金字塔模型与沙漏模型
小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边)
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；S1S2A B两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；a b C D如右图 S1: S 2 a : b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 S△ACDS△BCD；反之，如果 S△ACD S△BCD，则可知直线 AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；三两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC 中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC 上)，则 S△ABC: S△ADE( AB AC ) : ( AD AE)DAADEEBC B C图⑴图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：① S1: S2 S4: S3或者S1S3S2S4②AO:OC S1S2:S4S3DA S 1S 4S 2OS 3B C蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；1。
小学奥数几何模型专项课件-金字塔、沙漏模型
专题解析 例题讲授 总结归纳 巩固提升
专题解析
专题解析
类似模型 类似模型作为诸多几何模型中最为重要的一种，也是随后学习过程中应用最广泛的一个基础模型， 其主要研究的是三角形对应线段的长度比，及三角形面积比与对应线段比之间的关系.
基本要求 类似模型的基本情势较多，其中“金字塔模型”和“沙漏模型”是目前接触最多的两种情势，也 是我们现阶段学习的重点.
巩固提升
作业4：如图，正方形ABCD的边长是6，边上各点均为三等分点，求图中阴影部分的面积.
巩固提升
作业5：如图，正方形ABCD的边长是2，边上各点均为中点，求图中阴影部分的面积.
巩固提升
作业6：如图，正方形ABCD的边长是6，边上各点均为三等分点，求图中阴影部分的面积.
例题讲授
例2：如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是8和12，求图中阴影部分的面积.
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练一练2：3个同样大小的正方形如图放置，已知正方形边长是6，求图中阴影部分的面积.
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例3：如图，正方形ABCD的边长是10，E、F分别是BC、CD的中点，求图中阴影部分的面积.
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AB BD DA CA AD CD
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例1：如图，三角形ABC的面积是18，D、E分别是AB的三等分点，F、G分别是AC的三等分点， 求图中阴影部分的面积.
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练一练1：如图，三角形ABC的面积是1，D、E分别是AB的三等分点，F、G分别是AC的三等分点， 求，正方形ABCD的边长是3，边上各点均为三等分点，求图中阴影部分的面积.
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例7：如图，正方形ABCD的边长是1，边上各点均为中点，求图中阴影部分的面积.
(完整版)小学奥数平面几何五种面积模型
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为A BCD O ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高，∴12ABG ABCD S S =W △(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．因为12AEDABCD S S =V 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米，所以12AFD S =V 平方厘米．因为16AFDABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =W (平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以6AOC S =V (平方厘米)，9AOD S =V (平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=V V (平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE．由于AD 与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABED S S ∆==⨯+=Y (平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=V ，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=． 在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =， 那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEFS =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．Q E GNMFPA DCBMHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以 ::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFD ABD ABCD S S S ∆∆==⨯=Y ； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCD S S S ∆∆=⨯=⨯⨯=Y【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGCS △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI．根据燕尾定理，::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.C BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABCS S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEPABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90o，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=W ．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDED【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．。
金字塔模型与沙漏模型
金字塔【2 】模子与沙漏模子①ADAB=AEAC=DEBC=AFAG② S△ADE：S△ABC =AF2：AG2所谓的类似三角形,就是外形雷同,大小不同的三角形(只要其外形不转变,不论大小如何转变他们都类似),与类似三角形相干,常用的性质及定理如下：(1) 类似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的类似比;(2) 类似三角形面积的比等于它们类似比的平方;(3) 衔接三角形双方中点的线段我们叫做三角形的中位线;三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半.类似三角形对应角相等.对应边成比例的两个三角形叫做类似三角形.假如三边分离对应A,B,C和a,b,c：那么：A/a=B/b=C/c,即三边边长对应比例雷同.剖断办法界说对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做类似三角形.准备定理平行于三角形一边的直线截其它双方地点的直线,截得的三角形与原三角形类似.（这是类似三角形剖断的定理,是以下剖断办法证实的基本.这个引理的证实办法须要平行线与线段成比例的证实）1剖断定理常用的剖断定理有以下6条：剖断定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形类似.（简叙为：两角对应相等,两个三角形类似.）（AA）剖断定理2：假如两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形类似.（简叙为：双方对应成比例且夹角相等,两个三角形类似.）（SAS）剖断定理3：假如两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形类似.（简叙为：三边对应成比例,两个三角形类似.）（SSS）剖断定理4：两个三角形三边对应平行,则个两三角形类似.（简叙为：三边对应平行,两个三角形类似.）剖断定理5：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形类似.（简叙为：斜边与直角边对应成比例,两个直角三角形类似.）（HL）剖断定理6：假如两个三角形全等,那么这两个三角形类似（类似比为1：1）（简叙为：全等三角形类似）.类似的剖断定理与全等三角形根本相等,因为全等三角形是特别的类似三角形.必定类似相符下面的情形中的任何一种的两个（或多个）三角形必定类似：1.两个全等的三角形全等三角形是特别的类似三角形,类似比为1：1.补充：假如△ABC∽△A‘B’C‘,∴AB/A’B‘=AC/A’C‘=BC/B'C’=K当K=1时,这两个三角形全等.（K为它们的比值）2.随意率性一个顶角或底角相等的两个等腰三角形两个等腰三角形,假如个中的随意率性一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形类似.3.两个等边三角形两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以类似.4.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形因为斜边的高形成两个直角,再加上一个公共的角,所以类似.2性质定理(1)类似三角形的对应角相等.(2)类似三角形的对应边成比例.(3)类似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角等分线的比都等于类似比.(4)类似三角形的周长比等于类似比.(5)类似三角形的面积比等于类似比的平方.[1]由（5）可得：类似比等于面积比的算术平方根.3定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形类似.推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形类似.推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形类似.推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都类似.推论五：假如一个三角形的双方和三角形随意率性一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形类似.性质1.类似三角形对应角相等,对应边成正比例.2.类似三角形的一切对应线段(对应高.对应中线.对应角等分线.外接圆半径.内切圆半径等）的比等于类似比.3.类似三角形周长的比等于类似比.4.类似三角形面积的比等于类似比的平方.5.类似三角形内切圆.外接圆直径比和周长比都和类似比雷同,内切圆.外接圆面积比是类似比的平方6.若a/b =b/c,即b²=ac,b叫做a,c的比例中项7.a/b=c/d等同于ad=bc.8.不必是在统一平面内的三角形里.。
相似模型
日期：2020.02.02
目 录
专题解析 例题讲解 总结归纳 巩固提升
专题解析
专题解析
相似模型 相似模型作为诸多几何模型中最为重要的一种，也是随后学习过程中应用最广泛的一个基础模型， 其主要研究的是三角形对应线段的长度比，及三角形面积比与对应线段比之间的关系.
