2017-2018高一数学上学期数学竞赛试题及答案qq
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A卷)试题及答案考点分析
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A 卷)试题及答案考点分析2017年全国高中数学联合竞赛一试卷〉参考答案及评分标准说明孑1.评阅试卷时*请依据本评分标淮.填空趣只设S 分和o 分两档1其他备题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.N 如果考生的解??方法和本解答不同+只要思路合理"步骤1E 确，在评卷时训 参苇本评分标准适为划分档次评仆.解芥题中第9小题*分対--个栉次.第10. 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次*一、填空题；本大题共*小题，每小題*分，共64分.设八龙)屣走文任H 上的噌数，对任意实^xfTf(x+3)f(x-4) = -l.又 当0冬“V7时・/(x)=log 3(9-x)・则/X-100)的値为 ____________________________ ・答案；■齐比庄平面現角坐标系xQy 中.fffiEfC 的方程为芝■ +匚=1, F 为C 的上煉点，A 的右顶点.戶是(?上位丁第象限内的別点*则四边Jg OAPF 的面积 的燧大值为 ”解：易知#(3,0), F(O,D.设尸的酸掠圧(3ws 罠JTB 抽叭，w九秤=孔加 V S s^r- = | ■ 3 ■sin 0 + | ■ I ■ 3 cos!〔中 y ： — arctan —.当（9 — arctanVTo 时.四边形OAPF iff | 积的fit 大備为卫■土*解：由篆件知，/U + 14） = ---------------- = f （x} t 所以./<x + 7）2.若实数工j 满足”F 4- 2 cosy = 1 .则x — cos y 的収值范围足i _______ 答案:H1,広+ 1].解：由 +.Y 1- 1 -2cos yG[-l > 故GX 时F 可以収？Th 由于扌U+1)'—1的恤域筍-h J5 + 1］，从而X-CGSJ 的耿值范围是［一匕J5 + 1］・si n （ 4 *} +4. 若一个三位数中任总两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是____________ ・答案：75. _解：考虑平稳数赢.若6 = 0,则。
【数学竞赛】2018高一数学竞赛试题及答案
【数学竞赛】2018高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合A ＝{x||x|≤2，x ∈R }，B ＝{x|x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2) B ．[0，2] C ．{0，2} D ．{0，1，2} 2．若,,,,b a R c b a >∈则下列不等式成立的是( ) A ．ba 11< B ．22b a > C ．1122+>+c bc a D ．c b c a >3.下列函数为偶函数，且在)0,(-∞上单调递减的函数是( ) A ．32)(x x f = B ．3)(-=x x fC ．xx f )21()(=D ．x x f ln )(=4. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β5. 等比数列{}n a 的前项和为n S ，且321,2,4a a a 依次成 等差数列，且11=a , 则10S =( )A ．512 B. 511 C ．1024 D ．1023 6．已知f(x)＝2tanx －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f(π12)的值为( )A.833B. 8 C ．4 D. 4 3 7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最大值为()A ．10B ．8-C ．6D ．4 8．已知0,0>>y x ，且112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．24-≤≥m m 或 B. 42-≤≥m m 或 C ． 24<<-m D. 42<<-m9. 如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°D ．四面体A ′－BCD 的体积为1310. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，,)2(log )(2b x x x f +++= 则3)(>x f 的解集为（ ）A ．)2,(--∞ ∪ ),2(+∞B . )4,(--∞∪ ),4(+∞C ．)2,2(- D. )4,4(-11. 若直线45π=x 和49π=x 是函数 )0)(sin(>+=w wx y ϕ 图象的两条相邻对称轴，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．43π B. 4π C ．3π D. 2π 12. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，[)[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+=,,1,31,1,0),1(log )(21x x x x x f则关于x 的函数)10()()(<<-=a a x f x F 的所有零点之和为（ ） A ．12-a B ．12--a C ．a --21 D ．a 21-二、填空题（每题5分,共20分）13. 已知),1,2(),4,1(),3,(===c b k a 且,)32(c b a⊥-则实数=k _________。
2018年全国高中数学联合竞赛试卷(一试)(B卷)(附答案详解)
2018年全国高中数学联合竞赛试卷（一试）（B 卷）一、单空题（本大题共8小题，共64.0分）1. 设集合A ={2,0,1,8}，B ={2a|a ∈A}，则A ∪B 的所有元素之和是______．2. 已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1，在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ与底面所成角不大于45°，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为______． 3. 将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，则abc +def 是奇数的概率为______．4. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，n⃗ =(3,1)是l 的一个法向量，已知数列{a n }满足：对任意的正整数n ，点(a n+1,a n )均在l 上，若a 2=6，则a 1a 2a 3a 4a 5的值为______．5. 设α，β满足tan(α+π3)=−3，tan(β−π6)=5，则tan(α−β)的值为______． 6. 设抛物线C ：y 2=2x 的准线与x 轴交于点A ，过点B(−1,0)作一直线l 与抛物线C 相切于点K ，过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点M ，N ，则△KMN 的面积为______． 7. 设f(x)是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[1,2]上严格递减，且满足f(π)=1，f(2π)=0，则不等式组{0≤x ≤10≤f(x)≤1 的解集为______．8. 已知复数z 1，z 2，z 3满足|z 1|=|z 2|=|z 3|=1，|z 1+z 2+z 3|=r ，其中r 是给定实数，则z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1的实部是______(用含有r 的式子表示)． 二、解答题（本大题共3小题，共56.0分） 9. 已知数列{a n }，a 1=7，a n+1a n=a n +2，n =1，2，3，⋯.求满足a n >42018的最小正整数n ．10. 已知定义在R +上的函数f(x)={|log 3x −1|,0<x ≤94−√x,x >9，设a ，b ，c 是三个互不相同的实数，且满足f(a)=f(b)=f(c)，求abc 的取值范围．11.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A、B与C、D分别是椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点与上、下顶点，设P，Q是Γ上且位于第一象限的两点，满足OQ//AP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R.证明：线段OQ，OR，BC能构成一个直角三角形．答案和解析1.