概率论连续型随机变量及其概率密度

f (x)
f (x)dx 1
P{ x } 1
密度函数和分布函数的关系
积分关系
x
F(x) f (x)dx
导数关系
F(x) P{X x}
x
f (x)dx
若f (x)在x处连续，则F(x) f (x)
b
P(a X b) F (b) F (a) a f (x)dx
概率密度函数的意义 由于在f(x)的连续点处，有
b
P{a X b} a f (x)dx
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概 率密度函数,简称概率密度或密度函数.
密度函数的区间上的积分 = 区间上的概率
P{x1 X x2}
x2 f (x)dx
x1
x1
x2
概率密度函数的性质 非负性
f (x) 0, x (, )
必然事件的概率
0, x 0
＝00..71,,
0 x 1 1 x2
1, x 2
F(x)
1
01
2x
分布函数的性质
F(x)是单调非减函数
若 x1 x2 F (x1) F (x2 )
F (x2 ) F (x1) P{x1 X x2} 0
0≤ F(x) ≤1, 且
F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1
1
5
所以
0 5 1 dx 0 1 (5 1) 1
14
4
0
x1
F
(
x)
1 4
(
x
1)
1 x5
1
1
x5
01
5
例：已知密度函数求概率
随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
a
cos
x
x
2
求 P(0 X )
0
其它
4
Step1: 利用密度函数的性质求出 a
f (x)dx 1
1
f (x) F(x) lim F(x x) F(x) lim P(x X x x)
x0
x
x0
x
它表明了随机变量X在区间 (x, x x]上的平均概
率，故称f(x)为密度函数。
P(x X x x) f (x)x.
用密度函数表示事件的概率
对于连续型随机变量X,它取任意指定实数值a 的概率为0,即:
分布函数
0,
F
(x)
x b
a a
,
1,
xa a xb xb
意义
0a
b
x
X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可
能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内
的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖
于子区间的长度而与子区间的位置无关。
（
0
a
c
）
db
x
d
P{c X d} c f ( x)dx
(1) P(0.3 X 0.7) F(0.7) F(0.3) 0.72 0.32 0.4
（2）密度函数为
f
(x)
F(x)
2x 0
0 x 1 otherwise
均匀分布 Uniform Distribution
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
1
f
(
x)
b
a
a xb
0 其它
则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b)
x
x
F() P{X } F() P{X }
不可能事件 必然事件
F(x)在(, ) 内是左连续的，即 x0 (, )
有
F
(
x 0
)
F
(
x0
)
F (x) 1 是不是某一随机变量的分布函数？ 1 x2
不是
因为 lim F(x) 0 x
1 函数 G(x) 1 x2
1
(x 0) 可作为分布函数 (x 0)
d
1 dx d c
c ba
ba
例
第二节 连续型随机变量及其概 率密度
离散型随机变量
取值是有限个或可列个，可一一列出； 变量的每一个可能取值都能计算出概率。
连续型随机变量 取值是某个区间或整个实数集； 取值不能一一列出； 对于这种变量，我们关心的是它的取值落
在某个区间的概率。
随机变量的分布函数
Distribution Function 分布函数的定义
设X为一随机变量,则对任意实数x，(X<x)是 一个随机事件，称
F(x) P(X x)
为随机变量X的分布函数
F(x)是一个普
通的函数！
定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。
分布函数表示事件的概率
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用 F(x)的函数值来表示。
P（X<b）=F(b) P（X≥b）=1﹣ P（X<b） =1 - F(b) P（a≤X<b）=F(b) ﹣ F(a)
解: 当 x<1 时 F (x) f (x)dx
x
0dx 0
0 1 2345 x
x
当1 x <5 时
x
1
x
F (x) f (x)dx f (x)dx f (x)dx
1
0 x 1 dx 1 (x 1)
14
4
x
当 x5 时 F (x) f (x)dx
1
5
x
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
分布函数 F(x)的图形
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
P{a X b} ?
概率密度函数
Probability density function p.d.f.
定义 设X为一随机变量，若存在非负实函数
f (x) , 使对任意实数 a < b ，有
P（a≤X<b）=P(X < b)-P(X<a)= F(b)- F(a)
一般地，对离散型随机变量
X～P{X= xk}＝pk, k＝1, 2, …
其分布函数为
F(x) P{X x} pi
xi x
例1 设随机变量X具分布律如右表
试求出X的分布函数。
解 F(x)＝P{X x}
X0 1 2 P 0.1 0.6 0.3
P(X=a)=0
对于连续型随机变量X,有
P(a X< b)= P(a<Xb)=P(a X b)=P(a<X<b)
b
a f (x)dx
X在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积分
例：已知密度函数求分布函数
已知连续型随机变量X的概率密度为
f
( x)
1 4
0
1, 5
其它
求 X 的分布函数
y
x
f (x)dx
2
a
cos
xdx
1
2
a 2
Step2: 密度函数在区间的积分得到此区间的概率
P(0 X )
4
1ห้องสมุดไป่ตู้
cos
xdx
2
4 02
4
例：已知分布函数求密度函数
随机变量 X 的分布函数为
0 x0
F
(
x)
x
2
0 x 1
1 x 1
(1)求 P(0.3 X 0.7)
（2)X 的密度函数