1.1.1正弦定理(用)

(4)a=2,b=6,A=30o 无解
已知三角形两边和其中一边对角时，解的情况讨论： 已知a,b和∠A ⑴若A为锐角时:
a b s i n A 无 解 a b s i n A 一 解 b s i n A a b 两 解 a b 一 解
c sin B 10 sin 105 5( 6 2 ) 得 b= = sin C sin 30
已知两角和任一边，求其他两边和一角. 练习： （1）在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12。
解三角形.
C 30 , a c 4 3

(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
1.1.1正弦定理
一、情景导入：
问题1：如图，河流两岸有A、B两村庄，有人说 利用测角器与直尺，不过河也可以得到A、B两 地的距离(假设你现在的位置是A点)，请同学们 讨论设计一个方案解决这个问题。 B 1、测出角A、C的大小 2、量出AC的长度 C
A
问题2：此类问题可以归纳为在三角形中，已 知某些边与角，求其他的边与角的问题，此类 解三角形 问题. 问题在数学里称为___________
∵A、C∈(0，π)， π ∴cos A＝0，∴A＝2， ∴△ABC 为直角三角形．
例3
在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
问题3：在Rt三角形中，角C=90o，如何定义 sinA, sinB? A a b sin A , sin B c c
a b c c si nA si nB sinC
b c
C
a
B
问题 4 【猜想与推广】
那么对于一般的三角形,以上关系式是否 仍然成立？
可分为直角三角形，锐角三角形， 钝角三角形三种情况分析.
解三角形.（即求出其它边和角）
根据三角形内角和定理， B 180 (A C) 105 解：
b
c
由正弦定理
a c sin A sin C
a
B
A
c sin A 10 sin 45 10 2 得a = sin 30 sin C
b c 由正弦定理 sin B sin C
实现三角形当中边角之间的转化
a : b : c sin A : sin B : sin C
作业、 1、在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°，c= 3 2 求C，a ， b.
2、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°， 求A、b、c.
π 3、在△ABC 中，c＝ 6，C＝ ，a＝2， 3 求 A、B、b.
例2：在ABC中，a= 3, b 2, B 45 , 求A, C, c
0
解：
0 0 或 A 120 A 60 a b, A B, 且0 A 180
a sin B sin A b
0
3
0
2 2 3 2 2
0
(1)当A 60 , C 180 ( A B) 75 b sin C 2 6 2 6 2 c sin B 4 2 2 2 0 (2)当A 120 , C 1800 ( A B) 150 b sin C 2 6 2 6 2 c sin B 4 2 2 2
当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是 对 CD,根据三角函数的定义, 斜 si n 对=斜sinθ(θ为锐角) a b C CD=asinB=bsinA,则 sin A sin B 同理，做BC边上的高可得
AE=bsinC=csinB 即： A c b
Ea D
B
c b sin C sin B
C
C
C a b a A
B1
b
A
a
A H
b
C
a
b A
H
a
B
B
H
B2
a<bsinA 无解
a=bsinA 一解
bsinA<a<b 两解
a>=b 一解
解三角形时解的情况:
a b 无解 ⑵若A为直角或钝角时: a b 一解
C
a
b
A
C
a
b
A
2正弦定理用途：
解斜三角形 1.已知两角和任一边，求其它两边和 一角； 2.已知两边及其中一边对角，求另一 边的对角及其他的边和角。
∴b＝c，
∴△ABC为等腰直角三角形．
【名师点评】
判断三角形的形状，主要看其是
否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角 三角形或锐角三角形等，要特别注意“等腰直角 三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区 别．
作业
1、在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C， 且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
(4)a=2,b=6,A=30o 无解
2．在△ABC 中，a＝5，b＝3，C＝120° ，则 sin A∶sin B 的值是( 5 A. 3 3 C.7 ) 3 B. 5 5 D.7
解析： 在△ABC 中，C＝120° ，故 A，B 都是锐角．据 sin A a 5 正弦定理sin B＝b＝3，故选 A.
2sin A : sin B : sin C a : b : c
a b c (3) sin A sin B sin C abc k ( k 0) sin A sin B sin C
或a k sin A，b k sin B，c k sin C （k 0） .
B 30 , C 105
0

