2010年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析

2．（ 5 分）（2010?山东）已知
，其中 i 为虚数单位，则 a+b=（ ）
A．﹣ 1 B ． 1 C．2 D．3 【考点】 复数代数形式的混合运算． 【专题】 数系的扩充和复数． 【分析】 先化简复数，再利用复数相等，解出
a、 b，可得结果．
【解答】 解：由
得 a+2i=bi ﹣1，所以由复数相等的意义知 a=﹣ 1， b=2，所以 a+b=1
垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交， C 错误．
故选 D．
【点评】 本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题． 4．（ 5 分）（ 2010?山东） 设 f （x）为定义在 R 上的奇函数， 当 x≥０时，f（ x）=2x+2x+b（ b 为常数），
则 f （﹣ 1）=（ ）
A．﹣ 3 B ．﹣ 1 C．1 D．3
【考点】 奇函数．
【专题】 函数的性质及应用．
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【分析】 首先由奇函数性质 f （0）=0 求出 f （ x）的解析式，然后利用定义 f （﹣ x） =﹣ f （ x）求
f （﹣ 1）的值．
【解答】 解：因为 f （x）为定义在 R 上的奇函数， 所以 f （0）=20+2×0+b=0，
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】 空间位置关系与距离．
【分析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理， 可以很容易得出答案．
【解答】 解：平行直线的平行投影重合，还可能平行， A 错误．
平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交， B 错误．
2+（
0﹣
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1）
2
+（
1﹣
1）
2+（
2﹣
1）
2+（
3﹣
1）
2
]
=2，
故选： D．
【点评】 本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均
数、方差公式是解答好本题的关键．
7．（ 5 分）（2010?山东）由曲线 y=x2，y=x3 围成的封闭图形面积为（
）
A． B． C． D．
，
01（ x2﹣x3）
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故选 A． 【点评】 本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积． 8．（ 5 分）（2010?山东）某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前 两位、节目乙不能排在第一位， 节目丙必须排在最后一位， 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （） A．36 种 B．42 种 C．48 种 D． 54 种 【考点】 排列、组合的实际应用． 【专题】 排列组合． 【分析】由题意知甲的位置影响乙的排列， 甲在第一位和甲不在第一位， 对于排列有影响要分两类： 一类为甲排在第一位共有 A44 种，另一类甲排在第二位共有 A31A33 种，根据分类计数原理得到结果． 【解答】 解：由题意知甲的位置影响乙的排列 ∴要分两类：一类为甲排在第一位共有 A44=24 种， 另一类甲排在第二位共有 A31A33=18 种， ∴故编排方案共有 24+18=42种， 故选 B． 【点评】 本题主要考查排列组合基础知识，考查分类与分步计数原理，分类加法计数原理： 首先确 定分类标准， 其次满足： 完成这件事的任何一种方法必属某一类， 并且分别属于不同的两类的方法 都是不同的方法，即“不重不漏”． 9．（ 5 分）（2010?山东）设 {a n} 是首项大于零的等比数列，则“ａ 1＜a2”是“数列 {a n} 是递增数列” 的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】 等比数列． 【专题】 等差数列与等比数列． 【分析】 首项大于零是前提条件，则由“ q＞ 1， a1＞0”来判断是等比数列 {a n} 是递增数列． 【解答】 解：若已知 a1＜ a2，则设数列 {a n} 的公比为 q， 因为 a1＜a2，所以有 a1＜a1q，解得 q＞1，又 a1＞0， 所以数列 {a n} 是递增数列；反之，若数列 {a n} 是递增数列， 则公比 q＞1 且 a1＞0，所以 a1＜a1q，即 a1＜a2， 所以 a1＜a2 是数列 {a n} 是递增数列的充分必要条件． 故选 C 【点评】 本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题．
第三圈 1﹣ 是
第四圈﹣ ﹣ 否
故输出 y 的值为 ．
故答案为：
【点评】 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法
是：：①分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参
与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）
【解答】 解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示，
可知当直线 z=3x﹣4y 平移到点（ 5，3）时，
目标函数 z=3x﹣ 4y 取得最大值 3；
当直线 z=3x﹣4y 平移到点（ 3，5）时，
目标函数 z=3x﹣ 4y 取得最小值﹣ 11，故选 A．
3x﹣4y=0，平移直线观察最值．
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【点评】 本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数
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13．（4 分）（ 2010?山东）执行如图所示的程序框图，若输入 x=10，则输出 y 的值为
．
【考点】 程序框图． 【专题】 算法和程序框图． 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利 用循环计算并输出变量 y 的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析， 不难得到输出结果． 【解答】 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： xy 是否继续循环 循环前 10∥ 第一圈 104 是 第二圈 41 是
另解：由
得﹣ ai+2=b+i （a，b∈R），则﹣ a=1，b=2，a+b=1．
