基于MATLAB的直角坐标下牛顿拉夫逊法潮流计算
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潮流计算是电力系统非常重要的分析计算，用以研究系统规划和运行中提出 的各种问题。对规划中的电力系统，通过潮流计算可以检验所提出的电力系统规 划方案能否满足各种运行方式的要求：对运行中的电力系统，通过潮流计算可以 预知各种负荷变化和网络结构的改变会不会危及系统的安全，系统中所有母线的 电压是否在允许的范围以内，系统中各元件（线路、变压器等）是否会出现过负 荷，以及可能出现过负荷时应事先采取哪些预防措施等。
设 r 是 f(x) = 0 的根，选取 x0 作为 r 初始近似值，过点（x0,f(x0)）做 曲线 y = f(x)的切线 L，L 的方程为 y = f(x0) f'(x0)(x-x0)，求出 L 与 x 轴交 点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称 x1 为 r 的一次近似值。过点（x1,f(x1)） 作曲线 y = f(x)的切线，并求该切线与 x 轴的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称 x2 为 r 的二次近似值。重复以上过程，得 r 的近似值序列，其中 x(n+1)=x(n) －f(x(n))/f'(x(n))，称为 r 的 n+1 次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
基于 MATLAB 的直角坐标下牛顿-拉夫逊法潮流计算
摘要
潮流计算，指在给定电力系统网络拓扑、元件参数和发电、负荷参量条件下，计算有功 功率、无功功率及电压在电力网中的分布。潮流计算是根据给定的电网结构、参数和发电机、 负荷等元件的运行条件，确定电力系统各部分稳态运行状态参数的计算。通常给定的运行条 件有系统中各电源和负荷点的功率、枢纽点电压、平衡点的电压和相位角。待求的运行状态 参量包括电网各母线节点的电压幅值和相角，以及各支路的功率分布、网络的功率损耗等。 它是基于配电网络特有的层次结构特性，论文提出了一种新颖的分层前推回代算法。该算法 将网络支路按层次进行分类，并分层并行计算各层次的支路功率损耗和电压损耗，因而可大 幅度提高配电网潮流的计算速度。论文在 MATLAB 环境下，利用其快速的复数矩阵运算功 能，实现了文中所提的分层前推回代算法，并取得了非常明显的速度效益。另外，论文还讨 论发现，当变压器支路阻抗过小时，利用 Π 型模型会产生数值巨大的对地导纳，由此会导 致潮流不收敛。为此，论文根据理想变压器对功率和电压的变换原理，提出了一种有效的电 压变换模型来处理变压器支路，从而改善了潮流算法的收敛特性。
MATLAB 是一种交互式、面向对象的程序设计语言，广泛应用于工业界与 学术界，主要用于矩阵运算，同时在数值分析、自动控制模拟、数字信号处理、 动态分析、绘图等方面也具有强大的功能。
MATLAB 程序设计语言结构完整，且具有优良的移植性，它的基本数据元 素是不需要定义的数组。它可以高效率地解决工业计算问题，特别是关于矩阵和 矢量的计算。MATLAB 与 C 语言和 FORTRAN 语言相比更容易被掌握。通过 M 语言，可以用类似数学公式的方式来编写算法，大大降低了程序所需的难度并节 省了时间，从而可把主要的精力集中在算法的构思而不是编程上。
对 F(x)求偏导的式（2-6）、式（2-7），即式（1-4）、式（1-5）中的 Pi 0 、Qi 0 、
U 是多维变量的函数，对多维变量求偏导（ Pi 、Pi 、Pi 、Pi 、Qi 、
ei
ej
fi
f j
ei
Qi 、 Pi 、…），并以矩阵的形式表达称为雅可比矩阵。
e j
ei
当 j=i 时，对角元素为
第二章 牛顿—拉夫逊法潮流计算基本原理
2.1 牛顿—拉夫逊法潮流计算简介
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不 存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近 似根就显得特别重要。方法使用函数 f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程 f(x) = 0 的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方 程 f(x) = 0 的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、 复根。
解非线性方程 f(x)=0 的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。 把 f(x)在 x0 点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－ x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程 f(x) = 0 的近似方程， 即泰勒展开的前两项，则有 f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设 f'(x0)≠0 则其解为 x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－ f(x(n))/f'(x(n))。
节点的给定功率设为 Pis 和 Qis （称为注入功率）。 假定系统中的第 1、2、…、m 节点为 PQ 节点，对其中每一个节点的 N-R
法表达式 F(x)=0[如 Si 0 、 Pi 0 、 Qi 0 ]形式有些下列方程：
n
n
Pi Pis Pi Pis ei (Gije j Bij f j ) fi (Gij f j Bije j ) 0
Pi Pis Pi Pis ei n (Gije j Bij f j ) fi n (Gij f j Bije j ) 0
j 1
j 1
U 2
U
2 is
U
2 i
U
2 is
(ei2
fi2 )
（2-4）
i =（m+1、m+2、…、n-1） 形成雅可比矩阵。N-R 法的思想是 F (x) F `(x) x 0 ；本例 P jQ F(x) ；
