2020年1月浙江省学业水平考试数学学考真题

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2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真卷A(附解析)

2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真卷A （附解析）选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知集合{|13}M x x =≤<，{1,2}N =，则M N =A ．{1}B ．{1,2}C ．0D ．[1,2] 2．不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为 A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|12}x x -<<C ．1{|2x x >-或1}x ≤- D ．}{|21x x x ><-或 3．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 4．圆224210x y x y +--+=的圆心在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．双曲线方程为x 2−2y 2=1，则它的左焦点的坐标为A ．(−2，0) B ．(−2，0) C ．(−20) D ．0)6．已知向量,a b 满足||1=a ，||2=b ，||+=a b ⋅=a bA ．12B ．1 CD ．2 7．若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则z =2x ＋y 的最大值是A ．2B ．3C ．4D ．58．若平面α和直线a ，b 满足a A α=，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是 A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．相交或异面 9．过点(0,2)且与直线0x y -=垂直的直线方程为A ．20x y +-=B ．20x y --=C ．20x y ++=D ．20x y -+= 10．函数32()log (||1)f x x =-的大致图象是A ．B ．C ．D ．11．设a b ，都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．12πB ．64π3 C ．32π3D ．16π 13．等差数列{}n a 中，已知611||||a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为A ．6B ．7C ．8D ．914．将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点π(,0)12对称 D ．函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 15．在三棱锥P ABC -中，,3,2PB BC PA AC PC ====，若过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的余弦值为A ．13 B C ．23 D16．已知直线10x +=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若直线OM （O 为坐标原点）的倾斜角为150︒，则椭圆C 的离心率为A ．13 B ．23 CD17．已知数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2020a = A ．17 B ．37 C ．57 D ．6718．如图，在Rt ABC △中，6AB BC ==，动点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB上，四边形BDEF 为矩形，剪去矩形BDEF 后，将剩余部分绕AF 所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，BD =A ．2B ．3C ．4 D．非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =________，1l 与2l 之间的距离为________.20．函数0()(2)f x x =-的定义域为________.21．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为________平方里．22．已知函数22()23,()1f x x x ag x x =-+=-．若对任意1[03]x ∈，，总存在2[23]x ∈，，使得1|()|f x ≤2()g x 成立，则实数a 的值为________. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若π3B =，且3(7( ))a b c a b c bc -++-=，（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若5a =，求b .24．（本小题满分10分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，满足124y y =-.（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点C 的坐标为(2,0)-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.25．（本小题满分11分）已知定义域为R 的函数2()21g x x x m -++=在[1,2]上有最大值1，设()()g x f x x=. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若不等式33log 2log 0()x k f x -≥在[3,9]x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若函数()|e 1|(|e 1|e 32)|1|x x xx f k k h -⋅--=-⋅+有三个不同的零点，求实数k 的取值范围（e 为自然对数的底数）．2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真卷A （解析）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知集合{|13}M x x =≤<，{1,2}N =，则M N =A ．{1}B ．{1,2}C ．0D ．[1,2] 1．【答案】B【解析】由交集定义可得：{}1,2MN =，故选B ．2．不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为A ．{|12}x x -≤≤B ．{|12}x x -<<C ．1{|2x x >-或1}x ≤- D ．}{|21x x x ><-或 2．【答案】A【解析】由二次函数()()12y x x =+-的图象可知，不等式(1)(2)0x x +-≤的解是12x ≤≤－，故选A ．3．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 3．【答案】B【解析】227cos 212sin 199αα=-=-=，故选B ． 4．圆224210x y x y +--+=的圆心在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．【答案】A【解析】化简224210x y x y +--+=得到22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)，在第一象限，故选A ．5．双曲线方程为x 2−2y 2=1，则它的左焦点的坐标为A ．，0)B ．，0)C ．0)D ．0) 5．【答案】C【解析】由2222211121x y x y ⇒－＝－＝，可得21a =，212b =，由22213+1=22c a b =+=，得c =0).故选C ．6．已知向量,a b 满足||1=a ，||2=b ，||+=a b ，则⋅=a bA ．12B ．1 CD ．2 6．【答案】A【解析】由||+=a b 2()6+=a b ，即2226+⋅+=a a b b ，又||1=a ，||2=b ，则12⋅=a b .所以本题答案为A ． 7．若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则z =2x ＋y 的最大值是A ．2B ．3C ．4D ．5 7．【答案】B【解析】如图，先根据约束条件画出可行域，当直线z =2x +y 过点A （2，﹣1）时，z 最大，最大值是3，故选B ． 8．若平面α和直线a ，b 满足aA α=，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或异面 8．【答案】D【解析】当A b ∈时，a 与b 相交；当A b ∉时，a 与b 异面.故答案为D. 9．过点(0,2)且与直线0x y -=垂直的直线方程为 A ．20x y +-= B ．20x y --= C ．20x y ++= D ．20x y -+= 9．【答案】A【解析】由0x y -=可得直线斜率11k =，根据两直线垂直的关系得121k k ⋅=-，求得21k =-，再利用点斜式，可求得直线方程为1(0)2y x =--+，化简得20x y +-=，故选A.10．函数32()log (||1)f x x =-的大致图象是A ．B ．C ．D ．10．【答案】B【解析】由函数32()log (||1)f x x =-，可知函数()f x 是偶函数，排除C ，D ；定义域满足：10x ->，可得1x <-或1x >．当1x >时，32()log (||1)f x x =-是递增函数，排除A.故选B ．11．设a b ，都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．【答案】B【解析】若333a b >>，则1a b >>，从而有log 3log 3a b <，故为充分条件.若log 3log 3a b <不一定有1a b >>，比如133a b ==，，从而333a b >>不成立.故选B ．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．12πB ．64π3 C ．32π3D ．16π 12．【答案】C【解析】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，故22141148π32ππ()4π()48π2223233V =⋅⨯+⨯⋅⨯=+=，故选C ． 13．等差数列{}n a 中，已知611||||a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为A ．6B ．7C ．8D ．9 13．【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中，611||||a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d <>=-=-，有2[(8)64]2n dS n =--，所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C ． 14．将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点π(,0)12对称 D ．函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 14．【答案】B【解析】将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x = 2ππcos(2)sin 236x x =+-=-的图象，故()g x 为奇函数，且最小正周期为2ππ2=，故A 错误，B 正确；令2πx k =，k ∈Z ，得π2k x =，k ∈Z ，则函数()g x 的图象关于点π(,0)2k ，k ∈Z 对称，故C 错误；令π2π2x k =+，k ∈Z ，得ππ24k x =+，k ∈Z ，则函数()g x 的图象关于直线ππ24k x =+，k ∈Z 对称，故D 错误.故选B ．15．在三棱锥P ABC -中，,3,2PB BC PA AC PC ====，若过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的余弦值为A ．13 B C ．23 D 15．【答案】D【解析】如图所示，取PC 中点为D ，连接,AD BD ，因为过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，所以α即为平面ABD .又因为PA AC =，所以PC AD ⊥，又PB BC =，所以PC BD ⊥，且ADBD D =，所以PC ⊥平面ABD ，所以PA 与平面α所成角即为PAD ∠，因为2PC =，所以1PD =，所以1sin 3PD PAD PA ∠==，所以cos PAD ∠==D ．16．已知直线10x -+=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若直线OM （O 为坐标原点）的倾斜角为150︒，则椭圆C 的离心率为A ．13 B ．23 CD16．【答案】D【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，∵点,A B 在椭圆22221x y a b +=上，∴2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减整理得2121221212y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，∴20122012y y y b x x x a -⋅=--，即22OM AB b k k a⋅=-，∴221tan1503b a ==-=-，∴2213b a =，∴椭圆C的离心率为e ===D ． 17．已知数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2020a =A ．17 B ．37 C ．57 D ．6717．【答案】D【解析】数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，167a =，21324653362121,21,2,77777a a a a a ∴=-=⨯-==-==⨯=3n n a a +∴=，202067331167a a a ⨯+∴===．故选D ．18．如图，在Rt ABC △中，6AB BC ==，动点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB上，四边形BDEF 为矩形，剪去矩形BDEF 后，将剩余部分绕AF 所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，BD =A ．2B ．3C ．4D ．18．【答案】B【解析】设BD x =，BF y =，其中,(0,6)x y ∈，由题易得666x y -=，所以6x y +=，则所求几何体的表面积为：212π6π62π2S xy =⨯⨯⨯+⨯+236π2π36π2π()54π2x y xy +=++≤++⨯=+，当且仅当3x y ==，即3BD =时等号成立.故选B.非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =________，1l 与2l 之间的距离为________.19．【答案】−1【解析】由两直线平行，得1a =－，在直线1:10l x y -+=上任取一点（0，1），到直线2:30l x y -+=的距离为.故答案为−1.20．函数0()(2)f x x =+-的定义域为________. 20．【答案】[)()0,22,+∞【解析】因为21020x x ⎧-≥⎨-≠⎩，所以02x x ≥⎧⎨≠⎩，则定义域为[)()0,22,+∞，故答案为[)()0,22,+∞.21．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为________平方里． 21．【答案】84【解析】由题意画出图象：且AB =13里，BC =14里，AC =15里，在△ABC 中，由余弦定理得，cos B =2222AB BC AC AB BC +-⋅=22213141521314+-⨯⨯=513，所以sin B =1213，则该沙田的面积即△ABC 的面积S =12AB •BC •sin B =1121314213⨯⨯⨯=84．故答案为84．22．已知函数22()23,()1f x x x ag x x =-+=-．若对任意1[03]x ∈，，总存在2[23]x ∈，，使得12|()|()f x g x ≤成立，则实数a 的值为________.22．【答案】13-【解析】不等式12|()|()f x g x ≤可化为：()()()212g x f x g x -≤≤，若对任意1[03]x ∈，，总存在2[23]x ∈，，使得12|()|()f x g x ≤成立，则min minmax max [()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩，当[]23x ∈，时，()21g x x =-的最大值为()22221g ==-；当[]03x ∈，时，()223f x x x a =-+的最大值为()23323333f a a =-⨯+=+，最小值为()21121313f a a =-⨯+=-+，所以min min max max[()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩可化为231332a a -≤-⎧⎨+≤⎩，解得1133a -≤≤-.故13a =-.三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若π3B =，且3(7( ))a b c a b c bc -++-=，（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若5a =，求b . 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由3(7())a b c a b c bc -++-=，可得22222()327a b c a b c bc bc ----+=＝，即222117a b c bc =+-，即222117b c a bc +-=，（3分）由余弦定理可得22211cos 214b c a A bc +-==.（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）及三角函数的基本关系式，可得sin A ==7分）在ABC △中，由正弦定理可得sin sin b a B A =，所以sin 7sin a B b A ===.（10分）24．（本小题满分10分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，满足124y y =-.（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点C 的坐标为(2,0)-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为直线AB 过焦点(,0)2p F ，设直线AB 的方程为2p x my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=，所以有2124y y p =-=-，0p >，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程为24y x =.（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的焦点坐标为()1,0F ，则直线AB 的方程为1x my =+，联立抛物线的方程得2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，则有1113m k y =+，2213m k y =+，（6分）因此22222221212121211331111()()=26()9()m m m m k k y y y y y y +=+++++++ ()212122122212122269y y y y y y m m y y y y +-+=+⋅+⋅ ()222484926954162m mm m m +=+⋅+⋅=+-.（9分）因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92.（10分） 25．（本小题满分11分）已知定义域为R 的函数2()21g x x x m -++=在[1,2]上有最大值1，设()()g x f x x=. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若不等式33log 2log 0()x k f x -≥在[3,9]x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若函数()|e 1|(|e 1|e 32)|1|x x xx f k k h -⋅--=-⋅+有三个不同的零点，求实数k 的取值范围（e 为自然对数的底数）． 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）因为()()21g x x m =-+在[1,2]上是增函数，所以()()()2max 2211g x g m ==-+=，解得0m =．（2分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()12f x x x=+-，所以不等式()33log 2log 0f x k x -≥在[3,9]x ∈上恒成立等价于()2331221log log k xx ≤-+在[3,9]x ∈上恒成立.（3分）令31log t x =，因为[]3,9x ∈，所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则有2221k t t ≤-+在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.（4分）令()221s t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()min 10s t s ==，所以20k ≤，即0k ≤，所以实数k 的取值范围为(],0-∞．（6分）（Ⅲ）因为()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=，令e 1x q =-，由题意可知[0,)q ∈+∞，令()()23221H q q k q k =-+++，[0,)q ∈+∞，（7分）则函数()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=有三个不同的零点等价于()()23221H q q k q k =-+++在[0,)q ∈+∞上有两个不同的零点，（8分）当0q =时12k =-，此时方程()100,2H q q q =⇒==，此时关于x 的方程有三个零点，符合题意；当0q ≠时，记方程()0H q =的两根为1q ，2q ，且12q q <，101q <<，21q ≥，所以()()00100H H >⎧⎪≤⎨⎪∆>⎩，解得0k >. 综上，实数k 的取值范围是(0,)+∞1{}2-．（11分）。

