计算机图形学 - 第三章讲义
合集下载
计算机图形学第3章 基本图形生成算法
基函数（基本样条） 在局部参数区域分布 （支撑区间），因此 影响范围有限。
例题：有点P0（4，3）；P1（6，5）；P2（10，
6 ）；P3（12，4），用以上4点构造2次B样条曲线。
2.1.7 非均匀有理B样条
非均匀有理B样条NURBS（Non Uniform Rational BSpline）；
3.2.2
Bresenham画圆法
该算法是最有效的算法之一。
不失一般性，假设圆心(xc，yc) ,圆上的点(x′，y′)，则：
x' x xc
y ' y yc
圆心为原点，半径为R的位于第一象限1/8圆弧的画法，即(0, R)～( R , R )。
2 2
yi )， 思想:每一步都选择一个距离理想圆周最近的点P( xi ， 使其误差项最小。
画其他曲线。
3.3
自由曲线的生成
正弦函数曲线
指数函数曲线
多项式函数曲线
自 由 曲 线
概率分布曲线及样条函数曲线
3.3.1 曲线的基本理论
基本概念
2.1.4
规则曲线：可用数学方程式表示出来的，如抛物 线等。
自由曲线：很难用一个数学方程式描述的，如高
速公路等。可通过曲线拟合(插值、逼近)的方法来
例题： 利用Bresenham算法生成P （0，0）到Q（6，5）的直 线所经过的像素点。要求先 列出计算式算出各点的坐标 值，然后在方格中标出各点。
（1，1）
3.1.5 双步画线法 原理
模式1：当右像素位于右下角时，中间像素位于底线 模式4：当右边像素位右上角时，中间像素位于中线 模式2和模式3：当右像素位于中线时，中间像素可能位于底线 上，也可能位于中线上，分别对应于模式2和模式3，需进一步 判断。 当0≤k≤1/2时，模式4不可能出现，当1/2≤k≤1时，模式1不 可能出现。
例题：有点P0（4，3）；P1（6，5）；P2（10，
6 ）；P3（12，4），用以上4点构造2次B样条曲线。
2.1.7 非均匀有理B样条
非均匀有理B样条NURBS（Non Uniform Rational BSpline）；
3.2.2
Bresenham画圆法
该算法是最有效的算法之一。
不失一般性，假设圆心(xc，yc) ,圆上的点(x′，y′)，则：
x' x xc
y ' y yc
圆心为原点，半径为R的位于第一象限1/8圆弧的画法，即(0, R)～( R , R )。
2 2
yi )， 思想:每一步都选择一个距离理想圆周最近的点P( xi ， 使其误差项最小。
画其他曲线。
3.3
自由曲线的生成
正弦函数曲线
指数函数曲线
多项式函数曲线
自 由 曲 线
概率分布曲线及样条函数曲线
3.3.1 曲线的基本理论
基本概念
2.1.4
规则曲线：可用数学方程式表示出来的，如抛物 线等。
自由曲线：很难用一个数学方程式描述的，如高
速公路等。可通过曲线拟合(插值、逼近)的方法来
例题： 利用Bresenham算法生成P （0，0）到Q（6，5）的直 线所经过的像素点。要求先 列出计算式算出各点的坐标 值，然后在方格中标出各点。
（1，1）
3.1.5 双步画线法 原理
模式1：当右像素位于右下角时，中间像素位于底线 模式4：当右边像素位右上角时，中间像素位于中线 模式2和模式3：当右像素位于中线时，中间像素可能位于底线 上，也可能位于中线上，分别对应于模式2和模式3，需进一步 判断。 当0≤k≤1/2时，模式4不可能出现，当1/2≤k≤1时，模式1不 可能出现。
最新计算机图形学及cad技术讲义——曲线曲面基本理论
第三讲 曲线曲面基本理论1概述(a) 飞机 (b) 船舶 (c) 汽车图 1-1 曲线曲面造型应用曲线曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design, CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机系统中如何用曲线曲面表示、设计、显示和分析物体模型。
它在航空航天、船舶、飞机、汽车等行业得到广泛应用(如图1-1所示)。
由Coons 、Bezier 等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础,经过三十多年的发展，曲线曲面造型现在已形成了以有理B 样条曲线曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲线曲面(Implicit Algebraic Surface)表示为主体的两类方法，且以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)手段为几何理论体系。
1.1曲线曲面表示曲线曲面可以用三种形式进行表示，即显式、隐式和参数表示，三种形式表示如下。
显式表示：形如),(y x f z =的表达式。
对于一个平面曲线而言，显式表达式可写为)(x f y =。
在平面曲线方程中，一个x 值与一个y 值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。
隐式表示：形如0),,(=z y x f 的表达式。
如一个平面曲线方程，隐式表达式可写为0),(=y x f 。
隐式表示的优点是易于判断函数),(y x f 是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。
参数表示：形如)(t f x =，)(t f y =，)(t f z =的表达式，其中t 为参数。
即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。
如平面曲线上任一点P 可表示为)](),([)(t y t x t P =，如图1-2(a)所示；空间曲线上任一三维点P 可表示为)](),(),([)(t z t y t x t P =，如图1-2(b)所示。
第3章 图形的基本算法
dy s t 2 ( x i 1 1) 2 y i 1 1 dx
dx(s t ) 2( xi 1 dy y i 1 dx) 2dy dx
因dx>0，所以我们可以以dx(s-t) 的正负作 为选择点的依据。若令其为di，则
