测度与积分知识结构整理

约定G 和O 为开集，F 为闭集，Ω为开覆盖，函数:,,f X Y <ρ><σ> 。

以下所有概念均在一个度量空间X 中讨论。

第七章 度量空间
定义 E 的闭包点E ：点x X ∈，,..y E s t ∀δ>0,∃∈ρ（,x y ）<δ。

E ⊂E 。

定义 度量空间X 可分:由可数个点构成的稠密子集D ，即D X =。

命题 度量空间可分⇔∃可数开集族{}i O ，s.t.∀O ⊂X ，O=
i i
O O O ⊂ 。

定义 函数f f 在点x 连续：0,0,..x y (),()]s t f x f y ∀ε>∃δ>ρ()<δ,σ[<ε若，则。

f 连续则f 在每一点连续。

命题 1O Y []f f O X -⇔∀⊂⊂连续，是一个开集。

定义 f 为X 与Y 间的同胚：f 双射，连续且f -1连续。

若X 与Y 间存在一个同胚，称X 与Y 是同胚的。

（拓扑学本质上是研究在同胚下保持不变的性质，这样的性质称为拓扑的。

根据开集定义的性质都是一个拓扑性质。

一致性质，在一致同胚下保持不变的性质；度量性质，在等距同构下保持不变的性质）
定义 X 与Y 之间的等距同构（保持距离不变的同胚）：在某个同胚下，∀x 1.x 2∈X ,1212h(x ),h(x )]=x σ[ρ(),x 。

若X 与Y 之间存在一个等距同构，X 和Y 是等距的。

定义 ρ和σ是等价度量：≺X, ρ≻ ≺X,σ≻映上的恒同映射id X 是一个同胚（⇔若集合O 在≺X, ρ≻是开的，则在≺X,σ≻也是开的）。

定义 ≺x n ≻收敛于点x ：0,,..(,)n N n N s t x x ∀ε>∃∀≥ρ<ε，，即关于x 的每个球包含了该序列除有限项外的一切项。

定义 聚点：关于x 的球包含序列的无限项，（,..(,)n n N s t x x ∀ε>0,∀N,∃≥ρ<ε） 定义 柯西序列：0,,..,,(,)m n N s t m n N x x ∀ε>∃∀>ρ<ε。

若每个柯西序列都收敛，则称该空间是完备的。

定理 若≺X, ρ≻不完备度量空间，则∃是完备度量空间，则X 可作为一个稠密子集等距嵌入X *。

若X ⊂Y （任意完备空间），则X *等距于X 在Y 中的闭包。

定义 f 一致连续：s t.x,x',x,x'f(x),f(x')∀ε>0,∃δ>0,.∀ρ()<ε,ρ()<δ若则。

命题 f 一致连续⇒若≺x n ≻是柯西序列，则<f ( x n )>也是柯西序列。

定义 同胚f 称为一致同胚：f ，f -1一致连续。

（一致性质：在一致同胚下保持不变的性质） 定义 ρ和σ一致等价（与等价比较）：≺X, ρ≻→≺X,σ≻映上的恒同映射是一致同胚。

（s.t.x,y,x,y x,y x,y x,y ∀ε>0,∃δ>0,∀ρ()<δ⇒σ()<εσ()<δ⇒ρ()<ε且）
命题 Y 完备，E ⊂X ，f ：E →Y ，f 一致连续，则∃！连续映射g ：E →Y,∀x ∈E, f (x)=g(x)（即g 是f 的扩张）,且g 是一致连续的。

定义 S 是X 的一个子空间：S 是X 的一个子集，∀ x ，y ∈S ⊂X ，ρ|S (x,y)=ρ|X (x,y)。

（相对闭包的概念，E ⊂S ，则E 在S 中的闭包和E 在X 中的闭包通常是不一样的。

但如果x 是E 在X 闭包上的点，则若它属于S 它就是E 在S 闭包上的点）
命题 S 是X 的子空间，E |S =E |X ∩S 。

集合A ⊂S 相对S 闭⇔∃F 是X 的闭集，A=S ∩F 。

集合A ⊂S 相对S 开⇔∃O 是X 的开集，A=S ∩O 。

命题 可分度量空间的每个子空间都是可分的。

命题 若度量空间X 的子集A 完备，则A 闭；完备度量空间的闭子集A 完备。

定义 X 紧空间：X 的每个开覆盖Ω有一个有限子覆盖，即∃有限簇{O 1，O 2，…，O N }⊂Ω，s.t.X ⊂1N i i O = 。

（⇔1211{X},,{,,...,}N
i i N i
i i F F F F F F ≥=∀⊂=∅∃=∅ 闭集簇，） 定义 X 中集簇ß具有有限交性质：ß任何有限子集簇有非空交。