Key words: Electric power system; flow calculation; MATLAB
第一章 电力系统潮流计算概述
1.1 电力系统潮流概述
潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，它的任务是在给定的接线 方式和运行条件下，确定系统的运行状态，如各母线上的电压（幅值和相角）、 网络中的功率分布及功率损耗等，是电力系统的稳态计算。潮流计算是对电力系 统正常运行状况的分析和计算，即电力系统中的电压、电流、功率的计算，即潮 流计算；潮流计算方法很多：高斯—塞德尔法、牛顿—拉夫逊法、P-Q 分解法、 直流潮流法，以及由高斯—塞德尔法、牛顿—拉夫逊法演变的各种潮流计算方法。
关键词：电力系统；潮流分析；MATLAB
Abstract
Flow calculation is an important analysis function of power system and is the necessary facility of fault analysis, relay protection setting and security analysis. In addition, the traditional design method is a structured program design method based on functional decomposition, the entire software engineering as a combination of objects, as the domain of a particular issue, the composition of the object will remain basically unchanged Therefore, this decomposition method based on object design software structure relatively stable, easy to maintain and expand. . Combine the characteristics of power systems, software running on the use of MATLAB language WINDOWS OS graphical flow calculation software. The main features of the system are simple and intuitive graphical interface and stable operation. Calculated accurately Calculations, the algorithm has done a number of improvements to enhance the computing speed, the various types of effective package makes the procedure has good modularity maintainability and reusability. The MATLAB language is used to calculate flow distribution of power system in this paper. The typical examples explain that the method has the characteristics of simple programming high calculation efficiency and matching people habit the calculation result can satisfy the engineering calculation needs and at the same time verify the usefulness of the method.
Pi
ei
n
(Gije j
j 1
Bij
f j ) Giiei
Bii
fi
Nii
Pi
fi
n
(Gij
j 1
fj
Bije j ) Biiei
Gii
fi
H ii
Qi
ei
n
(Gij f j Bije j ) Biiei Gii fi
j 1
Lii
Qi
fi
n
(Gije j
1.2 MATLAB 软件的应用
MATLAB Compiler 是一种编译工具，它能够将 M 编写的函数文件生成函数 库或者可执行文件 COM 组件等，以提供给其他高级语言如 C++、C#等进行调用由 此扩展 MATLAB 的应用范围，将 MATLAB 的开发效率与其他高级语言的运行结合起 来，取长补短，丰富程序开发的手段。
2.2 牛顿——拉夫逊法潮流计算计算公式
把牛顿法用于潮流计算，采用直角坐标形式表示的如式（2-2）所示的形式。
其中电压和支路导纳可表示为：
Ui ei jfi Yij Gij jBij
U j ej jf j
Y ij Gij jBij
（2-1）
将上述表示式（2-1）代入（1-1）式的右端，展开并分出实部和虚部，便
j 1
Bij f j ) Giiei
Bii fii
J
ii
U
2 i
ei
2ei
U
2 i
fi
2 fi
（2-5）
当 j i 时,矩阵非对角元素为：
Pi ei
Qi f j
(Gijei
Bij fi )
Nij
Jij
Pi f j
得：
n
n
Pi ei (Gije j Bij f j ) fi (Gi j f j Bije j )
j 1
i 1
n
nwenku.baidu.com
Qi fi (Gije j Bij f j ) ei (Gi j f j Bije j )
j 1
j 1
（2-2）
按照以上的分类，PQ 节点的输出有功功率和无功功率是给定的，则第 i
j 1
j 1
n
n
Qi Qis Qi Qis fi (Gijej Bij f j ) ei (Gij f j Bije j ) 0
j 1
j 1
（2-3）
