2018-2019学年北京市海淀区七年级(上)期末数学试卷-普通用卷

2018-2019学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷
副标题
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是（）
A. B.
C. D. 没有刻度尺，无法确定
2.-5的绝对值是（）
A. 5
B.
C.
D.
3.2018年10月23日，世界上最长的跨海大桥-港珠澳大桥正式开通，这座大桥集跨
海大桥、人工岛、海底隧道于一身，全长约55000米．其中55000用科学记数法可表示为（）
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
5.若x=-1是关于x的方程2x+3=a的解，则a的值为（）
A. B. 5 C. D. 1
6.如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶
点重合，∠1=27°40′，∠2的大小是（）
A.
B.
C.
D.
7.已知AB=6，下面四个选项中能确定点C是线段AB中点的是（）
A. B. C. D.
8.若x=2时x4+mx2-n的值为6，则当x=-2时x4+mx2-n的值为（）
A. B. 0 C. 6 D. 26
9.从图1的正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图2．从正面看图2的几
何体，得到的平面图形是（）
A. B. C. D.
10.数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果一定是正数的是（）
A. B. C. ab D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
11.比较大小：-3______-2.1（填“＞”，“＜”或“=”）．
12.图中A，B两点之间的距离是______厘米（精确到厘米），
点B在点A的南偏西______°（精确到度）．
13.如图是一位同学数学笔记可见的一部分．若要补充文中这个不完整的代数式，你补
充的内容是：______．
14.如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那
么剩余白色长方形的周长为______（用含a，b的式子表示）．
15.如图，点O在直线AB上，射线OD平分∠COA，
∠DOF=∠AOE=90°，图中与∠1相等的角有______
（请写出所有答案）．
16.传统文化与创意营销的结合使已有近600年历史的故宫博物院重新焕发出生机，一
些文创产品让顾客爱不释手．某购物网站上销售故宫文创笔记本和珐琅书签，若文创笔记本的销量比珐琅书签销量的2倍少700件，二者销量之和为5900件，用x 表示珐琅书签的销量，则可列出一元一次方程______．
17.已知点O为数轴的原点，点A，B在数轴上，若AO=10，AB=8，且点A表示的数
比点B表示的数小，则点B表示的数是______．
18.如图，这是一个数据转换器的示意图，三个滚珠可以在槽内左右滚动．输入x的值，
当滚珠发生撞击，就输出相撞滚珠上的代数式所表示数的和y．已知当三个滚珠同
时相撞时，不论输入x的值为多大，输出y的值总不变．
（1）a=______；
（2）若输入一个整数x，某些滚珠相撞，输出y值恰好为-1，则x=______．
三、计算题（本大题共4小题，共25.0分）
19.计算：
（1）5-32÷（-3）；
（2）-8×（+1-1）．
20.解方程：
（1）5x+8=1-2x；
（2）．
21.已知2a-b=-2，求代数式3（2ab2-4a+b）-2（3ab2-2a）+b的值．
22.洛书（如图1），古称龟书，现已入选国家级非物质文化遗产名录．洛书是术数中
乘法的起源，“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中宫”是对洛书形象的描述，洛书对应的九宫格（如图2）填有1到9这九个正整数，满足任一行、列、对角线上三个数之和相等．洛书的填法古人是怎么找到的呢？在学习了方程相关知识后，小凯尝试
探究其中的奥秘．
【第一步】设任一行、列、对角线上三个数之和为S，则每一行三个数的和均为S，而这9个数的和恰好为1到9这9个正整数之和，由此可得S=______；
【第二步】再设中间数为x，利用包含中间数x的行、列、对角线上的数与9个数的关系可列出方程，求解中间数x．
请你根据上述探究，列方程求出中间数x的值．
四、解答题（本大题共5小题，共29.0分）