d i 2( xi 1 dy y i 1 dx) 2dy dx
若s<t，则Si较靠近理论直线，应选Si，y 不变； 若s>t，则Ti较靠近理论直线，应选Ti，y 增1。 现在需要一个判别式，来判断每一步是选 Ti还是选Si。下面导出Bresenham 算法的 判别式。
判别式的导出
设一直线段由（x1,y1）至（x2,y2），（其中 y2>y1，x2>x1）则直线方程可表示为
怎样选择直线的最佳光栅位置（象素点）， 是Bresenham 算法追求的目标。为此，算 法根据直线的斜率在计长方向（x或y）上， 每次都递增一个单位步长即一个象素单位， 另一个方向的增量为0或1。这种算法的巧 妙之处是只需检查判别式的符号即可，而 且计算量很小，只进行整型数计算，不必 做舍入操作。
直线的近似表示
第三章 图形的基本算法
本章内容
3.1 图形的表示 3.2 图形模式与坐标系 3.3 直线的扫描转换 3.4 圆的生成算法 3.5 多边形的填充
3.1 图形的表示
计算机图形学是一门复杂而又多样化的技 术。要想了解这项技术必须把它分成几个 易于操作的部分。图形是计算机图形学的 关键概念，处理图形我们应考虑以下问题： 1. 如何在计算机中表示图形？ 2. 如何准备图形的数据？ 3. 如何显示准备好的图形？ 4. 如何实现人与图形的交互？
这里，图形是一个广义的概念，凡是可 以在图形设备上输出的点、线、文本等 的集合都可以称为是图形。
计算机图形学 第三章 二维图形的裁剪概述
3.2.3 梁友栋-Barsky裁剪算法
式中，Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，参数u在0～1 之间取值，P（x，y）代表了该线段上的一个 点，其值由参数u确定，由公式可知，当u=0 时，该点为P1（x1，y1），当u=1时，该点 为P2（x2，y2）。如果点P（x，y）位于由 坐标（xwmin，ywmin）和（xwmax，ywmax）所 确定的窗口内，那么下式成立： xwmin≤x1+ u· Δx≤xwmax ywmin≤y1+ u· Δy≤ywmax（3-10）
3.2.1 Cohen－Sutherland算法
► Code(int ►{
x,int y,int *c)
*c=0; if(y>ymax) /*（xmin，ymin）和（xmax，ymax） 为窗口左下角、右上角坐标。*/ *c=*c|0x08; else if(y<ymin) *c=*c|0x04; if(x>xmax) *c=*c|0x02; else if(x<xmin) *c=*c|0x01; }
► 根据直线两点式方程：
►
2)
(3－
3.2 线段的裁剪
► 整理后得通用交点公式： ►
(3－3)
► ►
1、与上边界的求交公式： (3－4)
3.2 线段的裁剪
► ►
2、与下边界的求交公式：
(3－5)
►
► ►
3、与右边界的求交公式：
(3－6) 4、与左边界的求交公式：
►
(3－7)
3.2.1 Cohen－Sutherla2、判别 根据C1和C2的具体值，可以有三种情况： （1）C1＝C2＝0，表明两端点全在窗口内，因而 整个线段也在窗内，应予保留。 （2）C1&C2≠0（两端点代码按位作逻辑乘不为 0），即C1和C2至少有某一位同时为1，表明两端点 必定处于某一边界的同一外侧，因而整个线段全在 窗外，应予舍弃。 （3）不属于上面两种情况，均需要求交点。
计算机图形学第三章课程提纲
3.1 直线的扫描转换--中点画线算法直线扫描转换的速度要求尽量使用整数加减法，避免乘、除、开方、三角等复杂运算，避免取整运算。
y=kx+b(浮点乘、浮点加、取整)中点画线算法的前提起点：P0(x0,y0)，终点：P1(x1,y1) 都是整数0≤k≤1，则|△x|≥|△y|，x0<x1,y0<y1增量算法x i+1=x i+1(整数)y i+1=y i+k（浮点加，取整）中点误差项y i+1= y i +1 ----中点在直线下，d i<0 y i+1= y i----中点在直线上, d i≥0 d i+1=d i+1-k , d i<0d i+1=d i-k , d i≥0d i+1中仍有浮点加令f i=2d i△xb xkyyxFdiiiii-+-+=++=)1(5.0)5.0,1(kd-=5.0整数中点误差项x i+1=x i +1y i+1= y i +1 ----中点在直线下，f i <0 y i+1= y i ----中点在直线上, f i ≥0算法算法与公式对照。
⏹ x=x0;y=y0;⏹ dx=x1-x0;dy=y1-y0; ⏹ f=dx -2*dy;//式(3-7) ⏹ for (i=1; i<=dx+1; i++)⏹ {setpixel(x,y,color); //画点，统一各变量值的位置 ⏹ x=x+1; ⏹ if (f<0)⏹ {y=y+1; //式（3-3） ⏹ f=f+2*dx;｝//式（3-8） ⏹ f=f -2*dy; ⏹ }实例起点（2，1），终点（10，7），按算法给出每一点各项变量值。
y x f ∆-∆=20002221≥<⎩⎨⎧∆-∆-∆+=+i i i ii f f yf y x f fi xi yi Fi+1习题起点（3，2），终点（9，7），给出每点的i、x、y、f值。
3.2圆的扫描转换根据方程画圆假设圆心在原点，半径为Ｒ：(1)y=±√R2−x2(2) x =R ∙cosθ y =R ∙sinθ θ∈[0,2π]圆的对称性只计算第一象限上半区间的点，通过对称性画出其余的点。
计算机图形学(1-3章讲义汇总整理)
图形显示系统
图形显示系统是计算机图形处理系统中极其重要的部分。图形显示系统负责实时显示图 形处理的中间或最终结果，为用户提供可视的工作界面等。PC 机的图形显示系统逻辑上是 由监视器(Monitor，又称显示器)和显示卡(又称显示适配器)两大部分组成。目前显示器中主 要包括阴极射线管(CRT)，液晶显示器(LCD)和等离子显示器(PDP)。
图形输入板与坐标数字化仪
图形输入板与坐标数字化仪两者的工作原理与功能完全相同，它们都是将图形转变成计 算机能接收的数字量的专用设备。它们按工作原理的不同分为电磁式、超声波式、电位梯度 式、机械式等多种。数字化仪往往具在定位、拾取、选择的功能，其主要性能指标有分辨率、 精度和幅面。许多数字化仪提供多种压感。现在非常流行的汉字手写系统就是一种数字化仪。