【答案】31【解析】解：因为集合A={2,0,1,8}，B={2a|a∈A}={0,2,4,16}，所以A∪B={0,1,2,4,8,16}，所以A∪B的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31．故答案为：31．先求出集合B，然后由集合并集的定义求出A∪B，即可得到答案．本题考查了集合的运算，主要考查了集合并集的定义，属于基础题．2.【答案】3π【解析】解：圆锥的顶点P在底面上的投影即为底面中心，设为O，所以∠OQP即为直线PQ与底面所成的角，因为直线PQ与底面所成角不大于45°，则tan∠OQP=OPOQ≤1，即OQ≥1，所以所求的区域面积为π⋅22−π⋅12=3π．故答案为：3π．圆锥的顶点P在底面上的投影即为底面中心，设为O，由线面角的定义可知，∠OQP即为直线PQ与底面所成的角，由题意求出OQ≥1，由圆的面积公式求解即可．本题考查了动点轨迹的求解，直线与平面所成角的理解与应用，圆的面积公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．3.【答案】110【解析】解：将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，基本事件总数n=6!，当abc+def为奇数时，abc，def必为一奇一偶，若abc为奇数，则a，b，c为1，3，5的排列，这样有3！×3！=36种情况，由对称性可知满足条件的情况有：36×2=72种，∴abc+def是奇数的概率为P=726!=110．故答案为：110．基本事件总数n=6!，当abc+def为奇数时，abc，def必为一奇一偶，求出满足条件的情况有72种，由此能求出abc+def是奇数的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】−32【解析】【分析】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基本知识的考查与应用．由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得a n+1=−13a n，则数列{a n}为公比q为−13的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．【解答】解：直线经过坐标原点，n⃗=(3,1)是l的一个法向量，可得直线l的斜率为−3，即有直线l的方程为y=−3x，点(a n+1,a n)均在l上，可得a n=−3a n+1，即有a n+1=−13a n，则数列{a n}为公比q为−13的等比数列，可得a3=a2q=6×(−13)=−2．所以a1a2a3a4a5=(−2)5=−32．故答案为：−32．5.【答案】−74【解析】解：因为α，β满足tan(α+π3)=−3，tan(β−π6)=5，所以由两角差的正切公式可知tan[(α+π3)−(β−π6)]=tan(α+π3)−tan(β−π6)1+tan(α+π3)tan(β−π6)=−3−51+(−3)×5=47，所以tan(α−β+π2)=47，即cot(α−β)=−47，所以tan(α−β)=−74故答案为：−74．由已知利用两角差的正切公式，诱导公式即可计算得解．本题主要考查了两角差的正切公式，诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.【答案】12【解析】解：设直线l与MN的斜率为k，则l：x=1k y−1，MN：x=1ky−12，将l于C联立，得方程y2−2ky+2=0，由△=4k2−8=0可得k=±√22，将MN于C联立，得方程y2−2ky+1=0，于是|y M−y N|=√(y M+y N)2−4y M y N=√4k2−4=2，结合l与MN平行，可知S△KMN=S△BMN=|S△BAM−S△BAN|=12|AB|⋅|y M−y N|=12⋅12⋅2=12故答案为：12．设出直线l与，MN的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理、面积公式即可求解．本题考查了直线与抛物线位置关系，考查了计算能力，属于中档题．7.【答案】[2π−6,4−π]【解析】解：由f(x)为偶函数且在区间[1,2]上严格递减，可得f(x)在[−2,−1]上严格递增，又因为f(x)是以2为周期的函数，所以f(x)在[0,1]上严格递增， f(4−π)=f(π−4)=f(π)=1，f(2π−6)=f(2π)=0， 所以0≤f(x)≤1⇔f(2π−6)≤f(x)≤f(4−π)，而0<2π−6<4−π<1，所以原不等式组∈[2π−6,4−π]． 故答案为：[2π−6,4−π]．根据函数的奇偶性、单调性和周期性可得f(x)在[0,1]上严格递增，由f(π)=1，f(2π)=0得出f(4−π)=1，f(2π−6)=0，从而由0≤f(x)≤1得出f(4−π)≤f(x)≤f(2π−6)，从而可得原不等式组的解集．本题主要考查函数的单调性、奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．8.【答案】r 2−32【解析】解：记w =z 1z 2+z 2z 3+z3z 1，由复数模的性质可知，z 1−=1z 1，z 2−=1z 2，z 3−=1z 3，故w =z 1z 2− +z 2z 3−+z 3z 1−，r 2=(z 1+z 2+z 3)(z 1−+z 2−+z 3−)=|z 1|2+|z 2|2+|z 3|2+w +w −=3+2Rew ， 解得Rew =r 2−32，故z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1的实部是r 2−32．故答案为：r 2−32．根据已知条件，结合复数模公式，以及复数实部的概念，即可求解． 本题主要考查复数模公式，以及复数实部的概念，属于难题．9.【答案】解：由a n+1a n=a n +2知a n+1+1=(a n +1)2， 故a n +1=(a 1+1)2n−1=82n−1=23×2n−1，故a n =23×2n−1−1，显然{a n }单调递增，由于a 11=23072−1<24036=42018， a 12=26144−1>24036=42018，故满足a n >42018的最小正整数n 为12．【解析】略 略10.【答案】解：不妨设a <b <c ，由于f(x)在(0,3]上严格单调递减，在[3,9]上严格单调递增，在[9,+∞)上严格打电脑递减，又f(3)=0，f(9)=1，结合图象可知a ∈(0,3)，b ∈(3,9)，c ∈(9,+∞)，所以f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1)， 由f(a)=f(b)得，1−log 3a =log 3b −1， 取log 3a +log 3b =2， 所以ab =32=9， 所以abc =9c ，又0<f(x)=4−√c <1， 所以c ∈(9,16)，所以abc =9c ∈(81,144)， 所以abc 的取值范围为(81,144)．【解析】先判断函数的性质以及图象的特点，设a <b <c ，由图象得ab 是个定值，利用数形结合思想去解决即可．本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．11.【答案】证明：设点P 坐标为(x 0,y 0)，由于OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OR ⃗⃗⃗⃗⃗ //OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OP⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 故存在实数λ，μ，使得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 此时点Q ，R 的坐标可分别表示为(λ(x 0+a),λy 0)，(μ(x 0−a),μy 0)， 由于Q ，R 都在椭圆上，于是λ2[(x 0+a)2a 2+y 02b 2]=μ2[(x 0−a)2a 2+y 02b 2]=1，结合x 02a 2+y 02b2=1知，上式可化为λ2(2+2x 0a)=μ2(2−2x 0a)=1，解得λ2=a2(a+x 0),μ2=a2(a−x 0)，因此|OQ|2+|OR|2=λ2[(x 0+a)2+y 02]+μ2[(x 0−a)2+y 02]， =a 2(a+x 0)[(x 0+a)2+y 02]+a2(a−x 0)[(x 0−a)2+y 02]=a(a+x 0)2+ay 022(a+x 0)+a(a−x 0)2+ay 022(a−x 0)=a 2+ay 022(1a+x 0+1a−x 0)=a 2+ay 022⋅2aa 2−x 02=a 2+a 2b 2(1−x 02a 2)a 2−x 02=a 2+b 2=|BC|2，∴线段OQ ，OR ，BC 能构成一个直角三角形．【解析】设点P 坐标为(x 0,y 0)，依题意，存在实数λ，μ，使得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则点Q ，R 的坐标分别为(λ(x 0+a),λy 0)，(μ(x 0−a),μy 0)，然后再验证|OQ|2+|OR|2=|BC|2即可得证．本题考查椭圆性质以及平面向量在解析几何中的运用，对运算能力要求较高，属于较难题目．。
2017年五套数学竞赛题附答案