基本要求 相似模型的基本形式较多，其中“金字塔模型”和“沙漏模型”是目前接触最多的两种形式，也 是我们现阶段学习的重点.
例题讲解
例2：如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是8和12，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练2：3个同样大小的正方形如图放置，已知正方形边长是6，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
例3：如图，正方形ABCD的边长是10，E、F分别是BC、CD的中点，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
AB BD DA CA AD CD
例题讲解
例题讲解
例1：如图，三角形ABC的面积是18，D、E分别是AB的三等分点，F、G分别是AC的三等分点， 求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练1：如图，三角形ABC的面积是1，D、E分别是AB的三等分点，F、G分别是AC的三等分点， 求图中阴影部分的面积.
例题讲解
例5：如图，正方形ABCD的边长是1，E是BC的中点，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练5：如图，CD的三等分点，F、G分别是BG、 BC的中点，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
例6：如图，正方形ABCD的边长是1，边上各点均为中点，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练6：如图，正方形ABCD的边长是3，边上各点均为三等分点，求图中阴影部分的面积.
小学奥数几何五大模型
（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则①AD AE DE==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△；ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？GFE D CBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。
把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。
这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。
根据等积变换模型可知，CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。
因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。
例2、如图所示，Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点，且DQ CP ME 、、彼此平行，已知5753AD BC AE EB ====、、、，求阴影部分三角形PQM 的面积。
小学数学几何必考五大模型
今天就为大家推荐一篇小学数学几何五大模型的内容。
一、等积 模①型等底等高的两个三角形面积相等；
AB
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之S比1 ；S2
典型例题
【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE= 1.5，CF= 2．长
方形EFGH的面积为？
H
H
A
D
A
D
E
E
G
G
B FC
B
FC
【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面 积的二倍．
三角形DEF的面积等于正方,所形以的长面方积形减E去FG三H面个积三为角33． 形的面积，
【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积 相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等 于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
证明：连接AG（我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）
∴ 正方形ABCD与长方形EFGB面积相等。长方形的宽=8 ×8÷10=6.4（厘
【例2】长方形ABCD的面积为36cm2，E 、F、G为各边 中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少 ？
【解析解,】H法C 一，：如寻下找图可：利用的条件，连接BH
如右图
专题 三角形中的重要模型-等积模型(学生版)
专题07三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB //CD 。
图1图2图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BE ∶CF 。
A ．4B ．3C ．2的边，则阴影部分的面积是（A．9B．12八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．=，连接DA．若(1)如图2，延长ABC的边BC到点D，使CD BC的代数式表示）；=(2)如图3，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD BC则2S=（用含a的代数式表示）；=，连接FD，FE，得到(3)在图3的基础上延长AB到点F，使BF AB上，当点模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系如图1，结论：①1243::S S S S =或1324S S S S ⨯=⨯；②()()1243::AO OC S S S S =++。
梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系如图2，结论：①2213::S S a b =；②221324::::::S S S S a b ab ab =；③梯形S 的对应份数为()2a b +。
小学奥数-几何五大模型(相似模型)讲解学习
模型四 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF AB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
【例 1】如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？FEDCBA【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，任意四边形、梯形与相似模型所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以410814FC =⨯=+．【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。
如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？605040302010EA D C B【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。
【例 3】如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。
A ED CB【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，255315BEC S =÷⨯=△份，所以:4:15ADE ECB S S =△△。
小学奥数题库《几何》-直线型-金字塔和沙漏模型-3星题(含解析)