光笔
光笔是一种手持检测光的装置，它直接在屏幕上操作，拾取位置。光笔原理简单，操作 直观，但荧光屏的分辨率、电子束扫描速度、荧光粉的特性、笔尖与荧光粉的距离和角度等 诸多因素都会影响光笔的分辨率与灵敏度。另外，光笔对于荧光屏上不发光的区域无法检测， 也不能用于液晶、等离子体等类型的显示器。
触摸屏
触摸屏利用手指等对屏幕的触摸位置进行定位。按工作原理可以分为：电阻式、电容式、 红外线式和声波表面波式。
计算机图形学的研究内容 计算机图形学的定义
计算机图形学是利用计算机来建立、处理、传输和存储从某个客观对象抽象得到的几何 和物理模型，并根据模型产生该对象图形输出的有关理论、方法和技术。1982 年，国际标 准化组织 ISO 将计算机图形学定义为：研究用计算机进行数据和图形之间相互转换的方法和 技术。
CRT 显示器
CRT 显示器由于分辨率和可靠性高、速度快、成本低等优点，多年来一直是图形显示系 统中最重要的设备。CRT 显示器的工作方式分为随机扫描和光栅扫描两种方式，目前以光栅 扫描方式为主，这是因为，虽然随机扫描图形显示器具有画线速度快、分辨率高等优点，但 难以生成具有多种灰度和颜色且色调能连续变化的图形，而光栅扫描图形显示器却可以生成 有高度真实感的图形，因而已成为 PC 机和 Macintosh 计算机以及各种工作站所使用的最重 要的信息显示设备。
图形显示系统是计算机图形处理系统中极其重要的部分。图形显示系统负责实时显示图 形处理的中间或最终结果，为用户提供可视的工作界面等。PC 机的图形显示系统逻辑上是 由监视器(Monitor，又称显示器)和显示卡(又称显示适配器)两大部分组成。目前显示器中主 要包括阴极射线管(CRT)，液晶显示器(LCD)和等离子显示器(PDP)。
图形输入板与坐标数字化仪
图形输入板与坐标数字化仪两者的工作原理与功能完全相同，它们都是将图形转变成计 算机能接收的数字量的专用设备。它们按工作原理的不同分为电磁式、超声波式、电位梯度 式、机械式等多种。数字化仪往往具在定位、拾取、选择的功能，其主要性能指标有分辨率、 精度和幅面。许多数字化仪提供多种压感。现在非常流行的汉字手写系统就是一种数字化仪。
光笔
光笔是一种手持检测光的装置，它直接在屏幕上操作，拾取位置。光笔原理简单，操作 直观，但荧光屏的分辨率、电子束扫描速度、荧光粉的特性、笔尖与荧光粉的距离和角度等 诸多因素都会影响光笔的分辨率与灵敏度。另外，光笔对于荧光屏上不发光的区域无法检测， 也不能用于液晶、等离子体等类型的显示器。
触摸屏
触摸屏利用手指等对屏幕的触摸位置进行定位。按工作原理可以分为：电阻式、电容式、 红外线式和声波表面波式。
计算机图形学的研究内容 计算机图形学的定义
计算机图形学是利用计算机来建立、处理、传输和存储从某个客观对象抽象得到的几何 和物理模型，并根据模型产生该对象图形输出的有关理论、方法和技术。1982 年，国际标 准化组织 ISO 将计算机图形学定义为：研究用计算机进行数据和图形之间相互转换的方法和 技术。
CRT 显示器
CRT 显示器由于分辨率和可靠性高、速度快、成本低等优点，多年来一直是图形显示系 统中最重要的设备。CRT 显示器的工作方式分为随机扫描和光栅扫描两种方式，目前以光栅 扫描方式为主，这是因为，虽然随机扫描图形显示器具有画线速度快、分辨率高等优点，但 难以生成具有多种灰度和颜色且色调能连续变化的图形，而光栅扫描图形显示器却可以生成 有高度真实感的图形，因而已成为 PC 机和 Macintosh 计算机以及各种工作站所使用的最重 要的信息显示设备。
计算机图形学-第三章-变换及裁剪
xh hx, yh hy, h 0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线
xh hx
yh
hy
zh h
7
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
25
3 规格化设备坐标系 用于用户的图形是定义在用户坐标系里，
而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于 基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同 的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽 相同， 例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的 范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨 率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x 方向0~639，y方向0~479
y 1)，则
1 0 0
P'x' y' 1 x y 1 0 1 0 x
Tx1
Ty1
1
y 1Tt1
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
P * x *
y * 1 x'
y'
1
1 0
0 0 1 0
Tx
2
Ty 2
1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1 Tt1Tt2
44
关于透视投影
一点透视投影
两点透视投影
三点透视投影
45
内容
二维变换 三维变换 裁剪
二维线裁剪 二维多边形裁剪 文本裁剪 三维裁剪 关于三维变换与裁剪
46
三维变换流程图
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线
xh hx
yh
hy
zh h
7
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
25
3 规格化设备坐标系 用于用户的图形是定义在用户坐标系里，