2017年浙江高中数学竞赛一，填空题（每题8分，共80分）1. 在多项式()()610321x x x 的展开式+-的系数为______.2. 已知()5log35log172+=-a a ，那么实数a=_________.3. 设()[]1,02在b ax x x f ++=中有两个实数根，那么b a 22-的取值范围是___________.4. 设()1sin sin sin cos cos cos sin ,,222222=+-+-∈y x yx y x x x R y x 且，那么=-y x _______. 5.已知两个命题，命题()()0log :>=x x x f p a 函数单调递增；命题函数:q ()012>++=ax x x g ()R x ∈,q p q p ∧∨为真命题，若为假命题，那么实数a 的取值范围为____.6. 设S 是⎪⎭⎫ ⎝⎛850，中所有有理想的集合，对简分数()1,,=∈q p S pq，概念函数,1p q p q f +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则()32=x f 在S 中根的个数为___________.7. 已知动点P ,M,N 别离在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，那么PN PM +的最小值为__________.8. 已知棱长为1的正四面体P —ABC,PC 的中点为D,动点E 在线段AD 上，那么直线与平面ABC 所成的角的取值范围为__________.9.已知平面向量0.10,321,,,=⋅<<===c b c b a若λ，()λλ---1所有取不到的值的集合为____________. 10. 已知()()()0421212,0.1,0,2222=---+-+⎩⎨⎧≥-<-=x a x x f x x f x x x x x f 方程有三个根.321x x x <<若()12232x x x x -=-，那么实数a=_______.二. 解答题11. （此题总分值20分）设()()()，⋯=+=+=+,2,1,316,322121n x f x x f x x f n n 对每一个n ，求()x x f n 3=的实数解。
(word版)20172018高一数学上学期数学竞赛试题及答案qq
高一数学竞赛试题班级姓名第一卷〔选择题共60 分〕 一、选择题：本大题共12小题，每题 4分，共 48分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符 合题目要求的． ．集合A {x|x 2m 1,m Z} ,B {x|x n,n Z}，且x 1,x 2A ，x3B ，那么以下判1 断不正确的选项是( )A ．x1x2 AB ．x2x3 BC ．x1 x2 BD ．x1 x2 x3A2．在如下列图的正四棱柱ABCDABCD中， E ， 分别是棱BB ，11 11F 1 AD的中点，直线BF 与平面AD 1E 的位置关系是()A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．异面3．设{ 1,1,1,3}，那么使函数yx 的定义域为R 的所有的值为()2A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,34．假设a b 0，0c1，那么〔 〕A.log a c log b cB.log c alog c bC.a cb cD.c a c b5．函数f(x)log 3(2x1)的定义域为()A ．[1, )B ．(1, )C ．( 1 , )D ．( 1 ,1)2 26.设m,n 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，那么以下命题中正确的选项是 〔 〕A ．假设m//n ，m// ，那么n//aB ．假设 ，m// ，那么mC ．假设 ，m ，那么m// D ．假设m n ，m a ，n ，那么7．一个几何体的三视图如下列图〔单位：cm〕，那么此几何体的外表积〔单位： cm 2〕是〔 〕A ．102B ．128C ．144D．1848．函数y ＝1-x 2+2x的值域是〔〕2A．R B1，＋∞C．(2，＋∞) D.(0，＋∞)．219．曲线y 11x 2与直线y k(x 2)有交点时，实数k 的取值范围是〔 〕A ．(5,4]B ．(3,4)C ．[1,4 ]D．[0,4]12 3 4 3 3 3310.函数ylog 2(x1)的图象大致是()11. 函数yf x x R 是奇函数且当x0,时是减函数，假设f1 0，那么函数yf x 2 2x．．．． 〔 〕的零点共有A.4 个B.6个C.3个 D.5个12.函数f(x)x 2 4x,x 0 ，假设f (2a 1) f(a)，那么实数a的取值范围是 〔〕x 24x,xA ．(,1)(1,)B ．(,3)(1,)C ．(1,1)D ．(3,1)33题号 12345 6 78 9101112选项第二卷〔非选择题，共 72分〕二、填空题:本大题共4小题，每题 4分，共16分.13．将一张坐标纸折叠一次，使点(2,6)与点(4,6)重合，那么与点(－4,1)重合的点的坐标是________．14．各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为2，那么这个球的体积为．15．圆心在y 轴上且通过点 (3,1)的圆与x 轴相切，那么该圆的方程是 .16．以下四个命题中，正确的选项是 〔写出所有正确命题的序号 〕．．．．．．．．．．．．．．．①函数fx 的定义域为0,2，那么函数f 2x 的定义域为 0,4 ；②设集合A1,0,1,B1,1 ，那么在A 到B 的所有映射中，偶函数共有4个；．．③不存在实数 a ，使函数f x2ax2ax3的值域为 0,1④函数fxlog 1 (x 2ax3a)在2,上是减函数，那么4a4.22三、解答题:本大题共 6小题,共56分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.〔本小题总分值10分〕设集合A {x|1 x 3}，集合B {x|2m x 1 m}，.〔Ⅰ〕当〔Ⅱ〕假设〔Ⅲ〕假设1时，求AB；B，求实数m的取值范围；A B，求实数m的取值范围.318．〔本小题总分值10分〕函数 f(x) log a(1 x) log a(x 3) (0 a1).〔Ⅰ〕求函数f(x)的零点；〔Ⅱ〕假设函数f(x)的最小值为4，求a的值.419.〔本小题总分值12分〕圆C过点M(0,2)，N(3,1),且圆心C在直线x2y 10上.(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)问是否存在满足以下条件的直线l：①直线l的斜率为1；②直线l被圆C所截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点.假设存在这样的直线l，求直线l的方程；假设不存在，请说明理由．520．〔本小题总分值12分〕三棱柱ABC A1B1C1中，CC1平面ABC，ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边中点，且CC12AB．〔Ⅰ〕求证：平面C1CD⊥平面ADC1；〔Ⅱ〕求证：AC1∥平面CDB1；〔Ⅲ〕求三棱锥D CAB1的体积．621.(本小题总分值12分)如图，PA垂直于矩形ABCD所在平面，AE PB,垂足为E，PF G EF PC垂足为F.〔Ⅰ〕设平面AEFPD G，求证：PC AG；〔Ⅱ〕设PA6，AB3,M是线段PC的中点，求证：DM∥平面AEC.MED ABC7〔本小题总分值12分〕f(x)是定义在[1,1]上的奇函数，且f(1)1，假设a,b[1,1]，ab0时，有f(a)f(b)0成立．a b f(x)[1,1]〔Ⅰ〕判断在上的单调性，并证明；〔Ⅱ〕解不等式：f(2x1)f(3x1)0；〔Ⅲ〕假设f(x)m22am1对任意x1,1,任意a[1,1]恒成立，求实数m的取值范围．82021－2021学年高一上学期期末考试高一数学答案一、选择题CDDDBDABCDBA二、填空题315、432213、114、516、x＋y－10y＝0三、解答题17、解：18、解：(Ⅰ)要使函数有意义：那么有1x>03<x<1 x3，解之得：>0函数可化为f(x)log a(1x)(x3)log a(x22x3)由f(x)0，得x22x31即x22x20，x13-13(3,1)∴f(x)的零点是13分分9(Ⅱ)函数化为：f(x)log a(1x)(x3)log a(x22x3)log a(x1)24∵3<x<1∴0<-(x1)2447分∵0<a<1∴log a(x1)24loga4即f(x)min log a4由log a44，得a4412，∴a4410分219、20、解：(Ⅰ)∵CC1⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴CC1⊥AB∵△ABC是等边三角形,CD为AB边上的中线，∴C D⊥AB2分CD∩CC1=C∴AB⊥平面C1CD∵AB?平面ADC1∴平面C1CD⊥平面ADC1；4分(Ⅱ)连结BC1，交B1C于点O，连结DO．那么O是BC1的中点，DO是△BAC1的中位线．∴DO∥AC1．∵DO?