。 1 )(K s2 n 2 1 ); K ,T0
解:
起点： G (j0 )H (j0 ) 9 0 终点： G (j )H (j )0 3 6 0
h
2
10
二、开环幅相曲线的绘制（4）
例3 已知单位反馈系统开环传递函数为
G (s ) K (s 1 ) ; s (T 1 s 1 )(T 2 s 1 )
K ,T 1 ,T 2 , 0
试绘制系统概略开环幅相曲线。
解：起点： Gj090
终点：
Gj0180
25.11.202曲线的绘制（5）
25.11.2020
h
3
一、典型环节及其频率特性（2）
非最小相位系统环节 1）比例环节 K (K0) 2）惯性环节 1/(1 T s) (T0 )
3）一阶微分环节 1Ts (T0)
4）振荡环节 1 /( s 2 /n 2 2 s /n 1 )(n 0 ,0 1 )
5）二阶微分环节 s 2 /n 2 2 s /n 1(n 0 ,0 1 )
第五章 线性系统的频域分析法
5－1 引言 5－2 频率特性 5－3 开环频率特性曲线的绘制 5－4 频域稳定判据 5－5 稳定裕度 5－6 闭环系统的频域性能指标
第5章线性系统的频域分析法课件
+
+
RC
duo dt
uo
ui
ui(t)
i (t) C
uo(t)
-
-
G(s) Uo(s) 1 1 Ui (s) 1 RCs 1 Ts
其中：T=RC
设 ui (t) Asin t
Ui (s)
A s2 2
U
o
(s)
1 Ts
1
Ui
(s)
1 Ts
1
s
2
A
2
Uo (s) 经拉氏反变换，可得
1 A F
tan T--稳态输出幅值 --稳态输出相位
正弦输入与稳态输出之间： 频率相同；幅值不同；相位不同。
i
o
0
t
ui
u0
A
2
0
线性系统G(s)
t
0
2
t
u输0 出仍为正弦信号，频率与输入信号相同，幅值较输入 0 信号有 一2 定 衰减，相t 位存在一定延迟。
A() Uo 1
第五章 线性系统的频域分析法
5.1 引言 5.2 频率特性 5.3 典型环节和开环频率特性曲线的绘制 5.4 频率域稳定判据 5.5 稳定裕度 5.6 闭环系统的频域性能指标
5.1 引言
1.时域分析法的优缺点
时域法是分析和设计控制系统的直接方法，它的主要优点是： 1）直观、容易理解。借助于MATLAB仿真，可以直接得到 系统的时域响应曲线，以及各种时域指标。 2）典型二阶系统的参数与系统性能指标的关系明确。当系 统的闭环零、极点满足二阶近似条件时，可用主导极点对应 的典型二阶系统的指标来近似估计高阶系统的技术指标。
5）延迟系统的开环传递函数包含延迟环节，其闭环特征方 程是超越方程，不能用劳斯判据判断稳定性，也不能用 MATLAB绘制根轨迹，系统分析很困难。
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工程上常用图形来表示频率特性，常用的有： (1)极坐标图，也称奈奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的
实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以为参变量的幅
值与相位的图解表示法。 (2)对数坐标图，也称伯德(Bode)图。它是由两张图组成，以lg
为横坐标，对数分度，分别以 20|G(j)H(j)| 和 (j) 作纵坐标
的一种图示法。
(3)对数幅相频率特性图，也称尼柯尔斯(Nichols)图。它是以相
位 (j) 为横坐标，以 20lg|G(j)H(j)| 为纵坐标，以 为参变
量的一种图示法。
(1) 幅相频率特性曲线
幅相频率特性图，极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist) 图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其
➢频率特性不仅可由微分方程或传递函数求得， 还可以用实验方法求得。
5-1 频率特性
1. 频率特性的基本概念 线性系统对正弦输入信号的稳态响应，称为频率响应。
例：RC电路如图所示，
G(s) 1
T RC
Ts1
输入： ui(t)Uimsi nt
输出：
u o(t)1 U iT m T 2 2e T t 1 U T im 2 2si n ttg 1 T
频率特性：线性定常系统在正弦输入作用下，输 出的稳态分量与输入的复数比。
频率特性 G( j是) 的复变函数：
G ( j) A () () P () j( Q )
❖稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 A()Ac |G(j)|
称为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入A信r 号在稳态 时的放大特性；
稳态输出： uo(t)t 1 U T im 2 2si nttg 1T
输出稳态分量的幅值和相位
A() 1/ 12T2, () arctgT
把幅值和相位写成一个式子
G( j)
1
e jarctgT
1 2T 2
1
1
1 jT 1 Ts s j
➢ A(ω) 称幅频特性，φ(ω)称相频特性。
➢ 二者统称为频率特性。
绘制RC电路频率特性图
RC电路频率特性图分析
可见：U当 r的较低时U， c和Ur的幅值几乎相等迟，后相 也不大。 当Uc 且c迟后。当 时， Uc 0，c迟后90。这与电路中分的析容电抗容 随变化而变化时得一出致结。论
一般系统正弦信号作用下的稳态输入输出