2020届浙江省普通高校招生学业水平考试(1月)数学试题(解析版)

2020届浙江省普通高校招生学业水平考试（1月）数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则A B =U （） A ．{}4 B ．{}1,6C ．{}2,4D ．{}1,2,4,6【答案】D根据集合的并集运算,即可求解. 解：因为集合{}1,2,4A =,{}2,4,6B = 由集合的并集定义可知{}1,2,4,6A B =U 故选:D本题考查了集合的并集运算,属于基础题. 2．()tan a π-=（） A ．tan a - B ．tan aC ．tan a ±D ．1tan a【答案】A根据诱导公式,化简即可求解. 解：由诱导公式可知()tan a π-tan a =-故选:A本题考查了诱导公式的简单应用,属于基础题. 3．66log 2log 3+=（） A ．0 B ．1C ．6log 5D ．12log 5【答案】B根据对数的运算及常数对数的值即可求解. 解：根据对数的运算性质可知66log 2log 3+()6log 23=⨯6log 61==故选:B本题考查了对数的运算性质的简单应用,属于基础题. 4．圆22280x y x ++-=的半径是（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】B将圆的一般方程化为标准方程,即可求得圆的半径. 解：因为圆22280x y x ++-= 化为标准方程可得()2219x y ++= 所以圆的半径为3 故选:B本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的标准方程的性质,属于基础题. 5．不等式12x -<（） A ．{}13x x -<<B ．{}13x x <<C ．{1x x <-或}3x >D ．{1x x <或}3x >【答案】A根据绝对值不等式,分类讨论解不等式即可求解. 解：不等式12x -<当1x ≥时,不等式可化为12x -<,即3x <.所以13x ≤< 当1x <时,不等式可化为12x -<,即1x -<.所以11x -<< 综上可知,不等式的解集为13x -<<,即{}13x x -<< 故选:A本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论解绝对值不等式,属于基础题.6．椭圆221259x y +=的焦点坐标是（）A ．()5,0-，()5,0B ．()0,5-，()0,5C ．()4,0-，()4,0D ．()0,4-，()0,4 【答案】C根据椭圆的标准方程,先判断出焦点位置并求得,a b .再根据椭圆中a b c 、、的关系即可求得焦点坐标.解：椭圆221259x y +=所以为焦点在x 轴上,且2225,9a b ==由椭圆中222a b c =+可得22225916c a b =-=-= 因而4c =所以焦点坐标为()4,0-,()4,0 故选:C本题考查了椭圆的标准方程及简单性质,椭圆中a b c 、、的关系及焦点坐标求法,属于基础题.7．若实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则2x y +的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D根据不等式组,画出可行域,由可行域即可求得线性目标函数的最大值. 解：根据所给不等式组,画出可行域如下图所示:将12y x =-平移即可得目标函数122z y x =-+因而当经过点()0,2A 时,目标函数的截距最大此时20224z x y =+=+⨯= 所以2x y +的最大值是4 故选:D本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数的最值求法,属于基础题.8．已知直线l 和平面α，若//l α，P α∈，则过点P 且平行于l 的直线（） A ．只有一条，不在平面α内 B ．只有一条，且在平面α内 C ．有无数条，一定在平面α内 D ．有无数条，不一定在平面α内【答案】B假设m 是过点P 且平行于l 的直线， n 也是过点P 且平行于l 的直线，则与平行公理得出的结论矛盾，进而得出答案.解：假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，则m ∥l 且n ∥l 由平行公理得m ∥n ，这与两条直线m 与n 相交与点P 相矛盾，故过点P 且平行于l 的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P 且平行于l 的直线只有一条且在平面内．故选B本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．9．过点()3,1A -且与直线230x y +-=垂直的直线方程是（） A ．210x y ++= B ．210x y +-=C ．270x y -+=D ．270x y --=【答案】D根据直线垂直时的斜率关系,先求得直线的斜率.再由点斜式即可求得直线方程,进而化为一般式可得解.解：因为直线230x y +-=可化为1322y x =-+ 当直线垂直时的斜率乘积为1,所以2k = 因为经过点()3,1A -由点斜式可知直线方程为()123y x +=- 化简可得270x y --= 故选:D本题考查了垂直直线的斜率关系,点斜式方程的用法,将方程化为一般式的方法,属于基础题.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若60A =︒，45B =︒，3a =则b =（）A ．1 BC ．2D【答案】D根据正弦定理,即可求得b 的值.解：在ABC ∆中, 角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c 若60A =︒,45B =︒,3a = 由正弦定理可知sin sin a b A B = 代入可得3sin 60sin 45b=oo解得6b = 故选:D本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题. 11．函数()sin f x x x =⋅的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A根据函数的奇偶性及特殊值,可判断函数的图像. 解：因为()sin f x x x =⋅而()g x x =为偶函数, ()sin h x x =为奇函数,所以()sin f x x x =⋅为奇函数,所以排除C,D.当0.001x =时, ()0.0010.0010.0010g ==>,()0.001sin0.0010h =>,所以()0.0010.001sin0.0010f =⋅>,所以排除B 选项.故选:A本题考查了根据函数解析式判断函数图像,利用函数的奇偶性、单调性和特殊值,可排除选项,属于基础题.12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．13B ．23C ．1D ．2【答案】B根据三视图,还原出空间几何体,即可求得该几何体的体积. 解：由三视图可知,该几何体为三棱锥,其空间结构体如下图所示:则由三视图中的线段长度可知12112ABC S ∆=⨯⨯= 则121233P ABC V -=⨯⨯= 故选:B本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,棱锥的体积求法,属于基础题.13．设,a b ∈R ，则“0a b +>”是“330a b +>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解.解：因为()()()223322324b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫+=+-+=+-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当0a b +>时, 223024b b a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭,所以330a b +>.即“0a b +>”是“330a b +>”的充分条件.当330a b +>时,由于223024b b a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭成立,所以0a b +>,即“0a b +>”是“330a b +>”的必要条件.综上可知, “0a b +>”是“330a b +>”的充要条件故选:C本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题.14．设1F ，2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点.若双曲线上存在一点P ，使得124PF PF =，且1260FPF ∠=︒，则该双曲线的离心率是（） ABC．5D．3【答案】B根据双曲线的定义及124PF PF =,用a 表示出12PF PF 、,再在三角形12F PF 中由余弦定理求得a c 、的关系,进而求得离心率.解：1F ,2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点,且双曲线上的点P 满足124PF PF =所以121224PF PF a PF PF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得128323a PF a PF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为1260F PF ∠=︒,122F F c = 所以在三角形12F PF 中由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠,代入可得 2222644821499332a a c a a =⨯⨯⨯+- 化简可得22913c a =,即222139c e a ==所以133e = 故选:B本题考查了双曲线的定义,利用余弦定理解三角形,双曲线离心率的求法,属于基础题. 15．点P 从O 出发, 按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周, 点O 、P 的距离（y ）与点P 走过的路程(x )的函数关系如图所示.那么点P 所走过的图形是图中的( ).A ．B ．C ．D ．【答案】C解：易知, 选项(A)、(B)的图像是若干条线段组成的折线;选项(D)中当点P 走过的路程为2lx =时，OP 不是最大值(过点P 作OP 的垂线交椭圆于点P ′, 显然, OP ′>OP);选项(C)中πsin πl xy l= , 其图像如图.选C.16．设数列{}n a 满足11a =，2212n n a a -=+，2121n n a a +=-，*n N ∈，则满足4n a n -≤的n 的最大值是（）A ．7B ．9C ．12D ．14【答案】C根据数列{}n a 满足的条件,讨论n 的奇偶性,即可求得解析式.根据解析式解绝对值不等式即可求得满足条件的n 的最大值.解：数列{}n a 满足11a =,2212n n a a -=+,2121n n a a +=-23a =则21211n n a a +--= 则当n ∈奇数时, 12n n a +=所以4n a n -≤,代入可得142n n +-≤,解不等式可得79n -≤≤而*n N ∈,所以此时n 的最大值是9 则当n ∈偶数时, 22n n a =+所以若4n a n -≤,代入可得242nn +-≤,解不等式可得412n -≤≤ 而*n N ∈,所以此时n 的最大值是12 综上可知, n 的最大值是12 故选:C本题考查了等差数列的通项公式求法,对奇偶项分类讨论数列的性质,绝对值不等式的解法,属于中档题.17．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线2xy =和2log y x =上的动点，记1I AQ AB =⋅u u u r u u u r ，2I BP BA =⋅u u u r u u u r.（）A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈u u u r u u u rB ．若12I I =，则AP BQ =u u u r u u u rC ．若()PQ AB R λλ=∈u u u r u u u r，则12I I =D ．若AP BQ =u u u r u u u r，则12I I =【答案】C根据题意,由向量数量积和投影的定义,结合平面向量共线的性质即可判断选项. 解：根据题意,在直线AB 上取','P Q ,且''AP BQ =.过','P Q 分别作直线AB 的垂线,交曲线2x y =于12,P P 和交2log y x =于12,Q Q .在曲线2xy =上取点3P ,使13AP AP =.如下图所示:1cos 'I AQ AB AQ AB QAB AQ AB =⋅=⋅∠=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 2cos 'I BP BA BP BA PBA BP BA =⋅=⋅∠=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r若''AP BQ =,则''AQ BP =若12I I =,则''AQ BP =即可.此时P 可以与1P 重合,Q 与2Q 重合,满足题意,但是()PQ AB R λλ=∈u u u r u u u r不成立,且AP BQ ≠u u u r u u u r 所以A 、B 错误;对于C,若()PQ AB R λλ=∈u u u r u u u r ,则PQ AB u u u r u u u r∥,此时必有1P 与1Q 对应(或2P 与2Q ),所以满足12I I =,所以C 正确;对于D,对于点3P ,满足13AP AP =,但此时3P 在直线AB 上的投影不在P'处,因而不满足''AQ BP =,即12I I ≠,所以D 错误综上可知,C 为正确选项故选:C本题考查了平面向量数量积的意义及向量投影的应用,向量共线的特征和性质,综合性强,较为复杂,属于难题.18．