23.如图，点C在∠AOB的边OA上，选择合适的画图
工具按要求画图．
（1）反向延长射线OB，得到射线OD，画∠AOD
的角平分线OE；
（2）在射线OD上取一点F，使得OF=OC；
（3）在射线OE上作一点P，使得CP+FP最小；
（4）写出你完成（3）的作图依据：______．
24.如图1，已知点C在线段AB上，点M为AB的中点，AC=8，CB=2．
（1）求CM的长；
（2）如图2，点D在线段AB上，若AC=BD，判断点M是否为线段CD的中点，并说明理由．
25.已知k≠0，将关于x的方程kx+b=0记作方程◇．
（1）当k=2，b=-4时，方程◇的解为______；
（2）若方程◇的解为x=-3，写出一组满足条件的k，b值：k=______，b=______；
（3）若方程◇的解为x=4，求关于y的方程k（3y+2）-b=0的解．
26.如图，已知点O在直线AB上，作射线OC，点D在平面内，∠BOD与∠AOC互余．
（1）若∠AOC：∠BOD=4：5，则∠BOD=______；
（2）若∠AOC=α（0°＜α≤45°），ON平分∠COD．
①当点D在∠BOC内，补全图形，直接写出∠AON的值（用含α的式子表示）；
②若∠AON与∠COD互补，求出α的值．
27.数学是一门充满思维乐趣的学科，现有3×3的数阵A，数阵每个位置所对应的数都
是1，2或3．定义a*b为数阵中第a行第b列的数．
例如，数阵A第3行第2列所对应的数是3，所以3*2=3．
（1）对于数阵A，2*3的值为______；若2*3=2*x，则x的值为______；
（2）若一个3×3的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：
条件一：a*a=a；条件二：（a*b）*c=a*c；
则称此数阵是“有趣的”．
①请判断数阵A是否是“有趣的”．你的结论：______（填“是”或“否”）；
②已知一个“有趣的”数阵满足1*2=2，试计算2*1的值；
③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a，b满足交换律a*b=b*a？若存在，请写出一
个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：由图可知，A′B′＜AB；
故选：C．
根据比较线段的长短进行解答即可．
本题主要考查了比较线段的长短，解题的关键是正确比较线段的长短．
2.【答案】A
【解析】
解：-5的绝对值是：|-5|=5．
故选：A．
根据绝对值的含义和求法，可得-5的绝对值是：|-5|=5，据此解答即可．
此题主要考查了绝对值的含义和求法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键
是要明确：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数
有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．
3.【答案】C
【解析】
解：55000=5.5×104．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】
解：∵3a+2b不能合并，故选项A错误；
∵3a-（-2a）=3a+2a=5a，故选项B正确；
∵3a2-2a不能合并，故选项C错误；
∵（3-a）-（2-a）=3-a-2+a=1，故选项D错误，
故选：B．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
5.【答案】D
【解析】
解：把x=-1代入方程得：-2+3=a，
解得：a=1，
则a的值为1，
故选：D．
把x=-1代入方程计算即可求出a的值．
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6.【答案】B
【解析】
解：∵∠BAC=60°，∠1=27°40′，
∴∠EAC=32°20′，
∵∠EAD=90°，
∴∠2=90°-∠EAC=90°-32°20′=57°40′；
故选：B．
根据∠BAC=60°，∠1=27°40′，求出∠EAC的度数，再根据∠2=90°-∠EAC，即可求出∠2的度数．
本题主要考查了度分秒的换算，关键是求出∠EAC的度数，是一道基础题．
7.【答案】B
【解析】
解：A、AC+BC=6，C不一定在线段AB中点的位置，不符合题意；
B、AC=BC=3，点C是线段AB中点，符合题意；
C、BC=3，点C不一定是线段AB中点，不符合题意；
D、AB=2AC，点C不一定是线段AB中点，不符合题意．
故选：B．