几何-直线型几何-金字塔和沙漏模型-3星题课程目标知识提要金字塔和沙漏模型• 金字塔模型CDCA =CECB =DEAB • 沙漏模型ABCD =AODO =BOCO精选例题金字塔和沙漏模型1. ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，那么图中阴影局部的面积为平方厘米．【答案】48【分析】方法一：设G 、H 分别为AD 、DC 的中点，连接GH 、EF 、BD ． 可得S △AED =14S 平行四边形ABCD ,对角线BD 被EF 、AC 、GH 平均分成四段，又OM ∥ EF ，所以DO:ED =24BD:34BD =2:3,OE:ED =(ED −OD ):ED =(3−2):3=1:3,所以S △AEO =13×14S 平行四边形ABCD =13×14×72=6(平方厘米),S △ADO =2×S △AEO =12(平方厘米).同理可得S △CFM =6(平方厘米),S △CDM =12(平方厘米).所以S△ABC−S△AEO−S△CFM=36−6−6=24(平方厘米),于是，阴影局部的面积为24+12+12=48(平方厘米).方法二：寻找图中的沙漏，AE:CD=AO:OC=1:2,FC:AD=CM:AM=1:2,因此O,M为AC的三等分点，S△ODM=16S平行四边形ABCD=16×72=12(平方厘米),S△AEO=14S△OCD=14×12×2=6(平方厘米),同理S△FMC=6(平方厘米),所以S阴影=72−12−6−6=48(平方厘米).2. 如下列图所示，将边长8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是平方厘米．【答案】43.2【分析】给图中标上字母，如下列图．根据沙漏模型OCOF =BCEF=812=23．所以OF=12×32+3=7.2(厘米)．S△EFO=7.2×12÷2=43.2(平方厘米)．3. 如图，△ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD=DF=FB，那么S△ADE:S四边形DEGF :S四边形FGCB=．【答案】1:3:5【分析】设S△ADE=1份，根据面积比等于相似比的平方，所以S△ADE:S△AFG=AD2:AF2=1:4，S△ADE:S△ABC=AD2:AB2=1:9，因此S△AFG=4份，S△ABC=9份，进而有S四边形DEGF =3份，S四边形FGCB=5份，所以S△ADE:S四边形DEGF :S四边形FGCB=1:3:5．4. 在下列图中，线段AE、FG将长方形ABCD分成了四块；其中两块的面积分别是2平方厘米、11平方厘米，且E是BC的中点，O是AE的中点．请问长方形ABCD的面积是平方厘米．【答案】28【分析】如下列图所示，延长AE、DC交于点H．由于E是BC的中点，由AB∥CH，有AE:EH=BE:EC=1:1，由于O是AE中点，那么AO:OH=1:3．由AF∥GH，有S△AOF:S△GOH=12:32=1:9．所以，S△GOH=2×9=18(平方厘米)，那么S△CEH=18−11=7(平方厘米)．所以，S平行四边形ABCD=4S△ABE=4S△CEH=4×7=28(平方厘米)．5. 如下列图所示，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D．张大伯常走这两条小路，他知道DF=DC，且AD=2DE．那么两块田地ACF和CFB的面积比是．【答案】1:2【分析】方法一：如下列图所示，ACF 和CFB 为同高三角形，所以面积比等于底边比AF:FB ． 过F 作BC 的平行线，交AE 于G ，那么因为DF =DC ，所以三角形CED 和FGD 全等，GD =DE ．又因为AD =2DE ，所以D 和G 是AE 的三等分点，所以AF:FB =AG:GE =1:2． 方法二：如下列图所示，连接BD ，设S △CED =1(份)，那么S △ACD =S △ADF =2(份)．设S △BED =x,S △BFD =y ，那么有{x +1=y 2x =y +2，解得{x =3y =4．所以S △ACF :S △CFB =(2+2):(4+3+1)=1:2．6. 图中的大小正方形的边长均为整数〔厘米〕，它们的面积之和等于52平方厘米，那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】10.8【分析】设大、小正方形的边长分别为m 厘米、n 厘米〔m >n 〕，那么m 2+n 2=52,所以m <8.假设m ⩽5，那么m 2+n 2<52×2=50<52,不合题意，所以m 只能为6或7．检验可知只有m =6、n =4满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，BG:GF =AB:FE =6:4=3:2,而BG +GF =6,得BG =3.6(厘米),所以阴影局部的面积为：12×6×3.6=10.8(平方厘米). 7. 如图，△ABC 中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD =DF =FM =MP =PB ，那么S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB =．【答案】1:3:5:7:9【分析】设S △ADE =1份，S △ADE :S △AFG =AD 2:AF 2=1:4，因此S △AFG =4份，进而有S 四边形DEGF =3份，同理有S 四边形FGNM =5份，S 四边形MNQP =7份，S 四边形PQCB =9份． 所以有S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB =1:3:5:7:9. 8. 如图，DE 平行BC ，假设AD:DB =2:3，那么S △ADE :S △ECB =．【答案】4:15【分析】根据金字塔模型AD:AB =AE:AC =DE:BC =2:(2+3)=2:5，S △ADE :S △ABC =22:52=4:25，设S △ADE =4份，那么S △ABC =25份，S △BEC =25÷5×3=15份，所以S △ADE :S △ECB =4:15． 9. 如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，BG:GC =3:1，那么四边形EFGH 的面积=．【答案】3【分析】因为FGHE 为平行四边形，所以EC ∥AG ，所以AGCE 为平行四边形．BG:GC =3:1，那么GC:BC =1:4，所以S 平行四边形AGCE =14×S 平行四边形ABCD =14×16=4．又AE=GC，所以AE:BG=GC:BG=1:3，根据沙漏模型，FG:AF=BG:AE=3:1，所以S平行四边形FGHE =34S平行四边形AGCE=34×4=3．10. 如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】12.5【分析】阴影局部是一个不规那么的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为△BEF与△EMN的面积之差，又可以转化为△BCM 与△CFN的面积之差．〔法一〕如图，连接DE．由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形ABC面积的一半，即30平方厘米；那么△BEF的面积为平行四边形BDEF面积的一半，为15平方厘米．根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的一半，那么EM:BM=DE:BC=1:2,所以EM=13 EB;EN:FN=DE:FC=1:1,所以EN=12 EF.那么△EMN的面积占△BEF面积的12×13=16，所以阴影局部面积为15×(1−16)=12.5(平方厘米).〔法二〕如图，连接AM．根据燕尾定理，S△ABM:S△BCM=AE:EC=1:1,S△ACM:S△BCM=AD:DB=1:1,所以S△BCO=13S△ABC=13×60=20(平方厘米),而S△BDC=12S△ABC=12×60=30(平方厘米),所以S△FCN=14S△BDC=7.5(平方厘米),那么阴影局部面积为20−7.5=12.5(平方厘米).【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：〔1〕利用面积公式：底×高÷2；〔2〕利用整体减去局部；〔3〕利用比例和模型．11. 梯形ABCD的面积为12，AB=2CD，E为AC的中点，BE的延长线与AD交于F，四边形CDFE的面积是．【答案】83【分析】延长BF、CD相交于G．由于E 为AC 的中点，根据相似三角形性质，CG =AB =2CD,GD =12GC =12AB,再根据相似三角形性质，AF:FD =AB:DG =2:1,GF:GB =1:3,而S △ABD :S △BCD =AB:CD =2:1,所以S △BCD =13S ABCD =13×12=4,S △GBC =2S △BCD =8.又S △GDF S △GBC =12×13=16, S △EBC =12S △GBC ,所以S CDFE =(1−12−16)S △GBC =13S △GBC =83.12. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，且图中两个阴影局部〔甲和乙〕的面积差是5.04，那么S △ABC =．【答案】20.16【分析】由于D ，E 都是中点，那么BC =2DE ，设DE 为1份，那么BC 为2份，根根据梯形中的蝴蝶模型，得到甲是1份，乙是4份，两个翅膀都是2份，由此可推出△ADE 为3份，且每份为5.04÷(4−1)=1.68,所以S △ABC =1.68×(3+1+4+2+2)=20.16 13. 如图，△ABC 中，AE =14AB ，AD =14AC ，ED 与BC 平行，△EOD 的面积是1平方厘米．那么△AED 的面积是平方厘米． 