静磁场

举例讨论用 A 计算
[例1]无穷长直导线载电流I，求空间的矢势 A 和磁场B
。
取导线沿z轴，设p点到导线的垂直距离为R，电流元 Idz到p点距离为 R2 z 2
Az 4


↑I I 2 2 dz ln(z z R ) R 2 z 2 4
2 与静电场 比较引入 m 0 M 0 m 2 m m H 0
0
B 0 ( H M ) 0 H 0 M 0 2 2 H m M m M
3． B的解
已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一 般电流分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求 解矢量泊松方程。
J ( x) 1 B A ( )dV J ( x)dV 4 V r 4 V r J ( x) r dV 这正是毕奥-- 萨伐尔定律 3 4 V r
2．在电流为零区域引入磁标势可能非单值。 原因：静电力作功与路径无关， L E dl 0 引入的电势是单值的； 而静磁场 H dl 一般不为零，即静磁场 L 作功与路径有关，即使在能引入的区域标 势一般也不是单值的。


二．引入磁标势的条件
显然只能在 H 0 区域引入，且在引入区域中
I R A( p) ln ez 2 R0
取A的旋度，得磁感应强度 I R I R B A ln e z I ln R e ln e z z 2 R0 2 R0 2 R0 I R ln e z I (ln R ln R0 ) e z 2 R0 2 I 1 I I eR ez ez eR e 2 R 2R 2R 结果与电磁学求解一致。
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
1 ② A J 不是能量密度。 2
③ 导出过程 ( f g ) ( f ) g f ( g ) B H ( A) H ( A H ) A ( H )
4． A 的边值关系 * （a） n ( B2 B1 ) 0 n ( A2 A1 ) 0
n
2
1
以上边值关系也可用较简单的形式代替：

A dl ( A2t A1t )l L A dl B dS 0
B dS1 B (dS2 ) 0 S S1 S2 dS S1B dS SB 2 （c）物理意义 A dl B d S
L S
B dS 0
L
dS2
它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的 任一曲面的磁通量。只有 A 的环量有物理意义，而 每点上的A(x)值没有直接的物理意义。 ３、矢势的不唯一性 A A A A () A B
A
y
x
5．矢量泊松方程解的唯一性定理 定理：给定V内传导电流 J 和V边界S上的 At 或 Bt 2 V 内稳恒电流磁场由 A J 和边界 条件唯一确定。
三．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质 中总能量为
1．在稳恒场中有
1 W B HdV 2
1 W A JdV 2
第三章
静磁场
本章重点：
1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁 场的能量 2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程
与静电势方程的比较
3、了解A-B效应和超导体的电磁性质（自学）
§1 矢势及其微分方程
一、稳恒电流磁场的矢势
1．稳恒电流磁场的基本方程 稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不 随时间变化的磁场。 边值 n ( H 2 H 1) H J 基本方程 关系 n ( B 2 B1 ) 0 B 0
例 2 求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形
回路的半径为a，回路中的电流为I 。
解 如图所示，由于具有轴对称性，矢
P r θ R
z
量磁位和磁场均与无关，计算xz平面
上的矢量磁位与磁场将不失一般性。
I a y
x
r dl
小圆环电流
对于远区，有r >> a ，所以
于是得到
L S
A2t A1t
A1 A2
即在两介质的分界面 上，矢势A是连续的。
由矢势A的规范条件：
A=0
A1n A2n
（b） n ( H 2 H 1 ) 1 1 n( A2 A1 )
z
A
y
2 特殊情况：
r r 由于在 =0面上 ey e ，所以上式可写成
2 S = π a 式中 是小圆环的面积。
r r 载流小圆环可看作为磁偶极子，pm IS 为磁偶极
子的磁矩（或磁偶极矩），则
或
第三章第二节
磁标势
§2. 磁标势
一．引入磁标势的两个困难
H = J
1．磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。
Idz
积分结果是无穷大（发散的）， 计算两点的矢势差值可以免除发 散，若取R0点的矢势值为零
Az ( p ) Az ( p 0 ) lim
z o
M
R
P
I z ln M 4 z
z R
2
2
2 z 2 R0
M
2 M2 1 1 R 2 M 2 1 1 R0 I lim ln 2 2 2 2 M 4 1 1 R0 M 1 1 R M
1
① 若分界面为柱面，柱坐标系中当
x
A Aez ez
e
1 A1 1 A2 1 r 2 r
② 若分界面为球面，当
A Ae
z
1 1 1 [ (rA1 ) (rA2 )] r 1 r 2 r
任何回路都不能与电流相链环。
语言表述：引入区域为无自由电流分布的单连通域。 单连通域: 其内任一闭合回路可以在三维空间中连 续变形缩至一点。 用公式表示:

