第23章旋转复习小结

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九年级数学上册第二十三章旋转总结(重点)超详细(带答案)

九年级数学上册第二十三章旋转总结(重点)超详细(带答案)

九年级数学上册第二十三章旋转总结(重点)超详细单选题1、在平面直角坐标系中,点A(a,1)与点B(−2,b)关于原点成中心对称,则a+b的值为()A.−3B.−1C.1D.3答案:C分析:根据关于原点对称的两个点,横坐标、纵坐标分别互为相反数,求得a,b的值即可求解.解:∵点A(a,1)与点B(−2,b)关于原点成中心对称,∴a=2,b=−1,∴a+b=2−1=1,故选C.小提示:本题考查了关于原点对称的两个点,横坐标、纵坐标分别互为相反数,代数式求值,掌握关于原点对称的两个点,横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键.2、将如图的七巧板的其中几块,拼成一个多边形,为中心对称图形的是()A.B.C.D.答案:D分析:根据中心对称的定义,结合所给图形即可作出判断.A、不是中心对称图形,故本选项不符合题意;B、不是中心对称图形,故本选项不符合题意;C、不是中心对称图形,故本选项不符合题意;D、是中心对称图形,故本选项符合题意.故选:D.小提示:此题主要考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分能够完全重合.3、下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A.B.C.D.答案:B分析:根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可.解:∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合,∴A中的图象不是中心对称图形,∴选项A不正确;∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合,∴B中的图形是中心对称图形,但不是轴对称图形,∴选项B正确;∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合,∴C中的图形是中心对称图形,也是轴对称图形,∴选项C不正确;∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合,∴D中的图形不是中心对称图形,∴选项D不正确;故选:B.小提示:本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义,熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键.4、有一个正n边形旋转90∘后与自身重合,则n为()A.6B.9C.12D.15答案:C分析:根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数,与90∘一致或有倍数关系的则符合题意.如图所示,计算出每个正多边形的中心角,90∘是30∘的3倍,则可以旋转得到.A.B.C.D.观察四个正多边形的中心角,可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合故选C.小提示:本题考查正多边形中心角与旋转的知识,解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系.5、在平面直角坐标系中,点P(−3,−5)关于原点对称的点的坐标是()A.(3,−5)B.(−3,5)C.(3,5)D.(−3,−5)答案:C分析:根据关于原点对称的点的坐标特点解答.解:点P(-3,-5)关于原点对称的点的坐标是(3,5),故选:C.小提示:本题考查的是关于原点的对称的点的坐标,平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-y),即关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数.6、以原点为中心,将点P(4,5)按逆时针方向旋转90°,得到的点Q所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B分析:根据旋转的性质,以原点为中心,将点P(4,5)按逆时针方向旋转90°,即可得到点Q所在的象限.解:如图,∵点P(4,5)按逆时针方向旋转90°,得点Q所在的象限为第二象限.故选:B.小提示:本题考查了坐标与图形变化-旋转,解决本题的关键是掌握旋转的性质.7、将△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE,则下列作图正确的是()A.B.C.D.答案:D分析:把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.解:观察选项中的图形,只有D选项为△ABO绕O点旋转了180°.小提示:本题考察了旋转的定义.8、如图,在方格纸中,将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B,则下列四个图形中正确的是()A.B.C.D.答案:B分析:根据绕点B按顺时针方向旋转90°逐项分析即可.A、Rt△A′O′B是由Rt△AOB关于过B点与OB垂直的直线对称得到,故A选项不符合题意;B、Rt△A′O′B是由Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到,故B选项符合题意;C、Rt△A′O′B与Rt△AOB对应点发生了变化,故C选项不符合题意;D、Rt△AOB是由Rt△AOB绕点B按逆时针方向旋转90°后得到,故D选项不符合题意.故选:B.小提示:本题考查旋转变换.解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数.9、如图,先将该图沿着它自己的右边缘翻折,再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°,之后所得到的图形是()A.B.C.D.答案:A分析:将图沿着它自己的右边缘翻折,则圆在正方形图形的右上角,然后绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°,则圆在正方形的左下角,利用此特征可对四个选项进行判断.先将图沿着它自己的右边缘翻折,得到,再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°,之后所得到的图形为.故选:A小提示:本题考查了利用旋转设计图案:由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换一些复合图案.10、如图,将△AOB绕着点O顺时针旋转,得到△COD(点C落在△AOB外),若∠AOB=30°,∠BOC=10°,则最小旋转角度是()A.20°B.30°C.40°D.50°答案:C分析:直接利用已知得出∠AOC的度数,再利用旋转的性质得出对应边之间夹角,得出答案即可.∵∠AOB= 30°,∠BOC = 10°,∴∠AOC=∠AOB+∠COB = 30°+ 10°= 40°∵将△AOB绕着点O顺时针旋转,得到△COD,∴最小旋转角为∠AOC = 40°.故选: C.小提示:此题主要考查了旋转的性质,正确得出∠AOC的度数是解题关键.填空题11、如图,在△ABC中,∠C=90°,点D、E分别在AC、BC上,∠CDE=45°,△ECD绕点D顺时针旋转x度(45<x<180)到△E1C1D,则∠BEE1等于______度.(用含x的代数式表示)答案:(45+x)2分析:根据旋转的性质可得DE=DE1,∠EDE1=x,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠E1ED 和∠CED即可解决问题.解:如图,由旋转的性质可得:DE=DE1,∠EDE1=x,∴∠E1ED=180°−x2=90°−x2,∵∠C=90°,∠CDE=45°,∴∠CED=45°,∴∠BEE1=180°−∠E1ED−∠CED=180°−(90°−x2)−45°=(45+x2)°,所以答案是:(45+x2).小提示:本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质以及三角形内角和定理,灵活运用各性质进行推理计算是解题的关键.12、如图,△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1,则∠ABB1=_______.答案:65°分析:根据旋转的性质知AB=AB1,∠BAB1=50°,然后利用三角形内角和定理进行求解.解:∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1,,∴AB=AB1,∠BAB1=50°,∴∠ABB1=12(180°−50°)=65°.所以答案是:65°.小提示:本题考查了旋转的性质,三角形内角和定理,熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键.13、在平面直角坐标系内,点P(−3,2)关于原点的对称点Q的坐标为______.答案:(3,−2)分析:根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(−x,−y),即可直接作答.根据中心对称性质可知:点P(−3,2)关于原点的对称点Q的坐标为(3,−2),故答案为(3,−2).小提示:本题考查了关于原点对称点的坐标,属于基础问题,熟记知识点是解题关键.14、已知点A(1,m)与A′(n,−3)关于原点对称,则mn=___________.答案:-3分析:直接利用关于原点对称点的性质得出m,n的值,即可求解.解:∵点A(1,m)与点A′(n,−3)关于坐标原点对称,∴n=−1,m=3,∴mn=−3所以答案是:-3.小提示:此题主要考查了关于原点对称点的特征,关于原点对称的点横纵坐标都变为原来的相反数.15、如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=1,将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°,得到矩形EFCG,连接AE,取AE的中点H,连接DH,则DH=_______.答案:√22分析:根据题意构造并证明ΔDAH≅ΔKEH(ASA),通过全等得到KE=AD,DH=HK,再结合矩形的性质、旋转的性质,及可求解;如图,延长DH交EF于点k,∵H是AE的中点∴AH=HE又∵AD//FE∴∠DAH=∠KEH∴ΔDAH≅ΔKEH(ASA)∴KE=AD,DH=HK∵EF=AB=CD=2,AD=FC=1∴DF=FK=KE=AD=1则DK=√DF2+FK2=√2∴DH=12DK=√22所以答案是:√22小提示:本题主要考查了矩形的性质、三角形的全等证明,掌握相关知识并结合旋转的性质正确构造全等三角形是解题的关键.解答题16、如图,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与AC交于点G.(1)求证:EF=BC;(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.答案:(1)见解析(2)78°分析:(1)只需要证明△ABC≌△AEF即可得到答案;(2)先求出∠FAG=∠BAE=50°,然后根据全等三角形的性质得到∠F=∠C=28°,再利用三角形外角的性质求解即可.(1)解:∵∠CAF=∠BAE,∴∠BAC=∠EAF.∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置,∴AC=AF.在△ABC与△AEF中,{AB=AE∠BAC=∠EAF AC=AF∴△ABC≌△AEF(SAS),∴EF=BC;(2)∵AB=AE,∠ABC=65°,∴∠ABC=∠AEB=65°∴∠BAE=180°−65°×2=50°,∴∠FAG=∠BAE=50°.∵△ABC≌△AEF,∴∠F=∠C=28°,∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°.小提示:本题主要考查了旋转的性质,全等三角形的性质与判定,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,三角形外角的性质,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.17、如图1,二次函数y=a(x+3)(x﹣4)的图象交坐标轴于点A,B(0,﹣2),点P为x轴上一动点.(1)求该二次函数的解析式;(2)过点P作PQ⊥x轴,分别交线段AB、抛物线于点Q,C,连接AC.若OP=1,求△ACQ的面积;(3)如图2,连接PB,将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD.当点D在抛物线上时,求点D的坐标.答案:(1)y=16x2−16x−2;(2)SΔACQ=34;(3)D(3,−1)或D(−8,10)分析:(1)将B(0,−2)代入y=a(x+3)(x−4),即可求解;(2)先求直线AB的解析式为y=12x−2,则Q(1,−32),C(1,−2),可求SΔACQ=SΔACP−SΔAPQ=34;(3)设P(t,0),过点D作x轴垂线交于点N,可证明ΔPND≅ΔBOP(AAS),则D(t+2,−t),将D点代入抛物线解析式得−t=16(t+2+3)(t+2−4),求得D(3,−1)或D(−8,10).解:(1)将B(0,−2)代入y=a(x+3)(x−4),∴a=16,∴y=16(x+3)(x−4)=16x2−16x−2;(2)令y=0,则16(x+3)(x−4)=0,∴x=−3或x=4,∴A(4,0),设直线AB的解析式为y=kx+b,∴{b=−24k+b=0,∴{k=1 2b=−2,∴y=12x−2,∵OP=1,∴P(1,0),∵PQ⊥x轴,∴Q(1,−32),C(1,−2),∴AP=3,∴SΔACQ=SΔACP−SΔAPQ=12×3×2−12×3×32=34;(3)设P(t,0),如图2,过点D作x轴垂线交于点N,∵∠BPD=90°,∴∠OPB+∠NPD=90°,∠OPB+∠OBP=90°,∴∠NPD=∠OBP,∵BP=PD,∴ΔPND≅ΔBOP(AAS),∴OP=ND,BO=PN,∴D(t+2,−t),∴−t=16(t+2+3)(t+2−4),解得t=1或t=−10,∴D(3,−1)或D(−8,10).小提示:本题是二次函数综合题,考查了二次函数图象和性质,待定系数法求抛物线解析式,三角形面积,全等三角形判定和性质,旋转的性质等,解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质,分类讨论,数形结合.18、如图1,正方形ABCD的边长为4,点P在边AD上(P不与A,D重合),连接PB,PC.将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE,将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF.连接EF,EA,FD.(1)求证:PD2;①ΔPDF的面积S=12②EA=FD;(2)如图2,EA.FD的延长线交于点M,取EF的中点N,连接MN,求MN的取值范围.答案:(1)①见详解;②见详解;(2)4≤MN<2√5分析:(1)①过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G,证明△PFG≌△CPD,即可得到结论;②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H,证明△PEH≌△BPA,结合△PFG≌△CPD,可得GD=EH,同理:FG=AH,从而得△AHE≌△FGD,进而即可得到结论;(2)过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G,过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H,可得∠AMD=90°,EF,HG= 2AD=8,EH+FG=AD=4,然后求出当点P与点D重合时,EF最大值=4√5,当点P与AD的中点重合MN=12时,EF最小值= HG=8,进而即可得到答案.(1)①证明:过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G,∵∠FPG+∠PFG=90°,∠FPG+∠CPD=90°,∴∠FPG=∠CPD,又∵∠PGF=∠CDP=90°,PC=PF,∴△PFG≌△CPD(AAS),∴FG=PD,∴ΔPDF的面积S=12PD⋅FG=12PD2;②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H,∵∠EPH+∠PEH=90°,∠EPH +∠BPA=90°,∴∠PEH =∠BPA,又∵∠PHE=∠BAP=90°,PB=PE,∴△PEH≌△BPA(AAS),∴EH=PA,由①得:FG=PD,∴EH+FG=PA+PD=AD=CD,由①得:△PFG≌△CPD,∴PG=CD,∴PD+GD= CD= EH+FG,∴FG+GD= EH+FG,∴GD=EH,同理:FG=AH,又∵∠AHE=∠FGD,∴△AHE≌△FGD,∴EA=FD;(2)过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G,过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H,由(1)得:△AHE≌△FGD,∴∠HAE=∠GFD,∵∠GFD+∠GDF=90°,∴∠HAE+∠GDF=90°,∵∠HAE=∠MAD,∠GDF=∠MDA,∴∠MAD+∠MDA=90°,∴∠AMD=90°,∵点N是EF的中点,∴MN=1EF,2∵EH=DG=AP,AH=FG=PD,∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8,EH+FG=AP+PD=AD=4,当点P与点D重合时,FG=0,EH=4,HG=8,此时EF最大值=√42+82=4√5,当点P与AD的中点重合时,FG=2,EH=2,HG=8,此时EF最小值= HG=8,∴MN的取值范围是:4≤MN<2√5.小提示:本题主要考查全等三角形的判定和性质,正方形的性质,勾股定理,旋转的性质,添加辅助线,构造直角全等的直角三角形,是解题的关键.。