而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于 基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同 的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽 相同， 例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的 范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨 率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x 方向0~639，y方向0~479
y 1)，则
1 0 0
P'x' y' 1 x y 1 0 1 0 x
Tx1
Ty1
1
y 1Tt1
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
P * x *
y * 1 x'
y'
1
1 0
0 0 1 0
Tx
2
Ty 2
1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1 Tt1Tt2
44
关于透视投影
一点透视投影
两点透视投影
三点透视投影
45
内容
二维变换 三维变换 裁剪
二维线裁剪 二维多边形裁剪 文本裁剪 三维裁剪 关于三维变换与裁剪
46
三维变换流程图
计算机图形学第3章
第3章 基本图形 生成算法
第3章 基本图形生成算法
3.1 生成直线的常用算法
均假定所画直线的斜率k∈[0，1]。
3.1.1 DDA画线算法
DDA（Digital Differential Analyzer）画线 算法也称数值微分法，是一种增量算法。它的算 法实质是用数值方法解微分方程，通过同时对x和 y各增加一个小增量，计算下一步的x、y值。
边界表示的四连通区域种子填充算法 内点表示的四连通区域种子填充算法 边界表示的八连通区域种子填充算法 内点表示的八连通区域种子填充算法
第3章 基本图形生成算法
1．边界表示的四连通区域种子填充算法
基本思想：从多边形内部任一点（像素）出发，依“左 上右下”顺序判断相邻像素，若其不是边界像素且没有被填 充过，对其填充，并重复上述过程，直到所有像素填充完毕。 可以使用栈结构来实现该算法，算法的执行步骤如下： 种子像素入栈，当栈非空时，重复执行如下三步操作： （1）栈顶像素出栈； （2）将出栈像素置成多边形填充的颜色； （3）按左、上、右、下的顺序检查与出栈像素相邻的 四个像素，若其中某个像素不在边界上且未置成多边形色， 则把该像素入栈。
过各行各列像素中心构造一组虚拟网格线，按直 线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交 点，然后确定该列像素中与此交点最近的像素。 由图3-5不难看出：若s<t， 则Si比较靠近理想直线，应 选Si;若s≥t，则Ti比较靠近 理想直线，应选Ti。
第3章 基本图形生成算法
令dx=x2-x1，dy=y2-y1 递推公式 ：di 1 di 2dy 2dx( yi yi 1 ) di的初值： d1 2dy dx 当di≥0时，选Ti，
第3章 基本图形生成算法
第3章 基本图形生成算法
3.1 生成直线的常用算法
均假定所画直线的斜率k∈[0，1]。
3.1.1 DDA画线算法
DDA（Digital Differential Analyzer）画线 算法也称数值微分法，是一种增量算法。它的算 法实质是用数值方法解微分方程，通过同时对x和 y各增加一个小增量，计算下一步的x、y值。
边界表示的四连通区域种子填充算法 内点表示的四连通区域种子填充算法 边界表示的八连通区域种子填充算法 内点表示的八连通区域种子填充算法
第3章 基本图形生成算法
1．边界表示的四连通区域种子填充算法
基本思想：从多边形内部任一点（像素）出发，依“左 上右下”顺序判断相邻像素，若其不是边界像素且没有被填 充过，对其填充，并重复上述过程，直到所有像素填充完毕。 可以使用栈结构来实现该算法，算法的执行步骤如下： 种子像素入栈，当栈非空时，重复执行如下三步操作： （1）栈顶像素出栈； （2）将出栈像素置成多边形填充的颜色； （3）按左、上、右、下的顺序检查与出栈像素相邻的 四个像素，若其中某个像素不在边界上且未置成多边形色， 则把该像素入栈。
过各行各列像素中心构造一组虚拟网格线，按直 线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交 点，然后确定该列像素中与此交点最近的像素。 由图3-5不难看出：若s<t， 则Si比较靠近理想直线，应 选Si;若s≥t，则Ti比较靠近 理想直线，应选Ti。
第3章 基本图形生成算法
令dx=x2-x1，dy=y2-y1 递推公式 ：di 1 di 2dy 2dx( yi yi 1 ) di的初值： d1 2dy dx 当di≥0时，选Ti，
第3章 基本图形生成算法
计算机图形学第3章二维基本图(4)
二、扫描线种子填充算法实现
借助于堆栈，上述算法实现步骤如下：
1、初始化堆栈。 2、种子压入堆栈。 3、while（堆栈非空） { (1)从堆栈弹出种子象素。 (2)如果种子象素尚未填充，则：
a.求出种子区段：xleft、xright; b.填充整个区段。 c.检查相邻的上扫描线的xleft≤x≤xright区间内， 是否存在需要填充的新区段，如果存在的话， 则把每个新区段在xleft≤x≤xright范围内的最 右边的象素，作为新的种子象素依次压入堆栈。 d.检查相邻的下扫描线的xleft≤x≤xright区间内， 是否存在需要填充的新区段，如果存在的话， 则把每个新区段在 xleft≤x≤xright范围内的 最右边的象素，作为新的种子象素依次压入堆 栈。 }
扫描线种子填充算法步骤 (1)种子象素入栈。 (2)栈非空时象素出栈，否则结束。 (3)对出栈象素及左、右两边象素填充，直到遇边界XL、XR。 (4)在(XL ，XR) 内查相临的上、下两条扫描线是否为边界或已填充, 如不是，则将每区间的最右边的象素入栈。回到(2)。
练习： 用扫描线种子填充算法，写出图中顺序进栈的种子坐标及 所需最大栈空间
