计算机图形学 第三章 从图形到图像

OpenGL对光栅化的处理
OpenGL规定在子象素级进行光栅化，它将点视为数学点，将直线图元视为数 学直线，将填充图元视为由数学直线包围的区域。程序员应将窗口坐标空间视 为笛卡儿网格，其中的每个网格对应屏幕上的一个象素。 1、光栅化点图元时，如果该点位于象素边界内，则光栅化该点。
2、光栅化直线时，OpenGL光栅化位于两个端点之间的象素。一般而言， OpenGL不会生成线段的第二个顶点。这样对相连线段，可避免绘制一个象素 两次。
第三章 从图形到图像
3.1 图形图像的关系：
1）区别： 图形是用矢量表示的，是用几何学的点、线、面对客观世界建模的 结果。图形中不但包含坐标、拓扑等几何信息，而且可以包含颜色、纹 理等非几何信息。这些信息是设备无关的。 图像是用点阵表示的，其中只有各个点的颜色信息，不含拓扑关系， 也没有几何学的点、线、面。从数学上说，图像是定义域和值域都不连 续的一个函数（数字图像）。 图形和图像各有其优点，图形适合表达几何信息（建模），图像适 合表达视觉信息（照片）。 2）存储： 图形使用矢量文件，图像使用点阵文件。 3）转换关系： 图形通过光栅扫描可以转化为光栅图像；图像通过识别和处理可以 转化为矢量表示的图形形式，但通常它无法完全恢复图形信息。
为了方便活性边表的建立与更新，为每一条扫描线建立一个新边表 （NET[i]）,存放在该扫描线第一次出现的边。也就是说，若某边的较低端点 为ymin，则该边就放在扫描线ymin的新边表中。每条扫描线有一个新边表， 新编表可以为空，表示这条扫描线不需要加入新边，而且大多数新编表都应 该为空。
此边的起始x值 Δx
3.3 圆的生成算法(中点画圆法)
圆的特点决定只需要计算1/8圆弧上的点（右上图） (-y,x) 假设圆的方程为：x2+y2=r2 函数F(x,y) = x2+y2-r2，则 F(x,y)>0，对圆外点 F(x,y) = 0，对圆上点 (-y,-x) F(x,y) < 0，对圆内点 在第一象限上半1/8圆弧，如果已得到圆弧的象素点P(xp,yp)， (-x,-y) 则下一可能的象素点是P1(xp+1,yp)和P2(xp+1,yp-1)。究竟是 P1还是P2 ，由P1和P2的中点M(xp+1,yp-0.5)的函数值F(xm,ym) 来决定： 如果F(xm,ym)<0，说明圆弧在P1和M之间，取P1点为下一象素。 且下一象素的F(xp+2,yp-0.5)=F(xp+1,yp-0.5)+2xp+3 如果F(xm,ym)≥0，说明圆弧在P2和M之间，则取P2为下一象素。 且下一象素的F(xp+2,yp-1.5)=F(xp+1,yp-0.5)+2(xp-yp)+5 而F(1,r-0.5) = 1.25-r;
实例：用DDA方法在点（0,0）和（5,2）之间画线
n=5 (x0,y0) = (0,0) (xn,yn) = (5,2) k=(2-0)/(5-0) = 0.4
xi 0 1 2
yi 0 0.4 0.8
int(yi+0.5) 0 0 1
3
4 5
1.2
1.6 2
1
2 2
2)Bresenham算法 （最常用）
① 原算法中的浮点计算为： e0=-0.5 ei+1=ei+k=ei+(yn-y0)/(xn-x0) 当ei＋1>=0.0时，ei＋1=ei＋1-1.0; ② 下面开始整型化： 两边同乘(xn-x0)，有： (xn-x0) *ei+1= (xn-x0)*ei+(yn-y0) 两边再同乘2，则： 2*(xn-x0) *ei+1= 2*(xn-x0)*ei+2*(yn-y0) 令Ei= 2*(xn-x0) *ei 则有Ei+1=Ei+2*(yn-y0);E0=-(xn-x0); 判别式变为：当Ei+1>=0时，Ei+1=Ei+1-2*(xn-x0) ③ 结论： 通过整型化，算法中只有整型运算，效率大大提高，这正是 Bresenham算法被广泛采用的原因。
3.2 直线生成算法
1）数值微分(DDA:Digital Differential Analyzer )法
过两点(x0,y0)，(xn,yn)作直线： 其直线方程为：(y-y0)/(yn-y0)=(x-x0)/(xn-x0) 整理后为：y=kx+b 其中k＝(yn-y0)/(xn-x0) 当|k|≤1时，取x方向步长为1， 则有，对中间需要计算的点（i=0,…,n-2） xi＋1=xi＋1 yi+1=kxi+1+b = k(xi+1)+b = kxi+b+k = yi+k 这里xi为整数，yi、k为浮点数 在屏幕上显示点(x0,y0),(x1,int(y1+0.5)),…,(xn-1,int(yn-1+0.5)),(xn,yn), 则显示出该直线。 由于y方向增量每次小于1，所以直线是连通的。 当|k|≥1时，交换x，y位置进行处理。
为了提高效率，在处理一条扫描线时，仅对与它相交的多边 形的边进行求交运算。与当前扫描线相交的边称为活性边，把它 们按与扫描线交点x坐标递增的顺序存放在一个链表中，此链表称 为活性边表(AET)。活性边表只有一个。
与当前扫面线的x交点坐标 每条扫描线的x增量 本条线段的最大y坐标
扫描线6的活性边表
注：每条扫描线的X增量是斜率的倒数， 可以是任何数值。对水平线需要特 殊处理（扔掉），对垂线其值为0。 不必考虑X的增量大于1的情形，因 为这里生成的是区域，而不是直线， 它总是连通的(对非奇异图形)。