23章旋转章小结

23章旋转章小结


典型习题
6.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC= 2,将△ABC 绕点 A 顺时针方 3-1 . 向旋转 60°到△AB′C′的位置,连接 C′B,则 C′B=____________
典型习题
类型三:通过旋转确定点的坐标 7.如图,边长为 2 的正三角形 ABO 的边 OB 在 x 轴上,将△ABO 绕 原点 O 逆时针旋转 30°得到三角形 OA1B1,则点 A1 的坐标为( B ) A.( 3,1) B.( 3,-1) C.(1,- 3) D.(2,-1)
A.30° B.60° C.90° D.150°
典型习题
3.如图,在△ABC中,∠CAB=70°,将△ABC
绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置,使得 CC′∥AB,则∠BAB′的度数是( C ) A.70°
B.35°
C.40° D.50°
典型习题 4.如图,在正方形ABCD内有一点P,PA=1,
C B
A
D
E
.O
知识点
对称中心的确定 两对对称点的连线的交点就是对称 中心。或两个对称点所连线段的中 点也是对称中心)。
.O
知识点
中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果 旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么 这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它 的对称中心.
知识点
中心对称与中心对称图形的区别与联系 名 中心对称 中心对称图形 称 把一个图形绕着某一个点旋 如果一个图形绕着一个点 定 转180,如果他能够与另一 旋转180后的图形能够与 义 个图形重合,那么就说这两 原来的图形重合,那么这 个图形叫做中心对称图形 个图形关于这点对称 ①两个图形完全重合; 性 ②对应点连线都经过对称中 对应点连线都经过对称中 质 心,并且被对称中心平分 心,并且被对称中心平分 区 ①两个图形的关系 别 ②对称点在两个图形上 ①具有某种性质的一行证明 9.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上一 点,且AD=BD.将△ABD绕点A逆时针旋转得到 △ACE. (1)求证:AE∥BC; (2)连接DE,判断四边形ABDE的形状,并说明 理由.

