2013年高考数学全国卷I(含答案)

2013年高考数学（全国卷I ） 满分150分，时间：120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为 （ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．＝ （ ）
A ．－8
B ．8
C ．－8i
D ．8i 3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝ （ ）
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1 4．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为 （ ）
A ．(－1,1)
B ．
C ．(－1,0)
D ．
5．函数f (x )＝(x ＞0)的反函数f －1
(x )＝
（ ） A ．(x ＞0) B ．(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)
6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝，则{a n }的前10项和等于 （ ） A ．－6(1－3－10) B ．(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)
7．(1＋x )8
(1＋y )4
的展开式中x 2y 2
的系数是 （ ）
A ．56
B ．84
C ．112
D ．168
8．椭圆C ：的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若函数f (x )＝x 2
＋ax ＋
在是增函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)
10．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于 （ ）
3
11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭1,12⎛⎫
⎪
⎝⎭21log 1x ⎛
⎫+
⎪⎝⎭
121x -121x
-4
3
-
1
92
2=143
x y
+
13,24⎡⎤⎢⎥⎣
⎦33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知抛物线C ：y 2
＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若，
则k ＝ （ ）
A ．
B ． C
D ．2
12．已知函数f (x )＝
cos x sin 2x ，下列结论中错误的是 （ ）
A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称
B ．y ＝f(x)的图像关于直线
对称
C ．f(x)的最大值为
D ．f(x)既是奇函数，又是周期函数
二、填空题：本大题共4小题，每小题
5分． 13．已知α是第三象限角，sin α＝，则cot α＝__________. 14．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)
15．记不等式组所表示的平面区域为D .若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是
__________．
16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17． (本小题满分10分)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．
18． (本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .
(1)求B ；(2)若sin A sin C ，求C
23331
30MA MB ⋅=1
2π
=
2x 1
3
-
0,34,34x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
3
2
2
2a
19． (本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形．
(1)证明：PB ⊥CD ； (2)求二面角A －PD －C 的大小．
20．（本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．
21．(本小题满分12分)已知双曲线C ：(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，
直线y ＝2与C
. (1)求a ，b ；
(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|
AB |，|BF 2|成等比数列．
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝.
(1)若x ≥0时，f (x )≤0，求λ的最小值； (2)设数列{a n }的通项，证明：a 2n －a n ＋＞ln 2.
1
2
22
22=1x y a b
-1ln(1+)1x x x x
λ(+)
-+111=1+
23
n a n
+++
14n
2013年高考数学（全国卷I ）答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B
解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2． 答案：A
解析：.故选A.
3． 答案：B
解析：由(m ＋n )⊥(m －n )?|m |2
－|n |2
＝0?(λ＋1)2
＋1－[(λ＋2)2
＋4]＝0?λ＝－3.故选B. 4． 答案：B
解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜.故选B. 5． 答案：A
解析：由题意知＝2y
?x ＝(y ＞0)， 因此f －1
(x )＝(x ＞0)．故选A. 6． 答案：C
解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝.∴数列{a n }是以为公比的等比数列．∵a 2＝，∴a 1＝4. ∴S 10＝＝3(1－3－10
)．故选C.
7． 答案：D
解析：因为(1＋x )8
的展开式中x 2
的系数为，(1＋y )4
的展开式中y 2
的系数为，所以x 2y 2
的系数为
.故选D.
323
=13=8-1
2
-11+
x 121
y -1
21
x -13n a -13-
4
3
-101413113
⎡⎤
⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+28C 2
4C 2284C C 168=
8．
答案：B
解析：设P点坐标为(x0，y0)，则，
，，于是.
故.
∵∈[－2，－1]，
∴.故选B.
9．
答案：D
解析：由条件知f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即在上恒成立．∵函数在上为减函数，∴.∴a≥3.故选D.
10．
答案：A
解析：如下图，连结AC交BD于点O，连结C1O，过C作CH⊥C1O于点H.
∵
CH⊥平面C1BD，
∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角．
设AA1＝2AB＝2，则，
22
00=1
43
x y
+
2
2
PA
y
k
x
=
-1
2
PA
y
k
x
=
+12
2
20
222
00
3
33
4
244
PA PA
x
y
k k
x x
-
⋅===-
--
1
2
31
4
PA
PA
k
k
＝－
2
PA
k
1
33
,
84
PA
k
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
2
1
x
1
,
2
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭2
1
2
a x
x
≥-
1
,
2
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭2
1
2
y x
x
=-
1
,
2
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭max2
11
<23
2
1
2
y-⨯=
⎛⎫
⎪
⎝⎭
1
1
BD AC
BD AA
AC AA A
⊥⎫
⎪
⊥⎬
⎪
=⎭
11
11
BD ACC A
CH ACC A
⊥⎫
⎬
⊂⎭
平面
平面
1
1
=
CH BD
CH C O
BD C O O
⊥⎫
⎪
⊥⎬
⎪
⎭
==
22
AC
OC
1
C O=
由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 1，即， ∴. ∴sin ∠HDC ＝.故选A.