命题 X （度量空间）是紧的
⇔每个具有有限交性质的闭集簇ß有一个非空交集
⇔X 有波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质（X 的每一个无限序列<x n >至少有一个聚点，即 ,..(),,,n x X s t O x O N n N x O ∃∈∀∈∀∃≥∈）
⇔X 序列紧（X 的每个序列< x n >均有收敛的子序列<k n x >）【比较波尔查诺-魏尔斯特
拉斯性质和序列紧的定义】
⇔完备+全有界 （∀ε>0,存在有限点簇{x 1，…，x n }使得∀x ∈X ，x 与某个x k 的距离不超
过ε⇔∀ε>0，X 被有限个半径为ε的球覆盖）
定理 f 定义在紧空间的连续实值函数，则f 有界且取到最小值和最大值。

引理 序列紧空间全有界（12,10,{,,...,},,N N i i x x x x X x B
ε=∀ε>∃∀∈∈ 有限点簇）
定义 ε为开覆盖Ω的勒贝格数：,,()x x X x O x B O δ∀∈∈⊂Ω∀δ<ε∃⊂且，的开球，即δ与x 无关。

（以下命题表明δ在序列紧空间中一定存在）
命题 紧空间X 的开覆盖Ω，则,0,..,,,x s t x X O B δ∃ε>∀∈∀δ<ε∃∈Ω∈O 。

命题 紧空间的闭子集紧。

度量空间的紧子集闭且有界。

紧集的连续像是紧的。

（比较命题 若度量空间X 的子集A 完备，则A 闭；完备度量空间的闭子集A 完备。

）
系 实数的每个紧集闭且有界
命题 连续映射f ：紧度量空间X →度量空间Y ，⇒f 一致连续。

定义 E 是无处稠密的：c E （）稠密⇔E 不包含非空开集
定义 E 是第一范畴的：E 是可数无处稠密集簇的并
E 是第二范畴的：不是第一范畴的集合。

第一范畴集的补集称为剩余的。

性质 第一范畴集的可数并和子集都第一范畴集
定理 {O k }是X （完备度量空间）的可数稠密开子集簇，则∩O n 稠密（X 完备度量空间，则X 的任意非空开子集都不是第一范畴的）
命题 O 开F 闭，O ~O F~F
和无处稠密。

完备度量空间中闭F 是第一范畴集，则F 无处稠密
命题 完备度量空间的子集K 是剩余集⇔K 包含一个稠密的G δ。

完备度量空间的子集E 是第一范畴集⇔E 包含在一个F σ中，其补集是稠密的
命题 {F n }是可数闭集簇，X=∪F n ，则O=n F 是剩余开集。

若X 是完备度量空间，则O 稠密 命题 一致有界原理：ß为完备度量空间X 的实值连续函数族，且∀x ∈X ，∃M x ，s.t.∀f ∈ß，|f(x)|< M x 。

∃非空开集O ⊂X 和常数M ，s.t. ∀f ∈ß，∀x ∈O ，|f(x)|< M
命题 <X,ρ>完备度量空间，E ⊂X 是一个G δ，则∃E 的度量σ，σ等价于ρ，且<E,σ>是完备度量空间
命题 E ⊂X （拓扑空间），连续映射f ：E →完备度量空间<Y,σ>。

则f 可以扩张为连续函数f *：E *→Y ，其中f *定义在上，E ⊂E *，且为G δ
命题 E 为豪斯多夫空间的稠密子集，E 同胚与完备空间<Y,σ>,则E 是一个G δ 系 度量空间的子集E 同胚于完备度量空间Y ，则E 是一个G δ
定义 度量空间X 到度量空间<Y,σ>的函数族ß等度连续：0,O,x O ∀ε>∃∈开，y O ∀∈，∀∈f ß， ..f(x),f(y)s t σ[]<ε
引理 <f n >:可数集D →度量空间Y ，使得∀x ∈D 集合{ f n (x)：0≤n<∞}的闭包是紧的，则存在子序列< f nk >在D 中的每个x 收敛。

引理 K 为紧度量空间，且<f n >为到度量空间Y 的等度连续函数序列，∀x ∈K ，f n (x)→f ，则在K 上<f n >一致收敛于f 。

定理（Ascoli ）可分空间X 到度量空间Y 的等度连续函数族ß ，令<f n >为ß中的序列s.t.∀x ∈X 集合{ f n (x)：0≤n<∞}的闭包是紧的，则存在子序列< f nk >点态收敛于连续函数f ，且在X 中的每个紧集上一致收敛。

系 可分空间X 上的实值等度连续函数族ß中，在每一点都有界的序列<f n >有一个子序列< f nk >逐点收敛于连续函数，且在X 的每个紧子集上一致收敛。

第八章 拓扑空间
定义 一个拓扑空间<X,Г>:一个非空点集X 与一个子集族Г，满足：
i)X ∈Г，Ø∈Г。

ii)O 1∈Г,O 2∈Г⇒O 1∩O 2∈Г。

iii ）O α∈Г⇒O
αα∈Γ 。

族Г称为集合X 的一个拓扑。

（拓扑是一个子集族）。