人教版九年级上册第23章《旋转》小结复习ppt

人教版九年级上册第23章《旋转》小结复习ppt

关于原点对称 (用对称的观点写). 性质_____________
15:25 12
A 5 解: 4 点A(-3,5),B(-4,1), c3 C(-1,3),关于原点对 2 称点的坐标分别为 B 1 A’(3,-5), B’(4,-1), C’(1,-3). 依次连接A’B’, -4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 5 B′ -2 B’C’,C’A’,就得到 -3 △ABC关于原点对 C′ -4 称的△A’B’C’.
15:25
11
☆学以致用
1.下列函数中,图象一定关于原点对称的图象是( A )
1 A.y= x
B.y=2x+1 D.以上三种都不可能
C.y=-2x+1
2.如果点P(-3,1),那么点P(-3,1)关于原点 (3,-1) . 的对称点P1的坐标是P1_______
3 3 3.写出函数y=- 与y= x 具有的一个共同 x
B
14
提高练习
画一个与已知四边形ABCD中心对称图形。 (1)以顶点A为对称中心; N (2)以BC边的中点为对称中心。
F A G D C A D B B

O C
M
E
15:25
15
练习提高
图形
线段 角 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰三角形
15:25
是否是中心 是否是轴 对称图形 对称图形
是 否 是 是
4:已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A (-3,5),B(- 4,1),C(-1,3),作出△ABC关于 原点对称的图形。
·
·
·
·
·
13
-5
A′ ·
15:25
5 已知四边形ABCD和点O,画四边形 A′B′C′D′,使它与已知四边形关于这一点对 称。

人教版九年级数学上册教案:第二十三章《旋转》小结与复习

人教版九年级数学上册教案:第二十三章《旋转》小结与复习

【数学·九年级·上册】第二十三章小结与复习【教学目标】1.总结和复习图形旋转、中心对称的基本性质的应用及两个点关于原点对称时坐标之间的关系;2.注意复习平移、轴对称、旋转的联系和区别,旋转和中心对称的联系和区别,运用图形旋转、中心对称的基本性质解一些简单问题.【学情简析】本章先学习了旋转的有关知识,要求能够从旋转的角度观察图形,进而认识特殊的旋转——中心对称,最后运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计.【教学重点】复习图形旋转的基本性质和中心对称的基本性质及两个点关于原点对称时,它们坐标之间的关系.【教学难点】运用旋转的性质解决问题.【课时安排】3课时【教学过程】环节教学内容教师的行为学生的活动唤起希望差异指导引发碰撞再激希望一、复习展示问题1平移、轴对称、旋转的区别与联系个人二次备课二、典型例题例 1 (1)如图,△ABC 为等边三角形,D 是△ABC 内一点,若将△ABD 经过旋转后到△ACP 位置,则旋转中心是______,旋转角等于_____度,△ADP是______三角形.(2)如图,正方形ABCD 中,E 是AD上一点,将△CDE 逆时针旋转后得到△CBM.则旋转中心是______,△CDE 旋转了___度,△CEM 是_____三角形.例2(1)画出点P 绕点O 顺时针旋PPT给出图片及问题个人二次备课板书课题巡视,指导,检查学生独立思考个人二次备课整理笔记小组合作探究ABDPCDAEBCM转 30°后的对应点.(2)画出线段AB 绕点A(或点M )逆时针旋转45°后的图形.(3)画出△DEC 绕点C 逆时针旋转 90°后的图形.个人二次备课三、复习展示问题2旋转和中心对称的区别与联系.四、典型例题例3下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是().例4已知:△ABC 中,A(-2,3),B(-3,1), C(-1,2).请画出△ABC关于原点O 对称的△A1B1C1.五、小结1.平移、轴对称和旋转有什么区别与联系?2.旋转和中心对称有什么区别与联系?3.怎样利用旋转的定义和性质作图?个人二次备课个人二次备课巡视指导巡视,检查对各组完成的情况进行点评归纳本节课所学布置作业教科书复习题23第 1,4,5 题.个人二次备课小组合作探究整理笔记个人二次备课个人二次备课教学反思。