一个稳定的线性定常系统， 如果对其输入一个正弦信号， 系统的稳态输出(稳态响应)也 是同一频率的正弦信号，只是 在幅值和相位上发生了变化。
第5章线性系统的频域分析法
第五章 线性系统的频域分析法
本章主要内容
本章介绍控制系统频率分析法的相 关概念和原理。包括频率特性的基本概 念和定义、开环频率特性的极坐标图表 示法、波特图表示法、控制系统稳定性 的频率特性分析法及其应用、控制系统 闭环频率特性、闭环频率特性与时域性 能的关系等。
本章重点
虚部为纵坐标，以为参变量的幅值与相位的图解表示
法。
它是在复平面上用一条曲线表示 由 0 时的频
率特性。即用矢量 G( j)的端点轨迹形成的图形。是
参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、 幅频和相频特性。
乃奎斯特图 Nyquist
(2) 对数频率特性曲线
对数频率特性图，对数坐标图，也称伯德 (Bode)图。
Q ()A ()s i(n )
A() P2()Q2()
()tg1 Q() P()
频率特性的物理意义
频率特性与传递函数的关系: G(jω)=G(s)|s=jω
频率特性表征了系统或元件对不同频 率正弦输入的响应特性。
(ω)大于零时称
为相角超前，小 于零时称为相角 滞后。
频率特性的求取
❖ 根据定义求取
❖稳态响应与正弦输入信号的相位差 () 称G(为j 系)统的相
频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位 移特性；
❖ P()RG 称e(为j [系)统]的实频特性。
❖ Q ()Im G 称(为j[系)统]的虚频特性。
幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性 之间具有下列关系：
P ()A ()c o(s )
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
线性系统
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
一般系统的频率特性
输入： x (t) X si tn x
稳态输出： y (t)t Y si tn y
幅频特性A( ：) Y X
频率特性
相频特性( ：)y x
通过本章学习，应重点掌握频率特性 的概念与性质、典型环节及系统开环频率 特性的极坐标图和波特图的绘制和分析方 法、控制系统稳定性的频域分析法、系统 稳定裕度的概念和求法、闭环频率特性的 求法、闭环系统性能指标的频域分析法等。
第五章 线性系统的频域分析法
5-1 频率特性 5-2 典型环节与开环系统的频率特性 5-3 频率域稳定判据 5-4 稳定裕度 5-5 闭环系统的频域性能指标 5-6 控制系统频域设计
即已知系统的微分方程，把正弦输入函数带入，求出其 稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。
❖ 根据传递函数求取
即用 s j 代入系统的传递函数，即可得到。
❖ 通过实验的方法直接测得
系统三种描述方法的关系：
s d
微分方程
dt
传递函数
系统
s j
频率特性
j d dt
2. 频率特性的几何表示法
称为十倍频程（或十倍频），用 dec 表示。如下图所示：
Dec Dec Dec Dec
Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两 条曲线组成。
伯德（Bode）曲线
对数幅频特性曲线 对数相频特性曲线
Bode图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：
横坐标分度(称为频率轴，因此对 而 言是非线性刻度。 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，
频率特性法是又一种对系统进行分析和设计的 图解方法。在工程中得到了广泛应用。
频率特性法的优点：
➢只要求出系统的开环频率特性，就可以迅速判 断闭环系统是否稳定；
➢由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的 时域指标之间存在着一定的对应关系；
➢系统的频率特性很容易和它的结构、参数联系 起来，可以很方便地对系统进行校正；
实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以为参变量的幅
值与相位的图解表示法。 (2)对数坐标图，也称伯德(Bode)图。它是由两张图组成，以lg
为横坐标，对数分度，分别以 20|G(j)H(j)| 和 (j) 作纵坐标
的一种图示法。
(3)对数幅相频率特性图，也称尼柯尔斯(Nichols)图。它是以相
位 (j) 为横坐标，以 20lg|G(j)H(j)| 为纵坐标，以 为参变
量的一种图示法。
(1) 幅相频率特性曲线
幅相频率特性图，极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist) 图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其
➢频率特性不仅可由微分方程或传递函数求得， 还可以用实验方法求得。
5-1 频率特性
1. 频率特性的基本概念 线性系统对正弦输入信号的稳态响应，称为频率响应。
例：RC电路如图所示，
G(s) 1
T RC
Ts1
输入： ui(t)Uimsi nt
输出：
u o(t)1 U iT m T 2 2e T t 1 U T im 2 2si n ttg 1 T