2、国标码 我国除了采用ASCII码外，还制定了汉字编 码的国家标准字符集:中华人民共和国国家标准 信息交换编码，代号为“GB2312－80”。该字符 集共收录常用汉字6763个，图形符号682个。 它规定所有汉字和图形符号组成一个94×94 的矩阵，在此方阵中，每一行称为“区”，用区 码来标识；每一列称为“位”，用位码来标识， 一个符号由一个区码和一个位码共同标识。 区码和位码分别需要7个二进制位，同样， 为了方便，各采用一个字节表示。所以在计算机 中，汉字（符号）国标码占用两个字节。
计算机图形学完整课件
x y =(a·x1+b·y1+c)+a+0.5·b
=F(x1,y1)+a+10.5·b 1
x y 但由于（x1,y1）在直线上，故F(x1,y1)=0。
因此d的初始值1 为d0=a+0.5·b 1
由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是整数，只是其初 始值包含小数。因此，我们可以用2d代替d，来摆脱小数，写出仅包 含整数运算的算法：
当d<0时，M在直线下方（即在Q的下 方），故应取右上方的p2作为下一个象 素。
当d>0,则应取正右方的p1。
当d=0是，二者一样合适，可以随便取一 个。
我们约定取正右方的p1。 对 每一个象素计算判别式d，根据它 的符号确定下一象素。由于d是xp 和yp的线性函数，可采用增量计算 ，以便提高运算效率。
对于直线上的点F(x,y)=0; 对于直线上方的点F(x,y)>0; 对于直线下方的点F(x,y)<0。 因此，欲判前述Q在M的上方还是下方，只要把M代入F(x,y), 并判断它的符号。构造判别式
d=F(M)=F( , )=a( )+b( )+c
xp 1 yp 0.5
xp 1
yp 0.5
必须寻找只需做一些简单的 整数运算和判别运算的方 法即可确定圆上的象素点的算法。
考虑到圆的对称性可 以减少计算量。只要 能生成8分圆，那么圆 的其它部分可以通过 一系列的简单映射变 换得到。如图所示， 假设已知一个圆心在 原点的圆上一点(x，y)，
(x, y)
( y, x)
(x, y)
(y, x)
( y, x)
( x, y)
( y,x)
( x, y)
=F(x1,y1)+a+10.5·b 1
x y 但由于（x1,y1）在直线上，故F(x1,y1)=0。
因此d的初始值1 为d0=a+0.5·b 1
由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是整数，只是其初 始值包含小数。因此，我们可以用2d代替d，来摆脱小数，写出仅包 含整数运算的算法：
当d<0时，M在直线下方（即在Q的下 方），故应取右上方的p2作为下一个象 素。
当d>0,则应取正右方的p1。
当d=0是，二者一样合适，可以随便取一 个。
我们约定取正右方的p1。 对 每一个象素计算判别式d，根据它 的符号确定下一象素。由于d是xp 和yp的线性函数，可采用增量计算 ，以便提高运算效率。
对于直线上的点F(x,y)=0; 对于直线上方的点F(x,y)>0; 对于直线下方的点F(x,y)<0。 因此，欲判前述Q在M的上方还是下方，只要把M代入F(x,y), 并判断它的符号。构造判别式
d=F(M)=F( , )=a( )+b( )+c
xp 1 yp 0.5
xp 1
yp 0.5
必须寻找只需做一些简单的 整数运算和判别运算的方 法即可确定圆上的象素点的算法。
考虑到圆的对称性可 以减少计算量。只要 能生成8分圆，那么圆 的其它部分可以通过 一系列的简单映射变 换得到。如图所示， 假设已知一个圆心在 原点的圆上一点(x，y)，
(x, y)
( y, x)
(x, y)
(y, x)
( y, x)
( x, y)
( y,x)
( x, y)
计算机图形学第三章
void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) { int x, y, dx, dy; float k, e; dx = x1-x0, dy = y1- y0, k=dy/dx; e=-0.5, x=x0, y=y0; for (i=0; idx; i++) { drawpixel (x, y, color); x=x+1，e=e+k; if (e0) { y++, e=e-1;} } }
设备级显示算法，考虑运算方式、时间、 次数等细节。
扫描转换直线段
直线的绘制要求：
1.直线要直； 2.直线上的点要准确，即无不定向性和断裂情况； 3.直线的亮度、色泽要均匀； 4.画线的速度要快； 5.要求不同直线可具有不同的色泽、亮度、线型等。
扫描转换直线段
直线基础
我们知道：直线的笛卡儿斜率截距方程为：y=m•x+b
过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线 从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交 点，然后根据误差项的符号确定该列象素中与此交 点最近的象素。
d d d
d
yi 1 yi k ( xi 1 xi ) yi k 设直线方程为： ，其中k=dy/dx。 因为直线的起始点在象素中心，所以误差 项d的初值d0＝0。 X下标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即d＝d＋k。 一旦d≥1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。 当d≥0.5时，最接近于当前象素的右上方象素 xi 1 , yi 1 （ ） xi 1 , yi 而当d<0.5时，更接近于右方象素（ ）。 为方便计算，令e＝d-0.5， e的初值为-0.5，增量为k。 当e≥0时，取当前象素（xi，yi）的右上方象素 （ ）； xi 1 , yi 1 而当e<0时，更接近于右方象素（ xi 1 , yi ）。
《计算机图形学》课件第3章
e′=2×e×dx
第 3 章 基本图形的生成
改进的整数型Bresenham画线算法如下: void InterBresenhamLine (int x0, int y0, int x1, int y1, int color) { int x, y, dx, dy, e;