11． 答案：D
解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2
＝8x ，得k 2x 2
－4(k 2
＋2)x ＋4k 2
＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝4.①
由
∵，
∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0， 即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D. 12． 答案：C
解析：由题意知f (x )＝2cos 2
x ·sin x ＝2(1－sin 2
x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]， 则g (t )＝2(1－t 2
)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得. 当t ＝±1时，函数值为0； 当时，函数值为；
当时，函数值为. ∴g (t )max
， 222
CH ⋅⋅2
=
3
CH 22
3==13
HC DC 22
42k k (+)
1122
22y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩0MA MB ⋅==t ±
3
t =-
9-3t =
9
即f (x )的最大值为.故选C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：
解析：由题意知cos α＝. 故cot α＝
14．答案：480
解析：先排除甲、乙外的4人，方法有种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有种排法，
因此甲、乙不相邻的不同排法有(种)．
15．答案：
解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示． ∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知，k AC
＝4，
∴要使直线y ＝a (x ＋
1)与平面区域D 有公共点，
则
≤a ≤4. 16．答案：16π
解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，
则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°. 又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE ＝
. 又OK ⊥EK ，∴＝OE ·sin 60°＝∴R ＝2.
∴S ＝4πR 2
＝16π.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：设{a n }的公差为d .
由S 3＝得3a 2＝，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得＝S 1S 4.
9
3
==-cos sin α
α
4
4A 2
5A 42
45A A 480⋅=1
,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
12
BC k =
1
2
2
R 3
2
22R ⋅2
2a 2
2a 2
2S
又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2
＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．
若a 2＝0，则d 2
＝－2d 2
，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2
＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．
解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2
＋c 2
－b 2
＝－ac .
由余弦定理得cos B ＝
， 因此B ＝120°.
(2)由(1)知A ＋C ＝60°，
所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin
C ＝， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°. 19．
(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形． 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 连结OA ，OB ，OD ，OE .
由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ， 所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .
因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点， 所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .
(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ， 故CD ⊥平面PBD .
又PD 平面PBD ，所以CD ⊥PD . 取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ， 则FG ∥CD ，FG ⊥PD .
连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角． 连结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .
2221
22
a c
b a
c +-=
-1
+22=
⊂
设AB ＝2，则AE ＝，EG ＝＝1， 故AG
＝3.
在△AFG 中，FG ＝
，，AG
＝3， 所以cos ∠AFG ＝
.
因此二面角A －PD －C 的大小为
解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．
以O
为坐标原点，的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz . 设||＝2，则
A (，0,0)，D (0，
，0)，C (，
，0)，P (0,0．
＝(，，
)，＝(0，
，)．
＝，0)，＝，，0)．
设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·＝(x ，y
，z )·(，
，)＝0
，
n 1·＝(x ，
y ，z )·(0，，
)＝0，
可得2x
－y －z ＝0
，y ＋z ＝0.
取y
＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．
设平面PAD 的法向量为
n 2＝(m ，p ，q )
，则n 2·＝(m ，p ，q ，0)＝0，n 2·＝(m ，p ，
q ，，0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0.
取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n 2＝(1,1，－1)． 于是cos 〈n 1，n 2〉＝
.
由于〈n 1，n 2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C 的大小为. 20．
解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，
A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”．
则A ＝A 1·A 2.
P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝
. 1
2
PB 1
2
CD =AF =22223
FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯π-OE AB -PC 2-PD AP AD 2PC 22-PD AP AD 1212||||3
=-·n n n n πarccos 3
-14
(2)X 的可能取值为0,1,2.
记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”． 则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)·P (A 3)＝，P (X ＝2)＝P (·B 3)＝P ()P (B 3)＝，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝，EX ＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝.
21．
(1)解：由题设知＝3，即＝9，故b 2＝8a 2
. 所以C 的方程为8x 2
－y 2
＝8a 2
. 将y ＝2代入上式，求得. 由题设知，
a 2＝1. 所以a ＝1，
b ＝.
(2)证明：由(1)知，F 1(－
3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2
－y 2
＝8.①
由题意可设l 的方程为y ＝k (x －
3)，(k 2
－8)x 2
－6k 2
x
＋9k 2
＋8＝0.
设A (x 1，y 1)，B
(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，
x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝.
于是|AF 1|＝－(3x 1＋1)， |BF 1| 3x 2＋1.
由
|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝
3x 2＋1，即x 1＋x 2＝. 故，解得k 2＝，从而x 1·x 2＝. 由于|AF 2| ＝1－3x 1，
181B 1B 1
4
1151848
--=9
8c a 222
a b a
+x ==k 2268k k -2298
8
k k +-23
-
22
62
83
k k =--45199-
11 |BF 2|
3x 2－1，
故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4，|AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2
，所以|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列． 22．
(1)解：由已知f (0)＝0，f ′(x )＝，f ′(0)＝0. 若，则当0＜x ＜2(1－2λ)时，f ′(x )＞0，所以f (x )＞0. 若，则当x ＞0时，f ′(x )＜0，所以当x ＞0时，f (x )＜0. 综上，λ的最小值是.
(2)证明：令.由(1)知，当x ＞0时，f (x )＜0，
即．
取，则.
于是
＝
＝ln 2n －ln n ＝ln 2.
所以.
2
2121x x x λλ(-)-(+)1
2λ<1
2λ≥1
21
2λ=2ln(1)22x x x x (+)
>++1x k =211
>ln 21k k
k k k ++(+)21
2111 422(1)n n n k n a a n k k -=⎡⎤
-+=+⎢⎥+⎣⎦∑21
21211
ln 21n n k n k n k k k k k
--==++>(+)∑∑21
ln 24n n a a n -+>。