如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O e 上的动点，BB '是O e 的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（）A ．56πB ．23π C ．2π D ．4π 【答案】B设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N OA B --与M AB B '--夹角的余弦值.结合αβ≤即可求得θ的取值范围,即可得θ的最大值.解：设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则由()0AOB θθπ∠=<<可得()()()0,0,0,,0,0,0,0,O B r S a ,()()cos ,sin ,0,',0,0A r r B r θθ-M ,N 是SB 的两个三等分点则22,0,,,0,3333ra r a M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()2cos ,sin ,0,,0,33r a OA r r ON θθ⎛⎫==⎪⎝⎭u u u r u u u r 设平面NOA 的法向量为()111,,m x y z =u r则00m OA m ON ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ,代入可得()()()111111,,cos ,sin ,002,,,0,033x y z r r ra x y z θθ⎧⋅=⎪⎨⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得1111cos sin 02033x r y r x r az θθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令11x =,解得11cos 2,sin ry z aθθ=-=- 所以cos 21,,sin r m a θθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u r 平面OAB 的法向量为()0,0,1n =r由图可知, 二面角N OA B --的平面角α为锐二面角,所以二面角N OA B --的平面角α满足cos m nm nα⋅==⋅u r ru r r设二面角M AB B '--的法向量为()222,,k x y z =r()2'cos ,sin ,0,cos ,sin ,33r a B A r r r AM r r θθθθ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r则'00k B A k AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u u v v 代入可得()()()222222,,cos ,sin ,002,,cos ,sin ,033x y z r r r ra x y z r r θθθθ⎧⋅+=⎪⎨⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得2222222cos sin 02cos sin 033x r x r y r x r az x r y r θθθθ++=⎧⎪⎨--+=⎪⎩ 令21x =,解得221cos 2,sin ry z aθθ--==-所以1cos 21,,sin r k a θθ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭r 平面AB B '的法向量为()0,0,1h =r由图可知, 二面角M AB B '--的平面角β为锐二面角,所以二面角M AB B '--的平面角β满足cos k hk hβ⋅==⋅r r r r由二面角的范围可知0αβπ≤≤≤结合余弦函数的图像与性质可知cos cos αβ≥≥化简可得1cos 2θ≤-,且0θπ<< 所以203πθ<≤所以θ的最大值是23π 故选:B本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题.二、填空题19．设等比数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N∈，若22a=，34a =，则1a =______，4S =______.【答案】1 15根据等比数列的通项公式,可求得1a 与q .再求得4a ,即可求得4S 的值. 解：因为数列{}n a 为等比数列,由等比数列的通项公式可知11n n a a q -=而22a =,34a =所以2123124a a q a a q ==⎧⎨==⎩,解方程组可得112a q =⎧⎨=⎩ 所以3341128a a q ==⨯=所以41234+++S a a a a =124815=+++=故答案为:1;15本题考查了等比数列通项公式的简单应用,前n 项和的求法,属于基础题.20．设u r ，v r分别是平面a ，β的法向量，()1,2,2u =-r ，()2,4,v m =--r .若a β∥，则实数m =______. 【答案】4根据两个平面平行时,其法向量也平行,即可求得参数m 的值.解：因为a β∥,且u r ,v r分别是平面a ,β的法向量则u v r r∥因为()1,2,2u =-r ,()2,4,v m =--r所以存在λ,满足u v λ=r r则()()1,2,22,4,m λ-=--即12242m λλλ=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩解得124m λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以4m = 故答案为:4本题考查了平面平行时法向量的关系,平行向量的坐标表示及关系,属于基础题. 21．在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（bi ēn ào ）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角ABC ∆中，AD 为斜边BC 上的高，3AB =，4AC =，现将ABD ∆沿AD 翻折AB D '∆，使得四面体AB CD '为一个鳖臑，则直线B D '与平面ADC 所成角的余弦值是______.【答案】916作'B M CD ⊥于交CD 于M ,可证明'B M ⊥平面ACD ,则'B DM ∠即为B D '与平面ADC 的夹角.根据线段关系即可求解. 解：作'B M CD ⊥于交CD 于M因为,'AD CD AD DD ⊥⊥ 且'CD DD D ⋂= 所以AD ⊥平面'DB C 而AD ⊂平面ACD所以平面ACD ⊥平面'DB C又因为平面ACD I 平面'DB C DC =,且'B M CD ⊥ 所以'B M ⊥平面ACD则'B DM ∠即为B D '与平面ADC 的夹角因为直角ABC ∆中,3AB =,4AC =所以5BC ===341255AB AC AD BC ⨯⨯===则165DC ===所以169'555DB BC DC =-=-= 在直角三角形'B DC 中,9'95cos 'cos '16165DB B DM B DC DC ∠=∠=== 故答案为:916本题考查了空间几何体中直线与平面的夹角求法,直线与平面垂直关系的判定,对空间想象能力和计算能力要求较高,属于中档题.22．已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.【答案】2+根据函数()f x 存在a R ∈在[]2,b 上恰有两个零点,则求得当2x =时满足条件的a .再由当x b =时取到零点,即可求得b 的值.解：因为函数()226f x x ax =+--,()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则必在2x =与x b =时恰好取到零点的边界若2x =时,()f x 的零点满足()2222260f a =+--=解方程求得2a =或4a =-当2a =时, ()2226f x x x =+--,满足()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则()22260f b b b =+--=,且2b >解方程可得2b =(舍)或4b =-(舍)当4a =-时, ()2426f x x x =---,满足()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则()24260f b b b =---=,且2b >解方程可得2b =-舍)或2b =+综上可知,当2b =+()f x 在[]2,b 上恰有两个零点故答案为: 2+本题考查了含绝对值函数零点的分类讨论,注意恰有两个零点条件的应用,根据边界取等时能刚好取得,属于中档题.三、解答题23．已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R（Ⅰ）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期；（Ⅲ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（Ⅰ）32f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（Ⅱ）π（Ⅲ）,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）将3π代入解析式,即可求得3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. （Ⅱ）根据正弦的二倍角公式化简后,即可求得()f x 的最小正周期. （Ⅲ）根据正弦函数的图像与性质,可求得()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.解：（Ⅰ）2sin cos 33636f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12sin cos 266222ππ==⨯⨯=即3f π⎛⎫=⎪⎝⎭ （Ⅱ）因()sin 2sin 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故()f x 的最小正周期22T ππ==（Ⅲ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 因此当233x ππ-=-,即0x =时,()3minf x =- 当232x ππ-=,即512x π=时,()max 1f x = 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 本题考查了正弦函数的求值,正弦函数的图像与性质简单应用,属于基础题.24．如图，设抛物线21C x y =与()22:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >，过M 且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ，过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ，记S 为MBA ∆的面积.（Ⅰ）求p 的值（用t 表示）；（Ⅱ）若1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求t 的取值范围.注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.【答案】（Ⅰ）32t p =；（Ⅱ）24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）将M 的横坐标为t 代入抛物线1C 解析式可得()2,M t t ,再代入抛物线2C解析式,化简即可用t 表示p 的值.（Ⅱ）设出点A 的坐标,结合M 的坐标即可表示出直线MA 的方程.联立抛物线1C ,根据相切时判别式0∆=可得2k t =,表示出直线MA 的方程.利用两点式表示出直线MA 的斜率,即可用t 表示出点A 的坐标.同理可求得B 点的坐标.进而利用两点间距离公式表示出MB ,利用点到直线距离公式求得A 到直线MB 的距离,即可表示出MBA ∆的面积S .结合S 的取值范围,即可求得t 的取值范围.解：（Ⅰ）因点M 在抛物线1C :2x y =上,故()()2,0M t t t >又点M 在抛物线2C ：()220y px p =>上,故()222t pt =,则32t p =（Ⅱ）设点()11,A x y ,直线MA 的方程为()2y k x t t =-+联立方程组22(),,y k x t t x y ⎧=-+⎨=⎩消去y ,得220x kx kt t -+-=则()()222420k kt t k t ∆=--=-=因此2k t =即直线MA 的方程为22y tx t =-则直线MA 的斜率223112211132y t y t t k ty x t y t t t --====-+- 从而212t y =-,即2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理,直线MB 的方程为222t t y x =+,点2,24t t B ⎛⎫- ⎪⎝⎭因此2t MB t =-=点2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线MB ：2022t t x y -+=的距离29t d ==故MBA ∆的面积23911272232t t S MB d === 即32732t S =因为1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即3 1272 432t≤≤解得24,33t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.本题考查了直线与抛物线的位置关系,利用韦达定理分析直线与抛物线的交点问题,两点间距离公式及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.。