故选 B．
【点评】 本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．
3．（ 5 分）（2010?山东）在空间，下列命题正确的是（
）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
f （﹣ 2）
当
x=﹣2
时，
x
2
﹣
x
2
=
，故排除 D，
所以选 A． 【点评】 本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力． 12．（5 分）（ 2010?山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的
，令
，下面说法错误的是（
）
A．若 与 共线，则 ⊙ =0 B． ⊙ = ⊙
【考点】 定积分在求面积中的应用．
【专题】 函数的性质及应用． 【分析】 要求曲线 y=x2， y=x3 围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫
dx 即可．
【解答】 解：由题意得，两曲线的交点坐标是（ 1， 1），（0，0）故积分区间是 [0 ，1]
所求封闭图形的面积为∫ 01（x2﹣ x3）dx═
对于 D，（ ⊙ ）2+（ ）2=（qm﹣pn） 2+（mp+nq）2=（ m2+n2）（p2+q2）=| | 2| | 2，D 正确；
得到答案．
【解答】 解：对于 A，若 与 共线，则有
，故 A 正确；
对于 B，因为
，而
，所以有
，故选项 B 错误，
对于 C，
⊙ =λqm﹣λpn，而
⊙ ）=λ（ qm﹣pn）=λqm﹣λpn，故 C 正确，
C．对任意的 λ∈R，有
⊙=
⊙ ） D．（ ⊙ ）2+（
）2=| | 2| | 2
【考点】 平面向量数量积的运算． 【专题】 平面向量及应用．
【分析】 根据题意对选项逐一分析．若
与 共线，则有
，故 A 正确；
因为
，而
，所以有
，故选项 B 错误，
对于 C，
⊙ =λqm﹣λpn，而
⊙ ）=λ（ qm﹣pn）=λqm﹣λpn，故 C 正确，
1，则样本方差为（
）
A． B． C． D．2
【考点】 极差、方差与标准差． 【专题】 概率与统计． 【分析】 由样本平均值的计算公式列出关于 可．
a 的方程，解出 a，再利用样本方差的计算公式求解即
【解答】 解：由题意知 （a+0+1+2+3） =1，解得 a=﹣ 1，
∴样本方差为
S2=
[
（﹣
1﹣
1）
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2010 年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（ 5 分）（2010?山东）已知全集 U=R，集合 M={x||x ﹣1| ≤2} ，则 CUM=（ ） A．{x| ﹣1＜x＜3} B． {x| ﹣1≤x≤3} C．{x|x ＜﹣ 1，或 x＞3} D．{x|x ≤﹣ 1，或 x≥3} 【考点】 补集及其运算． 【专题】 集合． 【分析】 由题意全集 U=R，集合 M={x||x ﹣1| ≤2} ，然后根据交集的定义和运算法则进行计算． 【解答】 解：因为集合 M={x||x ﹣1| ≤2}={x | ﹣1≤x≤3} ，全集 U=R， ∴ＣUM={x|x ＜﹣ 1，或 x＜ 3} ． 故选 C． 【点评】 本题考查集合的补集运算，以及简单的含绝对值的不等式的求解，属容易题．
解得 b=﹣ 1， 所以当 x≥０时， f （x）=2x+2x﹣ 1，
又因为 f （x）为定义在 R 上的奇函数， 所以 f （﹣ 1）=﹣f （1）=﹣（ 21+2×1﹣ 1）=﹣3，
故选 A．
【点评】 本题考查奇函数的定义 f （﹣ x）=﹣f （x）与基本性质 f （ 0） =0（函数有意义时）． 5．（ 5 分）（2010?山东）已知随机变量 ξ 服从正态分布 N（0，σ 2），若 P（ξ＞ 2）=0.023 ，则 P
对于 D，（ ⊙ ）2+（
）2=（qm﹣pn） 2+（mp+nq）2=（ m2+n2）（p2+q2）=|
2
||
| 2，D 正确；
故选 B． 【点评】 本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型， 题、解决问题的能力． 二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
考查平面向量的基础知识以及分析问
?②建立数学模
型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
14．（4 分）（ 2010?山东）若对任意 x＞0，
≤ａ恒成立，则 a 的取值范围是 a≥ ．
【考点】 基本不等式在最值问题中的应用． 【专题】 不等式的解法及应用．
【分析】 根据 x+ ≥２代入
中求得
的最大值为 进而 a 的范围可得．
【解答】 解：∵x＞ 0， ∴x+ ≥2（当且仅当 x=1 时取等号），
∴
=
≤ = ，即
的最大值为 ，
故答案为：a≥
【点评】 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题． 15．（4 分）（ 2010?山东）△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 a= ，b=2，sinB+cosB= ，
（﹣2≤ξ≤2） =（ ）
A．0.477 B．0.625 C．0.954 D． 0.977
【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】 概率与统计．
【分析】 画出正态分布 N（ 0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果． 【解答】 解：由随机变量 ξ 服从正态分布 N（ 0，σ 2）可知正态密度曲线关于 y 轴对称，
10．（5 分）（ 2010?山东）设变量 x，y 满足约束条件
，则目标函数 z=3x﹣4y 的最大
值和最小值分别为（
）
A．3，﹣ 11 B．﹣ 3，﹣ 11 C．11，﹣ 3 D．11， 3
【考点】 简单线性规划．
【专题】 不等式的解法及应用．
【分析】 ①作出可行域②ｚ 为目标函数纵截距负四倍③画直线
而 P（ξ＞ 2）=0.023 ，
则 P（ξ＜﹣ 2） =0.023 ，
故 P（﹣2≤ξ≤2） =1﹣P（ξ＞ 2）﹣ p（ξ＜﹣ 2）=0.954 ，
故选： C．
【点评】 本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
6．（ 5 分）（2010?山东）样本中共有五个个体，其值分别为 a，0，1，2，3．若该样本的平均值为
意义是解答好本题的关键．
11．（5 分）（ 2010?山东）函数 y=2x﹣x2 的图象大致是（
）
z=3x﹣4y 的几何
A．
B．
C．
D．
【考点】 函数的图象与图象变化．
【专题】 函数的性质及应用．
【分析】 充分利用函数图象中特殊点加以解决．如函数的零点 2， 4；函数的特殊函数值
符号加以解决即可． 【解答】 解：因为当 x=2 或 4 时， 2x﹣x2=0，所以排除 B、C；