【答案】53【分析】因为AE =14AB ，AD =14AC ，ED 与BC 平行，根据相似模型可知ED:BC =1:4，EO:OC =1:4，S △COD =4S △EOD =4平方厘米，那么S △CDE =4+1=5平方厘米，又因为S △AED :S △CDE =AD:DC =1:3，所以S △AED =5×13=53(平方厘米)． 14. 如图，EF 与BC 平行，AF:FB =1:2．AE =2,EF =3，那么CE 的长度是多少？AC 的长度是多少？BC 的长度是多少？【答案】4,6,9．【分析】AF FB =AE EC =12，可求出CE =4,AC =6,EF BC =AF AB =13，可求出BC =9．15. 如下图，DE 与BC 平行，AD =4,BD =5,△ADE 的面积为32，那么四边形DECB 面积是多少？ 【答案】130．【分析】AD:AB =4:9，那么AE:AC =4:9,△ADE 是△ABC 面积的1681，那么△ABC 的面积是162，四边形DEBC 的面积为130．16. 如图，平行四边形ABCD的面积是12,DE=13AD,AC与BE的交点为F，那么图中阴影局部面积是多少？【答案】4.4．【分析】AE:BC=2:3，设份数可知ABCD为30份，△AEF为4份，阴影局部占11份，面积为4.4．17. 如下图，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影局部的面积是多少？【答案】40013．【分析】AHHG =ADBG=58，那么△ABH与△BGH的面积是10×16÷2×513=40013．18. 三角形ADE的面积为3平方厘米，D是AB边的三等分点〔靠近A点〕，且DE与BC平行．请求出三角形OBC的面积为多少平方厘米？【答案】13.5平方厘米．【分析】由金字塔模型知，AD:AB=DE:BC=1:3，设△ODE的面积为1份，那么△ODB的面积为3份，△OEC的面积为3份，△OBC的面积为9份，又因为△ADE与△DEC等高，可知△ADE的面积为2份，由此可知△OBC的面积为3÷2×9=13.5平方厘米．19. 如下图，梯形ABCD的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】18．【分析】上底与下底的长度比为2:3，设△OCD面积是4份，那么△AOD与△BOC的面积均为6份，△ABO的面积为9份，总面积为50，故一份所对应的面积为2，那么△ABO的面积为18．20. 如图，平行四边形ABCD的面积是90．E点是AB上靠近A点的三等分点，求阴影局部的面积．【答案】33．【分析】由沙漏模型知，BE:CD=BO:OD=EO:OC=2:3，设△OBE的面积为4份，那么△OBC的面积为6份，△OCD的面积为9份，△OBC的面积与△OCD的面积之和为整个四边形面积的一半，因此四边形的面积为30份，总面积为90，那么一份对应面积为3，阴影局部占了11份，面积为33．21. 如下图，在三角形ABC中，IF和BC平行，GD和AB平行，HE和AC平行．AG:GF:FC=4:3:2，那么AH:HI:IB和BD:DE:EC分别是多少？【答案】AH:HI:IB=3:4:2，BD:DE:EC=4:2:3．【分析】〔1〕因为AG:GF:FC=4:3:2，所以AF:FC=7:2．又因为IF∥BC，所以AI:IB=AF:FC=7:2．因为GD∥AB，所以GF:AG=OF:IO=3:4．由上可得AH:HI:IB=3:4:2．〔2〕因为AG:GF:FC=4:3:2，所以AG:GC=4:5．又因为GD∥AB，所以BD:DC=AG:GC=4:5．因为GF:FC=3:2，IF∥BC，所以OD:GO=FC:GF=2:3．又因为HE∥AC，所以DE:EC=OD:GO=2:3．由上可得BD:DE:EC=4:2:3．22. 如下列图，D、E、F、G均为各边的三等分点，线段EG和DF把三角形ABC分成四局部，如果四边形FOGC的面积是24平方厘米，求三角形ABC的面积．【答案】40.5【分析】设三角形以AB为底的高为ℎ，由于FG:AB=2:3,所以ED:FG=1:2;所以三角形OGF以GF为底的高是1 3ℎ×23=29ℎ;又因为三角形CFG以FG为底的高是23ℎ，所以三角形OGF的面积与三角形CGF的面积之比为29ℎ:23ℎ=1:3,所以三角形CFG的面积为24×33+1=18(平方厘米),而三角形CFG的面积占三角形ABC的23×23=49，所以三角形ABC的面积是18÷49=40.5(平方厘米).23. 如图，直角三角形ABC中，AB=4,BC=6，又知BE:EC=1:3，求∠CDE的面积．【答案】6.75．【分析】由金字塔模型知DE:AB=CE:CB=3:4那么DE=4×34=3又知道CE=6×34=4.5可求出△CDE的面积为3×4.5÷2=6.7524. 如下图，DE与BC平行，AD=4,BD=5,DE=16，那么BC的长度是多少？【答案】36．【分析】由金字塔模型，AD:AB=DE:BC=4:9,DE=16，那么BC=36．25. 如下图，正方形ABCD面积为1，E、F分别是BC和DC的中点，DE与BF交于M点，DE与AF 交于N点，那么阴影三角形MFN的面积是多少？【答案】130【分析】如下列图，延长AF、BC交于点G，在沙漏ADNEG中，AD:EG=2:3，所以DN:NE= 2:3，故DN=25DE．如下列图，延长BF、AD交于点H，在沙漏DHMBE中，DH:BE=2:1，所以DM:ME=2:1，故ME=13DE．所以NM=(1−25−13)DE=415DE，故S△MFN=415S△DFE=415×12×S△DCE=415×12×14=130.26. 长方形ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，求阴影△EHO 的面积是多少平方厘米？【答案】3【分析】因为E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份的话，那么ED =AD =3(份)、BF =FG =GC =2(份),在图形中找到沙漏EDOBG ：有ED:BG =3:4,所以OD:BO =3:4,相当于把BD 分成7份〔3+4〕，同理也可以在图中再次找到沙漏EDHBF ，ED:BF =3:2,由此可以推出：HD:BH =3:2,相当于把BD 分成5份〔3+2〕，那么我们就可以把BD 分成35份〔5和7的最小公倍数〕其中OD 占15份，BH 占14份，HO 占6份，连接EB 那么可知△BED 的面积为70÷4=352,在BD 为底的三角形中HO 占6份，那么面积为：352×635=3(平方厘米). 27. △ABC 中，DE 平行BC ，假设AD:DB =2:3，且S 梯形DBCE 比S △ADE 大8.5 cm 2，求S △ABC ． 【答案】12.5cm 2【分析】根据金字塔模型AD:AB =DE:BC =2:(2+3)=2:5,S △ADE :S △ABC =22:52=4:25,设S △ADE =4份，那么S △ABC=25份，S 梯形DBCE =25−4=21份，S 梯形DBCE 比S △ADE 大17份，恰好是8.5 cm 2，所以S △ABC =12.5cm 2．28. 如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边BC =120毫米，高AD =80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】48【分析】观察图中有金字塔模型5个，用与边有关系的两个金字塔模型，所以有PN BC =AP AB ,PH AD =BPAB, 设正方形的边长为x 毫米，PN BC +PH AD =AP AB +BPAB=1, 即x 120+x 80=1, 解得x =48即正方形的边长为48毫米．29. 如右图，长方形ABCD 中，EF =16，FG =9，求AG 的长．【答案】15【分析】因为DG GB =AG GE =AG 25，且DG GB =FG GA =9AG ，所以AG 25=9AG 即AG 2=25×9=225，所以AG =15．30. 如下列图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM:MC=1:2，四边形EBFC为平行四边形，FM与BC交于点G．假设三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为13cm2，求平行四边形ABCD的面积．【答案】60【分析】连接BD，因为DE∥BC，所以DE BC =EMMB=DMMC=12,所以S△DEM S△CEM =S△CEMS△CBM=S△DEMS△BDM=12.令S△DEM=a，那么S△CEM=S△BDM=2a，S△CBM=4a，所以S△BCF=S△BCE=2+4=6a.因为MB∥CF，所以CG GB =CFMB=EBMB=32.所以S△GCF S△BGF =CGGB=32.所以S△GCF=33+2×S△BCF=35×6=185a.因为S△GCF−S△DEM=13,所以18 5a−a=13;a=5.因为S△BCD=S△BDM+S△BCM=2a+4a=6a,所以S平行四边形ABCD=2×S BCD=2×6a=12a=12×5=60cm2.31. 图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？【答案】108cm2【分析】做GM垂直DC于M，交AB于N．