浙江省2020年1月普通高校招生学业水平考试数学试题(5页)

浙江省2020年1月普通高校招生学业水平考试数学试题数学试题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1.已知集合{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则A B =U （） A. {}4B. {}1,6C. {}2,4D. {}1,2,4,62.()tan a π-=（） A. tan a -B. tan aC. tan a ±D.1tan a3.66log 2log 3+=（） A. 0B. 1C. 6log 5D. 12log 54.圆22280x y x ++-=的半径是（）A 2 B. 3 C. 6 D. 95.不等式12x -<（） A. {}13x x -<<B. {}13x x <<C. {1x x <-或}3x >D. {1x x <或}3x >6.椭圆221259x y +=的焦点坐标是（）A. ()5,0-，()5,0B. ()0,5-，()0,5C. ()4,0-，()4,0D. ()0,4-，()0,47.若实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则2x y +的最大值是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 48.直线平面，，那么过点且平行于直线a 的直线（）A. 只有一条，不平面内B. 有无数条，不一定在内C. 只有一条，且在平面内D. 有无数条，一定在内9.过点()3,1A -且与直线230x y +-=垂直的直线方程是（） A. 210x y ++=B. 210x y +-=C. 270x y -+=D. 270x y --=10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若60A =︒，45B =︒，3a =则b =（） A. 1B. C. 2D.11.函数()sin f x x x =⋅的图象大致是（） A.B.CD.12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A. 13B. 23C. 1D. 213.设,a b ∈R ，则“0a b +>”是“330a b +>”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件.14.设1F ，2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点.若双曲线上存在一点P ，使得124PF PF =，且1260F PF ∠=︒，则该双曲线的离心率是（）15.点P 从O 出发, 按逆时针方向沿周长为l 图形运动一周, 点O 、P 的距离（y ）与点P 走过的路程(x )的函数关系如图所示.那么点P 所走过的图形是图中的( ).A.B. C.D.16.设数列{}n a 满足11a =，2212n n a a -=+，2121n n a a +=-，*n N ∈，则满足4n a n -≤的n 的最大值是（） A. 7B. 9C. 12D. 1417.设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线2xy =和2log y x =上的动点，记1I AQ AB =⋅u u u r u u u r ，2I BP BA =⋅u u u r u u u r.（） A 若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈u u u r u u u rB. 若12I I =，则AP BQ =u u u r u u u rC. 若()PQ AB R λλ=∈u u u r u u u r，则12I I =D. 若AP BQ =u u u r u u u r，则12I I =18.如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O e 上的动点，BB '是O e 的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（）的.A.56π B.23π C. 2πD. 4π二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.设等比数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若22a =，34a =，则1a =______，4S =______.20.设u r，v r 分别是平面a ，β的法向量，()1,2,2u =-r ，()2,4,v m =--r .若a β∥，则实数m =______.21.在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào ）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角ABC ∆中，AD 为斜边BC 上的高，3AB =，4AC =，现将ABD ∆沿AD 翻折AB D '∆，使得四面体AB CD '为一个鳖臑，则直线B D '与平面ADC 所成角的余弦值是______.22.已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.三、解答题（本大题共3小题，共31分）23.已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R（Ⅰ）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期；（Ⅲ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.24.如图，设抛物线21C x y =与()22:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >，过M 且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ，过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ，记S 为MBA ∆的面积.（Ⅰ）求p 的值（用t 表示）；（Ⅱ）若1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求t 的取值范围. 注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.。