L
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H dl 0
L
讨论：
1）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；
2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。
三．磁标势满足的方程
可以证明：
Wi ( A J e ) dV ( Ae J ) dV
静磁场的主要问题： 1. 给定自由电流分布求磁场的问题； 本节所涉及的问题属于1类，其中通过矢势A求磁 场的一般方法有以下两种： a）若全空间的电流分布均为已知，利用 J ( x )dV A 4 V r 先求出矢势A，再利用 B A 求出磁场。 b）在某些问题中，存在不同介质的分界面，由于分 界面上的磁化电流是未知的，则必须求泊松方程 2 A J 满足给定边值问题的解，然后求B. 2. 求电流系统的能量以及电流系统在外磁场中受力 的问题。
2 1 R02 R 2 R I 0 4 M 2 lim ln 2 2 M 4 2 1 R0 R R 4 M2 0
I R A( p) A( p0 ) ln ez 2 R0
I R 2 I R I R 0 0 ln 2 ln ln 2 R 2 R0 4 R

1 A JdV 2

2.电流分布在外磁场中的相互作用能 设 J e为外磁场电流分布， Ae 为外磁场的矢势；J 为 处于外磁场 Be 中的电流分布，它激发的场的矢势
为 A 。总能量：
1 1 W ( A Ae ) ( J J e )dV ( A J )dV 2 2 1 1 ( Ae J e )dV ( A J e Ae J )dV 2 2 最后一项称为相互作用能，记为 Wi


2 Ai J i
i 1,2,3
（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程
（2）与静电场中 形式相同 （3）矢势为无源有旋场
2．矢势的形式解
A 4

V
J ( x )dV r
通过类比
1 ( x )dV 4 V r J i ( x)dV Ai 4 V r
令 A 0 可减少矢势的任意性
满足的方程？
二．矢势满足的方程及方程的解 1．A 满足的方程 B H H J
B
A 0
2 A J
2


1

1 1 2 B ( A) [( A) A] J
1．引入磁标势区域磁场满足的场方程
H 0 B 0 B H M f ( H ) 0 0
不仅可用于均匀各向同性非铁磁介质，而 且也可讨论铁磁介质或非线性介质。 2．引入磁标势
m H m
3． m 满足的泊松方程
本节仅讨论 B H 情况，即非铁磁的均匀介质。这
种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。
实际上当建立一个与电荷一起运动的参照系时， 在这个参照系中观测，只有静电场。
2．矢势的引入及意义
静电场 E 0
稳恒电流磁场
B 0
物理意义：
H J
A
( A H ) A J
V ( A H )dV (A H ) dS 0(无穷远界面）
S
1 W 2

1 B HdV 2

1 ( A H )dV A JdV 2
B A
dS
（a）B
与
A 的关系
S L
B

S
B dS ( A) dS A dl
其中S为以回路L为边界的任一曲面
L
（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形 状无关 dS1 B
4．边值关系
n ( H 2 H1 ) 0
n ( B2 B1 ) 0
m1 S m2 S

1 ( 1m ) 2 ( 2m ) ( B H ) n S n S
四．静电场与静磁场方程的比较 • 静电场
E 0 f P E 0 P P D 0 E P E 2 f P f ( , D E ) 0