概率论连续型随机变量及其概率密度
概率论-2-3连续型随机变量及其概率密度
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它
（1）求元件寿命至少为200小时的概率；
（2）将3只这种元件连接成为一个系统. 设系统 工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3 只元件工作相互独立. 求系统的寿命至少为200小时 的概率.
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为PX 200 f Nhomakorabea(x)dx
Y ~ B(3,1 e2)
2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2 (1 e2)2(2e2 1) 0.950. 故系统的寿命至少为200小时的概率为
p 1 PY 2 1 0.950 0.050
1 ba
ab
即是说 X落在区间（a,b）内任意等长小区间 上的概率相等，在（a,b）内两个等长小区间上， f(x)之下的小长方形的面积相等，就是称为均匀分 布的原因.
均匀分布常见于下列情形
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差.
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
本节练习
习题二：８，９，１０
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 小结
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那 样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率 分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f
(
x)
《概率论》第2章§4连续型随机变量及其密度函数
密度函数是描述连续型随机变量取值 规律的工具，通常用大写字母f(x)表示 ，f(x)在x处的函数值表示随机变量在x 点附近取值的“概率密度”。
性质与定理
非负性
密度函数f(x)在整个实数范围 内都是非负的，即f(x)≥0。
正态分布
又称高斯分布，是一种连续概率分布。正态分布 是自然界中最常见的分布之一，许多自然现象和 社会现象都服从或近似服从正态分布。其密度函 数呈钟形曲线，关于均值对称。
指数分布
常用于描述某些随机事件发生之间的时间间隔， 如无线电通信中的信号到达间隔等，其密度函数 呈指数形式衰减。
其他分布
除了上述三种分布外，还有许多其他类型的连续 型随机变量分布，如t分布、F分布、贝塔分布等 。这些分布在实际问题中也有广泛的应用。
03 概率计算与应用
概率计算公式及方法
概率密度函数
常用的概率分布
对于连续型随机变量，其概率通过概率 密度函数进行描述，该函数表示随机变 量在某个取值点附近的概率分布情况。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如正态分布、均匀分布、指数分布等，这些 分布具有特定的概率密度函数和累积分布函 数形式，可用于描述不同类型的随机现象。
累积分布函数
性质
多维随机变量具有一维随机变量的一些基本性质，如分布函数性质、独立性等。此外， 多维随机变量还具有一些特殊的性质，如多维随机变量的每一个分量都是一维随机变量。
联合密度函数概念及性质
要点一
概念
对于多维连续型随机变量(X1, X2, ..., Xn)，如果存在非负可积 函数f(x1, x2, ..., xn)，使得对Rn中的任意区域D，有P{(X1, X2, ..., Xn) ∈ D} = ∫∫...∫f(x1, x2, ..., xn)dx1dx2...dxn，则 称f(x1, x2, ..., xn)为(X1, X2, ..., Xn)的联合密度函数。
概率论连续型随机变量
概率论连续型随机变量概率论是数学的一个分支，主要研究随机现象的概率规律和统计规律。
在概率论中，随机变量是一种可以随机取不同值的变量。
连续型随机变量是指取值范围为连续的变量，其概率分布函数可以用密度函数来描述。
连续型随机变量的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是描述随机变量取值概率的函数。
对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下两个条件：1）f(x)≥0，对于所有的x；2）∫f(x)dx=1，即概率密度函数在整个取值范围上的积分等于1。
概率密度函数的性质决定了连续型随机变量的一些特点。
首先，连续型随机变量的概率是通过对其概率密度函数进行积分得到的。
例如，对于一个连续型随机变量X，其取值在[a,b]之间的概率可以表示为P(a≤X≤b)=∫f(x)dx。
其次，连续型随机变量的概率密度函数可以用来计算随机变量落在某个区间的概率。
例如，对于一个连续型随机变量X，可以计算P(X≥a)=∫f(x)dx。
对于连续型随机变量，我们也可以计算其期望值和方差。
连续型随机变量X的期望值E(X)表示随机变量的平均取值，可以通过对X乘以其概率密度函数f(x)后积分得到。
方差Var(X)表示随机变量取值的离散程度，可以通过计算E((X-E(X))^2)得到。
连续型随机变量常见的概率分布有正态分布、指数分布、均匀分布等。