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；8分10(Ⅲ)∵CC1⊥平面ABC，BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC．∴BB1三棱 D CBB1的高．=．∴三棱 D CAB1的体．12分明：〔Ⅰ〕PA平面ABCD,BC平面ABCDBC PA；又BC AB，PA AB A，BC平面ABP；而AE平面ABP，AE BC，又AE PB,PB BC B,AE平面PBC；PC平面PBC,PC AE,又PC EF,EF AE E,PC平面AEFG，AG平面AEFG,PC AG⋯⋯(6分)(注：本可以接着往下推理，AG CD,AG平面PCD,AG PD可以作解卷用)〔Ⅱ〕PA6,AB3,PA AB,AEPB,PE2,BE 1,即PE2EB,取PE中点N，MN,ND,BD,AC，BD AC O,EO，在PEC中，PNNE,PMMC,MN∥EC,同理ND∥EO,MN ND N,平面MND∥平面AEC，又DM平面DMN,DM∥平面AEC⋯⋯(12分)解：(Ⅰ)任取x1，x2∈[－1,1]，且x1<x2，－x2∈[－1,1]，∵f(x)奇函数，fx1＋f－x22分∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2)，x1＋－x2由得fx1＋f－x2>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．x1＋－x2∴f(x)在[－1,1]上增．4分12x11(Ⅱ)∵f(x)在[－1,1]上增，∴113x16分2x113x∴不等式的解集x0x 27分.5(Ⅲ)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上增．∴在[－1,1]上，f(x)≤1.22恒成立．9分化m－2am＋1≥1，即m－2am≥0，a∈[－1,1]下面来求m的取范．2g(a)＝－2m·a＋m≥0.①假设m＝0，g(a)＝0≥0，a∈[－1,1]恒成立．11②假设m≠0，那么g(a)为a的一次函数，假设g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须g(－1)≥0且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.综上，m＝0或m≤－2或m≥212分12。
2018年高中数学联赛高一数学竞赛试卷答案
62
2w
p1
pp
f (x) sin(2x ) ，所以单调增区间为 ( kp, kp), k Z ；
62
3
6
p1 （2）由题意可得 sin(2a ) ，所以
63
7
3
7Hale Waihona Puke sin( 4 ) sin( 2(2 )) cos(2(2 ))
f (3) 2
1 sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos 3x sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos 3x
4、因为
sin x sin 2x cos x cos 2x max cos x , cos 3x 1
2a 0
∴ 存 在 实 数 a (0,3 2 2) ， 使 得 f (x) 的 定 义 域 为 [m, n] ， 值 域 为
[1 loga n,1 loga m] ．
2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 2 页 共 2 页
p1
2p
12、（1） f (x) sin(2wx ) ，而周期T p ，所以 w 1，即
∴ f (m) 1 loga m, f (n) 1 loga n ， ∴ m, n 是方程 f (x) 1 loga x 的两个根，
化简得 ax2 (a 1)x 1 0 在 (1,) 上有两不同解，
设 g(x) ax2 (a 1)x 1，则ga(1) 1 01，解得 0 a 3 2 2 ．
2
f ( y) f (y) 0 ，所以 f (p y) f ( y) 0 ，即 f (x) 的周期为 2p ．
2018年全国高中数学联合竞赛一试B卷参考答案(含加试)
三）叶
(9a+b+I) — ( 6矗+ b) 分 [1, 9], 均有 11cx)I<2, 则 ………………10 分 切 @ @
由句，＠得， 2a-6 = /(2)-/(1); 又由＠，＠得， 6a-2 = /(3)-/(2). 由上述两式消去 a, 可知 但 /(3)-4/(2)+3/(1)<2+4 . 2+3. 2=16, 矛盾！从而命题得证．
2018年全国高中数学联合竞赛一试(B卷） 参考答案及评分标准
为
是0+1+ 2+ 4+8+16=31. 2. 已知 圆锥的 顶点为P, 底面半径长为2'高为1.在圆锥 底面 上取 一 点Q , ° 使得 直线PQ与底面所成角不大千45 , 则满足条件的点Q所构成的区域 的面积 解：圆锥顶点 P在底面上的投影即为底面中心， 记之为o. 由条件知， OP = tan乙OQP三1'即OQ之1'故所求 的区域面积为7r·22 -Jr-12 =31r. OQ 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成 一 行，记为a,b,c,d,e ,f, 则abc+def是奇数的概 答案： 1 — 答案： 31r.
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同， 只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 一 个档次 ，第10、 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为 一 个档次 ，不得增加其他中间档次． 11小题5分为 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． {2, 0,1,8}, B= {2a I a E A}, 则AUB的所有元素之和是 1. 设集合A= ．
2017-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案(20200609100016)
2017-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（4月20日8:00至10:00）一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1．若2x ≥，则函数1()1f x x x 的最小值是．2．已知函数()e x f x ．若()2f a b ，则(3)(3)f a f b 的值是．3．已知数列n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为前n 项和，且满足221n n a S ，*n N ，则数列n a 的通项n a ．4．若函数2223,0,()2,0x x x f x x ax x ≥是奇函数，则实数a 的值是．5．已知函数10()lg ||3f x x ．若关于x 的方程2()5()60f x f x 的实根之和为m ，则()f m 的值是．6．设、都是锐角，且5cos 5，3sin()5，则cos 等于．7．四面体ABCD 中，3AB ，5CD ，异面直线AB 和CD 之间的距离为4，夹角为o 60，则四面体ABCD 的体积为．8．若满足3ABC ，3AC ，BC m 的ABC △恰有一解，则实数m 的取值范围是．9．设集合1,2,,8S ，A ，B 是S 的两个非空子集，且A 中的最大数小于B 中的最小数，则这样的集合对(,)A B 的个数是．10．如果正整数m 可以表示为224x y (x ，y Z )，那么称m 为“好数”．问1，2，3，…，2017-2018中“好数”的个数为．二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知a ，b ，c 为正实数，x y z a b c ，1110x y z ，求abc 的值．12．已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)xy C a b a b 的左右焦点，点B 的坐标为(0,)b ，直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若21212MF F F ，求双曲线C 的离心率．13．如图，已知ABC 是锐角三角形，以AB 为直径的圆交边AC 于点D ，交边AB上的高CH 于点E ．以AC 为直径的半圆交BD 的延长线于点G ．求证：AG AE ．14．（1）正六边形被3条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成4个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2）凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．。
辽宁省大连市普兰店区2017_2018学年高一数学上学期竞赛期中试题(新)