根据线段中点的定义确定出点A、B、C三点共线的选项即为正确答案．
本题考查了两点间的距离，要注意根据条件判断出A、B、C三点是否共线．
8.【答案】C
【解析】
解：把x=2代入得：16+4m-n=6，
解得：4m-n=-10，
则当x=-2时，原式=16+4m-n=16-10=6，
故选：C．
把x=2代入求出4m-n的值，再将x=-2代入计算即可求出所求．
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9.【答案】D
【解析】
解：从正面看是，
故选：D．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
10.【答案】A
【解析】
解：数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，由它们的位置可得a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|，
则a-b＜0，ab＜0，|a|-b＜0，
故运算结果一定是正数的是a+b．
故选：A．
数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，由它们的位置可得a＜0，a+b＞0，b
＞0且|a|＜|b|，再根据整式的加减乘法运算的计算法则即可求解．
考查了列代数式，数轴，正数和负数，绝对值，关键是得到a＜0，a+b＞0，b＞
0且|a|＜|b|．
11.【答案】＜
【解析】
解：∵|-3|＞|-2.1|，
∴-3＜-2.1，
故答案为：＜．
直接根据负数比较大小的法则进行比较即可．
本题考查的是有理数大小，熟知以下知识是解答此题的关键：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小．
12.【答案】2 58
【解析】
解：测量可得，图中A，B两点之间的距离是2厘米（精确到厘米），点B在点A 的南偏西58°（精确到度）．
故答案为：2，58．
根据长度的测量可求图中A，B两点之间的距离；根据方向角的定义可求点B 的方向．
考查了两点间的距离，关键是熟练掌握长度和角的测量方法．
13.【答案】答案不唯一，如：2x3
【解析】
解：可以写成：2x3+xy-5，
故答案为：2x3．
根据多项式的次数定义进行填写，答案不唯一，可以是2x3，3x3等．
本题考查了多项式的定义和次数，明确如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
14.【答案】4b-2a
【解析】
解：剩余白色长方形的长为b，宽为（b-a），
所以剩余白色长方形的周长=2b+2（b-a）=4b-2a．
故答案为4b-2a．
利用矩形的性质得到剩余白色长方形的长为b，宽为（b-a），然后计算它的周长．
本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角；邻边垂直；矩形的对角线相等；
15.【答案】∠COD，∠EOF
【解析】
解：∵射线OD平分∠COA，
∴∠COD=∠1．
∵∠DOF=∠AOE=90°，
∴∠DOE+∠EOF=90°，∠DOE+∠1=90°，
∴∠EOF=∠1．
∴图中与∠1相等的角有∠COD，∠EOF．
故答案为∠COD，∠EOF．
根据角平分线定义可得∠COD=∠1；根据同角的余角相等可得∠EOF=∠1．
本题考查了余角和补角，角平分线定义，掌握余角的性质是解题的关键．
16.【答案】（2x-700）+x=5900
【解析】
解：设珐琅书签的销售了x件，则文创笔记本销售了（2x-700）件，
根据题意得：（2x-700）+x=5900．
故答案为：（2x-700）+x=5900．
设珐琅书签的销售了x件，则文创笔记本销售了（2x-700）件，根据文创笔记本和珐琅书签共销售5900件，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17.【答案】-2或18
【解析】
解：∵AO=10，
∴点A表示的数为±10，
∵AB=8，且点A表示的数比点B表示的数小，
∴点B表示的数是-2或18，
故答案为：-2或18
根据AO=10，得到点A表示的数为±10，由AB=8，且点A表示的数比点B表示的数小，得到点B表示的数在点A表示的数的右边，于是得到结论．
本题考查了数轴，正确的理解题意是解题的关键．
18.【答案】-2 2
【解析】
解：（1）（2x-1）+3+ax=2x-1+3+ax=（2+a）x+2，
∵当三个滚珠同时相撞时，不论输入x的值为多大，输出y的值总不变，
∴2+a=0，得a=-2，