dx=x1－x0, dy=y1－y0, e=－dx; x=x0, y=y0; while(x<=x1) {putpixel (x, y, color);
第 3 章 基本图形的生成
首先, 构造判别式: d=F(M)=F(xp+1, yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c ① 当d<0时, M在直线下方, 取P2为下一个像素; ② 当d>0时, M在直线上方, 取P1为下一个像素; ③ 当d=0时, 选P1或P2均可, 约定取P1为下一个像素。
第 3 章 基本图形的生成 图3-1 DDA算法示意图
第 3 章 基本图形的生成
例: 用DDA方法光栅化P0(0, 0)和P1(5, 2)两点间的直线段。
x
int(y+0.5) y+0.5
0
0
0+0.5
1
0
0.4+0.5
2
1
0.8+0.5
3
1
1.2+0.5
4
2
1.6+0.5
5
2
2.0+0.5
第 3 章 基本图形的生成 DDA画线算法如下: void DDALine(int x0, int y0, int x1, int y1, int color) { int x;
第 3 章 基本图形的生成
改进的整数型Bresenham画线算法如下: void InterBresenhamLine (int x0, int y0, int x1, int y1, int color) { int x, y, dx, dy, e;
dx=x1－x0, dy=y1－y0, e=－dx; x=x0, y=y0; while(x<=x1) {putpixel (x, y, color);
第 3 章 基本图形的生成
首先, 构造判别式: d=F(M)=F(xp+1, yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c ① 当d<0时, M在直线下方, 取P2为下一个像素; ② 当d>0时, M在直线上方, 取P1为下一个像素; ③ 当d=0时, 选P1或P2均可, 约定取P1为下一个像素。
第 3 章 基本图形的生成 图3-1 DDA算法示意图
第 3 章 基本图形的生成
例: 用DDA方法光栅化P0(0, 0)和P1(5, 2)两点间的直线段。
x
int(y+0.5) y+0.5
0
0
0+0.5
1
0
0.4+0.5
2
1
0.8+0.5
3
1
1.2+0.5
4
2
1.6+0.5
5
2
2.0+0.5
第 3 章 基本图形的生成 DDA画线算法如下: void DDALine(int x0, int y0, int x1, int y1, int color) { int x;
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Pk >= 0， (xk+1, yk -1)
根据公式计算Pk+1；
4) 确定对称点； 5) 重复步骤3，直至x ≥ y
中点画圆算法举例 圆半径r=10
P0= 1-10=-9
P1= -9+2*1+1=-6 k 0 1 2 3 4 5 6 Pk -9 -6 -1 6 -3 8 5 (xk,yk) (0,10) (1,10) (2,10) (3,10) (4,9) (5,9) (6,8) (7,7)
Pk < 0, 则选择yk
Pk ≥ 0, 则选择yk+1
Bresenham算法公式推导
决策参数Pk的递推公式
Pk = 2y*xk - 2x*yk + C
由 Pk+1 = 2y*xk+1 - 2x*yk+1 + C
∴ Pk+1 - Pk = 2y - 2x(yk+1 - yk);
Pk+2 y Pk+1=
setpixel(Round(x), Round(y), RED);
}
}
DDA算法 评价
比直接使用公式
y=m*x+b快 ，没有
用乘法
运算仍然耗时
设置增量的除法运算 取整操作 浮点
较长线段的误差积累
2. Bresenham算法
由Bresenham提出的一种精确而有效的光 栅线段生成算法，可用于直线、圆(圆弧)和 其它曲线的生成
pk+2(xk+1-yk+1)+1 pk≥0
r取整
p0 = 5/4 – r = 1- r
中点画圆算法的步骤
1) 输入圆半径r和圆心(xc, yc)， 获得(x0, y0) = (0, r) 2) 计算P0 = 1 - r; 3) 在每个xk位置，测试计算下一个点
Pk < 0， (xk+1, yk)
直接基于圆的方程绘圆
圆的标准方程 (x－xc)2＋(y－yc)2＝r2 y= yc sqrt(r2-(x-xc)2)
圆的极坐标参数方程 x＝xc＋r cosθ y＝yc＋r sinθ
圆的对称性
y
(0,r)
x
3.3.2 中点画圆算法
思想 判断公式
Yi Yi-1 Yi-2
X Xi+
i
Pk+2 y Pk+1= Pk+2 y－2 x
(Pk < 0) (xk+1, yk ) (Pk ≥ 0) (xk+1, yk+1 )
5) 重复第4步，共x-1次
Bresenham算法 举例
已知直线的两个端点P1(20,10)，P2(30,18)，
用DDA算法使该线段光栅化。
解：dx = 10; dy = 8;
d1＝y - yk＝m*xk+1+b - yk ＝m*(xk+1)+b- yk d2＝ yk+1 - y＝yk+1-m*(xk+1)-b
d1 - d2＝2m(xk+1)-2yk+2b-1
代入m= y / x，
Bresenham 算法公式推导
d1-d2 = 2*y / x(xk+1)-2yk+2b-1
DDA算法 举例
18 17 16 15 14 13 12 11 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
DDA算法的C实现
#define Round(a) ((int)(a + 0.5))
void lineDDA(int xa, int ya, int xb, int yb)
fcircle(x,y)
=0 >0
pk = f(xk+1, yk-0.5) = (xk+1)2+(yk-0.5)2-r2
如果