2017—2018学年上学期竞赛试卷高一数学总分：150分时间：120分钟一、选择题:(本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．设全集是实数集都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.2．已知集合中的是一个四边形的两条对角线的长，那么这个四边形一定不是（）A. 梯形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形3．函数的图象可能是（）A. B.C. D. 4．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝( )A. x2B. 2x2C. 2x2＋2D. x2＋15．已知，，，则的大小关系是（）A. B.C.D.6．函数的单调减区间是（）A. B.C.D.7．定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为（）A. B.C. D.8．若函数有零点，则实数的取值范围是（）A. B.C.D.9．若函数是R上的减函数，则实数的取值范围是（）A. B.C.D.10．已知函数是定义域为的偶函数，且时，，则函数的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 411．若点分别是函数与的图像上的点，且线段的中点恰好为原点，则称为两函数的一对“孪生点”，若，，则这两个函数的“孪生点”共有（）A. 对 B.对 C.对 D. 对12．已知函数，若任意且都有，则实数的取值范围（）A. B.C.D.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数在上是减函数，则实数_______.14．设0<x<1，则函数y＝＋的最小值是________.15．函数的最大值为，最小值为，则_____。
16．设是定义在上的奇函数，且对于任意的，恒成立，当时，，若关于的方程有5个不同的解，则实数的取值范围是________。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。
2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2 2 1 AM AN 3 AB AC 4 AB AC ， 8
由 3 S ABC
1 3 AB AC sin A AB AC 得 AB AC 4 2 4
2
所以 AB AC 2 ，所以 3 AB
AC 8 3 ，当且仅当 AB
x x1 3x 2 5 x3 x1 2 3
★解析：由柯西不等式
x3 的最小值和最大值。 5 x2 5 x3 3 x3 5 1
2
x x x1 3x 2 5 x3 x1 x1 3 x 2 x1 2 3 3 5
当 x1 1 ， x 2 0 ， x 3 0 时取等号，故所求的最小值为 1 ； 又 x1 3 x 2 5 x 3 x1
x 2 x3 1 5x x1 3 x 2 5 x 3 5 x1 2 x 3 3 5 5 3
2
512 b1 ② 55
★证明：记 f ( x ) x kx m ， x a, b ，则 f ( x ) 1,1 。于是
2
f (a ) a 2 ka m 1 ①； f (b) b 2 kb m 1 ② ab ab 2 ab )( ) k( ) m 1 ③ 2 2 2 ①+②- 2 ③知 f(
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 8 分，共 64 分。 2017A1、设 f ( x ) 是定义在 R 上函数，对任意的实数 x 有 f ( x 3) f ( x 4) 1 ，又当 0 x 7 时， f ( x ) log 2 (9 x ) ，则 f ( 100) 的值为 ◆答案：
2017年福建省高一数学竞赛试题(原卷排版+解析)
6
3
6
∴ 1 c 1 ，且 1 c 1 。
66
2
6
∴ c1。 6
6
此时， f (0) 1 ，可见 f (x) 在区间 1，1 上的最小值为 f (0) 。
6
∴ f (x) 的对称轴为 x 0 ，即 1 a 0 ， a 1 。
3
3
∴ f (x) 1 x2 1 。 36
2xy yz 1 ，当且仅当 x 2y ，且 y z ，即 x 2 ， y z 1 时，等
2
10
10
号成立。
所以， 2xy yz 的最大值为 1 。 2
三、解答题（第 13、14、15、16 题每题 16 分，第 17 题 14 分，满分 78 分）
13．已知 f (x) ax2 (1 a)x c ，且当 1 x 1时， f (x) 1 恒成立。
2017 年福建省高一数学竞赛试题
（考试时间：5 月 14 日上午 8：30－11：00）
一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）
1．已知集合A来自 xx2 x3
0，x Z
，则集合
A 中所有元素的和为（
）
A． 1
B．0
C．2
D．3
【答案】 B
【解答】由 x 2 0 ，得 2 x 3。又 x Z 。因此 A 2，1，0，1，2 。
也是 1，0 ，则 a m 的值为
。
【答案】 5 2
【解答】当 a 1时， f (x) 在 1，0 上为增函数，依题意有
3
f (1) loga (1 m) 1，方程组无解。 f (0) loga (0 m) 0
2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准D因此，点D 坐标为9(6)2--，。
10．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，且在区间[]01，上单调递减。
若()1f π=，(2)2f π=，则不等式组121()2x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为 。
【答案】 []282ππ--，【解答】∵ ()f x 是偶函数，且在区间[]01，上单调递减。
∴ ()f x 在区间[]10-，上为增函数。
又()f x 是以2为周期的周期函数， ∴ ()f x 在区间[]12，上为增函数。
又()1f π=，(2)2f π=，以及()f x 是以2为周期的偶函数。
∴ (2)()1f f ππ-==，(82)(28)(2)2f f f πππ-=-==。
又12822ππ<-<-<，∴ 不等式组的解集为[]282ππ--，。
11．已知()2xf x x =+，定义1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，2n =，3，4，…，则2017(3)f = 。
【答案】2019323-【解答】 依题意，有1333(3)523f ==-，2433(3)1323f ==-，3533(3)2923f ==-， …………… 一般地，有23(3)23n n f +=-。
所以，201720193(3)23f =-。
12．已知0x >，0y >，0z >，且22251x y z ++=，则2xy yz +的最大值为 。
【答案】12【解答】由222222215(4)()422(2)x y z x y y z xy yz xy yz =++=+++≥+=+，知122xy yz +≤，当且仅当2x y =，且y z =，即x =，y z ==时，等号成立。
所以，2xy yz +的最大值为12。
三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．已知21()()3f x ax a x c =+-+，且当11x -≤≤时，1()6f x ≤恒成立。
2018年福建省高一数学竞赛试卷及解析
2018年福建省高一数学竞赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题，B={x|log2(x2－x)<1}，则A∩B=（）A. (1，2)B. (－1，3]C. [0，2)D. (－∞，－1)∪(0，2)2.若直线l与两直线l1：x－y－l=0，l2：13x－3y－11=0分别交于A、B两点，且线段AB中点为P(1，2)，则直线l的斜率为（）A. －2B. －3C. 2D. 33.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、E分别为棱BC、BB1的中点，N为正方形B1BCC1的中心.l为平面A1MN与平面D1BE的交线，则直线l与正方体底面ABCD所成角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4.如图，在三棱锥中，SA=SB=AB=BC=CA=6，且侧面ASB⊥底面ABC，则三棱锥S－ABC 外接球的表面积为（）A. 60πB. 56πC. 52πD. 48π5.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)={−x2−2，x∈(−1，0]，x2−2，x∈(0，1]。