因为EF∥DC，所以三角形GEF与三角形GDC相似，且为EF:DC=4:12=1:3,所以GN:GM=1:3,又因为MN=GM−GN=12,所以GM=18(cm),所以三角形GDC的面积为12×12×18=108(cm2).32. 如下图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，正方形ABCD的面积为60平方厘米，求阴影局部的面积．【答案】10平方厘米．【分析】由条件知，BE=AD=1:2，那么BG:GD=1:2,BG=13BD，同理，DF:AB=1:2，那么DH:HB=1:2,DH=13BD，由此可得，GH=13BD，阴影局部面积为60÷2÷3=10平方厘米．33. 如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，AH=5cm，HF=3cm，求AG．【答案】4013cm【分析】由于AB∥DF，利用相似三角形性质可以得到AB:DF=AH:HF=5:3,又因为E为AD中点，那么有OE:FD=1:2,所以AB:OE=5:32=10:3,利用相似三角形性质可以得到AG:GO=AB:OE=10:3,而AO=12AF=12×(5+3)=4(cm),所以AG=4×1013=4013(cm).34. 如下图，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影局部的面积．【答案】45平方厘米．【分析】由条件知，GF:BE=12:20=3:5，由沙漏模型知GO:OE=3:5，那么△GOF与△EOF的面积之比也是3:5,△OEF的面积为12×12÷2×58=45平方厘米．35. 下列图中正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=13FC．求阴影局部的面积．【答案】524【分析】题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影局部的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．阴影局部为三角形，底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积．可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I．根据相似三角形性质，CI:CH=CG:CF=1:3,又因为CH=HB,所以CI:CB=1:6,即BI:BC=(6−1):6=5:6,所以S △BGE =12×12×56=524. 36. 如下列图，正方形ABCD 的面积为1，M 是CD 边的中点，E,F 是BC 边上的两点，且BE =EF =FC ．连接AE,DF 分别交BM 分别于H,G ．求四边形EFGH 的面积． 【答案】23210【分析】过M 点做MQ 平行于BC 交FD 于Q ，过E 点做EP 交BM 于P ，那么因为M 为CD 的中点，所以QM:FC =1:2，所以QM:BF =1:4，所以GM:GB =1:4，所以BG:BM =4:5，又因为BF:BC =2:3，所以S △BFG =45×23S △BCM =215,因为E 为BC 边上三等分点，所以EP:CM =1:3，所以EP:AB =1:6，所以BH:HP =6:1，所以BH:HM =6:15=2:5，所以BH:BM =2:7，又因为GM:GB =1:4，所以BH:BG =5:14，所以S △BEH =514×12S △BFG =142,因此，S 阴=215−142=23210.37. 如下图，P 是三角形ABC 内一点，DE 平行于AB ，FG 平行于BC ，HI 平行于CA ，四边形AIPD 的面积是12，四边形PGCH 的面积是15，四边形BEPF 的面积是20．请问：三角形ABC 的面积是多少？【答案】72【分析】当两个平行四边形的高相等时，它们底边的比等于面积比．考虑平行四边形BEPF 和AIPD ，分别以PE 和PD 为底边，它们的高相等，因此它们底边的比等于面积比，即EP PD=S 平行四边形BEPF S 平行四边形AIPD =2012=53．由于IH ∥AC ，所以EH HC=EP PD=53，转化为面积比：得到：S △PEH S 平行四边形PGCH=12×EH HC=12×53=56.而平行四边形PGCH 的面积是15，那么△PEH 的面积是15×56=252.类似的方法可以求出△FPI 和△DPG 的面积分别是8和92，因此这三个小三角形的面积分别是92、8、252，所以大△ABC 的面积就是12+15+20+92+8+252=72．38. 如下图，梯形的面积是48平方厘米，下底是上底的3倍，求阴影局部的面积．【答案】27平方厘米．【分析】上底与下底之比为1:3，由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是1:3:3:9，那么阴影局部的面积是48÷(1+3+3+9)×9=27平方厘米.39. 如下图，三角形ABC 的面积为1平方厘米，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点．求三角形OBC 的面积．【答案】13平方厘米．【分析】由D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，可知DE 与BC 平行，且DE =12BC ．如下列图所示，沙漏DEOBC 中，有OD OC =OE OB =DE BC =12. 把线段的比例关系转化为面积的比例关系，得到S △BOD =2S △DOE ,S △COE =2S △DOE ,S △BOC =2S △COE =4S △DOE ,那么梯形DECB 的面积就是(1+2+2+4)×S △DOE =9S △DOE .由于△ABC 的面积为1平方厘米，那么△ADE 的面积是14平方厘米．而梯形DECB 的面积是1−14=34(平方厘米).因此S △DOE =19×S 梯形BCDE =19×34=112(平方厘米),从而S △BOC =4S △DOE =4×112=13(平方厘米).40. 在图中的正方形中，A 、B 、C 分别是ED 、EG 、GF 的中点．请问：三角形CDO 的面积是三角形ABO 面积的几倍？【答案】3倍．【分析】不妨设正方形的边长是2，所以FC =CG =GB =BE =EA =AD =1.又A 、C 分别是所在边的中点，所以AC ∥GE ，即OA ∥BE ，由此可见OA 是△DBE 的中位线，有OA BE =12，所以△OAD 的面积是 12×1÷2=14. △AOB 的面积等于△BAD 的面积减去△AOD 的面积，等于1×1÷2−14=14.△COD 的面积等于△CAD 的面积减去△AOD 的面积，等于2×1÷2−14=34.由此可得，△CDO 的面积是△ABO 面积的3倍．41. 如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影局部，求阴影局部的面积是多少？ 【答案】130【分析】根据相似三角形的对应边成比例有：NF 1+2=32+3, EM 2+3=11+2, 那么NF =59,EM =53,所以S 阴=12×(2−95)×(2−53)=130.42. 如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的中点，那么三角形APD的面积是平方厘米．【答案】8【分析】此题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线．取AD的中点N，连接MN，设MN交PD于K．那么三角形PDM被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK，可知三角形PDM的面积等于1 2×MK×BC=8(平方厘米),所以MK=83(厘米),那么NK=4−83=43(厘米).因为NK是三角形APD的中位线，所以AP=2×NK=83(厘米),所以三角形APD的面积为1 2×83×6=8(平方厘米).43. 如下图，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的三等分点．△AOD的面积是多少？【答案】13.5．【分析】由沙漏模型，BE:AD=BO:OD=1:3,△AOB与△AOD等高，面积比为1:3，因此△AOD的面积为6×6÷2×34=13.5．44. 两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？【答案】6【分析】根据题意画出如下图的图，延长FE与AC交于I，那么△AEI和△EFH以及△CEI和△EFG都能组成沙漏三角．不难看出，EI=4−1.5=2.5(米)．而在沙漏AIEFH中，又有AEEH =IEEF=2.51.5=53．在沙漏ACEGH中，有ACGH =AEEH=53．由此可知GH=35AC=35×10=6(米)，这就是两个影子的总长度．45. 如下图，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米．如果EF与上、下底平行，那么EF的长度为多少？【答案】12厘米．