i =（1、2、…、m） PV 节点的有功功率和节点电压幅值是给定的。假定系统中的第 m+1、
m+2、…、n-1 节点为 PV 节点，则对其中每一 PV 节点可以列写方程：
设 r 是 f(x) = 0 的根，选取 x0 作为 r 初始近似值，过点（x0,f(x0)）做 曲线 y = f(x)的切线 L，L 的方程为 y = f(x0) f'(x0)(x-x0)，求出 L 与 x 轴交 点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称 x1 为 r 的一次近似值。过点（x1,f(x1)） 作曲线 y = f(x)的切线，并求该切线与 x 轴的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称 x2 为 r 的二次近似值。重复以上过程，得 r 的近似值序列，其中 x(n+1)=x(n) －f(x(n))/f'(x(n))，称为 r 的 n+1 次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
基于 MATLAB 的直角坐标下牛顿-拉夫逊法潮流计算
摘要
潮流计算，指在给定电力系统网络拓扑、元件参数和发电、负荷参量条件下，计算有功 功率、无功功率及电压在电力网中的分布。潮流计算是根据给定的电网结构、参数和发电机、 负荷等元件的运行条件，确定电力系统各部分稳态运行状态参数的计算。通常给定的运行条 件有系统中各电源和负荷点的功率、枢纽点电压、平衡点的电压和相位角。待求的运行状态 参量包括电网各母线节点的电压幅值和相角，以及各支路的功率分布、网络的功率损耗等。 它是基于配电网络特有的层次结构特性，论文提出了一种新颖的分层前推回代算法。该算法 将网络支路按层次进行分类，并分层并行计算各层次的支路功率损耗和电压损耗，因而可大 幅度提高配电网潮流的计算速度。论文在 MATLAB 环境下，利用其快速的复数矩阵运算功 能，实现了文中所提的分层前推回代算法，并取得了非常明显的速度效益。另外，论文还讨 论发现，当变压器支路阻抗过小时，利用 Π 型模型会产生数值巨大的对地导纳，由此会导 致潮流不收敛。为此，论文根据理想变压器对功率和电压的变换原理，提出了一种有效的电 压变换模型来处理变压器支路，从而改善了潮流算法的收敛特性。
MATLAB 是一种交互式、面向对象的程序设计语言，广泛应用于工业界与 学术界，主要用于矩阵运算，同时在数值分析、自动控制模拟、数字信号处理、 动态分析、绘图等方面也具有强大的功能。
MATLAB 程序设计语言结构完整，且具有优良的移植性，它的基本数据元 素是不需要定义的数组。它可以高效率地解决工业计算问题，特别是关于矩阵和 矢量的计算。MATLAB 与 C 语言和 FORTRAN 语言相比更容易被掌握。通过 M 语言，可以用类似数学公式的方式来编写算法，大大降低了程序所需的难度并节 省了时间，从而可把主要的精力集中在算法的构思而不是编程上。
对 F(x)求偏导的式（2-6）、式（2-7），即式（1-4）、式（1-5）中的 Pi 0 、Qi 0 、
U 是多维变量的函数，对多维变量求偏导（ Pi 、Pi 、Pi 、Pi 、Qi 、
ei
ej
fi
f j
ei
Qi 、 Pi 、…），并以矩阵的形式表达称为雅可比矩阵。
e j
ei
当 j=i 时，对角元素为
第二章 牛顿—拉夫逊法潮流计算基本原理
2.1 牛顿—拉夫逊法潮流计算简介
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不 存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近 似根就显得特别重要。方法使用函数 f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程 f(x) = 0 的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方 程 f(x) = 0 的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、 复根。
解非线性方程 f(x)=0 的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。 把 f(x)在 x0 点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－ x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程 f(x) = 0 的近似方程， 即泰勒展开的前两项，则有 f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设 f'(x0)≠0 则其解为 x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－ f(x(n))/f'(x(n))。
节点的给定功率设为 Pis 和 Qis （称为注入功率）。 假定系统中的第 1、2、…、m 节点为 PQ 节点，对其中每一个节点的 N-R
法表达式 F(x)=0[如 Si 0 、 Pi 0 、 Qi 0 ]形式有些下列方程：
n
n
Pi Pis Pi Pis ei (Gije j Bij f j ) fi (Gij f j Bije j ) 0
Pi Pis Pi Pis ei n (Gije j Bij f j ) fi n (Gij f j Bije j ) 0
j 1
j 1
U 2
U
2 is
U
2 i
U
2 is
(ei2
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（2-4）
i =（m+1、m+2、…、n-1） 形成雅可比矩阵。N-R 法的思想是 F (x) F `(x) x 0 ；本例 P jQ F(x) ；
Key words: Electric power system; flow calculation; MATLAB
第一章 电力系统潮流计算概述
1.1 电力系统潮流概述
潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，它的任务是在给定的接线 方式和运行条件下，确定系统的运行状态，如各母线上的电压（幅值和相角）、 网络中的功率分布及功率损耗等，是电力系统的稳态计算。潮流计算是对电力系 统正常运行状况的分析和计算，即电力系统中的电压、电流、功率的计算，即潮 流计算；潮流计算方法很多：高斯—塞德尔法、牛顿—拉夫逊法、P-Q 分解法、 直流潮流法，以及由高斯—塞德尔法、牛顿—拉夫逊法演变的各种潮流计算方法。
关键词：电力系统；潮流分析；MATLAB
Abstract
Flow calculation is an important analysis function of power system and is the necessary facility of fault analysis, relay protection setting and security analysis. In addition, the traditional design method is a structured program design method based on functional decomposition, the entire software engineering as a combination of objects, as the domain of a particular issue, the composition of the object will remain basically unchanged Therefore, this decomposition method based on object design software structure relatively stable, easy to maintain and expand. . Combine the characteristics of power systems, software running on the use of MATLAB language WINDOWS OS graphical flow calculation software. The main features of the system are simple and intuitive graphical interface and stable operation. Calculated accurately Calculations, the algorithm has done a number of improvements to enhance the computing speed, the various types of effective package makes the procedure has good modularity maintainability and reusability. The MATLAB language is used to calculate flow distribution of power system in this paper. The typical examples explain that the method has the characteristics of simple programming high calculation efficiency and matching people habit the calculation result can satisfy the engineering calculation needs and at the same time verify the usefulness of the method.
Pi
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n
(Gije j
j 1
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1.2 MATLAB 软件的应用
MATLAB Compiler 是一种编译工具，它能够将 M 编写的函数文件生成函数 库或者可执行文件 COM 组件等，以提供给其他高级语言如 C++、C#等进行调用由 此扩展 MATLAB 的应用范围，将 MATLAB 的开发效率与其他高级语言的运行结合起 来，取长补短，丰富程序开发的手段。
2.2 牛顿——拉夫逊法潮流计算计算公式
把牛顿法用于潮流计算，采用直角坐标形式表示的如式（2-2）所示的形式。
其中电压和支路导纳可表示为：
Ui ei jfi Yij Gij jBij
U j ej jf j
Y ij Gij jBij
（2-1）
将上述表示式（2-1）代入（1-1）式的右端，展开并分出实部和虚部，便
j 1
Bij f j ) Giiei
Bii fii
J
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U
2 i
ei
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2 fi
（2-5）
当 j i 时,矩阵非对角元素为：
Pi ei
Qi f j
(Gijei
Bij fi )
Nij
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Pi f j
得：
n
n
Pi ei (Gije j Bij f j ) fi (Gi j f j Bije j )
j 1
i 1
n
nwenku.baidu.com
Qi fi (Gije j Bij f j ) ei (Gi j f j Bije j )
j 1
j 1
（2-2）
按照以上的分类，PQ 节点的输出有功功率和无功功率是给定的，则第 i
j 1
j 1
n
n
Qi Qis Qi Qis fi (Gijej Bij f j ) ei (Gij f j Bije j ) 0
j 1
j 1
（2-3）
i =（1、2、…、m） PV 节点的有功功率和节点电压幅值是给定的。假定系统中的第 m+1、
m+2、…、n-1 节点为 PV 节点，则对其中每一 PV 节点可以列写方程：