且f(x+2)=f(x)，g(x)=5−2xx−2，则方程f(x)=g(x)在区间[3，7]上的所有实根之和为（）A. 14B. 12C. 11D. 76.已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线y=kx+b(k>0)交线段CA于点D，交线段CB 于点E.若△CDE的面积为2，则b的取值范围为（）A. (√2−1，1)B. (2−√2，23]C. (2−√2，34]D. (√2−1，23]第II卷（非选择题）二、填空题7.函数f(x)=[log3(13√x)]⋅[log√3(3x2)]的最小值为________.8.如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，P A=AB.E、F分别为PD、BC的中点，则二面角E－FD－A的正切值为________.9.若函数f(x)=x2－2ax+a2－4在区间[a－2，a2](a>0)上的值域为[－4，0]，则实数a的取值范围为________.10.已知集合A={1，3，5，7，9}，集合{a b|a∈A，b∈A，且a≠b}，则集合B中元素的个数为________.为有理数的所有正整数n的和为________.11.使√16n+17n+812.给出下列10个数：1，2，4，8，16，32，64，a，b，c，其中a，b，c为整数，且c>b>a>64.若对每个正整数n≤753，都可以表示成上述10个数中某些数的和（可以是1个数的和，也可以是10个数的和，每个数至多出现1次），则b的最小值为________.三、解答题13.已知△DEF三边所在的直线分别为l1:x=－2，l2：x+√3y－4=0，l3：x－√3y－4=0，⊙C为△DEF的内切圆.（1）求⊙C的方程；（2）设⊙C与x轴交于A、B两点，点P在⊙C内，且满足|PC|2=|PA|⋅|PB|.记直线P A、PB的斜率分别为k1、k2，求k1k2的取值范围.14.函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题.已知函数f(x)满足：对任意的整数a，b均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2，且f(－2)=－3.求f(96)的值.15.如图，AB、P A、PBC分别为⊙O的切线和割线，切点A是BD的中点，AC、BD相交于点E，AB、PE相交于点F，直线CF交⊙O于另一点G、交P A于点K.证明：（1）K是P A的中点；（2）AG2=BG⋅PG..16.已知a，b，c∈R，且3a2+3b2+4c2=60. （1）求 a+b+c的最大值（2）若a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，求a4−a +b4−b+3c6−c的最小值17.设集合M={m|m∈Z，且|m|≤2018}，M的子集S满足：对S中任意3个元素a，b，c（不必不同），都有a+b+c≠0.求集合S的元素个数的最大值.参考答案1.A【解析】1.由1≤3x ≤27，得0≤x ≤3.因此，A =[0，3]. 由log 2(x 2－x )<1，得{x 2−x >0x 2−x <2，解得，－1<x <0或1<x <2 所以A ∩B = (1，2)，选A. 2.B【解析】2.由点A 在直线l 1：x －y －7=0上，设A (t ，t －7). 由AB 中点为P (1，2)，知B (2－t ，11－t ). ∵点B 在直线l 2：13x +3y －11=0上， ∴13(2－t )+3(11－t )－11=0.解得，t =3. ∴A (3，－4)，k l =k PA =2−(−4)1−3=−3,选B. 3.D【解析】3.如图，由正方体的性质与条件，易得MN ⊥面ABCD ，BE ⊥面ABCD . ∴面A 1MN ⊥面ABCD ，面D 1BE ⊥面ABCD .∴l ⊥面ABCD ，l 与面ABCD 所成角的大小为90°. 选D. 4.A【解析】4.如图，设D 为AB 中点，O 1为△ABC 的外心，O 2为△SAB 的外心，O 为三棱锥S －ABC 外接球的球心，球O 的半径为R .由SA=SB=AB=BC=CA=6，知△SAB、△ABC是边长为6的正三角形.∴SD⊥AB，CD⊥AB，CD=SD=3√3，O1在CD上，O2在SD上，且O2D=O1D=√3，CO1=2√3.∵侧面ASB⊥底面ABC，OO1⊥面ABC，∴SD⊥面ABC，O2D⊥O1D，SD∥OO1.∴四边形O2DO1O为正方形，OO1=O2D=√3.∴R=OC=√O1O2+O1C2=√3+12=√15.∴三棱锥S－ABC外接球的表面积为4πR2=60π.选A.5.C【解析】5.如图，作出函数的图像.由图像可知，两函数的图像在区间[－3，7]上有5个不同的交点.设它们的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，x5.由于函数y=f(x)与y=g(x)的图像均关于点(2，－2)对称.所以，x1+ x5=4，x2+x4=4，x3=3.所以，方程f (x )=g (x )在区间[－3，7]上的所有实根之和x 1+ x 2+x 3+x 4+x 5=11. 选C. 6.B【解析】6.如图，设|CD |=m ，|CE |=n .由条件知，△ABC 为等腰直角形，CA =CB =2√2，CA ⊥CB . 由△CDE 的面积为2，得12mn =2，mn =4.由k >0，得m >n .因此，2<m ≤2√2.设DE 交y 轴于点F ，点F 到CA 、CB 的距离相等，设为t . 则S ΔCDE =12mt +12nt =2，t =4m+n.∴b =OF =2−CF =2−√2t =2−4√2m+n.∴b =2−4√2m+n的取值范围为(2−√2，23]. 选B.7.−258【解析】7.设log 3x =t ，则log 3(13√x )=−1+12t ，log √3(3x 2)=32log 3√3=2(1+2t).∴f(x)=g(t)=(−1+12t)⋅2(1+2t)=2t 2−3t −2=2(t −34)2−258.∴当t =34，log 3x =34，x =334时，f (x )取最小值−258.8.√52【解析】8.如图，作EH ⊥AD 于H ，连HF .由P A ⊥面ABCD ，知P A ⊥AD ，EH ∥P A ，EH ⊥ABCD .作HG ⊥DF 于G ，连EG ，则EG ⊥FD ，∠EGH 为二面角E －FD －A 的平面角. ∵ABCD 为正方形，E 、F 分别为PD 、BC 的中点， ∴H 为AD 中点，FH ⊥AD . 设P A =AB =2，则EH =12PA =1，FH =2，HD =4，HG =FH×HD FD=√5.∴tan∠EGH=EH HG=12√5=√52.∴二面角E －FD －A 的正切值为√52. 9.[1，2]【解析】9.∵f (x )=x 2－2ax +a 2－4=(x －a )2－4，f (a )=－4，f (a －2)=0，f (x )在区间[a －2，a 2]上的值域为[－4，0]，f (x )的图像为开口向上的拋物线.∴{a −2≤a ≤a 2a ≥a−2+a 22，解得－1≤a ≤0或1≤a ≤2.结合a >0，得1≤a ≤2. ∴a 的取值范围为[1，2]. 10.18【解析】10.依题意，a 有5种取法；当a 取定后，b 有4种取法；故，得到5×4=20种取法.由于13=39，31=93.因此，共可得到20－2=18个不同的值. ∴集合B 中元素的个数为18. 11.205【解析】11.设16n+17n+8=(b a )2（a ，b 为互质的正整数)，则16na2+17a 2=nb 2+8b 2，n =8b 2−17a 216a −b =111a 216a −b −8.由a ，b 为互质，知a 2，b 2互质，于是，a 2与16a 2－b 2互质，且16a 2－b 2>0. ∴(16a 2−b 2)|111 ，且l 6a 2－b 2=(4a －b )(4a +b )≥5.又111=1×111=3×37， ∴16a 2－b 2=(4a －b )(3a +b )=37，或16a 2－b 2=(4a －b )(4a +b )=111. ∴{4a −b =14a +b =37 ，或{4a −b =14a +b =111 ，或{4a −b =34a +b =37. 解得，{a =194b =18（舍去），或{a =14b =55 ，或{a =5b =17 . {a =14b =55时，n =111a 2(4a−b)(4a+b)−8=111×1961×111−8=188（此时，√16n+17n+8=√3025196=5514）. {a =5b =17 时，n =111a 2(4a−b)(4a+b)−8=111×253×37−8=17（此时，√16n+17n+8=√28925=175）. ∴n =188或n =17.符合条件的正整数n 为188和17. ∴符合条件的所有正整数n 的和为205. 12.125【解析】12.显然，用这10个数能够表示的最大数是 1+2+4+8+16+32+64+a +b +c =l 27+a +b +c ， ∴127+a +b +c ≥753.……………………①又用1，2，4，8，16，32，64，a ，b 这9个数能够表示的最大的数是 1+2+4+8+16+32+64+a +b =127+a +b .因此，若c ≥127+a +b +2，则数127+a +b +1无法用这10个数中某些数的和表示. ∴c ≤127+a +b +1……………………②由①、②，可得753≤127+a +b +c ≤127+a +b +(127+a +b +1)，2(a +b ) ≥498，a +b ≥249. 结合a ，b 为整数，且6>a ，得6≥125.下面说明当a =124，b =125，c =377时，这10个数符合要求.结合二进制数的特征，对每个正整数n ≤1+2+4+8+16+32+64=127，都可以用1，2，4，8，16，32，64这7个数中的某些数的和来表示.