【分析】在沙漏ADOBC中，OAOC =ADBC=23，于是AOAC=25〔如下图〕．由于EO∥BC，因此EOBC =AOAC=25，即EO=25×BC=25×15=6(厘米)．同理，OF也等于6厘米，所以EF=EO+OF=6+6=12(厘米)．46. 如图，长方形ABCD中，E、F分别为CD、AB边上的点，DE=EC，FB=2AF，求PM:MN:NQ．【答案】7:18:10【分析】如图，过E作AD的平行线交PQ于G．由于E是DC的中点，所以G是PQ的中点．由于DE=EC,FB=2AF,所以AF:DE=2:3,BF:CE=4:3.根据相似性，PM:MG=AM:ME=AF:DE=2:3,GN:NQ=EN:NB=EC:BF=3:4,于是PM=25 PG,MN=35PG+37GQ=3635PG,NQ=47GQ=47PG,所以PM:MN:NQ=25:3635:47=7:18:10.47. 如图，正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC=1:3，AF 与BE相交于点G，求S△ABG．【答案】3211【分析】方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有AB:CM=BF:FC=1:1,因此CM=4，根据题意有CE=3，再根据另一个沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7,所以S△ABG=44+7S△ABE=411×(4×4÷2)=3211.方法二：连接AE,EF，分别求S△ABF=4×2÷2=4,S△AEF=4×4−4×1÷2−3×2÷2−4=7,根据蝴蝶定理S△ABF:S△AEF=BG:GE=4:7,所以S△ABG=44+7S△ABE=411×(4×4÷2)=3211.48. 如图，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的中点，求△AOD的面积．【答案】12．【分析】连结DE，因为BE与AD之比是1:2，可如下图设份数，可知△AOD的面积是正方形面积的三分之一，是12．49. 如图：MN平行BC，S△MPN:S△BCP=4:9，AM=4cm，求BM的长度．【答案】2cm【分析】在沙漏模型中，因为S△MPN:S△BCP=4:9，所以MN:BC=2:3，在金字塔模型中有：AM:AB=MN:BC=2:3，因为AM=4cm，AB=4÷2×3=6cm，所以BM=6−4=2cm．50. 如图，线段AB与BC垂直，AD=EC=4，BD=BE=6，那么图中阴影局部面积是多少？【答案】15【分析】解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线BO，那么图形关于BO对称，有S△ADO=S△CEO,S△DBO=S△EBO,且S△ADO:S△DBO=4:6=2:3.设△ADO的面积为2份，那么△DBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份．因为S△ABE=6×10÷2=30,而阴影局部的面积为4份，所以阴影局部的面积为30÷8×4=15.解法二：连接DE、AC．由于AD=EC=4,BD=BE=6,所以DE∥AC，可知DE:AC=BD:BA=6:10=3:5,根据梯形蝴蝶定理，S△DOE:S△DOA:S△COE:S△COA=32:(3×5):(3×5):52=9:15:15:25,所以S阴影:S梯形ADEC=(15+15):(9+15+15+25)=15:32,即S阴影=1532S梯形ADEC;又S梯形ADEC =12×10×10−12×6×6=32,所以S阴影=1532S梯形ADEC=15.51. 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处〔DE平行AB〕，那么小玻璃管口径DE是多大？【答案】10厘米．【分析】有一个金字塔模型，所以DE:AB=DC:AC，DE:15=40:60，所以DE=10厘米．52. 在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，△CDO的面积是△ABO面积的几倍？【答案】3【分析】连接BC，易知OA∥EF，可知OB:OD=AE:AD，且OA:BE=DA:DE=1:2，所以△CDO的面积等于△CBO的面积；由OA=12BE=14AC可得CO=3OA，所以S△CDO=S△CBO=3S△ABO，即△CDO的面积是△ABO面积的3倍．53. 如图，S △ABC =14，点D,E,F 分别在AB,BC,CA 上，且AD =2,BD =5,AF =FC ，S 四边形DBEF =S △ABE 那么S △ABE 是多少？【答案】10【分析】△ABC 的面积，假设知道△ABE 的面积占△ABC 的几分之几就可以计算出△ABE 的面积．连接CD ． 因为S 四边形DBEF =S △ABE , 所以S △DEF =S △ADE . 所以AC 与DE 平行，所以 S △ADE =S △CDE , 所以S △ABE =S △CDB . 因为AD =2，BD =5，所以 S △ACD :S △CDB =2:5, 所以S △ABB=S △CDB =5S △ABC 7=57×14=10.54. 如图，正方形ABCD 中E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形DEF 的面积是2，那么正方形ABCD 的面积是_________．【答案】12【分析】左边梯形ABED ，因为E 为BC 的中点，所以BE:AD =1:2所以BF:FD =1:2又因为三角形DEF 的面积是2所以三角形BEF 的面积是1，三角形ABF 的面积为2，三角形AFD 的面积为4而S △BED =S △DEC ，所以S △DEC =3S △ABCD =1+2+2+4+3=1255. 三角形ABC 的面积为a ，AF:FC =2:1，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求阴影局部的面积． 【答案】a18【分析】AF:FC =2:1，且EF ∥BC ，可知EF:BC =AF:AC =2:3，所以EF =23BC ，且S △AEF :S △ABC =4:9．又因为E 是BD 的中点，所以EG 是三角形DBC 的中位线，那么EG =12BC ，EG:EF =12:23=3:4，所以GF:EF =1:4，可得S △CFG :S △AFE =1:8，所以S △CFG :S △ABC =1:18，那么S △CFG =a18． 56. 如下图，平行四边形ABED 与平行四边形AFCD 的面积都是30平方厘米．其中AF 垂直于ED于O ，AO 、OD 、AD 分别长3、4、5厘米．求三角形OEF 的面积和周长． 【答案】面积为13.5平方厘米，周长为18厘米． 【分析】平行四边形ABED 的面积等于AO ×DE =3×DE =30,由此可以求得DE =10,OE =6.平行四边形AFCD 的面积等于DO×AF=4×AF=30,由此可以求得AF=7.5,OF=4.5.那么△OEF的面积等于EO×OF÷2=6×4.5÷2=27÷2=13.5(平方厘米).由沙漏模型得AO:OF=AD:EF=2:3,那么EF=7.5.所以△OEF的周长为4.5+6+7.5=18(厘米).57. 如图，ABCD是直角梯形，AB=4,AD=5,DE=3，那么梯形ABCD的面积是多少？【答案】40【分析】分别计算△AOD,△AOB,△DOC,△BOC的面积，再求和．延长EO交AB于F点，可得DE:BF=DO:OB=3:1,所以S△AOD:S△AOB=3:1;S△DOC:S△BOC=3:1,S△AOD=S△BOC.又因为S△ABD=12×4×5=10,得到S△AOD=34S△ABD=7.5,S△AOB=2.5,S△BOC=7.5,S△DOC=3S△BOC=3×7.5=22.5.所以S梯形ABCD=7.5+2.5+7.5+22.5=40.58. 如下列图所示，三角形AEF、三角形BDF、三角形BCD都是正三角形，其中AE:BD=1:3，三角形AEF的面积是1．求阴影局部的面积．【答案】15【分析】S△AEF:S△BDF=AE2:BD2=1:9，△AEF面积是1，那么S△BDF=S△BDC=9，因为△AEF与△ACE的高之比是1:7，所以S△ACE=7，因为AD与BC平行，所以S△ABC=S△BCD=9，所以S△ABC:S△AEC=BI:IE=9:7．假设BE为16份，那么BI=9,IE=7，又知道BF:FE=3:1，所以BF=12,FE=4，所以IF= 3,S△AEF:S△AIF=FE:FI=4:3，所以S△AIF=0.75，又有S△AIF:S△BCI=AF2:BC2=1:9，所以S△BCI=6.75，于是可求阴影局部面积是(0.75+6.75)×2=15．59. 如下图，O是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？【答案】318【分析】由S△AOD=4可知S△BCD=12×S长方形ABCD=12×4×S△AOD=8．而△CDF与△CDB从C出发的高相同，那么DFDB =S△CDFS△CDB=58．由于EF ∥CD ，把线段的比例转移到BC 上，那么有CE BC =DF DB =38，从而得到BE BC =1−38=58，所以阴影△BEF 的面积是△BCF 面积的58．