需要考虑的特殊情形
原则：不遗漏点，无重复点。 可以采取的措施： 1）新加入边时，要考虑退出 边的情况，否则会重复计 点。（P1、P7）。 2）适当进行区间合并（过P9 点扫描线）。 3）水平边不参与计算（P6P5、 P3P2）。 4）对三角剖分应当考虑其它 模式（思考）。
P4
P6
P5
P3
P2
P7 P9 P8
1）扫描线算法
扫描线方法通过从多边形最低点到最高点之间的水平扫描，完成对多边 形的扫描转换。对每条扫描线，多边形的扫描转换分为四个步骤： （1）求交：计算扫描线与多边形各边的交点； （2）排序：把所有交点按x值递增顺序排序； （3）配对：奇偶交点配对，每对交点代表扫描线与多边形的一个相交区间。 （4）着色：把相交区间内的象素置成多边形颜色。
此边的最高y值（ymax）
ห้องสมุดไป่ตู้
每条扫描线有新边表（NET[i]），所 有新编表构成NET（可以用数组也可以用 链表）。
算法过程：
void polyfill (polygon, color) 颜色 color;多边形 polygon; { 构造新边表NET（NET[i]为第i条扫描线对应的新边表头，见前页图）； y = 最低扫描线号（在这里是1）； 初始化活性边表AET为空； 对各条扫描线i，作下列操作 { ▪ 把新边表NET[i]中的边结点插入AET表，并使之按x坐标递增顺序排列； ▪ 将活性边表AET中的边奇偶为区间，对区间内的象素(x, y)，用color 着 色； ▪ 检查活性边表AET ，把ymax= i的结点从AET表中删除，其它边的x交点 坐标按增量递增（Δx）； } }
实例：用Bresenham方法在点（0,0）和（5,2）之间画线
n=5 (x0,y0) = (0,0) (xn,yn) = (5,2) k=(2-0)/(5-0) = 0.4
xi 0
ei -0.5
yi 0
ei
1
2 3
-0.1
0.3 -0.3
0
1 1
-0.1
-0.7 -0.3
4
5
0.1
2
2
-0.9
Bresenham算法的整型化
P1
P0
2）边界标志算法
边界标志算法的基本思想是： 在帧缓冲器中对多边形的每条边进行直线扫描转换，亦即对多 边形边界所经过的象素打上标志。然后再采用和扫描线算法类似的 方法将位于多边形内的各个区段着上所需颜色。 对每条与多边形相交的扫描线依从左到右的顺序，逐个访问该 扫描线上的象素。使用一个布尔量inside来指示当前点是否在多边形 内的状态。 Inside的初值为假，每当当前访问的象素为被打上边标志的点， 就把inside取反。对未打标志的象素，inside不变。若访问当前象素 时，inside为真，说明该象素在多边形内，则把该象素置为填充颜色。 用软件实现时，扫描线算法与边界标志算法的执行速度几乎相 同，但由于边界标志算法不必建立维护边表以及对它进行排序，所 以边界标志算法更适合硬件实现，这时它的执行速度比有序边表算 法快一至两个数量级。
(-x,y) (x,y)
(y,x)
(y,-x) (x,-y)
程序：
MidCircle18(int r) { int x,y; float f; x=0; y=r; f=1.25-r; //注意f为下一点（1，r-0.5）的判别式 while(x<=y) { point(x,y); if(f<0) f+=2*x+3; else { f+=2*(x-y)+5; y--;} x++; } }
前面已知当直线的斜率|k|≤1时，x方向每次增加 一个步长，y方向增加不到一个步长。 如右图所示，当0≤k≤1时，每次y是否增加取决于 误差项d，d≥0.5，y取直线上面的网格点，否则y取 直线下面的网格点。 即对中间象素(i=0,…, i=n-2)，作下列操作： 1）xi+1= xi+1 2）ei+1= ei+k，(e0=-0.5，e不同于d，e=d-0.5) 3）当ei+1≥0时 {yi+1 = yi+1；ei+1= ei+1-1} 否则 yi+1= yi 这里的xi，yi均为整数，即象素点的坐标。e为浮点数。 4）显示（xi+1,yi+1)
作业1：将上述1/8圆伪代码改造为一个完整圆的伪代码，函数名为： MidCircle(int x0, int y0, int r) 其中x0,y0为圆心坐标，r为半径
3.3 多边形的扫描转换
多边形分为三种：凸多边形、凹多边形、含内环的多边形。 多边形的边界不能相交。 凸多边形是指任意两顶点间的连线均在多边形内。 凹多边形是指任意两顶点间的连线有不在多边形内的部分。 含内环的多边形是指多边形内再套有多边形。多边形内的多 边形称为内环。
3、光栅化填充图元时，如果象素中心位于图元的数学边界内时，OpenGL才绘 制该象素。当两个不重叠的填充图元共享同一条边时，这种规则确保相同的象 素不会被绘制两次。
作业2
根据课件第三章中的”扫描线算法“编制一任意多边形的填充程序。 要求：无遗漏点，无重复点。并使用下列数据进行验证： （181，26） （143，133） （19，133） （119，199） （82，306） （181，242） （279，305） （242，199） （342，133） （218，133）