频率特性：线性定常系统在正弦输入作用下，输 出的稳态分量与输入的复数比。
频率特性 G( j是) 的复变函数：
G ( j) A () () P () j( Q )
❖稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 A()Ac |G(j)|
称为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入A信r 号在稳态 时的放大特性；
稳态输出： uo(t)t 1 U T im 2 2si nttg 1T
输出稳态分量的幅值和相位
A() 1/ 12T2, () arctgT
把幅值和相位写成一个式子
G( j)
1
e jarctgT
1 2T 2
1
1
1 jT 1 Ts s j
➢ A(ω) 称幅频特性，φ(ω)称相频特性。
➢ 二者统称为频率特性。
绘制RC电路频率特性图
RC电路频率特性图分析
可见：U当 r的较低时U， c和Ur的幅值几乎相等迟，后相 也不大。 当Uc 且c迟后。当 时， Uc 0，c迟后90。这与电路中分的析容电抗容 随变化而变化时得一出致结。论
一般系统正弦信号作用下的稳态输入输出
一个稳定的线性定常系统， 如果对其输入一个正弦信号， 系统的稳态输出(稳态响应)也 是同一频率的正弦信号，只是 在幅值和相位上发生了变化。
第5章线性系统的频域分析法
第五章 线性系统的频域分析法
本章主要内容
本章介绍控制系统频率分析法的相 关概念和原理。包括频率特性的基本概 念和定义、开环频率特性的极坐标图表 示法、波特图表示法、控制系统稳定性 的频率特性分析法及其应用、控制系统 闭环频率特性、闭环频率特性与时域性 能的关系等。
本章重点
虚部为纵坐标，以为参变量的幅值与相位的图解表示
法。
它是在复平面上用一条曲线表示 由 0 时的频
率特性。即用矢量 G( j)的端点轨迹形成的图形。是
参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、 幅频和相频特性。
乃奎斯特图 Nyquist
(2) 对数频率特性曲线
对数频率特性图，对数坐标图，也称伯德 (Bode)图。
Q ()A ()s i(n )
A() P2()Q2()
()tg1 Q() P()
频率特性的物理意义
频率特性与传递函数的关系: G(jω)=G(s)|s=jω
频率特性表征了系统或元件对不同频 率正弦输入的响应特性。
(ω)大于零时称
为相角超前，小 于零时称为相角 滞后。
频率特性的求取
❖ 根据定义求取
❖稳态响应与正弦输入信号的相位差 () 称G(为j 系)统的相
频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位 移特性；
❖ P()RG 称e(为j [系)统]的实频特性。
❖ Q ()Im G 称(为j[系)统]的虚频特性。
幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性 之间具有下列关系：
P ()A ()c o(s )
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
线性系统
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
一般系统的频率特性
输入： x (t) X si tn x
稳态输出： y (t)t Y si tn y
幅频特性A( ：) Y X
频率特性
相频特性( ：)y x
通过本章学习，应重点掌握频率特性 的概念与性质、典型环节及系统开环频率 特性的极坐标图和波特图的绘制和分析方 法、控制系统稳定性的频域分析法、系统 稳定裕度的概念和求法、闭环频率特性的 求法、闭环系统性能指标的频域分析法等。
第五章 线性系统的频域分析法
5-1 频率特性 5-2 典型环节与开环系统的频率特性 5-3 频率域稳定判据 5-4 稳定裕度 5-5 闭环系统的频域性能指标 5-6 控制系统频域设计
即已知系统的微分方程，把正弦输入函数带入，求出其 稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。
❖ 根据传递函数求取
即用 s j 代入系统的传递函数，即可得到。
❖ 通过实验的方法直接测得
系统三种描述方法的关系：
s d
微分方程
dt
传递函数
系统
s j
频率特性
j d dt
2. 频率特性的几何表示法
称为十倍频程（或十倍频），用 dec 表示。如下图所示：
Dec Dec Dec Dec
Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两 条曲线组成。
伯德（Bode）曲线
对数幅频特性曲线 对数相频特性曲线
Bode图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：
横坐标分度(称为频率轴，因此对 而 言是非线性刻度。 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，
频率特性法是又一种对系统进行分析和设计的 图解方法。在工程中得到了广泛应用。
频率特性法的优点：
➢只要求出系统的开环频率特性，就可以迅速判 断闭环系统是否稳定；
➢由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的 时域指标之间存在着一定的对应关系；
➢系统的频率特性很容易和它的结构、参数联系 起来，可以很方便地对系统进行校正；