于是阴影三角形的面积是58×S △BCF =58×(S △BCD −S △CDF )=58×(8−3)=258. 60. 如下图，在直角三角形ABC 中，AC 的长3厘米，CB 的长4厘米，AB 的长5厘米，有一只小虫从C 点出发，沿CB 以1厘米/秒的速度向B 爬行；另一只小虫从B 点出发，沿BA 以1厘米/秒的速度向A 爬行．请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置D 、E 与B 组成的三角形DBE 是等腰三角形？〔请写出所有答案〕【答案】2秒、2013秒或3213秒．【分析】设经过了x 秒，那么BE =x 厘米，CD =x 厘米，两只小虫所在的位置D 、E 与B 组成的三角形DBE 是等腰三角形的情况有三种：〔1〕以B 为等腰三角形顶角所在的顶点，即BD =BE 〔如图1〕．这个最好算，BD =4−x ，BE =x ，故x =4−x ，解得x =2；〔2〕以E 为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED =EB ，如图2，从E 向BD 作垂线，垂足为F ，在金字塔BEFAC 种，BE BA =BF BC ，即x 5=BF 4，所以BF =45x ．利用CD +DF +FB =4列出方程x +45x +45x =4，解得x =2013；〔或者利用△BEF 和△BAC 相似，得BE BF =54，即x BF =54，所以BF =45x 〕〔3〕以D 为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED =DB ，如图3，从D 向AB 作垂线，垂足为F ，利用△BFD 和△BCA 相似得BF BD =45，即BF 4−x=45，所以BF =45(4−x)．利用BE =2BF 列出方程x =45(4−x)×2，解得x =3213．综上，经过2秒或2013秒或3213秒后，两只小虫所在的位置D 、E 与B 组成的三角形DBE 是等腰三角形．61. 如图，在长方形ABCD 中，AB =6厘米，AD =2厘米，AE =EF =FB ，求阴影局部的面积． 【答案】3.5平方厘米【分析】连接DE 、FC ，在梯形CDEF 中，由梯形根本结论知：EF:DC =EO:OC =1:3，S 长ABCD =6×2=12由一半模型得所以S △DEC =6又EO:OC =1:3，S △DEO =6×14=1.5〔平方厘米〕又S △ADE =2×2÷2=2〔平方厘米〕所以S 阴=2+1.5=3.5〔平方厘米〕62. 正方形ABCD ，过C 的直线分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ，且AE =10cm ，AF =15cm ，求正方形ABCD 的边长．【答案】6【分析】方法一：此题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC:AF =CE:EF,DC:AE =CF:EF,设正方形的边长为xcm ，所以有BC AF +DC AE =CE EF +CFEF=1, 即x 15+x 10=1, 解得x =6,所以正方形的边长为6cm ．方法二：或根据一个金字塔模型，列方程即x 10=15−x 15, 解得x =6.63. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是________平方厘米．【答案】14【分析】EG:GC =EB:CD =1:2，所以EG =13EC ，S △EBG =12×12AB ×13BC =112×120=10连接BH ，设S △BGH ="1"，那么S △AGH ="2"，由燕尾模型知S △DHC ="3"，所以S △DGC ="5"，又因为S △DGC =4S △EBG =40，所以S △BGH =8，S BGHF =S △DBF −S △DGH =14S ▱ABCD −"2"=30−16=1464. 如图，在△ABC 中，有长方形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH 是△ABC 边BC 的高，交DE 于M ，DG:DE =1:2，BC =12厘米，AH =8厘米，求长方形的长和宽． 【答案】长和宽分别是487厘米，247厘米．【分析】观察图中有金字塔模型5个，用与边有关系的两个金字塔模型，所以DE BC =AD AB ,DG AH =BDAB, 所以有DE BC +DG AH =AD AB +BDAB=1, 设DG =x ，那么DE =2x ，所以有2x 12+x8=1, 解得x =247,2x =487,因此长方形的长和宽分别是487厘米，247厘米．65. 如下图，小高测出家里瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？【答案】64【分析】利用平行线中的线段比例关系来计算．把瓷砖右下角的直角三角形标上字母〔如下图〕，同时过B 作BC ⊥AG 于C ，DE ⊥FG 于E ． 由于BC 与FG 平行，所以BC FG =AC AG =214=17, 因此BC =17×FG =17×7=1.由于DE 与AG 平行，所以DE AG =FE FG =27, 因此DE =27×AG =27×14=4.由此可得菱形的两条对角线分别为：24−4×2=16(厘米),10−1×2=8(厘米).那么菱形的面积就是16×8÷2=64(平方厘米).66. ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．〔丙是三角形HBC〕【答案】43【分析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有S△ABC−S丙=S△ABN+S△AMC−S AMHN，即400−S丙=200+200−S AMHN，所以S丙=S AMHN．又S阴影+S△ADF=S甲+S乙+S AMHN，所以S阴影=S甲+S乙+S丙−S△ADF=143−14×400=43．67. 如下图，正六边形的面积是6，那么阴影局部的面积是多少？【答案】223【分析】方法一：连结阴影局部的对角线，如下图1．这条辅助线平分阴影局部，也正好把正六边形平分成两个等腰梯形．那么每个梯形的面积为6÷2=3.要求出阴影局部的面积，只需求出其中的一半即可．画出其中一个梯形，给它的各个顶点标上字母，如下图2，△BCD和△ABD是一对等高三角形，并且底边BC是AD的2倍，所以△BCD的面积是△ABD面积的2倍，于是△BCD面积为3×23=2.在沙漏ADOBC中，ODOB =12，所以S△BOC=23S△BDC=113.因此正六边形中的阴影局部面积为113×2=223.方法二：利用正六边形中的格点，将其分割，如下图3．观察图形可知，这时正六边形被分割成18个三角形，这些三角形面积全都相等．阴影局部由8个三角形组成，所以阴影局部面积为6÷18×8=22 3 .68. 边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？【答案】16.2【分析】给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为ABCD，小正方形为MNDE，EB分别交AC,AD于O,H两点，AO:OC=AB:EC=12:20=3:5,AH:BC=AO:OC=3:5,所以。
小学数学五大几何模型总结
五大模型（二）知识框架一、等积模型DC BA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S 4S 3S 2S 1O DC BA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．A B C DO ba S 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E AB CD ABCDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边)
A
D (H)
E
G
B
F
C
这样阴影部分的面积就是 DEF 的面积，根据鸟头定理，则有：
1 1 1 1 1 1 1 S阴影 S ABCD SAED SBEF SCFD 36 36 36 36 13.5 ． 2 2 2 2 2 2 2
【例 2】 长方形 ABCD 的面积为 36 cm 2 ， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，
问阴影部分面积是多少？
A H D
E
G
B
F
C
【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，如下图： H D A
E
G
B
F
C
可 得 ：
SE
S ABCD SAHB SCHB SCHD
1 BS H 2 36
S 、 A H FHB B
1 SCHB 2
、
1 SDHG SDHC 2
， 而
1 1 即 SEHB SBHF SDHG (SAHB SCHB SCHD ) 36 18 ； 2 2 SEHB SBHF SDHG S阴影 SEBF 而