∴当n≤127时，n可以用1，2，4，8，16，32，64这7个数中某些数的和表示；当n≤127+124=251时，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124这8个数中某些数的和表示；当n≤251+125=376时，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124，125这9个数中某些数的和表示；当n≤376+377=753时，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124，125，377这10个数中某些数的和表示.∴a=124，b=125，c=377符合要求.∴b的最小值为125.13.（1）x2+y2=4.（2）(－1，0]【解析】13.（1)解法一：设C(a，b)，⊙C半径为r，则|a+2|=|a+√3b−4|2=|a−√3b−4|2=r，结合点C(a，b)在△DEF内，可得a+2=−(a+√3b−4)2=−(a−√3b−4)2=r.解得a=b=0，r=2.∴⊙C的方程为x2+y2=4.解法二：设C(a，b)，⊙C半径为r.如图，由条件知，l2、l3的倾斜角分别为150°和30°，且它们关于x轴对称，同时l1⊥x轴. 因此，△DEF为正三角形.∴点C在x轴上，且a=－2+r，b=0.由l2、l3交x轴于点D(4，0)，知△DEF的高为6.∴r=13×6=2，a=0.∴⊙C的方程为x2+y2=4.（2）由（1）知，C(0，0)，A(－2，0)，B(2，0).设P(x，y)，则x2+y2<4. ∵|PC|2=|PA||PB|，∴x 2+y 2=√(x +2)2+y 2⋅√(x −2)2+y 2，化简得，x 2－y 2=2. ∴k 1k 2=y x+2⋅y x−2=y 2x 2−4=x 2−2x 2−4=1+2x 2−4. 由x 2+y 2<4，以及x 2－y 2=2，y 2≥0，得2≤x 2<3.∴k 1 k 2∈(－1，0].∴k 1 k 2的取值范围为(－1，0].14.4750【解析】14.在f (a +b )=f (a )+f (b )+ab +2中，令a =b =a ，得f (0)=f (0)+f (0)+0+2，于是f (0)=－2.在f (a +b )=f (a )+f (b )+ab +2中，令a =2，b =－2，得f (0)=f (2)+f (－2)－4+2.∴－2=f (2)_3－4+2，f (2)=3.在f (a +b )=f (a )+f (b )+ab +2中，令a =n －2，b =2，得f (n )=f (n －2)+f (2)+2(n －2)+2=f (n －2)+3+2(n －2)+2=f (n －2)+2n +l .∴f (n )－f (n －2)=2n +1.∴f (96)－f (94)=2×96+1， f (94)－f (92)=2×94+1，f (94)－f (92)=2×94+1，……上述等式左右两边分别相加，得f (96)－f (2)=2(96+94+…+4)+47.∴f(96)=2×(96+4)2×47+47+3=4750.15.（1）见解析（2）见解析【解析】15.（1)在△APC 中，由塞瓦定理，知AK KP ⋅PB BC ⋅CE EA =1.……①∵A 是BD 的中点，P A 是⊙O 的切线，∴∠P AB =∠ADB =∠ABD .∴EB ∥AP ，PB BC =AE EC . ………………………………………②由①、②，得AK =KP .K 是P A 的中点.另解：∴A 是BD 的中点，P A 是⊙O 的切线，∴∠P AB =∠ADB =∠ABD ，EB ∥AP .如图，过点F 作MN ∥AP ，交AE 于点M ，交PB 于点N .则MF AP =EM EA ，FN AP =BN BP.…………① 且EB ∥AP ∥MN ，EM EA=BN BP .…………② ∴由①、②，得MF AP=EM EA =BN BP =FN AP . ∴FM =FN .又由MN ∥AP ，得MF AK =CF CK =FN KP， ∴AK =KP ，K 是P A 的中点.（2）由（1）及切线长定理，得KP 2=KA 2=KG ⋅KC .因此，KP KC =KG KP . 又∠PKG =∠CKP ，∴△PKG ∽△CKP .∠APG =∠KPG =∠KCP =∠GCB =∠BAG .又∠P AG =∠ABG ，∴△GP A ∽△GAB ，AG BG =PG AG. AG 2=BG ⋅PG .16.（1）√55（2）5【解析】16.（1)由柯西不等式，知(a +b +c )2=(3⋅√3a +3√3b +12⋅2c )2 ≤[(1√3)2+(1√3)2+(12)2]⋅[(√3a)2+(√3b)2+(2c)2]2 =(13+13+14)(3a 2+3b 2+4c 2)=(23+14)⋅60=40+15=55. ∴a +b +c ≤√55.当且仅当√3a 1√3=√3b 1√3=2c 12>0，即a =b =√5√11时，等号成立.∴a+b+c的最大值为√55.（2）由a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，知a，4－a，b，4－b，c，6－c均为正数，∴a(4−a)≤(a+4−a2)2=4，b(4−b)≤(b+4−b2)2=4，c(4−c)≤(c+4−c2)2=9.∴a4−a +b4−b+3c6−c=a2a(4−a)+b2b(4−b)+c2c(4−c)≥a24+b24+c29=3a2+3b2+4c212=6012=5.又当a=b=2，c=3时，满足a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，3a2+3b2+4c2=60，且a4−a +b4−b+3c6−c=5.∴a4−a +b4−b+3c6−c的最小值为5.17.20【解析】17.集合S的元素个数的最大值为2018.令S={s|1≤s≤2018，s∈Z}，显然集合S符合要求，且|S|=2018.另一方面，设S是满足题设条件的集合，显然0∉S（否则0+0+0=0）.设S中的所有正整数构成集合A，S中的所有负整数构成集合B.若A=∅，则|S|=|B|≤2018；若B=∅，则|S|=|A|≤2018.下面考虑A、B非空的情形.对于集合X，Y，记X+Y={x+y|x∈X，y∈Y}，−X={−x|x∈X}.由题设可知，(A+B)∩(−S)=∅（否则，设x0∈(A+B)∩(－S)，则存在a∈A，b∈B，－c∈－S，使得a+b=x0，－c=x0.于是，存在a∈S，b∈S，使得a+b+c=0）.且A+B∈{x|x∈Z，且|x|<2017}(事实上，A中元素≤2018，B中元素≤－1，于是A+B中元素≤2017；同理，A+B中元素≥－1027.）.设集合A中元素为a1，a2，…，a k，集合B中元素为b1，b2，…，b l，且a1<a2<…<a k，b1<b2<…<b l.∵a1+b1<a2+b1<a3+b1<…<a k+b l <a k+b2<…< a k+b l.∴A+B中至少有k+l－1个元素，即|A+B|≥k+l－1=|S|－1.结合A+B⊆{x|x∈Z，且|x|≤2017}⊆M，−S⊆M，且(A+B)∩(−S)=∅，可得(A+B)∪(−S)⊆M，4037=|M|≥|A+B|+|－S|=|A+B|+|S|≥|S|－1+|S|.∴|S|≤2019.若|S|=2019，则|A+B|+|－S|=4037=|M|.∴(A+B)∪(－S)=M.又由−2018∉A+B，2018∉A+B，知2018∈S，－2018∈S.∴对于k=1，2，3，…，1009，k与2018－k中至少有一个不属于S，－k与－2018+k 中也至少有一个不属于S.因此，|A|≤1009，|B|≤1009.∴2019=|S|=|A|+|5|≤1009+1009=2018，矛盾.因此，|S|≤2018.综上可得，|S|≤2018.综上所述，集合S的元素个数的最大值为2018.。
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高一数学竞赛试题班级 姓名第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|21,}A x x m m Z ==-∈,{|,}B x x n n Z ==∈，且12,x x A ∈，3x B ∈，则下列判断不正确的是( )A ．12x x A ∈B ． 23x x B ∈C ．12x x B +∈D ．123x x x A ++∈2．在如图所示的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1B B ，AD 的中点，直线BF 与平面1AD E 的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．异面 3．设1{1,1,,3}2α∈-，则使函数y x α=的定义域为R 的所有α的值为( )A ． 1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3 4．若0a b >>，01c <<，则（ ）A. log log a b c c <B. log log c c a b <C. cca b < D. abc c > 5．函数()f x =的定义域为( )A ．[1,)+∞B ． (1,)+∞C ． 1(,)2+∞D ．1(,1)26.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ） A ．