其中，正态分布是最重要的连续型概率分布之一。
正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，其均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
正态分布在自然界和社会科学中都有广泛的应用，如身高、体重、考试成绩等。
指数分布是描述事件发生时间间隔的概率分布。
指数分布的概率密度函数是单峰递减的曲线，其形状由参数λ决定。
指数分布在可靠性工程、排队论、风险分析等领域有广泛应用。
均匀分布是描述随机变量在一个区间内取值的概率分布。
均匀分布的概率密度函数是一个常数，区间内所有取值的概率相等。
概率密度计算公式
概率密度计算公式概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是概率论和统计学中的一种函数形式，用于描述随机变量在各个取值上的概率密度。
概率密度函数表示了随机变量落在某个区间内的概率。
概率密度函数的计算公式如下：1. 连续型随机变量的概率密度函数计算公式：对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下条件：1）f(x)大于等于0，对于所有的x；2）在整个定义域上的积分等于1，即∫f(x)dx=1。
概率密度函数f(x)计算公式一般为：f(x) = F'(x)其中，F(x)是随机变量X的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF），F'(x)表示对CDF求导。
通过概率密度函数，我们可以计算随机变量落在某个区间内的概率。
对于连续型随机变量X，落在区间[a, b]内的概率可以通过计算概率密度函数在区间[a, b]上的积分得到：P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] f(x)dx2. 离散型随机变量的概率密度函数计算公式：对于离散型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下条件：1）f(x)大于等于0，对于所有的x；2）在整个定义域上的概率之和等于1，即∑f(x) = 1。
离散型随机变量X的概率密度函数计算公式为：f(x) = P(X = x)其中，P(X = x)表示随机变量X取值为x的概率。
通过概率密度函数，我们可以计算离散型随机变量取某个特定值的概率。
对于离散型随机变量X，取值为x的概率可以通过计算概率密度函数f(x)得到。
概率密度函数是概率论和统计学中重要的概念之一，它可以描述随机变量的分布情况。
通过计算概率密度函数，我们可以得到随机变量在各个取值上的概率密度，进而计算出随机变量在某个区间内的概率。
概率密度函数的计算是概率论和统计学研究的基础，广泛应用于各个领域。
总结起来，概率密度函数是用来描述随机变量在各个取值上的概率密度的函数形式。
概率论 7连续型随机变量
作业
• 习题2 10，11，12，13，15
随机变量 X 的分布函数为 x0 0 2 F ( x) x 0 x 1 1 x 1
(1)求 P (0.3 X 0.7)
(2)X的密度函数
2 2
(1) P (0.3 X 0.7) F (0.7) F (0.3) 0.7 0.3 0.4
P{ a X b}＝ P{ a X b} P{ a X b} ＝ P{ a X b}＝ f ( x ) dx
a b
例1：已知密度函数求概率
随机变量 X 的概率密度为 a cos x f ( x) 0
x
求 P (0 X
P ( A ) P{10 X 15 } P ( 25 X 45 } P{55 X 60 }
5 20 5 60 1 2
2、 指数分布(exponential distribution)
e ,x 0 若 X ~ f ( x )＝ 0, x 0
(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两 年的概率为多少？ 解
3e 3 x f ( x) 0
x0 x 0,
6
(1) p{ X 2}
3e
2
3 x
dx e
( 2 ) p{ X 3 .5 | X 1 .5}
p{ X 3 .5, X 1 .5} { X 1 .5}
密度函数的几何意义为
P ( a X b )＝ f ( u ) du
a
b
X在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积分
2. 密度函数的性质
概率论 2.3(连续型随机变量)
x
a
[ x由概率密度求分布函数]
5.F ( x) f ( x)(x为f ( x)的连续点 ).[由分布函数求概率密度]
由性质5在f(x)的连续点x 处有
F ( x Δ x) F ( x) f ( x) lim Δ x 0 Δx P( x X x Δ x) lim . Δ x 0 Δx
2.3.2 常用连续分布
【补充例】 （等待时间）公共汽车每10分钟按时
通过一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时
间不超过3分钟的概率. 解 设X表示他等车时间（以分计），则X是 一个随机变量，且 X ~ U (0,10). X的概率密度为
1 , 0 x 10, f ( x ) 10 其 它. 0,
这两条性质是判定一 个函数 f(x)是否为某 个随机变量 X的概率 牛顿-莱布 尼兹公式 密度函数的充要条件 .