浙江省2020年高中数学1月学业水平考试模拟试题C

浙江省2020年高中数学1月学业水平考试模拟试题C选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,4,6}A =，{4,5}B =，则()U A B ð=A ．{4}B ．{5}C ．{3,5}D ．{3,4,5}1．【答案】D【解析】由已知得={35}U A ，ð，所以()={345}U A B ，，ð，故选D ．2．函数ln(1)()x f x x+=的定义域为 A ．（–1，+∞） B ．（–1，0） C ．（0，+∞）D ．（–1，0）∪（0，+∞）2．【答案】D【解析】由题可知100x x +>⎧⎨≠⎩，10x x >-⎧∴⎨≠⎩，()()1,00,x ∴∈-+∞，故选D.3．已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，若λ=a b （λ∈R ），则m = A ．−2 B ．12-C ．12D ．23．【答案】C【解析】∵向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，λ=a b （λ∈R ），∴()12-，＝λ()1m -，，∴12m λλ-=⎧⎨=-⎩，∴m ＝12，故选C ． 4．在等比数列{}n a 中，1352,12a a a =+＝，则7a = A ．8 B ．10 C ．14 D ．164．【答案】D【解析】设等比数列的公比为q ，由3512a a +=，可得241112a q a q +=，又12a =，所以4260q q +-=，化简得22(3)(2)0q q +-=，所以22q =，所以671a a q =32216=⨯=.故选D.5．函数22()1xf x x =-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．5．【答案】A【解析】∵函数f （x ）221xx=-，∴当x (01)∈，时，f （x ）>0，故D 错误； x >1时，f （x ）<0恒成立，故B 和C 错误．由排除法得正确选项是A ．6．已知两条平行直线3460x y +-=和340x y a ++=之间的距离等于2，则实数a 的值为 A ．1- B ．4C ．4或16-D ．16-6．【答案】C【解析】两条平行线之间的距离为625a d --===，故4a =或16a =-，故选C ．7．若实数,x y 满足约束条件220,10,0.x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为A ．0B ．2C ．4D ．67．【答案】A【解析】作出实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩………表示的平面区域，如图所示．由2z x y =-可得1122y x z =-，则12z -表示直线1122y x z =-在y 轴上的截距，纵截距越大，z 越小．作直线20x y -=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B 时，12z -最大，z 最小．由2201x y x +-=⎧⎨=⎩可得1(1,)2B ，此时0z =，故选A ．8．若7sin cos 5θθ+=，则sin cos θθ= A ．2425 B ．1225C ．2425±D ．2425-8．【答案】B【解析】由7sin cos 5θθ+=两边平方得2249sin 2sin cos cos 25θθθθ++=，即4912sin cos 25θθ+=，解得12sin cos 25θθ=.故选B ． 9．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>分别过点(2,0)A 和(0,1)B -，则该椭圆的焦距为A B ．C D ．9．【答案】B【解析】由题意可得2a =，1b =，所以a 2＝4，b 2＝1，所以c ==2c =故选B.10．已知两条不同的直线a ，b 和一个平面α，则使得“a b ∥”成立的一个必要条件是A ．a α∥且b α∥B ．a α∥且b α⊂C ．a α⊥且b α⊥D ．a ，b 与α所成角相同10．【答案】D【解析】若a b ∥，当a α∥时b α∥或b α⊂，故A 错误；若a b ∥，当a α∥时b α∥或b α⊂，故B 错误；若a b ∥，a α⊥且b α⊥不一定成立，故C 错误；若a b ∥，则a ，b 与α所成角相同，故D 正确. 故选D ．11．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若π4A =，a =b =ABC △的面积等于A ．12或32B ．12C ．2D ．3211．【答案】D【解析】利用余弦定理得到：22222cos ,522,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=或1c =-（舍去），∴13sin 22ABC S bc A ==△.故选D.12．在正三棱锥P ABC -中，4,PA AB ==PA 与底面ABC 所成角的正弦值为A ．14BC ．18D12．【答案】B【解析】连接P 与底面正△ABC 的中心O ，因为P ABC -是正三棱锥，所以PO ⊥平面ABC ，所以PAO ∠为侧棱PA 与底面ABC 所成角，因为4,PA AB ==2132cos 44AO PAO PA ∠===，所以sin 4PAO ∠=，故选B ． 13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30︒的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为(0,)b ，则该双曲线的离心率为 ABCD13．【答案】A【解析】由题意设直线l的方程为()3y x c =+，令0x =，得3y c =，所以3b =，所以22222232a c b b b b =-=-=，所以e ==.故选A. 14．设函数21()lg ||1f x x x=-+，则使得5(log )0f m ≥成立的m 的取值范围是 A ．1[,5]5B ．1(0,][5,)5+∞ C ．1(,][5,)5-∞+∞ D ．1(,0][,5)5-∞14．【答案】B【解析】由函数()f x 的解析式可得：函数()f x 的定义域为{|0},x x ≠又()()f x f x =-，则函数()f x 为偶函数，当0x >时，21()lg 1f x x x=-+，易得函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，又(1)0f =，所以5(log )0f m ≥等价于5(|log |)(1)f m f ≥，即5log 1m ≥，即1(0,][5,)5m ∈+∞，故选B ．15．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是A ．2π(3)4a - B ．2π(6)2a -C ．2π(6)4a -D ．23π(6)4a -15．【答案】C【解析】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为22222π1π334π(6)4()84a S a a a a =+-+⨯=-.故选C.16．等差数列{}n a 中，公差0d ≠，当1()n n *>∈N 时，下列关系式正确的是A ．112n n a a a a +>B ．112n n a a a a +<C ．112n n a a a a +=D ．112n n a a a a +≥16．【答案】B【解析】设()11n a a n d +-=，因为()2111111n a a a a nd a na d +=+=+，()()()()222111111n a a a d a n d a na d n d =++-=++-，所以()21121n n a a a a n d +-=--，又因为1,0n d >≠，所以1120n n a a a a +-<，所以112n n a a a a +<.故选B ． 17．若函数()|2||21|f x x x ax =-+--没有零点，则实数a 的取值范围是A ．332a -≤< B ．31a -≤< C ．332a a ≥<-或 D ．13a a ≥<-或 17．【答案】A【解析】因为函数()|2||21|f x x x ax =-+--没有零点，所以方程|2||21|x x ax -+-=无实根，即函数()|2 |21g x x x =-+-与()h x ax =的图象无交点，如图所示，则()h x 的斜率a 应满足332a -≤<，故选A.18．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M ，N 在AC 上运动，MN a =，四面体11M B C N -的体积为V ，则A ．36V =B ．36V a > C ．312V a =D ．312V a <18．【答案】C【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M ，N 在AC 上运动，MN a =，如图所示：点1B 到平面1MNC 的距离1112d B D =＝2a ，且MN a =，所以1211122MNC S MN CC a =⋅=△，所以三棱锥11B C MN -的体积11B C NM V -＝123111332MNC S d a ⨯⨯=⨯=△，利用等体积法得11113M B C N B C NM V V --==.故选C ．非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知||2=a ，||4=b ，a 与b 的夹角为120︒，则⋅=a b _________，||+=a b ________.19．【答案】4-；【解析】由题得24cos1204⋅=⨯⨯=-a b ；+===a b故答案为4-；20．若22log log 1m n +=，那么m n +的最小值是________.20．【答案】【解析】22log log 1m n +=，即2log 1mn =，2mn ∴=，由基本不等式可得m n +≥=m n ==时，等号成立，故m n +的最小值是. 21．已知0a >且1a ≠，设函数2,3()2log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则实数a 的取值范围是________.21．【答案】1[,1)3【解析】由题意知，函数()y f x =在(],3-∞上单调递增，且()31f =，由于函数()2,32log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则函数()2log a f x x =+在()3,+∞上单调递减且2log 31a +≤，则有012log 31a a <<⎧⎨+≤⎩，即01log 31a a <<⎧⎨≤-⎩，解得113a ≤<，因此，实数a 的取值范围是1[,1)3，故答案为1[,1)3.22．在数列{}n a 中，已知11a =，2211n n n n n a S n a S ---=-*(2,)n n ≥∈N ，记2nn a b n =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则2021T =________.22．【答案】20211011【解析】由22*11(2,)n n n n n a S n a S n n ---=-≥∈N 得()2211n n n n n a S S n a ----=，∴()2211n n n a n a --=，∴111n n a a n n n n -=⨯-+，令n n a c n =，则11n n n c c n -=⨯+，∴11n n c n c n -=+，由累乘法得121n c c n =+， ∴21n c n =+，∴21n a n n =+，∴21n n a n =+，∴22112(1)1n n a b n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪++⎝⎭，∴202111111120212(1)2(1)2232021202220221011T =-+-++-=-=. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）已知函数2()22cos 1f x x x =+-．（Ⅰ）求5π()12f 的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调增区间． 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为2()22cos 1f x x x =+-，所以25π5π5π())2cos ()1121212f =⨯+- 5π5π)cos(2)1212=⨯+⨯（3分） 5π5πcos 66=+0=.（5分）（Ⅱ）2()22cos 12cos π2sin 62(2)f x x x x x x =+++=-=，（7分）所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（8分）令πππ2π22π+()262k x k k -≤+≤∈Z ，解得ππππ+()36k x k k -≤≤∈Z ，所以()f x 的单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k -∈Z .（10分） 24．（本小题满分10分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ，求sin QMN ∠的最小值.24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由题意得抛物线的准线方程为2py =-，点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3，232p∴+=，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为24x y =.（3分）（Ⅱ）由题知直线l 的斜率存在，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x ky --=，（5分）所以124x x k +=，124x x ⋅=-，所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()22,21k k +，（7分）因为21244AB y y p k =++=+，所以圆Q 的半径为222r k =+.（8分）在等腰QMN △中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++，当且仅当0k =时取等号. 所以sin QMN ∠的最小值为12.（10分） 25．（本小题满分11分）已知关于x 的函数2()2f x x kx =--，x ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数k 的值；（Ⅱ）若函数()(21)xg x f =-，当2(]0,x ∈时，()0g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若函数2()()|1|2h x f x x =+-+，且函数()h x 在(0,2)上有两个不同的零点1x ，2x ，求证：12114x x +<. 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，即2222x kx x kx +-=--对x ∈R 都成立，0k ∴=.（2分）（Ⅱ）当2(]0,x ∈时，()0g x ≤恒成立，即()()2212120x x k ----≤恒成立. 令21x u =-，则(]0,3u ∈，()()2212120x x k ∴----≤在2(]0,x ∈时恒成立等价于2k u u≥-在(]0,3u ∈时恒成立，（4分）又227333u u -≤-=，73k ∴≥， k ∴的取值范围是7[,)3+∞.（6分）（Ⅲ）不妨设1202x x <<<，因为()21,01,21,12,kx x h x x kx x -+<<⎧=⎨--≤<⎩所以()f x 在()0,1上至多有一个零点，若1212x x ≤<<，则120x x ⋅>，而12102x x ⋅=-<，矛盾. 因此12012x x <<≤<；（8分）由()10h x =，得11k x =，由()20h x =，得222210x kx --=， 22211210x x x ∴-⋅-=，即212122x x x x +=⋅， 2121124x x x ∴+=<.（11分）。