（三角形中大边对大角）
a sin C 2 6 2 c 3 1 sin A 4 2 2
思考
利用正弦定理可以解决怎样的解三角形问 题？
1.已知两角和任一边，求其它两边和 一角；
2.已知两边及其中一边对角，求另一 边的对角及其他的边和角。
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判断满足下列的三角形的个数: 两解 (1)b=11, a=20, B=30o 一解 (2)c=54, b=39, C=120o 两解 (3)b=26, c=15, C=30o
1．已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝60° ，那么角 A 等于( ) B．90° D．30°
A．135° C．45°
3 2· 2 asin B 2 解析： 由正弦定理得 sin A＝ b ＝ ＝2， 3 又∵a<b，∴A<B. ∴A＝45° ，故选 C.
答案：
C
判断满足下列的三角形的个数: 两解 (1)b=11, a=20, B=30o 一解 (2)c=54, b=39, C=120o 两解 (3)b=26, c=15, C=30o
解析： 根据正弦定理，得 asin B 3sin 45° 3 sin A＝ b ＝ ＝2， 2 ∵b<a，∴B<A，∴A＝60° 或 120° . ①当 A＝60° 时，C＝180° －(60° ＋45° )＝75° ， 6＋ 2 bsin C 2sin 75° ∴c＝ sin B ＝ sin 45° ＝2sin(45° ＋30° )＝ 2 . ②当 A＝120° 时，C＝180° －(A＋B)＝15° ，
△ABC的形状．
【解】 在△ABC 中， a b c 根据正弦定理： ＝ ＝ ＝2R. sin A sin B sin C a 2 b 2 c 2 2 2 2 ∵sin A＝sin B＋sin C，∴( ) ＝( ) ＋( ) ， 2R 2R 2R
即 a2＝b2＋c2.∴A＝90° ，∴B＋C＝90° . 由 sin A＝2sin Bcos C，得 sin 90° ＝2sin Bcos(90° －B)， 1 2 ∴sin B＝ . 2 ∵B 是锐角， 2 ∴sin B＝ ， 2 ∴B＝45° ，C＝45° . ∴△ABC 是等腰直角三角形．
答案：
A
3．在△ABC 中，BC＝ 3，A＝45° ，B＝60° ，则 AC＝ ________.
解析：
AC BC 由正弦定理得： ＝ sin B sin A
3×sin 60° 3 2 BCsin B ∴AC＝ ＝ ＝ sin A sin 45° 2
3 2 答案： 2
4．已知：△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45° ，求 A、 C 及 c.
4、在△ABC 中，已知 a＝5 2，c＝10，A＝30° ， 求 B、C 及 b.
1.1.1正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即
a b c sin A sin B sin C
变式:
a b b c c a 1 ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A
a b c sin A sin B sin C
所以，
当△ABC是钝角三角形时,设边AB上的高是 CD,根据三角函数的定义, a b CD=asinB=bsinA,则 sinA sinB Ａ c 同理，做BC边上的高可得 Ｄ b AE=bsin∠ACE=bsinC=csinB 即：
c b sin C sin B
6－ 2 bsin C 2sin 15° ∴c＝ sin B ＝ sin 45° ＝2sin(45° －30° )＝ 2 ， 6＋ 2 ∴A＝60° ，C＝75° ，c＝ 2 ， 6－ 2 或 A＝120° ，C＝15° ，c＝ 2 .
a b c 例4 .在ΔAB C 中, 已知 , co sA co sB co sC 试判断ΔAB C 的形状 .
0
（三角形中大边对大角） 0
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
练习：在ABC中，a=2, b 2, A 45 , 求B, C, c
0
2 2 b sin A 1 2 解：由正弦定理得 sin B a 2 2 a b, A B, 且00 B 1800
RTX讨论六：
已知两边及夹角，怎样求 三角形面积？
数学建构
三角形面积公式：
c
B
1 1 1 S Δ A B C ab sinC b csinA acsinB A 2 2 2 1 b 证明：∵ S Δ A B C ah a
ha
D
a
∴
1 1 1 S Δ A B C ab sinC b csinA acsinB 2 2 2
a 2 sin A cos B 2、在ABC中，若 2 ，判断ABC的形状。 b cos A sin B
a k,由正弦定理，得 解： 令 sin A
a k sinA, b k sinB, c k sinC
代入已知条件，得： sinA sinB sinC cosA cosB cosC 即
tanA tanB tanC
又A,B,C (0 ,π), A B C,
从而ΔABC为正三角 形。
1 1 S Δ A B C acsinB ab sinC 2 2 1 同理 S Δ A B C b csinA 2
∴
而 C
h a A D c sin B b sin C
2
互动探究3 状．
若本例中的条件“sin A＝2sin B cos C”
改为“sin2A＝2sin B sin C”，试判断△ABC的形 解：由sin2A＝sin2B＋sin2C， 得a2＝b2＋c2.∴A＝90°. ∵sin2A＝2sin B sin C， ∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc.
a b c sin A sin B sin C
E
Ｃ a
Ｂ
所以，
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即
a b c =2R(R为 sin A sin B sin C
ABC外接圆半径)
定理的应用
（1）已知两角和任一边， 求其他两边和一角
。 。
C
例 1：在△ABC 中，已知c = 10,A = 45 , C = 30 ，
3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 若b＝acos C，试判断△ABC的形状． 解析： ∵b＝acos C， 由正弦定理得：sin B＝sin A·sin C. ∵B＝π－(A＋C)， ∴sin(A＋C)＝sin A·cos C. 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C， ∴cos Asin C＝0，