[确定待定参数]
b
3.P{a X b} 1 f ( x)dx F (b) F (a); [求概率]
4.F ( x)
f ( x)
f (t )odt( x );
解: (1) 由
f ( x ) d x 1, 得
3 2 3 3 0
1
f ( x )dx C (9 x )dx 2C (9 x 2 )dx
x3 3 2C (9 x ) |0 36 C 3
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度
即 有C 1
3 0
所求概率为 P{ X 3}
3 f ( x )dx , 10
2.3.2 常用连续分布
【例2.12】设随机变量 X在(2,5)上服从均匀分布，
概率论连续型随机变量
概率论连续型随机变量概率论是数学的一个分支，研究随机现象的数学模型和计算方法。
其中，连续型随机变量是概率论中重要的概念之一。
本文将介绍连续型随机变量的基本概念、特征以及相关的概率分布。
一、连续型随机变量的概念在概率论中，随机变量是指对随机现象结果的数值化描述。
连续型随机变量是指取值在某个区间内的随机变量。
与之相对的是离散型随机变量，其取值是有限个或可数个的。
连续型随机变量与离散型随机变量的主要区别在于其取值的特点。
连续型随机变量的取值可以是任意的实数，在某个区间内可以取无穷多个不同的值。
二、连续型随机变量的特征连续型随机变量的特征可以通过其概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述。
PDF是描述连续型随机变量概率分布的函数，可以用来计算随机变量落在某个区间内的概率。
连续型随机变量的概率密度函数具有以下两个性质：1. 非负性：对于任意的实数x，概率密度函数f(x)大于等于0。
2. 归一性：连续型随机变量的概率密度函数在整个取值范围上的积分等于1。
三、连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布可以通过其概率密度函数来确定。
常见的连续型随机变量概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
1. 均匀分布：均匀分布是最简单的连续型随机变量概率分布之一。
在均匀分布中，随机变量在某个区间内的取值是等可能的。
均匀分布的概率密度函数是一个常数，表示在某个区间内的概率是相等的。
2. 正态分布：正态分布是最重要的连续型随机变量概率分布之一。
许多自然现象和实际问题都服从正态分布。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，具有对称性。
其均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
3. 指数分布：指数分布是描述随机事件发生时间间隔的连续型随机变量概率分布。
指数分布的概率密度函数是一个指数函数，表示事件发生的概率随时间的推移而逐渐减小。
四、连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的期望和方差是衡量随机变量分布的重要指标。
2.4连续型随机变量及其概率密度函数
-?
a b- a
连续型随机变量及概率密度函数
注
蝌 P{c < X ? c l} = c+l f ( x)dx = c+l 1 dx = l
c
c b- a b- a
随机变量 X 落在任一长度为 l 的子区间(c,c + l],(a ? c c + l ? b)
内的可能性是相同的.
均匀分布的分布函数为
2
解 (2)X的分布函数为
ì
0,
ï
ï
ò ï
x x dx = x2 ,
F
(
x
)
=
ï í
ï
蝌 ï
ï
3 x dx + 06
06
x 3
骣 琪 琪 桫2
-
x 2
12 x2
dx = - 3 + 2x - , 4
ï î
1,
x <0 0? x 3 3? x 4
x³ 4
连续型随机变量及概率密度函数
例 1 设随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
=
ì ï í
1 5
,0
<
x
<
5，
ï î
0,
其他
ì 0,
ï
蝌 F ( x) =
x
ï f ( x)dx = í
x dt = x ,
-?
ï 05 5
ï î
1,
x£ 0 0< x <5
x³ 5
（2）随机变量 X 的取值不小于 2，即
蝌 ò P{ X ? 2} = +? f ( x)dx = 5 1 dx + ? 0dx 3
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d
1 dx d c
c ba
ba
例
1
5
所以
0 5 1 dx 0 1 (5 1) 1
14
4
0
x1
F
(
x)
1 4
(
x
1)
1 x5
1
1
x5
01
5
例：已知密度函数求概率
随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
a
cos
x
x
2
求 P(0 X )
0
其它
4
Step1: 利用密度函数的性质求出 a
f (x)dx 1
1
f (x)dx
2
a
cos
xdx
1
2
a 2
Step2: 密度函数在区间的积分得到此区间的概率
P(0 X )
4
1
cos
xdx
2
4 02
4
例：已知分布函数求密度函数
随机变量 X 的分布函数为
0 x0
F
(
x)
x
2
0 x 1
1 x 1
(1)求 P(0.3 X 0.7)
（2)X 的密度函数
x
x
F() P{X } F() P{X }
不可能事件 必然事件
F(x)在(, ) 内是左连续的，即 x0 (, )
有
F
(
x 0
)
F
(
x0
)
F (x) 1 是不是某一随机变量的分布函数？ 1 x2
不是
因为 lim F(x) 0 x
1 函数 G(x) 1 x2
1
(x 0) 可作为分布函数 (x 0)
f (x)
f (x)dx 1
P{ x } 1
密度函数和分布函数的关系
积分关系
x
F(x) f (x)dx
导数关系
F(x) P{X x}
x
f (x)dx
若f (x)在x处连续，则F(x) f (x)
b
P(a X b) F (b) F (a) a f (x)dx
概率密度函数的意义 由于在f(x)的连续点处，有
b
P{a X b} a f (x)dx
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概 率密度函数,简称概率密度或密度函数.