若//m n ，//m α，则//n a B ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥C ．若αβ⊥，m β⊥，则//m α D ．若m n ⊥，m a ⊥，n β⊥，则αβ⊥7．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），那么此 几何体的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．102B ．128C ．144D ．184 8．函数y ＝2-+212x x⎛⎫⎪⎝⎭的值域是 （ ）A ．RB ．⎢⎡⎪⎫1，＋∞C ．(2，＋∞) D. (0，＋∞)9．曲线1y =+(2)y k x =+有交点时，实数k 的取值范围是（ ）A ．54(,]123 B ．34(,)43 C ．14[,]33 D ．4[0,]310. 函数2log (1)y x =+的图象大致是( )11. 已知函数()()y f x x R =∈是奇函数且当()0,x ∈+∞时是减函数，若()10f =，则函数()22y f x x =-的零点共有．．．．（ ） A. 4个 B. 6个 C. 3个 D. 5个12. 已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若(21)()f a f a +>，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．1(,1)(,)-∞-⋃-+∞B ． (,3)(1,)-∞-⋃-+∞C ． 1(1,)--D ．(3,1)--第Ⅱ卷（非选择题，共72分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．将一张坐标纸折叠一次，使点(2,6)与点(4,6)重合，则与点(－4,1)重合的点的坐标是________． 14．已知各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的体积为 ． 15．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是 . 16．下列四个命题中，正确的是．．．． （写出所有正确命题的序号．．．．．．．．．．．） ①函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,4；②设集合{}{}1,0,1,1,1A B =-=-，则在A 到B 的所有．．映射中，偶函数共有4个； ③不存在实数a ，使函数()223ax ax f x π++=的值域为(]0,1④函数()21log (3)f x x ax a =-+在[)2,+∞上是减函数，则44a -<≤.三、解答题:本大题共6小题, 共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）设集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-，. （Ⅰ）当1m =-时，求A B ；（Ⅱ）若A B ⊆，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若A B φ=，求实数m 的取值范围.已知函数()log (1)log (3) (01)a a f x x x a =-++<<. （Ⅰ）求函数()f x 的零点；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值.已知圆C 过点(0,2)M -，(3,1)N ,且圆心C 在直线012=++y x 上. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)问是否存在满足下列条件的直线l ：①直线l 的斜率为1；②直线l 被圆C 所截得的弦为AB ， 以AB 为直径的圆1C 过原点.若存在这样的直线l ，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为4的等边 三角形，D 为AB 边中点，且AB CC 21=．（Ⅰ）求证：平面CD C 1⊥平面1ADC ； （Ⅱ）求证：1AC ∥平面1CDB ； （Ⅲ）求三棱锥1CAB D -的体积．21.(本小题满分12分)如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在平面，PB AE ⊥,垂足为E ，PC EF ⊥垂足为F .（Ⅰ）设平面G PD AEF = ，求证：AG PC ⊥； （Ⅱ）设6=PA ，3=AB ,M 是线段PC 的中点， 求证：DM ∥平面AEC . MADBPEFG22.（本小题满分12分）已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1]a b ∈-，0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+成立．（Ⅰ）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并证明；（Ⅱ）解不等式：0)13()12(<-+-x f x f ；（Ⅲ）若2()21f x m am ≤-+对任意[]1,1,x ∈-任意]1,1[-∈a 恒成立，求实数m 的取值范围．2017－2018学年高一上学期期末考试高一数学答案一、选择题C D D D B D A B C D B A 二、填空题13、1 14、35 15、16、x 2＋y 2－10y ＝0三、解答题 17、解：18、解：(Ⅰ)要使函数有意义：则有1030x x -⎧⎨+⎩>>，解之得：31x -<<2分函数可化为2()log (1)(3)log (23)a a f x x x x x =-+=--+由()0f x =，得2231x x --+=即2220xx +-=，1x =-(3,1)-∵-1(Ⅱ)函数化为：22()log (1)(3)log (23)log (1)4a a a f x x x x x x ⎡⎤=-+=--+=-++⎣⎦31x -∵<< 201)44x ++≤∴<-(7分01a ∵<<2log (1)4log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦∴即min ()log 4a f x =由log 44a =-，得44a-=，1442a -==∴10分19、20、解：(Ⅰ)∵CC 1⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AB ∵△ABC 是等边三角形,CD 为AB 边上的中线，∴C D ⊥AB2分∵CD ∩CC 1=C ∴AB ⊥平面C 1CD∵AB ⊂平面ADC 1∴平面C 1CD⊥平面ADC 1；4分 (Ⅱ)连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结DO ．则O 是BC 1的中点，DO 是△BAC 1的中位线．(Ⅲ)∵CC 1⊥平面ABC ，BB 1∥CC 1，∴BB 1⊥平面ABC ．∴BB 1 为三棱锥D ﹣CBB 1 的高．=． ∴三棱锥D ﹣CAB 1的体积为． 12分 21.证明： （Ⅰ）PA ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCDBC PA ∴⊥；又B C A B ⊥，PA AB A =，BC ∴⊥平面ABP ；而AE ⊂平面ABP ，AE BC ∴⊥，又,AE PB PBBC B ⊥=,AE ∴⊥平面PBC ；PC ⊂平面PBC ,PC AE ∴⊥,又,PC EF EF AE E ⊥=,PC ∴⊥平面AEFG ，AG ⊂平面AEFG ,PC ∴⊥AG ……(6分) (注：本问可以接着往下推理，,AG CD AG ⊥⊥平面,PCD AG PD ⊥可以作为讲解试卷时用)（Ⅱ）6,,PA AB PA AB AE PB =⊥⊥,2,1PE BE ∴==,即2PE EB =,取PE 中点N ，连结,,,MN ND BD AC ，设BD A C O =,连结EO ，则在PEC ∆中，,PN NE PM MC ==,MN ∴∥EC ,同理ND ∥EO ,MN ND N =,∴平面M N D ∥平面AEC ，又DM ⊂平面D M N ,DM ∴∥平面AEC ……(12分)22.解：(Ⅰ)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2·(x 1－x 2)，2分 由已知得f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增．4分 (Ⅱ)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-x x x x 3112131111216分 ∴不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤520x x . 7分 (Ⅲ)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．9分下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须g(－1)≥0且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.综上，m＝0或m≤－2或m≥2 12分。