高考数学复习专题：第2章第6课时

第2章第6课时

一、选择题

1．函数y ＝2－x lg x

的定义域是( ) A ．{x |0＜x ＜2}

B ．{x |0＜x ＜1或1＜x ＜2}

C ．{x |0＜x ≤2}

D ．{x |0＜x ＜1或1＜x ≤2} 解析： 要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ≥0x ＞0

lg x ≠0

解得0＜x ＜1或1＜x ≤2，

∴定义域为{x |0＜x ＜1或1＜x ≤2}．

答案： D 2．设a ＝lge ，b ＝(lge)2，c ＝lg e ，则( )

A ．a ＞b ＞c

B ．a ＞c ＞b

C ．c ＞a ＞b

D ．c ＞b ＞a

解析： ∵0＜lge ＜1，∴lge ＞12

lge ＞(lge)2. ∴a ＞c ＞b .

答案： B

3．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )

A ．log 2x

B.12x C ．log 12x D ．x 2

解析： 由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12

， ∴f (x )＝log 12

x . 答案： C

4．已知0＜log a 2＜log b 2，则a 、b 的关系是( )

A ．0＜a ＜b ＜1

B ．0＜b ＜a ＜1

C ．b ＞a ＞1

D ．a ＞b ＞1

解析： 由已知得，0＜1log 2a ＜1log 2b

⇒log 2a ＞log 2b ＞0. ∴a ＞b ＞1.

答案： D

5．函数y ＝log 22－x 2＋x

的图象( ) A ．关于原点对称

B ．关于直线y ＝－x 对称

C ．关于y 轴对称

D ．关于直线y ＝x 对称

解析： ∵f (x )＝log 22－x 2＋x

， ∴f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 22－x 2＋x

. ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．故选A.

答案： A

6．(2010·天津卷)设函数f (x )＝

若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－1,0)∪(0,1)

B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C ．(－1,0)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(0,1) 解析： 若a ＞0，则由f (a )＞f (－a )得

log 2a ＞log 12

a ＝－log 2a ，即log 2a ＞0，∴a ＞1.

若a ＜0，则由f (a )＞f (－a )得log 12

(－a )＞log 2(－a )，

即－log 2(－a )＞log 2(－a )，

∴log 2(－a )＜0，∴0＜－a ＜1，即－1＜a ＜0.

综上可知，－1＜a ＜0或a ＞1.

答案： C

二、填空题

7．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则g ⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫12＝________. 解析： g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12

＜0， ∴g ⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫12＝g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝e ln 12＝12. 答案： 12

8．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．

解析： 令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .

∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)，

∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)．

答案： (－∞，0)

9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

3x ＋1 x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．

解析： 当x ≤0时，由3x ＋

1＞1，得x ＋1＞0，即x ＞－1. ∴－1＜x ≤0.

当x ＞0时，由log 2x ＞1，得x ＞2.

∴x 的取值范围是{x |－1＜x ≤0或x ＞2}．

答案： {x |－1＜x ≤0或x ＞2}

三、解答题

10．已知f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0，且a ≠1)．

(1)求f (x )的定义域；

(2)讨论函数f (x )的单调性．

解析： (1)由a x －1＞0，得a x ＞1.当a ＞1时，x ＞0；

当0＜a ＜1时，x ＜0.

∴当a ＞1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；

当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为(－∞，0)．

(2)当a ＞1时，设0＜x 1＜x 2，则1＜a x 1＜a x 2，

故0＜a x 1－1＜a x 2－1，

∴log a (a x 1－1)＜log a (a x 2－1)，∴f (x 1)＜f (x 2)，

故当a ＞1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．

类似地，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．

11．已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求

a 的取值范围．

解析： ∵f (x )＝log a x ，

则y ＝|f (x )|的图象如右图．

由图示，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪

⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1， 即－1≤log a 13

≤1， 即log a a －1≤log a 13

≤log a a ， 亦当a ＞1时，得a －1≤13

≤a ，即a ≥3； 当0＜a ＜1时，得a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13

. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦

⎤0，13∪[3，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．

(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；

(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解析： (1)∵f (1)＝1，

∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，

这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．

由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，函数定义域为(－1,3)．