pk < 0，选择 (xk+1, yk)
pk ≥ 0，选择(xk+1, yk-1)
中点画圆算法公式推导
pk+1 = f(xk+1+1, yk+1-0.5) = (xk+1+1)2+(yk+1-0.5)2-r2 pk+1 = pk+2(xk+1)+(yk+12-yk2)-(yk+1-yk)+1 pk+2xk+1+1 pk+1 = pk<0
P2= -6+2*2+1=-1
P3= -1+2*3+1=6 P4= 6+2*(4-9)+1=-3 P5= -3+2*5+1=8 P6= 8+2*(6-8)+1=5
中点画圆算法举例 圆半径r=10
y
10 9
8 7 6 5 4 3 2 1 0 Y=X
0 1 2 3 4 5
6 7 8 9
1 0
x
不同算法的比较
(Pk < 0)
Pk+2 y－2 x
(Pk ≥ 0)
P0 = 2y－x
Bresenham算法的步骤
1) 输入直线端点坐标(x0,y0)，(xn,yn)
2) 画起始点(x0,y0)；
3) 计算常量x、y、2 y 和2y - 2x， 并计算决策参数P0 =2y - x 4) 从k=0开始，在沿线路径的每个xk处，计 算Pk+1，并确定下一点(xk+1,yk+1)
思想
算法公式推导
算法描述 举例
Bresenham 算法思想
思想：只用整数计算寻找最接近实际直线的整数坐标
13 12 11 10 10 11 12 13 14 15 16
y=mx+ b
从(10,10)像素开始，绘制0<m<1直线的屏幕网格
Bresenham 算法思想
y yk+1
y=mx+b
3.2 画线算法
问题 画线算法
DDA算法 Bresenham算法
3.2 画线算法
问题
已知直线的两个端点P1(x1, y1)，P2(x2, y2)
求直线的中间各点
3.2 画线算法
已知：P1(x1,y1)，P2(x2,y2)
直线的笛卡尔斜率截距方程 y = m*x + b m = (y2－y1)/(x2－x1) b = y1－m*x1 y= m* x
若|m|≤1:xk+1=xk+1,yk+1=yk+m
若|m|≥1:yk+1=yk+1, xk+1=xk+1/m or :yk+1=yk-1, xk+1=xk-1/m
DDA算法 举例
已知直线的两个端点P1(20,10)，P2(30,18)，
用DDA算法使该线段光栅化。
解：dx = 10; dy = 8;
直线斜率满足|m|<1时，取x方向为 单位步长
递推公式为：
xk+1=xk1 yk+1=ykm
求直线中间各个像素点－沿y轴取样
y
|m|>1 y2
y1 x1 x2 x
DDA算法公式
直线斜率满足|m|>1时，取y 方向为单位步长
递推公式为：
yk+1=yk1 xk+1=xk1/m
DDA算法
画直线的DDA算法可表示为: ;xa<xb ;xa>xb ;ya<yb ; ya>yb or : xk+1=xk-1,yk+1=yk-m
Bresenham 算法举例
18 17
16
15 14
13 12 11 10 20 2122 23 2425 26 272829 30
Bresenham 算法公式修正
修正公式以适应任何方向线段的绘制
m>1，交换x和y方向的规则，y单位步长移动，
计算x
从任何端点开始绘制像素
水平线、垂直线和对角线
循环次数：steps = 10;
沿X轴单位取样：x_in= 1
Y按斜率变化： y_in = 0.8
DDA算法 举例
step k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (x，y) (20，10) (21，10.8) (22，11.6) (23，12.4) (24，13.2) (25，14) (26，14.8) (27，15.6) (28，16.4) (29，17.2) (30，18) 像素点 (20，10) (21，11) (22，12) (23，12) (24，13) (25，14) (26，15) (27，16) (28，16) (29，17) (30，18)
方程两边同乘以x
x(d1-d2) = 2 y* xk+2 y - 2 x*yk+ x(2b-1)
引入决策参数Pk表示相对距离，其值为
其中C = 2y + x*(2b-1)
Pk = x (d1-d2)＝2y*xk - 2x*yk + C
Bresenham 算法公式推导
推论：
3.3 圆生成算法
圆的属性 中点画圆算法
3.3.1 圆的特性
圆的方程
(x－xc)2＋(y－yc)2＝r2 x＝xc ＋ r cosθ
y＝yc ＋ r sinθ
圆的对称性
y
(-y,x) (-x,y) (-x,-y)
根据公式计算Pk+1；
4) 确定对称点； 5) 重复步骤3，直至x ≥ y
中点画圆算法举例 圆半径r=10
P0= 1-10=-9
P1= -9+2*1+1=-6 k 0 1 2 3 4 5 6 Pk -9 -6 -1 6 -3 8 5 (xk,yk) (0,10) (1,10) (2,10) (3,10) (4,9) (5,9) (6,8) (7,7)
Pk < 0, 则选择yk
Pk ≥ 0, 则选择yk+1
Bresenham算法公式推导
决策参数Pk的递推公式
Pk = 2y*xk - 2x*yk + C
由 Pk+1 = 2y*xk+1 - 2x*yk+1 + C
∴ Pk+1 - Pk = 2y - 2x(yk+1 - yk);
Pk+2 y Pk+1=
setpixel(Round(x), Round(y), RED);
}
}
DDA算法 评价
比直接使用公式
y=m*x+b快 ，没有
用乘法
运算仍然耗时
设置增量的除法运算 取整操作 浮点
较长线段的误差积累
2. Bresenham算法
由Bresenham提出的一种精确而有效的光 栅线段生成算法，可用于直线、圆(圆弧)和 其它曲线的生成
pk+2(xk+1-yk+1)+1 pk≥0
r取整
p0 = 5/4 – r = 1- r
中点画圆算法的步骤
1) 输入圆半径r和圆心(xc, yc)， 获得(x0, y0) = (0, r) 2) 计算P0 = 1 - r; 3) 在每个xk位置，测试计算下一个点
Pk < 0， (xk+1, yk)
直接基于圆的方程绘圆