2020年1月6日浙江省普通高中学业水平数学试题及答案

2020年1月6日浙江省普通高中学业水平数学试题及答案(word版可编辑修改)
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2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题（考试时间:2020年1月6日下午16：00—17:20）
参考答案。

浙江省2020年1月普通高校招生学业水平考试数学试题

【答案】B
【解析】
分析】
将圆的一般方程化为标准方程,即可求得圆的半径.
【详解】因为圆
化为标准方程可得
所以圆的半径为3
故选:B
【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的标准方程的性质,属于基础题.
5.不等式（）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
根据绝对值不等式,分类讨论解不等式即可求解.
12.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图,还原出空间几何体,即可求得该几何体的体积.
【详解】由三视图可知,该几何体为三棱锥,其空间结构体如下图所示:
则由三视图中的线段长度可知
则
故选:B
【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,棱锥的体积求法,属于基础题.
（Ⅰ）求的值（用表示）；（Ⅱ）若，求的取值范围.
25.设，函数，， .
（I）若为偶函数，求的值；
（Ⅱ）当时，若在上均单调递增，求的取值范围；
（Ⅲ）设，若对任意，都有，求的最大值.
答案
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）
而 ,所以此时的最大值是12
综上可知, 的最大值是12
故选:C
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求法,对奇偶项分类讨论数列的性质,绝对值不等式的解法,属于中档题.
17.设点，的坐标分别为，，，分别是曲线和上的动点，记， .（）

2023年浙江省普通高校招生学业水平考试数学试卷(1月份)+答案解析(附后)

2020年浙江省普通高校招生学业水平考试数学试卷（1月份）一、单选题（本大题共18小题，共54分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.( )A. B. C. D.3.( )A. 0B. 1C.D.4.圆的半径是( )A. 2B. 3C. 6D. 95.不等式的解集是( )A. B.C. 或D. 或6.椭圆的焦点坐标是( )A. ，B. ，C. ，D. ，7.若实数x，y满足不等式组则的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 48.已知直线平面，，那么过点P且平行于l的直线( )A. 只有一条，不在平面内B. 只有一条，在平面内C. 有两条，不一定都在平面内D. 有无数条，不一定都在平面内9.过点且与直线垂直的直线方程是( )A. B. C. D.10.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则( )A. 1B.C. 2D.11.函数的图象大致是( )A.B.C.D.12.某几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的体积单位：是( )A.B.C. 1D. 213.设a，，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14.设点、分别是双曲线、的左、右焦点．若双曲线上存在一点P，使得，且，则该双曲线的离心率是( )A. B. C. D.15.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如右图所示，那么点P所走的图形是( )A. B. C. D.16.设数列满足，，，，则满足的n 的最大值是( )A. 7B. 9C. 12D. 1417.设点A ，B 的坐标分别为，，P ，Q 分别是曲线和上的动点，记，，( )A. 若，则B. 若，则C.若，则D. 若，则18.如图，在圆锥SO 中，点A 、B 是上的动点，是的直径，点M 、N 是线段SB 的两个三等分点，，记二面角、的平面角分别为、，若，则的最大值是( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共15分）19.设等比数列的前n 项和为，若，，则__________，__________.20.设，分别是平面，的法向量，，若，则实数__________.21.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑ēnà是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折至的位置，使得四面体为一个鳖臑，则直线与平面ADC所成角的余弦值是__________.22.已知函数若存在，使得在上恰有两个零点，则实数b的最小值是__________.三、解答题（本大题共3小题，共31分。

2020年1月浙江省学业水平考试数学学考真题

2020年1月浙江省学业水平考试数学学考真题(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）1. 已知集合A={1，2，4}，B={2,4,6},则A B=A. {4} B{1，6} C{2,4} D{1,2,4,6}2. tan(π-)=A. -tan C.tan D.αtan 13. =+3log 2log 66Dlog 1254. 圆x ²+y ²+2x-8=0的半径是5. 不等式|x-1|<2的解集是A. {x|-1<x<3}B.{x|1<x<3}C.{x|x<-1或x>3}D.{x|x<1或x>3}6. 椭圆192522=+y x 的焦点坐标是A （±5，0） B.(0,±5 ) C.(±4,0) D.(0,±4 )7. 若实数x,y 满足不等式组0,0,2,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩ 则x+2y 的最大值是A. 已知直线l 无数条，一定在α内B. 只有一条，不在α内 D.有无数条，不一定在α内8. 过点A （3，-1）且与直线x+2y-3=0垂直的直线方程是A. x+2y+1=0 +2y-1=0 +7=0 =09. 在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c.若A=60⁰，B=45⁰，a=3,则b=B.√3 D.√610. 函数f(x)=|x|sinx 的图像大致是11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积（单位：cm ³）是A.31 B.3212. 设a,b R,则“a+b>0”是“a ³+b ³>0”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件13. 设F1，F2分别是双曲线12222=-by a x （a,b>0）的左，右焦点。

2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真卷B(附解析)