九年级上册数学第23章《旋转》知识点梳理完整版

九年级上册数学第23章《旋转》知识点梳理完整版

【学习目标】九年级数学上册第 23 章《旋转》知识点梳理1、通过具体实例认识旋转,探索它的基本性质,理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质;2、通过具体实例认识中心对称,探索它的基本性质,理解对应点所连线段被对称中心平分的性质,了解平行四边形、圆是中心对称图形;3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形,欣赏旋转在现实生活中的应用;4、探索图形之间的变化关系(轴对称、平移、旋转及其组合),灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念:把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转..点 O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点 A 经过旋转变为点A′,那么,这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释:旋转的三个要素:旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等(OA= OA′);(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A'B'C').要点诠释:图形绕某一点旋转,既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图: 在画旋转图形时,首先确定旋转中心,其次确定图形的关键点,再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度,然后连接对应的部分,形成相应的图形.要点诠释:作图的步骤:(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心;(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角);(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点;(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.要点诠释:(1)有两个图形,能够完全重合,即形状大小都相同;(2)位置必须满足一个条件:将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的,而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.要点诠释:(1)中心对称图形指的是一个图形;(2)线段,平行四边形,圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转类型一、旋转1.数学课上,老师让同学们观察如图所示的图形,问:它绕着圆心 O 旋转多少度后和它自身重合?甲同学说:45°;乙同学说:60°;丙同学说:90°;丁同学说:135°. 以上四位同学的回答中,错误的是().A.甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】B.【解析】因为圆被平分为 8 部分,所以旋转45°,90°,135°均能与原图形重合.【总结升华】同一图形的旋转角可以是多个.举一反三:【变式】以图 1 的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后,再按顺时针方向旋转180°,所得到图形是().【答案】A.类型二、中心对称2.如图,△A′B′C′是△ABC旋转后得到的图形,请确定旋转中心、旋转角.【答案与解析】∵对应点到旋转中心的距离相等,即OA=OA′∴O点在AA′的垂直平分线上同理 O 点也在BB′的垂直平分线上∴两条垂直平分线的交点 O 就是旋转中心,∠AOA′的度数就是旋转角.【总结升华】中心对称的对应点到对称中心的距离相等,所以对称中心在对应点的垂直平分线上.举一反三:【变式】下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是().A.B.C.D.【答案】A.类型三、平移、轴对称、旋转3.(2015•裕华区模拟)如图,点 O 是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a.将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接 OD.(1)求证:△COD是等边三角形;(2)当a=150°时,试判断△AOD 的形状,并说明理由;(3)探究:当 a 为多少度时,△AOD是等腰三角形?【思路点拨】(1)根据旋转的性质可得出 OC=OD,结合题意即可证得结论;(2)结合(1)的结论可作出判断;(3)找到变化中的不变量,然后利用旋转及全等的性质即可做出解答.【答案与解析】(1)证明:∵将△BOC绕点 C 按顺时针方向旋转60°得△ADC,∴CO=CD,∠OCD=60°,∴△COD是等边三角形.(2)解:当α=150°时,△AOD是直角三角形.理由是:∵将△BOC绕点 C 按顺时针方向旋转60°得△ADC,∴△BOC≌△ADC,∴∠ADC=∠BOC=150°,又∵△COD是等边三角形,∴∠ODC=60°,∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°,∵∠α=150°∠AOB=110°,∠COD=60°,∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°,∴△AOD 不是等腰直角三角形,即△AOD是直角三角形.(3)解:①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α,∠ADO=α﹣60°,∴190°﹣α=α﹣60°,∴α=125°;②要使 OA=OD,需∠OAD=∠ADO.∵∠OAD=180°﹣(∠AOD+∠ADO)=180°﹣(190°﹣α+α﹣60°)=50°,∴α﹣60°=50°,∴α=110°;③要使 OD=AD,需∠OAD=∠AOD.∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α,∠AOD==120°﹣,∴190°﹣α=120°﹣,解得α=140°.综上所述:当α的度数为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.【总结升华】本题以“空间与图形”中的核心知识(如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明等)为载体,内容由浅入深,层层递进.试题中几何演绎推理的难度适宜,蕴含着丰富的思想方法(如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等),能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力.举一反三:【变式】已知 D 是等边△ABC外一点,∠BDC=120º.求证:AD=BD+DC.【答案】∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.将△ABD绕点A 逆时针旋转60°,得到△EAC,∴△DAB≌△EAC,即∠ABD=∠ACE,∵四边形 ABCD 中,∠BDC=120º,∠BAC=60°,∴∠DBA+∠DCA=180°,即∠ACE+∠DCA=180°,点 D,C,E 三点共线.∴BD+DC=CE+DC=DE.又∵∠DAE=60°.∴△ADE是等边三角形,即DE=AD.∴BD+DC=AD.4.如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=CD. 求证:BD2=AB2+BC2.【思路点拨】利用 AD=CD 可以将△BCD绕点D 逆时针旋转60°,从而把条件集中到一个三角形中.【答案与解析】证明: ∵AD=CD,∠ADC=60°,∴△BCD 绕点 D 逆时针旋转 60°,得到△EAD, ∴∠BDE=∠CDA=60°,△BCD≌△EAD. ∴BC=AE, BD=DE ,∠DAE=∠DCB, ∴△BDE 为等边三角形. ∴BE=BD.∵在四边形 ABCD 中,∠ABC=30°,∠ADC=60°, ∴∠DCB+∠DAB=270°,即∠DAE+∠DAB=270°. ∴∠BAE=90°. ∵在 Rt△BAE 中, ,∴.【总结升华】由求证可知应该建立一个直角三角形,再由已知知道有 30°,60°的角,有等线段,可以构想通过旋转构建直角三角形.5 、正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一个公共点 A ,点 G 、E 分别在线段 AD 、AB 上(1) 如图连结 DF 、BF ,试问:当正方形 AEFG 绕点 A 旋转时,DF 、BF 的长度是否始终相等?若相等请证明;若不相等请举出反例.(2) 若将正方形 AEFG 绕点 A 顺时针方向旋转,连结 DG ,在旋转过程中,能否找到一条线段的长度与线段 DG的长度相等,并画图加以说明. 【答案与解析】(1) 如图, DF 、BF 的长度不是始终相等,当点 F 旋转到 AB 边上时,DF>AD>BF.(2)线段BE=DG如图: ∵正方形 ABCD 和正方形 AEFG∴AD=AB,AG=AE, ∠1+∠2=∠2+∠3 ∴∠DAG=∠BAE ∴△ADG≌△ABE ∴ DG=BE【总结升华】利用旋转图形的不变性确定全等三角形. 举一反三:【变式】(2015•沈阳)如图,正方形 ABCD 绕点 B 逆时针旋转 30°后得到正方形 BEFG ,EF 与 AD 相交于点 H ,延长DA 交 GF 于点 K .若正方形 ABCD 边长为,求 AK 的长?【答案与解析】 解:连接 BH ,如图所示:∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形, ∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°, 由旋转的性质得:AB=EB ,∠CBE=30°, ∴∠ABE=60°,在 Rt△ABH 和 Rt△EBH 中,,∴Rt△ABH≌△Rt△EBH(HL ), ∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°,AH=EH , ∴AH= ×=1,∴EH=1, ∴FH=﹣1,在 Rt△FKH 中,∠FKH=30°, ∴KH=2FH=2(﹣1),∴AK=KH﹣AH=2( ﹣1)﹣1=2 ﹣3; 故答案为: 2 3 .6. 如图,已知△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=900,E 、F 是 BC 边上点且∠EAF=45°.求证: .3【思路点拨】通过求证可以猜测要证得直角三角形,所以可以考虑旋转.【答案与解析】∵ △ABC为等腰直角三角形且∠BAC=90°∴ AB=AC,将△CAF 绕点 A 顺时针旋转90°,如图,得到∴∴ ,,,,∴ ,连结,则在,中,∴ ①,又∵ ,∵ .又∵∴ 在与,中,.∴ ②,∴ 由①②得:. 【总结升华】旋转性质:旋转前,后的图形全等.。

九年级数学上册第二十三章旋转知识点归纳总结(精华版)(带答案)

九年级数学上册第二十三章旋转知识点归纳总结(精华版)(带答案)