故答案为：-2；
（2）当y=2x-1+3=2x+2时，令y=-1，则-1=2x+2，得x=-1.5（舍去），
当y=3+（-2x）=-2x+3时，令y=-1，则-1=-2x+3，得x=-2，
故答案为：-2．
（1）根据题意得到y=2x-1+3+ax=（2+a）x+2，由y的值与x的值无关，可知x的系数为0，即2+a=0，由此求得a的值；
（2）结合（1）的a的值，可知当y=-1时，此时只有两个球相撞，分两种情况，从而可以求得x的值．
本题考查有理数的混合运算、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，求出a的值和相应的x的值．
19.【答案】解：（1）原式=5-9÷（-3），
=5+3，
=8；
（2）原式=，
=-4-8+10，
=-2．
【解析】
（1）先根据乘方的意义计算乘方运算，然后利用除法法则把除法运算化为乘法运算，根据负因式的个数判断得到结果的符号，最后利用加法法则即可得
出结果；
（2）根据乘法分配律进行计算即可．
此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先计算括号里边的，且先小括号，再中括号，最后算大括号，同级运算从左到右依次计算，有时可以利用运算律来简化运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：（1）移项得：5x+2x=1-8，
合并得：7x=-7，
解得：x=-1；
（2）去分母得：3（x+1）=2（2-3x），
去括号得：3x+3=4-6x，
移项合并得：9x=1，
解得：x=．
【解析】
（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】解：3（2ab2-4a+b）-2（3ab2-2a）+b
=6ab2-12a+3b-6ab2+4a+b
=-8a+4b，
∵2a-b=-2，
∴原式=-8a+4b=-4（2a-b）=-4×（-2）=8．
【解析】
利用去括号法则和合并同类项的方法先对所求式子进行化简，然后根据2a-b 的值，即可求得所求式子的值，本题得以解决．
本题考查整式的加减-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方
法．
22.【答案】15
【解析】
解：（1）S=（1+2+3+…+9）÷3=45÷3=15．
故答案为15；
（2）由计算知：1+2+3+…+9=45．
设中间数为x，
依题意可列方程：4×15-3x=45，
解得：x=5．
故中间数x的值为5．
（1）根据每一行三个数的和均为S，而这9个数的和恰好为1到9这9个正整数之和，由此可得S的值；
（2）设中间数为x，利用包含中间数x的行、列、对角线上的数与9个数的关系列出方程，解方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，理解洛书对应的九宫格的要求是解题的关键．
23.【答案】两点之间，线段最短
【解析】
解：（1）如图，OD、OE为所作；
（2）如图，点F为所作；
（3）如图，点P为所作；
（4）连接FC交OE于P，则根据两点之间，线段最短可判断此时PC+PF最小．答案为：两点之间，线段最短．
（1）、（2）根据几何语言画出对应的几何图形；
（3）连接CF交OE于P；
（4）利用两点之间线段最短求解．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，
一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，
逐步操作．
24.【答案】解：（1）方法一：
∵AC=8，CB=2，
∴AB=AC+CB=10，
∵点M为线段AB的中点，
∴，
∴CM=BM-CB=5-2=3．
或方法二：
∴CM=AC-AM=8-5=3．
（2）点M是线段CD的中点，理由如下：
方法一：
∵BD=AC=8，
∴由（1）可知，DM=DB-MB=8-5=3．
∴DM=MC=3，
∴由图可知，点M是线段CD的中点．
方法二：
∵AC=BD，
∴AC-DC=BD-DC，
∴AD=CB．
∵点M为线段AB的中点，
∴AM=MB，
∴AM-AD=MB-CB，
∴DM=MC
∴由图可知，点M是线段CD的中点．
【解析】
（1）方法一：根据线段的和差关系可求AB，再根据中点的定义可求BM，再根
据CM=BM-CB或方法二：CM=AC-AM即可求解；
（2）方法一：由（1）可知，DM=DB-MB，可得DM=MC，从而求解；方法二：根据等量关系可得AD=CB，根据中点的定义可得AM=MB，再根据等量关系可得DM=MC，从而求解．