2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真卷B （附解析）选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合*{|05,}A x x x =<<∈N ，2{|60}B x x x =--=，则AB =A ．{|13}x x <<B ．{|03}x x <<C ．{3}D ．{1,2,3}2．已知a ，b 是实数，则“5a b +>”是“23a b >⎧⎨>⎩”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既非充分也不必要条件3．设函数1(),1x f x x x ≥=-<⎪⎩，则((1))f f -= A ．−1 B ．0 C ．1 D ．34．设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为A ．4B ．C ．D ．5．若函数π()sin()6f x x ω=+（0>ω）的最小正周期为5π，则ω= A ．5 B ．10 C ．15 D ．206．设120202019a =，2019log b =20201log 2019c =，则 A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．a c b >> 7．满足|1||1|1x y -+-≤的图形面积为A ．1BC ．2D ．48．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．7π6 B ．4π3 C ．2π D ．13π69．已知1{}1n a +是等差数列，且114a =，41a =，则11a = A ．−12 B ．−11 C ．−6 D ．−5 10．若向量(1,1,2)=-a ，(2,1,3)=-b ，则||+=a bA B ． C ．3 D 11．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=，a b ∥，则下列结论不可能成立的是A ．b β⊄，且b α∥B ．b α⊄，且b β∥C ．b α∥，且b β∥D ．b 与α、β都相交12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆C 被直线y x =截得的弦长为C 的方程为A ．22(2)9x y ++=B ．22(2)9x y -+=C ．22(1)6x y ++=D ．22(1)6x y -+=13．若两个非零向量a 、b ，满足||||2||+=-=a b a b a ，则向量+a b 与a 的夹角为A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．6π14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a c b -=，sin cos 3sin cos A C C A =，则b 的值为A ．2B ．3C ．4D ．515．已知函数()254f x x x kx =-+-有三个零点123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅=A ．4B ．6C ．8D ．1216．设二次函数2()f x x ax b =++，若对任意的实数a ，都存在实数2[]1,2x ∈使得不等式|()|f x x ≥成立，则实数b 的取值范围是A ．1(,][2,)3-∞-+∞B ．11(,][,)34-∞-+∞C ．11(,][,)49-∞+∞D ．19(,][,)34-∞-+∞17．平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线24y x =的焦点，点AB 、在抛物线C 上，且满足4OA OB ⋅=-，||||43FA FB -=FA FB ⋅为A ．11-B ．12-C ．13-D ．14-18．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝，线段AD ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，K ，连接EF ，FK ．现将ABD △绕对角线BD 旋转，令二面角A －BD －C 的平面角为α，则在旋转过程中有A ．EFK α∠≤B ．EFK α∠≥C ．EDK α∠≤D ．EDK α∠≥非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知π(0,)6a ∈，若2sin sin21a a +=，则tan a =______；sin 2a =______.20．已知直线12:(1)30,:(1)(23)20l kx k y l k x k y +--=-++-=，若12l l ⊥，则k =______.21．已知向量(,1)m =a ，(4,2)n =-b ，0m >，0n >，若∥a b ，则18m n+的最小值为______.22．已知数列{}n a 满足113a =，1340n n a a ++-=，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则满足不等式1|9|1000n S n -->的n 的最大值为______.三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥. 24．（本小题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，点P （2，3）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 引圆222(3)(03)x y r r +-=<<的两条切线PA ，PB ，切线PA ，PB 与椭圆C 的另一个交点分别为A ，B ，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 25．（本小题满分11分）已知函数21()log ()()f x a a x=+∈R .（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域；（Ⅱ）若对任意[2,4]t ∈，12,[1,1]x x t t ∈-+，均有12|()()|2f x f x -≤，求a 的取值范围.2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真卷B （解析）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合*{|05,}A x x x =<<∈N ，2{|60}B x x x =--=，则A B =A ．{|13}x x <<B ．{|03}x x <<C ．{3}D ．{1,2,3} 1．【答案】C【解析】易得{}{}2602,3B x x x =--==-，{}{}*05,1,2,3,4A x x x =<<∈=N ，所以{}{}{}1,2,3,42,33AB =-=.故选C ．2．已知a ，b 是实数，则“5a b +>”是“23a b >⎧⎨>⎩”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也不必要条件 2．【答案】B【解析】当1a =，5b =时，5a b +>，但不满足23a b >⎧⎨>⎩，故不是充分条件；由不等式的性质可知，由23a b >⎧⎨>⎩可得235a b +>+=，故是必要条件.故选B ． 3．设函数1(),1x f x x x ≥=-<⎪⎩，则((1))f f -=A ．−1B ．0C ．1D ．3 3．【答案】B【解析】因为()()111f -=--=，所以()()()110f f f -===，故选B ．4．设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为A ．4 B． C． D．4．【答案】A【解析】由题得24,2a a =∴=.由双曲线的定义可知P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为24a =.故选A.5．若函数π()sin()6f x x ω=+（0>ω）的最小正周期为5π，则ω= A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 5．【答案】B【解析】根据周期公式2π||T ω=以及0>ω得2π10π5ω==，故选B ．6．设120202019a =，2019log b =20201log 2019c =，则 A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．a c b >> 6．【答案】C 【解析】120200201901912a >==，20192019log log 201910b <<==，202020201log log 102019c =<=，∴a b c >>，故选C ． 7．满足|1||1|1x y -+-≤的图形面积为 A ．1 BC ．2D ．4 7．【答案】C【解析】由题意，可得3,1,11,1,11111,1,11,1,1x y x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥<⎪-+-≤⇒⎨+≥<<⎪⎪-≥-<≥⎩，画出对应的平面区域，如图所示，其中四边形ABCD为正方形，因为AB =2ABCD S ==四边形，即111x y -+-≤所表示的图形的面积为2.故选C ．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．7π6 B ．4π3 C ．2π D ．13π68．【答案】A【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体的左侧是一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，右侧是一个底面半径为1，高为1的半圆锥，所以该几何体的体积为22111π7ππ12π11π22366V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故选A ． 9．已知1{}1n a +是等差数列，且114a =，41a =，则11a = A ．−12 B ．−11 C ．−6 D ．−5 9．【答案】C【解析】因为数列1{}1n a +是等差数列，所以公差4111111412541310a a d -===---++，所以111114111010()115105d a a =+=+⨯-=-++，解得116a =-，故选C ． 10．若向量(1,1,2)=-a ，(2,1,3)=-b ，则||+=a bAB． C ．3 D10．【答案】D【解析】由题得()3,0,1+=-a b ，则+=a b D ． 11．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=，a b ∥，则下列结论不可能成立的是A ．b β⊄，且b α∥B ．b α⊄，且b β∥C ．b α∥，且b β∥D ．b 与α、β都相交 11．【答案】D【解析】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，令平面ABCD 为平面α，平面11D DCC 为平面β，则CD 为直线a ，a b ∥，∴不妨设11A B 为直线b ，11,A B AB AB ⊂∥平面11,ABCD A B ⊄平面ABCD ，11A B ∴∥平面ABCD ，b β∴⊄且b α∥，即A 项成立；同理满足b α⊄，且b β∥，即B 项成立；111111,A B C D C D ⊂∥平面11CDD C ，11A B ⊄平面11CDD C ，11A B ∴∥平面11CDD C ，即b β∥，b α∴∥，且b β∥成立，即C 选项成立. 故排除A ，B ，C ．对于D ，若a b ∥，且a αβ=，则b α∥或b α⊂，所以b 不可能与α相交，同理，b 不可能与β相交，故D 不可能成立.故选D ．12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆C 被直线y x =截得的弦长为C 的方程为A ．22(2)9x y ++=B ．22(2)9x y -+=C ．22(1)6x y ++=D ．22(1)6x y -+= 12．【答案】B【解析】由题意，设圆心坐标为(,0)C a （0a >），因为M 在圆C 上，所以圆的半径为r =(,0)C a 到直线y x =的距离为2d a ==，且圆C 被直线y x =截得的弦长为===2a =，所以3r ==，因此，所求圆的方程为22(2)9x y -+=.故选B ．13．若两个非零向量a 、b ，满足||||2||+=-=a b a b a ，则向量+a b 与a 的夹角为A ．5π6 B ．2π3 C ．π3 D ．6π 13．