九年级数学上册第二十三章旋转知识点归纳总结(精华版)单选题1、如图,将△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE,点C的对应点恰好落在AB的延长线上,连接AD,下列结论不一定成立的是()A.AB=DB B.∠CBD=80°C.∠ABD=∠E D.△ABC≌△DBE答案:C分析:利用旋转的性质得△ABC≌△DBE,BA=BD,BC=BE,∠ABD=∠CBE=50°,∠C=∠E,再由A、B、E三点共线,由平角定义求出∠CBD=80°,由三角形外角性质判断出∠ABD>∠E.解:∵△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE,∴AB=DB,BC=BE,∠ABD=∠CBE=50°,△ABC≌△DBE,故选项A、D一定成立;∵点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,∴∠ABD+∠CBE+∠CBD =180°,.∴∠CBD=180°-50°-50°=80°,故选项B一定成立;又∵∠ABD=∠E+∠BDE,∴∠ABD>∠E,故选项C错误,故选C.小提示:本题主要考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.2、将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG.当GC=GB时,下列针对α值的说法正确的是()A.60°或300°B.60°或330°C.30°D.60°答案:A分析:当GB=GC时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论,依据∠DAG=60°,即可得到旋转角α的度数.如图,当GB=GC时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论:①当点G在AD右侧时,取BC的中点H,连接GH交AD于M,∵GC=GB,∴GH⊥BC,∴四边形ABHM是矩形,∴AM=BH=1AD,2∴GM垂直平分AD,∴GD=GA=DA,∴△ADG是等边三角形,∴∠DAG =60°,∴旋转角α=60°;②当点G 在AD 左侧时,同理可得△ADG 是等边三角形,∴∠DAG =60°,∴旋转角α=360°-60°=300°,故选:A .小提示:本题主要考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质的运用,解题时注意:对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.3、已知⊙O 的直径CD =100cm ,AB 是⊙O 的弦,AB ⊥CD ,垂足为M ,且AB =96cm ,则AC 的长为( )A .36cm 或64cmB .60cm 或80cmC .80cmD .60cm答案:B分析:分两种情况讨论,根据题意画出图形,根据垂径定理求出AM 的长,连接OA ,由勾股定理求出OM 的长,进而可得出结论.解:连接AC ,AO ,∵⊙O 的直径CD =100cm ,AB ⊥CD ,AB =96cm ,∴AM =12AB =12×96=48(cm ),OD =OC =50(cm ),如图1,∵OA =50cm ,AM =48cm ,CD ⊥AB ,∴OM =√OA 2−AM 2=√502−482=14(cm ),∴CM =OC +OM =50+14=64(cm ),∴AC=√AM2+CM2=√642+482=80(cm);如图2,同理可得,OM=14cm,∵OC=50cm,∴MC=50−14=36(cm),在Rt△AMC中,AC=√AM2+CM2=60(cm);综上所述,AC的长为80cm或60cm,故选:B.小提示:本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用,根据题意画出图形、利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键.4、已知点A(−2,3)与点B关于原点对称,则点B的坐标()A.(−3,2)B.(2,−3)C.(3,2)D.(−2,−3)答案:B分析:根据关于原点对称点的坐标变化特征直接判断即可.解:点A(−2,3)与点B关于原点对称,则点B的坐标为(2,−3),故选:B.小提示:本题考查了关于原点对称点的坐标,解题关键是明确关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数.5、已知⊙O的半径为7,AB是⊙O的弦,点P在弦AB上.若PA=4,PB=6,则OP=()A.√14B.4C.√23D.5答案:DAB=5,然后在分析:连接OA,过点O作OC⊥AB于点C,如图所示,先利用垂径定理求得AC=BC=12RtΔAOC中求得OC=2√6,再在RtΔPOC中,利用勾股定理即可求解.解:连接OA,过点O作OC⊥AB于点C,如图所示,则AC=BC=1AB,OA=7,2∵PA=4,PB=6,∴AB=PA+PB=4+6=10,∴AC=BC=1AB=5,2∴PC=AC−PA=5−4=1,在RtΔAOC中,OC=√OA2−AC2=√72−52=2√6,在RtΔPOC中,OP=√OC2+PC2=√(2√6)2+12=5,故选:D小提示:本题考查了垂径定理及勾股定理的运用,构造直角三角形是解题的关键.6、如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,点D是AB的中点,将△ACD沿CD对折得△A′CD.连接BA′,连接AA′交CD于点E,若AB=14cm,BA′=4cm,则CE的长为()A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm答案:B分析:由折叠性质得AA′⊥CD,AD=A′D,根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD=AD=BD=A′D,可证得A、C、A′、B共圆且AB为直径,利用垂径定理的推论和三角形的中位线性质证得DE=1A′B,进而可求解CE的长.2解:由折叠性质得AA′⊥CD,AD=A′D,∵∠ACB=90∘,点D是AB的中点,∴CD=AD=BD=A′D=1AB,2∴A、C、A′、B共圆且AB为直径,又A A′⊥CD,∴AE=A′E,又AD=BD,∴DE是△AB A′的中位线,∴DE=1A′B,2∵AB=14cm,BA′=4cm,∴CD=7cm,DE=2cm,∴CE=CD-DE=7-2=5cm,故选B.小提示:本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论,熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.7、围棋起源于中国,古代称之为“弈”,至今已有4000多年的历史.2017年5月,世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGoi进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分,由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是()A.B.C.D.答案:A分析:根据中心对称图形的定义:一个平面图形,绕一点旋转180°,与自身重合,这样的图形叫做中心对称图形.逐一进行判断即可.解:A、是中心对称图形,符合题意;B、不是中心对称图形,不符合题意;C、不是中心对称图形,不符合题意;D、不是中心对称图形,不符合题意;故选A.小提示:本题考查中心对称.熟练掌握中心对称的定义是解题的关键.8、如图,将正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是()A.B.C.D.答案:C分析:根据旋转的定义进行分析即可解答解:根据旋转的性质,旋转前后,各点的相对位置不变,得到的图形全等,分析选项,可得正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是C.故选:C.小提示:本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键.9、将△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE,则下列作图正确的是()A.B.C.D.答案:D分析:把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.解:观察选项中的图形,只有D选项为△ABO绕O点旋转了180°.小提示:本题考察了旋转的定义.10、下列几何图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A.梯形B.等边三角形C.平行四边形D.矩形答案:B分析:根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可.A、梯形不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项说法错误;B、等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形,故本选项说法正确;C、平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项说法错误;D、矩形是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项说法错误.故选:B.小提示:本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断,掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质是解题的关键.填空题11、如图,把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于点D,若∠A′DC=90°,则∠A= °答案:55分析:根据旋转的性质可得∠ACA ′=35°,∠A =∠A ′,再由直角三角形两锐角互余,即可求解. 解:∵把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°,得到△A ′B ′C∴∠ACA ′=35°,∠A =∠A ′,∵∠A ′DC =90°,∴∠A ′=55°∴∠A =55°.所以答案是:55小提示:本题主要考查了图形的旋转,直角三角形两锐角的关系,熟练掌握旋转的性质,直角三角形两锐角互余是解题的关键.12、在平面直角坐标系xOy 中,直线y =−√33x +2分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点.将射线AM 绕着点A 顺时针旋转45°,得到射线AN .点D 为AM 上的动点,点B 为AN 上的动点,点C 在∠MAN 的内部.