密度函数的区间上的积分 = 区间上的概率
P{x1 X x2}
x2 f (x)dx
x1
x1
x2
概率密度函数的性质 非负性
f (x) 0, x (, )
必然事件的概率
P(X=a)=0
对于连续型随机变量X,有
P(a X< b)= P(a<Xb)=P(a X b)=P(a<X<b)
b
a f (x)dx
X在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积分
例：已知密度函数求分布函数
已知连续型随机变量X的概率密度为
f
( x)
1 4
0
1, 5
其它
求 X 的分布函数
y
x
解: 当 x<1 时 F (x) f (x)dx
x
0dx 0
0 1 2345 x
x
当1 x <5 时
x
1
x
F (x) f (x)dx f (x)dx f (x)dx
1
0 x 1 dx 1 (x 1)
14
4
x
当 x5 时 F (x) f (x)dx
1
5
x
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
0, x 0
＝00..71,,
0 x 1 1 x2
1, x 2
F(x)
1
01
2x
分布函数的性质
F(x)是单调非减函数
若 x1 x2 F (x1) F (x2 )
F (x2 ) F (x1) P{x1 X x2} 0
0≤ F(x) ≤1, 且
F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1
P（a≤X<b）=P(X < b)-P(X<a)= F(b)- F(a)
一般地，对离散型随机变量
X～P{X= xk}＝pk, k＝1, 2, …
其分布函数为
F(x) P{X x} pi
xi x
例1 设随机变量X具分布律如右表
试求出X的分布函数。
解 F(x)＝P{X x}
X0 1 2 P 0.1 0.6 0.3
第二节 连续型随机变量及其概 率密度
离散型随机变量
取值是有限个或可列个，可一一列出； 变量的每一个可能取值都能计算出概率。
连续型随机变量 取值是某个区间或整个实数集； 取值不能一一列出； 对于这种变量，我们关心的是它的取值落
在某个区间的概率。
随机变量的分布函数
Distribution Function 分布函数的定义
(1) P(0.3 X 0.7) F(0.7) F(0.3) 0.72 0.32 0.4
（2）密度函数为
f
(x)
F(x)
2x 0
0 x 1 otherwise
均匀分布 Uniform Distribution
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
1
f
(
x)
b
a
a xb
0 其它
则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b)
分布函数 F(x)的图形
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
P{a X b} ?
概率密度函数
Probability density function p.d.f.
定义 设X为一随机变量，若存在非负实函数
f (x) , 使对任意实数 a < b ，有
f (x) F(x) lim F(x x) F(x) lim P(x Xx
它表明了随机变量X在区间 (x, x x]上的平均概
率，故称f(x)为密度函数。
P(x X x x) f (x)x.
用密度函数表示事件的概率
对于连续型随机变量X,它取任意指定实数值a 的概率为0,即:
分布函数
0,
F
(x)
x b
a a
,
1,
xa a xb xb
意义
0a
b
x
X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可
能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内
的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖
于子区间的长度而与子区间的位置无关。
（
0
a
c
）
db
x
d
P{c X d} c f ( x)dx
设X为一随机变量,则对任意实数x，(X<x)是 一个随机事件，称
F(x) P(X x)
为随机变量X的分布函数
F(x)是一个普
通的函数！
定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。
分布函数表示事件的概率
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用 F(x)的函数值来表示。
P（X<b）=F(b) P（X≥b）=1﹣ P（X<b） =1 - F(b) P（a≤X<b）=F(b) ﹣ F(a)