本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．
25.【答案】x=2 1 3
【解析】
解：（1）当k=2，b=-4时，方程◇为：2x-4=0，x=2．
故答案为：x=2；
（2）答案不唯一，如：k=1，b=3．（只需满足b=3k即可）
故答案为：1，3；
（3）方法一：
依题意：4k+b=0，
∵k≠0，
∴．
解关于y的方程：，
∴3y+2=-4．
解得：y=-2．
方法二：
依题意：4k+b=0，
∴b=-4k．
解关于y的方程：k（3y+2）-（-4k）=0，
3ky+6k=0，
∵k≠0，
∴3y+6=0．
解得：y=-2．
（1）代入后解方程即可；
（2）只需满足b=3k即可；
（3）介绍两种解法：
方法一：将x=4代入方程◇：得，整体代入即可；
方法二：将将x=4代入方程◇：得b=-4k，整体代入即可；
本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程是关键．
26.【答案】50°
【解析】
解：（1）∵∠AOC：∠BOD=4：5，∠BOD与∠AOC互余，
∴∠BOD=90°×=50°；
（2）①补全图形如下：
∵∠BOD与∠AOC互余，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠COD=90°，
∵ON平分∠COD，
∴∠CON=45°，
∴∠AON=α+45°；
②情形一：点D在∠BOC内．
此时，∠AON=α+45°，∠COD=90°，依题意可得：α+45°+90°=180°，
解得：α=45°．
情形二：点D在∠BOC外．
在0°＜α≤45°的条件下，补全图形如下：
此时∠AON=45°，∠COD=90°+2α，
依题意可得：45°+90°+2α=180°，
解得：α=22.5°．
综上，α的取值为45°或22.5°．
故答案为：50°．
（1）根据余角的定义即可求解；
（2）①先根据余角、平角的定义求出∠BOC，再根据角平分线的定义求出∠COD，再根据角的和差关系即可求解；
②分点D在∠BOC内，点D在∠BOC外两种情况即可求解．
本题考查了余角和补角、角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．
27.【答案】2 1，2，3 是
【解析】
解：（1）对于数阵A，2*3的值为2；若2*3=2*x，则x的值为1，2，3；
（2）①由数阵图可知，数阵A是“有趣的”．
②∵1*2=2，
∴2*1=（1*2）*1，
∵（a*b）*c=a*c，
∴（1*2）*1=1*1，
∵a*a=a，
∴1*1=1，
∴2*1=1．
（3）不存在
理由如下：方法一：
若存在满足交换律的“有趣的”数阵，依题意，对任意的a，b，c有：a*c=（a*b）*c=（b*a）*c=b*c，
这说明数阵每一列的数均相同．
∵1*1=1，2*2=2，3*3=3，
∴此数阵第一列数均为1，第二列数均为2，第三列数均为3，
∴1*2=2，2*1=1，与交换律相矛盾．
因此，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．
方法二：
由条件二可知，a*b只能取1，2或3，由此可以考虑a*b取值的不同情形．例如考虑1*2：
情形一：1*2=1．
若满足交换律，则2*1=1，
再次计算1*2可知：1*2=（2*1）*2=2*2=2，矛盾；
情形二：1*2=2
由（2）可知，2*1=1，1*2≠2*1，不满足交换律，矛盾；
情形三：1*2=3
若满足交换律，即2*1=3，
再次计算2*2可知：2*2=（2*1）*2=3*2=（1*2）*2=1*2=3，
与2*2=2矛盾．
综上，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．
故答案为：2；1，2，3；是．
（1）根据定义a*b为数阵中第a行第b列的数即可求解；
（2）①根据“有趣的”定义即可求解；
②根据a*a=a；（a*b）*c=a*c，将2*1变形得到2*1=（1*2）*1即可求解；
③若存在满足交换律的“有趣的”数阵，依题意，对任意的a，b，c有：a*c=（a*b）*c=（b*a）*c=b*c，这说明数阵每一列的数均相同．进一步得到1*2=2，2*1=1，与交换律相矛盾．因此，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．
考查了规律型：数字的变化类，探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．。