(1)△BCD 周长的最小值是____________________;(2)当△BCD 的周长取得最小值,且BD =53√2时,△BCD 的面积为__________.答案: 4√2 43分析:(1)可作点C 关于射线AM 的对称点C 1,点C 关于射线AN 的对称点C 2.连接C 1C 2.利用两点之间线段最短,可得到当B 、D 两点与C 1、C 2在同一条直线上时,△BCD 的周长最小,最小值为线段C 1C 2的长.(2)根据(1)的作图可知四边形AC 1CC 2的对角互补,结合轴对称可得∠BCD =90°.利用勾股定理得到CB 2+CD 2=BD 2=(5√23)2,因为CB +CD =4√2﹣5√23,可推出CB •CD 的值,进而求出三角形的面积.(1)∵直线y =−√33x +2与x 轴、y 轴分别交于C 、A 两点,把y =0代入,解得x =2√3,把x =0代入,解得y =2,∴点C 的坐标为(2√3,0),点A 的坐标为(0,2).∴AC =√22+(2√3)2=4.作点C 关于射线AM 的对称点C 1,点C 关于射线AN 的对称点C 2.由轴对称的性质,可知CD =C 1D ,CB =C 2B . ∴CB +BD +CD =C 2B +BD +C 1D =C 1C 2连接AC 1、AC 2,可得∠C 1AD =∠CAD ,∠C 2AB =∠CAB ,AC 1=AC 2=AC =4.∵∠DAB =45°,∴∠C 1AC 2=90°.连接C 1C 2.C 1C 2=√42+42=4√2,∵两点之间线段最短,∴当B 、D 两点与C 1、C 2在同一条直线上时,△BCD 的周长最小,最小值为线段C 1C 2的长. ∴△BCD 的周长的最小值为4√2.所以答案是:4√2.(2)根据(1)的作图可知四边形AECF 的对角互补,其中∠DAB =45°,因此,∠C 2CC 1=135°. 即∠BCC 2+∠DCC 1+∠BCD =135°,∴2∠BCC 2+2∠DCC 1+2∠BCD =270°①,∵∠BC 2C =∠BCC 2,∠DCC 1=∠DC 1C ,∠BC 2C +∠DC 1C +∠BCC 2+∠DCC 1+∠BCD =180°, ∴2∠BCC 2+2∠DCC 1+∠BCD =180°②,①-②得,∠BCD =90°.∴CB 2+CD 2=BD 2=(5√23)2=509,∵CB +CD =4√2﹣5√23=7√23,(CB +CD )2=CB 2+CD 2+2CB •CD ,∴2CB •CD =(CB +CD )2-(CB 2+CD 2)= (7√23)2−509=163∴S=12⋅CB⋅CD=43.所以答案是:43小提示:本题考查了最短路径和勾股定理及一次函数的性质,解题关键利用轴对称确定最短路径,结合勾股定理来解决问题.13、若点P(a-1,5)与点Q(5,1-b)关于原点成中心对称,则a+b=___.答案:2分析:根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0,5+1-b=0,求出a、b,问题得解.解:∵点P(a-1,5)与点Q(5,1-b)关于原点成中心对称,∴a-1+5=0,5+1-b=0,∴a=-4,b=6,∴a+b=2.所以答案是:2小提示:本题考查了关于原点对称的点的坐标特点,熟知“两个点关于原点对称,则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键.14、如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O,连接AO,则AO=_____.答案:7√2;分析:连接AO、BO、CO,过O作FO⊥AO,交AB的延长线于F,判定△AOC≌△FOB(ASA),即可得出AO=FO,FB=AC=6,进而得到AF=8+6=14,∠FAO=45°,根据AO=AF×cos45°进行计算即可.解:连接AO、BO、CO,过O作FO⊥AO,交AB的延长线于F,∵O是正方形DBCE的对称中心,∴BO=CO,∠BOC=90°,∵FO⊥AO,∴∠AOF=90°,∴∠BOC=∠AOF,即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA,∴∠AOC=∠FBO,∵∠BAC=90°,∴在四边形ABOC中,∠ACO+∠ABO=180°,∵∠FBO+∠ABO=180°,∴∠ACO=∠FBO,在△AOC和△FOB中,{∠AOC=∠FOBAO=FO∠ACO=∠FBO,∴△AOC≌△FOB(ASA),∴AO=FO,FB=FC=6,∴AF=8+6=14,∠FAO=∠OFA=45°,∴AO=AF×cos45°=14×√22=7√2.故答案为7√2.小提示:本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形,然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算.15、如图,在正方形网格中,格点ΔABC绕某点顺时针旋转角α(0<α<180°)得到格点ΔA1B1C1,点A与点A1,点B与点B1,点C与点C1是对应点,则α=_____度.答案:90°分析:先连接CC1,AA1,作CC1,AA1的垂直平分线交于点E,连接AE,A1E,再由题意得到旋转中心,由旋转的性质即可得到答案.如图,连接CC1,AA1,作CC1,AA1的垂直平分线交于点E,连接AE,A1E,∵CC1,AA1的垂直平分线交于点E,∴点E是旋转中心,∵∠AEA1=90°,∴旋转角α=90°.故答案为90°.小提示:本题考查旋转,解题的关键是掌握旋转的性质.解答题16、如图,在平面直角坐标系中,已知点B(4,2),BA⊥x轴于A.(1)画出将△OAB绕原点顺时针旋转90°后所得的△OA1B1,并写出点A1、B1的坐标;(2)画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2,并写出点A2、B2的坐标.答案:(1)图见解析,A1(0,﹣4),B1(2,﹣4)(2)图见解析,A2(﹣4,0),B2(﹣4,﹣2)分析:(1)根据旋转先找到找到A1,B1点,再进行连线即可;(2)根据关于原点对称的点特征,找到A2,B2点,再进行连线即可;(1)如图所示,△OA1B1即为所求,由图知,A1(0,﹣4),B1(2,﹣4);(2)如图所示,△OA2B2即为所求,A2(﹣4,0),B2(﹣4,﹣2).小提示:本题考查坐标系下图形的旋转,对称作图,根据找点,描点,连线的方法进行作图即可.17、已知:BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,BE=AF.(1)如图1,求证:四边形ADEF是平行四边形;(2)如图2,若△ABC为等边三角形,在不添加辅助线的情况下,请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形.答案:(1)证明见解析(2)等边△ABC,等边△BEF,等边△CDE,等腰△BDE,等腰梯形ABED,等腰梯形ACEF分析:(1)由角平分线可知∠ABD=∠CBD,由平行可知∠BDE=∠ABD,可得∠CBD=∠BDE,DE=BE= AF,进而结论得证;(2)由题意可得四边形ADEF是菱形,D,E,F是等边三角形的中点,然后根据在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形;在平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形;对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可.(1)证明:∵BD是△ABC的角平分线∴∠ABD=∠CBD∵DE∥AB∴∠BDE=∠ABD∴∠CBD=∠BDE∴DE=BE=AF∵DE∥AF,DE=AF∴四边形ADEF是平行四边形.(2)解:由(1)知四边形ADEF是平行四边形∴EF∥AC∵△ABC是等边三角形∴∠EFB=∠C=∠B=60°∴BE=EF=DE∴四边形ADEF是菱形∴AF=BF,BE=CE,CD=AD∴D,E,F是等边三角形的中点∴BG⊥EF,BD⊥EF∴由轴对称图形与中心对称图形的定义可知,是轴对称图形但不是中心对称图形的有:等边△ABC,等边△BEF,等边△CDE,等腰△BDE,等腰梯形ABED,等腰梯形ACEF.小提示:本题考查了角平分线,等腰三角形的判定与性质,等边三角形的判定性质,平行四边形的判定与性质,菱形的判定与性质,轴对称图形,中心对称图形等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.18、如图①,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,四边形EFGH是正方形,EH与BD重合,将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转.(1)旋转至如图②位置,使点G落在BC的延长线上,DE交BC于点L.已知旋转开始时,即图①位置∠CDG=37°,求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时,旋转角的度数.(2)旋转至如图③位置,DE交BC于点L.延长BC交FG于点M,延长DC交EF于点N.试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系,并给予证明.答案:(1)16°(2)DL=EN+GM,见解析分析:(1)根据题意易求出∠BDC=53°.在图②中连接BD.根据旋转结合正方形性质即得出BD=DE= DG,∠DCB=90°.根据等腰三角形三线合一的性质即可得出∠BDC=∠CDG=53°,从而可求出∠CDE的大小,进而即可求出∠BDE的大小,即旋转角.(2)在图③中,过点G作GK//BM,交DE于K,由正方形的性质可得出∠DEF=∠GDE,DE=DG.又易证GK⊥DN,即得出∠NDG+∠EDN=90°,∠NDG+∠DGK=90°,从而得出∠EDN=∠DGK,由此可证明△DKG≌△END(ASA),得出EN=DK.由GK//ML,KL//GM,可判定四边形KLMG是平行四边形,得出结论GM=KL,从而即可证明DL=EN+GM.(1)由图①知,∠BDC=90°−∠CDG=90°−37°=53°,如图②,连接BD,根据旋转和正方形性质可知BD=DE=DG,∠DCB=90°.∴∠BDC=∠CDG=53°,∴∠CDE=90°−∠CDG=90°−53°=37°,∴∠BDE=∠BDC−∠CDE=53°−37°=16°,∴旋转角为16°;(2)DL=EN+GM,理由如下:如图③,过点G作GK//BM,交DE于K,∵四边形EFGD是正方形,∴∠DEF=∠GDE,DE=DG.∵GK//BM,DN⊥BM,∴GK⊥DN,∴∠NDG+∠EDN=90°,∠NDG+∠DGK=90°,∴∠EDN=∠DGK,∴△DKG≌△END(ASA),∴EN=DK,∵GK//ML,KL//GM,∴四边形KLMG是平行四边形,∴GM=KL,∴DL=DK+KL=EN+GM.小提示:本题考查正方形的性质,旋转的性质,平行线的判定和性质,三角形全等的判定和性质以及平行四边形的判定和性质,综合性较强.正确的做出辅助线以及利用数形结合的思想是解题关键.。