A O B 【解析】如图，连接 OE ． C E D
A M O B
E N
D
C
1 1 根据蝶形定理， ON : ND SCOE : SCDE SCAE : SCDE 1:1 ，所以 SOEN SOED ； 2 2 1 1 OM : MA SBOE : SBAE SBDE : SBAE 1: 4 ，所以 SOEM SOEA ． 5 2 1 1 又 SOED S矩形ABCD 3 ， SOEA 2SOED 6 ， 所 以 阴 影 部 分 面 积 为 ： 3 4
几何模型（小学奥数必会6大模型）
模型一：等高模型定义：三角形面积的大小，三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。
取决于三角形底和高的乘积。
取决于三角形底和高的乘积。
如果固定三角形的如果固定三角形的底（或高）不变，另一者变大（小）n 倍，三角形的面积也就变大（小）n 倍。
六种基本类型：两个三角形高相等，两个三角形高相等，面积比等于底之比；面积比等于底之比；面积比等于底之比；两个三角形底相等，两个三角形底相等，两个三角形底相等，面积比等于高之比面积比等于高之比公式：DC BD S S ADC ABD ；FCED S S ABC ABD 其中，BC=EF 且两三角形的高相等公式：1 DEFABC S S 夹在一组平行线之间的等积变形公式：1 ABD ABC BCD ACDS S S S等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可看作特殊的平行四边形）公式：1 CDEFABCD S S三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半公式：ABCDEDC S S 21两个平行四边形高相等，面积比等于他们底的比公式：EFAB S S DEFG ABCD 例题：长方形ABCD 的面积为36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？5.135.41818543681211836212136212121 BEF BEF BEF DGH BFH BEH CDH BCH ABH DGH BFH BEH CDH BCH ABH ABCD CDH DGH BCH BFH ABH BEH CGHDGH CFH BFH BEHAEH S S BF BE S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S EBAE HCBH 阴影阴影，，，，同理，、如图，连接模型二：相似模型定义：形状相同，大小不相同的两个三角形，一切对应线段的长度成比例的模型。
小学奥数几何五大模型.pdf
（4）相似模型
1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似； 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两 边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质： ①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比； ③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
小学奥数几何五大模型
一、五大模型简介
（1）等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比， 如图 1 所示， S△ABD : S△ACD BD : CD ； 3、两个三角形底相等，面积之比等于高之比， 如图 2 所示， S△ACD : S△BCD AE : BF ； 4、在一组平行线之间的等积变形， 如图 3 所示， S△ACD S△BCD ；反之，如果 S△ACD S△BCD ，则直线 AB∥CD 。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有
DE∥BC 。 (一)金字塔模型
(二) 沙漏模型
A
E
D
A
D
E
B
C
B
C
结论：因为 DE∥BC ，所以△ADE∽△ABC ，则
①
AD AB
AE AC
DE BC
；② S△ADE
: S△ABC
AD2
: AB2 。
例、如图，已知在平行四边形 ABCD 中， AB 16 、 AD 10 、 BE 4 ，那么 FC 的长度是多少？
D A
E
B
C
解析：根据鸟头模型可知： S△ABC AB AC ， S△ADE AD AE
பைடு நூலகம்
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金字塔模型与沙漏模型
① AD AB =AE AC =DE BC =AF AG
② S △ADE ：S △ABC =AF 2：AG 2
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变他们都相似)，与相似三角形相关，常用的性质及定理如下：
(1) 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
(2) 相似三角形面积的比等于它们相似比的平方；
(3) 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线；
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。
相似三角形
对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
如果三边分别对应A,B,C 和a ，b ，c ：那么：A/a=B/b=C/c ，即三边边长对应比例相同。
判定方法
定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
预备定理
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）
1判定定理
常用的判定定理有以下6条：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
）（AA ）
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）（SAS ）
判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
）（SSS ）
判定定理4：两个三角形三边对应平行，则个两三角形相似。
（简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
）
判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
）（HL）
判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。
相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形。
一定相似
符合下面的情况中的任何一种的两个（或多个）三角形一定相似：
1.两个全等的三角形
全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1。
补充：如果△ABC∽△A‘B’C‘，∴AB/A’B‘=AC/A’C‘=BC/B'C’=K
当K=1时，这两个三角形全等。
（K为它们的比值）
2.任意一个顶角或底角相等的两个等腰三角形
两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。
3.两个等边三角形
两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似。
4.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形
由于斜边的高形成两个直角，再加上一个公共的角，所以相似。
2性质定理
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
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由（5）可得：相似比等于面积比的算术平方根。
3定理推论
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
性质
1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。
2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3.相似三角形周长的比等于相似比。
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
6.若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项
7.a/b=c/d等同于ad=bc.
8.不必是在同一平面内的三角形里。