【答案】C【解析】由||||2||+=-=a b a b a 得：|0|||+=-⇒⋅=a b a b a b ，又||2||+=a b a，所以向量+a b 与a 的夹角θ满足2222()+||1cos ==||||2||2||2θ+⋅⋅==+⋅a b a a a b a a b a a a ，解得π3θ=，故选C ．14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a c b -=，sin cos 3sin cos A C C A =，则b 的值为A ．2B ．3C ．4D ．5 14．【答案】C【解析】由sin cos 3sin cos A C C A =，及正弦定理得cos 3cos a C c A =，由余弦定理得，222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅，即2222223()a b c b c a +-=+-，又222a c b -=，所以2223(2)b b b b +=-，即24b b =，又0b >，所以4b =.故选C ．15．已知函数()254f x x x kx =-+-有三个零点123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅=A ．4B ．6C ．8D ．12 15．【答案】C【解析】画出254y x x =-+与y kx =的图象如下图所示：()()[]22254,,14,5454,1,4x x x y x x x x x ⎧-+∈-∞+∞⎪=-+=⎨-+-∈⎪⎩，由()254f x x x kx =-+-有三个零点，得当[]1,4x ∈时方程2540x x kx -+--=在区间[]1,4内有两个相等的实根，所以()25160k ∆=--=，得9k =或1k =，若9k =，2x =-，舍去；若1k =，2x =满足条件，所以22x =；当()(),14,x ∈-∞+∞时，2540x x kx -+-=的两根之积为4，所以134x x =，所以1238x x x =，故选C ．16．设二次函数2()f x x ax b =++，若对任意的实数a ，都存在实数2[]1,2x ∈使得不等式|()|f x x ≥成立，则实数b 的取值范围是A ．1(,][2,)3-∞-+∞B ．11(,][,)34-∞-+∞C ．11(,][,)49-∞+∞D ．19(,][,)34-∞-+∞16．【答案】D【解析】问题条件的反面为“若存在实数a ，对任意实数2[]1,2x ∈使得不等式()f x x <成立”，即1[,2],1 1.2bx x a x∀∈-<++<只要()=b g x x x +在2[]1,2x ∈上的最大值与最小值之差小于2即可. 当4b ≥时，1()(2)2,2g g -<得b ∈∅；当144b <<时,g(2)21()22g ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩，得1944b <<；当1111(2)()2,4234b g g b ≤-<-<≤时，得. 所以1934b -<<.综上可得，所求实数b 的取值范围是19(,][,)34-∞-+∞，故选D ．17．平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线24y x =的焦点，点A B 、在抛物线C 上，且满足4OA OB ⋅=-，||||43FA FB -=FA FB ⋅为 A ．11- B ．12- C ．13- D ．14- 17．【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ==，由4OA OB ⋅=-得22121212124,4,44y y x x y y y y +=-⋅+=-221212128,444y y y y x x ∴=-=⋅=，因为43FA FB -==结合2114y x =，2224y x =，得1212(1)(1)x x x x +-+=-=因此2212121212()()4481664,8x x x x x x x x +=-+=+=∴+=，从而1122121212(1,)(1,)()1488111FA FB x y x y x x y y x x =-⋅-=+-++=-⋅-+=-，故选A ．18．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝，线段AD ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，K ，连接EF ，FK ．现将ABD △绕对角线BD 旋转，令二面角A －BD －C 的平面角为α，则在旋转过程中有A ．EFK α∠≤B ．EFK α∠≥C ．EDK α∠≤D ．EDK α∠≥ 18．【答案】B【解析】如图，DEF △绕BD 旋转形成以圆O 为底面的两个圆锥(O 为圆心，OE 为半径，O 为DF 的中点)，πE FK EFE ∠=-∠''，πE OE α=-∠'，当180α≠且0α≠时，OEE '△与等腰FEE '△中，EE '为公共边，且FE FE OE OE =>=''，EFE EOE ∴∠<∠''，E FK α∴∠'>.当180α=时，E FK α∠'=，当0α=时，E FK α∠'>，综上，E FK α∠'≥，即EFK α∠≥.C 、D 选项比较EDK ∠与α的大小关系，由图可知即比较E DK '∠与α的大小关系，根据特殊值验证：当0α=时，E DK α∠'>，当180α=时，E DK α∠'<，∴C 、D 都不正确. 故选B ．非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知π(0,)6a ∈，若2sin sin 21a a +=，则tan a =______；sin 2a =______.19．【答案】12;45【解析】22221sin sin 21sin cos sin 2cos tan 2a a a a a a a +==+⇒=⇒=， 22tan 14sin 211tan 514a a a ===++，所以1tan 2a =，4sin 25a =.20．已知直线12:(1)30,:(1)(23)20l kx k y l k x k y +--=-++-=，若12l l ⊥，则k =______.20．【答案】1或−3【解析】因为l 1⊥l 2，所以k ·（k ﹣1）+（1﹣k ）·（2k +3）＝0，解得 k ＝1或k ＝﹣3，故答案为1或﹣3.21．已知向量(,1)m =a ，(4,2)n =-b ，0m >，0n >，若∥a b ，则18m n+的最小值为______.21．【答案】92【解析】∵∥a b ，∴420n m --=，即24n m +=，∵0m >，0n >，∴18118(2)4n m m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭116104n m m n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭19(1042≥+=，当且仅当843n m ==时取等号， ∴18m n +的最小值是92．故答案为92． 22．已知数列{}n a 满足113a =，1340n n a a ++-=，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则满足不等式1|9|1000n S n -->的n 的最大值为______. 22．【答案】8【解析】对1340n n a a ++-=变形得：13(1)(1)n n a a +-=--，即11113n n a a +-=--，故可以分析得到数列{1}n a -是首项为12，公比为13-的等比数列.所以11112()3n n a --=⨯-，1112()13n n a -=⨯-+，所以112[1()]1399()131()3n n n S n n --=+=-⨯-+--，故119|9()|31000nn S n --=-⨯->，解得最大正整数8n =. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥. 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为5sin 7sin c B a C =，所以5757cb ac b a =⇒=，又2b c a +=，所以73,255b ac a b a ==-=.（3分）所以22222237()()155cos 32225a a a a cb B a aca +-+-===-⋅⋅.（5分）（Ⅱ）因为0πB <<，1cos 2B =-，所以2π3B =.（6分）所以1()sin()22π3f x x =+≥23ππ5π2π2π,66k x k k ⇒+≤+≤+∈Z ，（8分）解得x ∈ππ[2π,2π]26k k -+，k ∈Z .（10分） 24．（本小题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，点P （2，3）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P引圆222(3)(03)x y r r +-=<<的两条切线PA ，PB ，切线PA ，PB 与椭圆C 的另一个交点分别为A ，B ，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为椭圆C 的焦距为4，所以c ＝2，则左焦点为F 1（﹣2，0），右焦点为F 2（2，0），所以|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，所以2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝5+3＝8，即4a =，（2分）所以b 2=a 2−c 2=12，故椭圆C 的方程为2211612x y +=．（4分）（Ⅱ）设PA ：1(2)3y k x =-+，则r =，所以2221(4)0r k r -+=；设PB ：2(2)3y k x =-+，则r =2222(4)0r k r -+=，所以1k ，2k 为方程222(4)0r k r -+=的两根，即120k k +=．（6分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立122(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有()()2222111113416241648120k x k k x k k +--+--=，2111211624234k k x k -+=+，221111122111624824623434k k k k x k k ---=-=++．同理联立222(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：211221824634k k x k +-=+，（8分）则()121121211121212124434148234ABk k x k y k k x x x y k k x x -++-+====--+．故直线AB 的斜率是定值，且定值为12.（10分） 25．（本小题满分11分）已知函数21()log ()()f x a a x=+∈R .（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域；（Ⅱ）若对任意[2,4]t ∈，12,[1,1]x x t t ∈-+，均有12|()()|2f x f x -≤，求a 的取值范围.25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）当1a =时，()21log (1)f x x=+，因为[1,)x ∈+∞，所以(]111,2x +∈，则()(]21log (1)0,1f x x=+∈，所以()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域为(]0,1.（3分）（Ⅱ）依题意对任意[]2,4t ∈，[]1,1x t t ∈-+，10a x+>恒成立，所以101a t +>+在[]2,4t ∈时恒成立，则15a >-.（5分）对任意[]2,4t ∈，函数()f x 在区间[]1,1t t -+上单调递减，由已知[]12,1,1x x t t ∈-+，均有()()122f x f x -≤，所以2211log ()log ()211a a t t +-+≤-+在[]2,4t ∈时恒成立，即214533111t a t t t -≥-=-+-在[]2,4t ∈时恒成立.（7分）①当0a ≥，[]2,4t ∈时，25301t t -<-，则0a ≥符合题意.（8分） ②当105a -<<时，25331t a t -≥-在[]2,4t ∈时恒成立，则215(1)03t t a a +-+≤在[]2,4t ∈时恒成立，令()215(1)3g t t t a a =+-+，所以()()1230,374150,310,5g a g a a ⎧=+≤⎪⎪⎪=+≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩则109a -≤<.（10分）由①、②可得a 的取值范围为19a ≥-.（11分）。