人教版九年级数学上册知识点总结:第二十三章旋转

人教版九年级数学上册知识点总结:第二十三章旋转

人教版九年级数学上册知识点总结第二十三章旋转23.1 图形的旋转知识点一旋转的定义在平面内,把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,就叫做图形的旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。

知识点二旋转的性质旋转的特征:(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前后的图形全等。

理解以下几点:(1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

(2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等。

(3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置。

知识点三利用旋转性质作图旋转有两条重要性质:(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(2)对应点到旋转中心的距离相等,它是利用旋转的性质作图的关键。

步骤可分为:①连:即连接图形中每一个关键点与旋转中心;②转:即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)③截:即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点;④接:即连接到所连接的各点。

23.2 中心对称知识点一中心对称的定义中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。

注意以下几点:中心对称指的是两个图形的位置关系;只有一个对称中心;绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。

知识点二作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形,关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。

最后将对称点按照原图形的形状连接起来,即可得出成中心对称图形。

知识点三中心对称的性质有以下几点:(1)关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心,并且都被对称中心平分;(2)关于中心对称的两个图形能够互相重合,是全等形;(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或共线)且相等。

【人教版九年级上册数学上册】23.4旋转小结

【人教版九年级上册数学上册】23.4旋转小结
2.如图,等腰三角形OBD中,OD=BD,△OBD绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OAC,此时点B,D,C在同一直线上,且点D是BC的中点.(1)求△OBD旋转的角度;(2)求证:四边形ODAC是菱形.
证明:(2) ∴ △ACD是等边三角形,∴OD=OC=AC=AD,∴四边形ODAC是菱形.
3.如图,将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE,DE的延长线与AC相交于点F,连接DA,BF,∠ABC=α=60°,BF=AF.(1)求证:DA∥BC.(2)猜想线段DF,AF的数量关系,并证明你的猜想.
D
4.如图,在边长为1的正方形组成的网格中,每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上,建立如图所示的平面直角坐标系,点A,B的坐标分别是A(3,2) ,B(1,3).
(1) 将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A格中的画图问题,要充分利用网格的特殊性找准对应点.
5.如图,有一张不规则纸片,若连接EB,则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD,请你用无刻度的直尺画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分,并说明理由.
解: 矩形FABE是中心对称图形,矩形 BCDE也是中心对称图形,所以经过它们中心的直线把图形分成全等的两部分,面积相等.如图直线 l 既经过矩形FABE的中心,又经过菱形BCDE的中心,所以它把纸片分成面积相等的两部分.
l
过中心对称图形的对称中心的直线可以将图形分成面积相等的两部分.
6.从前有一个财主,他有一块平行四边形的土地(如图),地里有一个圆形池塘.财主立下遗嘱:要把这块土地平分给他的两个儿子,中间池塘也平分.财主的两个儿子不知怎么做,你能想个办法吗?
解:先找到平行四边形的两条对角线的交点A,过A,B两点作一条直线就可以了.

23章旋转小结复习(课堂PPT)

23章旋转小结复习(课堂PPT)
4
2.典型例题
例1 (1)如图,△ABC 为等边三角形,D 是 △ABC 内一点,若将△ABD 经过旋转后到△ACP 位置, 则旋转中心是______,旋转角等于_____度,△ADP 是 ______三角形.
A
P
D
B
C
2.典型例题
例1 (2)如图,正方形 ABCD 中,E 是 AD 上一 点,将△CDE 逆时针旋转后得到△CBM.则旋转中心是 ______,△CDE 旋转了___度,△CEM 是_____三角形.
23章旋转复习
1
课件说明
• 学习目标: 1.总结和复习图形旋转、中心对称的基本性质的应 用及两个点关于原点对称时坐标之间的关系; 2.注意复习平移、轴对称、旋转的联系和区别,旋 转和中心对称的联系和区别,运用图形旋转、中 心对称的基本性质解一些简单问题.
• 教学重点: 复习图形旋转的基本性质和中心对称的基本性质及两 个点关于原点对称时,它们坐标之间的关系.
D
C
E
A
M
B
练习
如图,点E为正方形ABCD的边CD上一点,AB=5,
DE=6。△DAE旋转后能与△DCF重合,(1)旋
转中心是哪一点?(2)旋转了多少度?(3)如
果连接EF,那么△DEF是怎样的三角形?(4)四
边形DEBF的周长和面积?
F
D
C
AE
B 7
4.简单图形的旋转作图 :
(1)确定旋转中心; (2)确定图形中的关键点; (3)将关键点沿指定的方向旋转指 定的角度; (4)连结各点,得到原图形旋转 后的图形.
(一)图形的旋转 1.旋转的定义:
在平面内,将一个图形绕一个定点沿某 个方向转动一个角度,这样的图形变换称 为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的 角称为旋转角. 注意: 在旋转过程中保持不动的点是旋转中心.

九年级数学上册 第23章 旋转小结与复习教案 (新版)新人教版

九年级数学上册 第23章 旋转小结与复习教案 (新版)新人教版

第二十三章《旋转》小结一、旋转变换1、旋转的定义把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。

点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角,如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

2、旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等。

(旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。

)(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

(3)旋转前、后的图形全等。

3、作旋转后的图形的一般步骤(1)明确三个条件:旋转中心,旋转方向,旋转角度;(2)确定关键点,作出关键点旋转后的对应点;(3)顺次连结。

4、欣赏较复杂旋转图形图形是由什么基本图形,以哪个点为中心,按哪个方向(顺时针或逆时针)旋转多少度,连续旋转几次,便得到美丽的图案。

5、有关图形旋转的一些计算题和证明题二、中心对称1、中心对称的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

2、中心对称的性质(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心平所平分。

(2)关于中心对称的两个图形是全等形。

3、作中心对称和图形的一般步骤(1)确定“代表性的点”;(2)作出每个代表性的点的对应点;(3)顺次连结。

三、中心对称图形1、中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心,过对称中心的直线,可以把图形分成完全重合的两部分。

2、中心对称图形的识别常见的几何图形,如:线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆,26个大写英文字母(7个),正多边等要会识别,并指出对称中心。

3、两个图形成中心对称和中心对称图形的区别与联系区别:(1)中心对称是指两个图形的位置关系,而中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形。

第23章旋转小结与复习课件

第23章旋转小结与复习课件
所连线段都经过 对称中心,并且被对称中心__平___分__.
3. 中心对称图形 把一个图形绕某个点旋转 180°,如果旋转后的图形能与 本来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点 叫做它的对称中心.
第23章 小结与复习
4.关于原点对称的点的坐标
两点关于原点对称时,它们的对应坐标互为相反数,即点 P(x ,y) 关于原点的对称点为 P′(-x , -y ).
(2) 旋转作图时要明确三个方面:旋转中心、 旋转角度及旋转方向 (顺时针或逆时针).
第23章 小结与复习
考点二 旋转变换 例3 如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,点 D,E 分别 在 AB,AC 上,CE = BC,连接 CD,将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90° 后得 CF,连接 EF. (1)补充完成图形; (2)若 EF∥CD,求证:∠BDC = 90°.
A2
易错提示:旋转作图不要搞错方向.
B2
第23章 小结与复习 考点三 中心对称
例 5.(2021·黄冈中考)下列图形中,是轴对称图形 但不是中心对称图形的是( A ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.圆
第23章 小结与复习
例 6.数学世界奇妙无穷,其中曲线是微分几何的 研究对象之一,下列数学曲线既是轴对称图形,又 是中心对称图形的是( C )
第23章 小结与复习
解析:(1) 因为旋转角 90°,故用直角三角板及圆规可快速确定
对应点的位置;(2) 先根据关于原点对称的点的坐标确定对称顶点
的坐标,再依次连接得到所要画的图形.
解:(1) 如图所示.
y
A1
B
(2) 如图所示,
点 A2 的坐标为(-3,-2),

第23章旋转的复习与小结

第23章旋转的复习与小结

DB第二十三章 旋转小结与复习 【2306】班别:_________ 姓名:_________ 学号:__________一、基础知识回顾: 1.基本概念:(1)旋转:在平面内,将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动 ,这样的图形运动称为 .这个定点称为 ,转动的角称为 ; (2)中心对称:把一个图形绕着某一点旋转1800,如果它能够与 ,那么就说这两个图形关于这个点对称或 ,,这个点叫做对 ,这两个图形中的对应点叫做关于中心的 .(3)中心对称图形:如果一个图形绕着它的中心点旋转180°后能与 ,那么这个图形叫做 ,这个中心点叫做 。