圆的标准方程 (x－xc)2＋(y－yc)2＝r2 y= yc sqrt(r2-(x-xc)2)
圆的极坐标参数方程 x＝xc＋r cosθ y＝yc＋r sinθ
圆的对称性
y
(0,r)
x
3.3.2 中点画圆算法
思想 判断公式
Yi Yi-1 Yi-2
X Xi+
i
Pk+2 y Pk+1= Pk+2 y－2 x
(Pk < 0) (xk+1, yk ) (Pk ≥ 0) (xk+1, yk+1 )
5) 重复第4步，共x-1次
Bresenham算法 举例
已知直线的两个端点P1(20,10)，P2(30,18)，
用DDA算法使该线段光栅化。
解：dx = 10; dy = 8;
d1＝y - yk＝m*xk+1+b - yk ＝m*(xk+1)+b- yk d2＝ yk+1 - y＝yk+1-m*(xk+1)-b
d1 - d2＝2m(xk+1)-2yk+2b-1
代入m= y / x，
Bresenham 算法公式推导
d1-d2 = 2*y / x(xk+1)-2yk+2b-1
DDA算法 举例
18 17 16 15 14 13 12 11 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
DDA算法的C实现
#define Round(a) ((int)(a + 0.5))
void lineDDA(int xa, int ya, int xb, int yb)
fcircle(x,y)
=0 >0
pk = f(xk+1, yk-0.5) = (xk+1)2+(yk-0.5)2-r2
如果
pk < 0，选择 (xk+1, yk)
pk ≥ 0，选择(xk+1, yk-1)
中点画圆算法公式推导
pk+1 = f(xk+1+1, yk+1-0.5) = (xk+1+1)2+(yk+1-0.5)2-r2 pk+1 = pk+2(xk+1)+(yk+12-yk2)-(yk+1-yk)+1 pk+2xk+1+1 pk+1 = pk<0
P2= -6+2*2+1=-1
P3= -1+2*3+1=6 P4= 6+2*(4-9)+1=-3 P5= -3+2*5+1=8 P6= 8+2*(6-8)+1=5
中点画圆算法举例 圆半径r=10
y
10 9
8 7 6 5 4 3 2 1 0 Y=X
0 1 2 3 4 5
6 7 8 9
1 0
x
不同算法的比较
(Pk < 0)
Pk+2 y－2 x
(Pk ≥ 0)
P0 = 2y－x
Bresenham算法的步骤
1) 输入直线端点坐标(x0,y0)，(xn,yn)
2) 画起始点(x0,y0)；
3) 计算常量x、y、2 y 和2y - 2x， 并计算决策参数P0 =2y - x 4) 从k=0开始，在沿线路径的每个xk处，计 算Pk+1，并确定下一点(xk+1,yk+1)
思想
算法公式推导
算法描述 举例
Bresenham 算法思想
思想：只用整数计算寻找最接近实际直线的整数坐标
13 12 11 10 10 11 12 13 14 15 16
y=mx+ b
从(10,10)像素开始，绘制0<m<1直线的屏幕网格
Bresenham 算法思想
y yk+1
y=mx+b
3.2 画线算法
问题 画线算法
DDA算法 Bresenham算法
3.2 画线算法
问题
已知直线的两个端点P1(x1, y1)，P2(x2, y2)
求直线的中间各点
3.2 画线算法
已知：P1(x1,y1)，P2(x2,y2)
直线的笛卡尔斜率截距方程 y = m*x + b m = (y2－y1)/(x2－x1) b = y1－m*x1 y= m* x
若|m|≤1:xk+1=xk+1,yk+1=yk+m
若|m|≥1:yk+1=yk+1, xk+1=xk+1/m or :yk+1=yk-1, xk+1=xk-1/m
DDA算法 举例
已知直线的两个端点P1(20,10)，P2(30,18)，
用DDA算法使该线段光栅化。
解：dx = 10; dy = 8;
直线斜率满足|m|<1时，取x方向为 单位步长
递推公式为：
xk+1=xk1 yk+1=ykm
求直线中间各个像素点－沿y轴取样
y
|m|>1 y2
y1 x1 x2 x
DDA算法公式
直线斜率满足|m|>1时，取y 方向为单位步长
递推公式为：
yk+1=yk1 xk+1=xk1/m
DDA算法
画直线的DDA算法可表示为: ;xa<xb ;xa>xb ;ya<yb ; ya>yb or : xk+1=xk-1,yk+1=yk-m
Bresenham 算法举例
18 17
16
15 14
13 12 11 10 20 2122 23 2425 26 272829 30
Bresenham 算法公式修正
修正公式以适应任何方向线段的绘制
m>1，交换x和y方向的规则，y单位步长移动，
计算x
从任何端点开始绘制像素
水平线、垂直线和对角线
循环次数：steps = 10;
沿X轴单位取样：x_in= 1
Y按斜率变化： y_in = 0.8
DDA算法 举例
step k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (x，y) (20，10) (21，10.8) (22，11.6) (23，12.4) (24，13.2) (25，14) (26，14.8) (27，15.6) (28，16.4) (29，17.2) (30，18) 像素点 (20，10) (21，11) (22，12) (23，12) (24，13) (25，14) (26，15) (27，16) (28，16) (29，17) (30，18)
方程两边同乘以x
x(d1-d2) = 2 y* xk+2 y - 2 x*yk+ x(2b-1)
引入决策参数Pk表示相对距离，其值为
其中C = 2y + x*(2b-1)
Pk = x (d1-d2)＝2y*xk - 2x*yk + C
Bresenham 算法公式推导
推论：
3.3 圆生成算法
圆的属性 中点画圆算法
3.3.1 圆的特性
圆的方程
(x－xc)2＋(y－yc)2＝r2 x＝xc ＋ r cosθ
y＝yc ＋ r sinθ
圆的对称性
y
(-y,x) (-x,y) (-x,-y)