2.主要性质: 旋转的主要性质:(1)对应点到旋转中心的距离 ;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ; (3)旋转前、后的图形 . 中心对称的性质:(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过 ,且被对称中心 。

(2)关于中心对称的两个图形是 。

(3)点P (x,y )关于原点对称的点的坐标是______ . 二、典型例题精讲例1.如图,如果把钟表的指针看做三角形OAB ,它绕O 点按顺时针方向旋转得到△OEF ,在这个旋转过程中:(1)旋转中心是__________,旋转角是_________(2)经过旋转,点A 、B 分别移动到__________.例2.如图,△ABC 绕C 点旋转后,顶点A 的对应点为点D ,试确定顶点B•对应点的位置, 以及旋转后的三角形.例3.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且DE=14,△ABF是△ADE的旋转图形.(1)旋转中心是________;(2)旋转了_______°(3)AF的长度是________;(4)如果连结EF,那么△AEF是怎样的三角形?______________例4.如图,ABC△中(23)A-,,(31)B-,,(12)C-,.(1)将ABC△向右平移4个单位长度,画出平移后的111A B C△;(2)画出ABC△关于x轴对称的222A B C△;(3)将ABC△绕原点O旋转180,画出旋转后的333A B C△,并写出其三个顶点的坐标。

第二十三章旋转小结

第二十三章旋转小结

腾六中初三数学备课组点P(x,y)关于原点对称的点的坐标是P′(-x,-y).(或的知识模块一旋转的概念及性质典例1:在平面直角坐标系内,点(-5,7)绕原点O逆时针旋转90°后的坐标为(A)A.(-7,-5)B.(5,7)C.(7,5)D.(7,-5)典例2:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,F分别在AB,AC上,CF=CB.连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,连接EF.求证:△BCD≌△FCE.证明:∵CD绕点C顺时针方向旋转90°得CE,∴CD=CE,∠DCE=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCD=90°-∠ACD=∠FCE.在△BCD 和△FCE 中,⎩⎨⎧CB =CF ,∠BCD =∠FCE ,CD =CE ,∴△BCD ≌△FCE.知识模块二 中心对称、中心对称图形的概念以及性质 典例3:下面四个标志是中心对称图形的是( B )典例4:如图,△ABC 与△A′B′C′关于点O 成中心对称,则下列结论不成立的是( D )A .点A 与点A′是对称点B .BO =B′OC .AB ∥A′B′D .∠ACB =∠C′A′B′一、<<优佳学案》P76-----P80二、1.如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的图形,则每次旋转的度数可以是( )A .900B .600C .450D .3002.如图,下面的四个图案中,既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称的是( )3. 已知点A(2m ,-3)与B(6,1-n)关于原点对称,求出m 和n 的值.4. 3.对于正n 边形,当边数n 为奇数时,它是 图形,但不是 图形;当边数n 为偶数时,它既是 图形,又是 图形.正n 边形有 条对称轴.。

第二十三章旋转章末小结课件

第二十三章旋转章末小结课件
交点即为旋转中心,作出旋转中心,可得结论;
如图,点Q即为所求,Q(1,-1);
2 中心对称图形典型应用
例7.如图,平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作
△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1于点B2成中
心对称,如此作下去,则△B2020A2021B2021的顶点A2021的坐标是___________.
(2)将△A1B1C1向右平移5个单位长度,得到△A2B2
C2,画出△A2B2C2;
(2)解:∵由图可知:A1(-2,2), B1 (-1,4),
C1 (-4,3),
∴将△A1B1C1向右平移5个单位长度,得到A2
(3,2), B2 (4,4), C2 (1,3),
如图所示:△A2B2C2,即为所求;
(2)将△A1B1C1向右平移5个单位长度,得到
△A2B2C2,画出△A2B2C2;
(3)如果△ABC可以通过一次旋转得到△A2B2C2,
则旋转中心的坐标是

3 关于原点对称的点的坐标
例10.如图,在每个小正方形的边长为1个单位的网格中,△ABC的顶点均在
格点上,点A的坐标是(1, -4).
(1)作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1;
夹角等于旋转角.旋转前、后的图形全等.
理解两点:
1.旋转三要素:
旋转中心、旋转方向、旋转角;
2.旋转中心可以是图形上的某一点,
也可以是图形内或图形外的某一点.
三、旋转作图的条件:
(1)有原图形
(2)有旋转中心
四、旋转作图的步骤:
(1)确定图形的关键点;
(2)作出旋转后的对应点;
(3)顺次连线即可.

第二十三章 旋转章末复习小结(1)基本知识

第二十三章  旋转章末复习小结(1)基本知识
都不止一条.
课堂练习
4.直角坐标系中,点A(﹣3,4)与点B(3,﹣4)关于( C )
A.x轴轴对称B.y轴轴对称C.原点中心对称D.以上都不对
5.已知点P(2+m,n-3)与点Q(m,1+n)关于原点对称,则m-n
的值是( D )
A.1 B.-1
C.2
D.-2
课堂练习
6.如图,在边长为1的正方形组成的网格中,每个正方形的顶点称为
人教版.九年级上册
第二十三章 旋转章末复习小结(1 )
基本知识
学习目标
1.梳理本章的知识要点,回顾与复习本章知识; 2.进一步明确旋转、中心对称、中心对称图形的概念及性 质,并会作图; 3.能熟练说出一个点关于原点对称的坐标; 4.能灵活应用平移、旋转、轴对称变换进行图案设计,体 会数学的美感.
复习巩固 本章知识结构图
3.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转90°能与△ADE重合,点D在 线段BC的延长线上,若∠BAC=20°,则∠AED的大小为( D )
A.135° B.125° C.120° D.115°
知识梳理
知识点2 中心对称有关概念 把一个图形绕着某一个点旋转 180° ,如果它能与另一个图形 重合,那么就说这两个图形成 中心对称 ,这个点叫做对称中心, 这两个图形中的对应点叫做关于中心的 对称点 . 知识点3 中心对称的性质
绕着某一点旋转180° 能够与另一个图形重合
对称点所连线段都经过对称中心, 而且被对称中心所平分。 中心对称的两个图形是全等图形。
图案设计 利用平移、轴对称、旋转进行图案设计
格点.已知△AOB的顶点均在格点上,建立如图所示的平面直角坐标
系,点A、B的坐标分别是A(3,2) 、B(1,3).

九年级数学上册第二十三章旋转章末小结

九年级数学上册第二十三章旋转章末小结
后图案.
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例4 一财主有一块平行四边形土地,地里有一个圆 形池塘.财主立下遗嘱:要把这块土地平分给他两 个儿子,中间池塘也要平分,但不知怎么做,你能 帮忙想个方法吗?
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五、归纳小结
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章末小结
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一、整体把握
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二、加深了解
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三、复习新知
例1 如图,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°,得到
Rt△AB′C′,点C′恰好落在斜边AB上,连接BB′,则
∠BB′C′= 20°.
分析:依据旋转性质可得 AB=AB′,∠BAB′=40°,然后 依据等腰三角形两底角相等求 出∠ABB′,再利用直角三角形 两锐角互余列式计算即可得 解.
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例2 如图,在平面直角坐标系中,将线段AB绕点A按 逆时针方向旋转90°后,得到线段AB′,则点B′坐标 为 (4,2) .
分析:抓住旋转三要素: 旋转中心A,旋转方向逆 时针,旋转角度90°, 经过画图得B′坐标.
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例3 在方格纸上按以下要求作图,不用写作法: (1)作出“小旗子”向右平移6格后图案. (2)作出“小旗子”绕O点按逆时针方向旋转90°
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