基于MATLAB的李雅普诺夫第二法稳定性分析

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现代控制理论 6-4 应用李雅普诺夫方法分析线性定常系统稳定性

9
线性定常离散系统 x(k + 1) = Φx(k ) x(0 ) = x 0
Φ ≠ 0 原点是唯一的平衡状态。
选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数：
c
V (x(k )) = xT (k )Px(k )
e a e a
令 Φ T PΦ − P = −Q
ΔV (x(k )) = − xT (k )Qx(k )
e a
1 0⎤ −2 1 ⎥ ⎥ 0 − 1⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡0 0 0 ⎤ Q = ⎢0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ⎦ ⎣
A T P + PA = −Q
t
y c
7
c
⎡0 0 − k ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎥ ⎢1 − 2 0 ⎥ ⎢ p ⎥ ⎢ 12 p22 p23 ⎥ + ⎢ ⎢0 1 − 1 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎣ 1 0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢p ⎢ 12 p22 p23 ⎥ ⎢ 0 − 2 1 ⎥ = ⎢0 0 0 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎢− k 0 − 1⎥ ⎢0 0 − 1⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎣
e a e a
A T P + PA = −Q
⎧ p13 = 0 ⎪ ⇒ ⎨ p11 − 2 p12 − kp23 = 0 ⎪ p − p − kp = 0 13 33 ⎩ 12
(1) (2) (3)
⎧ 2( p12 − 2 p22 ) = 0 ⎪ ⎨ p13 − 3 p23 + p22 = 0 ⎪2( p − p ) = −1 33 ⎩ 23
T T = [Φx(k )] P[Φx(k )] − x (k )Px (k )

李雅普诺夫稳定性的Matlab实现

1 -1 -1
P -1
3
2

-1 2 5
对称矩阵的定号性(正定性)的判定(6/12)
Matlab程序m5-1如下。
P=[1 -1 -1; -1 3 2; -1 2 -5];
1 -1 -1
P -1 3
2

-1 2 5
result_state=posit_def(P); % 采用合同变换法判定矩阵定号性 switch result_state(1:5) % 运用开关语句,分类陈述矩阵正定否的判定结果
对称矩阵的定号性(正定性)的判定(9/12)
函数max()的主要调用格式为: [C,I]=max(A) D=max(A,B)
对第1种调用格式,若输入A为向量,输出的C为向量A的各元素中最大值,输出I为该最大值在向量中的位置; 若A为矩阵,则C为矩阵A的各列的各元素中最大值,输出I为这些最大值在各列的位置,这里输出C和I均为1 维数组。如,执行语句 [C,I]=max([1 -2 3; -4 5 -6]); 后,C和I分别为[1 5 3]和[1 2 1]。
对称矩阵的定号性(正定性)的判定(10/12)
对第2种调用格式的输入A和B须为维数大小相同的矩阵或向量,输出D为A和B两矩阵同样位置的元素的最大值组成的矩阵。如,执行语句 C=max([1 -2 3; -4 5 -6], [-1 2 -3; 4 -5 6]); 后,C为如下矩阵
1 2 3 4 5 6
Ch.5 李雅普诺夫稳定性分析
目录
概述 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 5.3 线性系统的稳定性分析 5.4 非线性系统的稳定性分析 5.5 Matlab问题本章小结

李雅普诺夫第二法

李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法又称直接法，它是从能量观点进行稳定性分析的，它的基本思想是建立在这样一个物理事实基础之上，即：由经典力学理论可知，对于一个振动系统，如果系统的总能量随时间增长而连续减少，直到平衡状态为止，那么振动系统是稳定的。

1）渐进稳定的判据定理1设系统的状态方程为(,)x f x t =其中平衡状态为0e x =，满足(0,)0f t =，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数(,)v x t ，且满足以下条件：（1）(,)v x t 是正定的；（2）(,)vx t 是负定的。

则系统在原点处的平衡状态是一致渐进稳定的。

此外，如果当||||x →∞,有(,)v x t →∞，则在原点处的平衡状态是大范围一致渐进稳定的。

2）渐进稳定的判据定理1设系统的状态方程为(,)x f x t =其中平衡状态为(0,)0f t =，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数(,)v x t ，且满足以下条件：（1）(,)v x t 是正定的；（2）(,)vx t 是负定的。

（3）(,)v x t 在0x ≠时不恒等于零，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。

3）李雅普诺夫意义下稳定的判别定理设系统的状态方程为=x f x t(,)其中平衡状态为(0,)0f t=，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v x t，且满足以下条件：(,)（1）(,)v x t是正定的；（2）(,)是负定的。

v x t（3）则系统在原点处的平衡状态在李雅普诺夫意义下是一致稳定的。

4）不稳定的判别定理设系统的状态方程为=x f x t(,)其中平衡状态为(0,)0f t=，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v x t，且满足以下条件：(,)（1）(,)v x t是正定的；（2）(,)是正定的。

v x t则系统在原点处的平衡状态是不稳定。

李雅普诺夫稳定性分析

第六章李雅普诺夫稳定性分析在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。

因为它关系到系统是否能正常工作。

经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。

分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。

1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。

§6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。

一、外部稳定性1、定义（外部稳定性）：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。

(外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明：（1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的[]∞∈0t ，恒有∞<≤k t h )(成立。

（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。

2、系统外部稳定性判据线性定常连续系统∑),,(C B A 的传递函数矩阵为Cxy Bu Ax x=+=BUA sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+=B A sIC s G 1)()(--=当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。

【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的外部稳定性。

稳定性与李雅普诺夫

1）V(x) ＞ 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) ≥ 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙阶项再分析采用李雅普诺夫第二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对于 x 应具有连续的一阶偏导数；（2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非唯一的，这并不影响结论的一致性。（3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一定都是简单的二次型。（4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：

李雅普诺夫稳定性分析的方法

f ( x, t ), 且f (0, t ) 0 • 定理一.设系统的状态方程: x (坐标原点为平衡状态)如果上述给定系统存在一个有连续偏导数的标量函数V(x)并满足下列条件：
1).对所有 x 0 时V(x)>0 ( x) 0 ,则平衡点x=0是渐 2).对所有 x 0 时V 近稳定的. 3).除满足1),2)外,如果 x ,V ( x) 则x=0是大范围渐近稳定的.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变系统一般稳定性是会失效的.
1 e 2 t x x 0 1
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
et x(t ) 0 (e t e t ) / 2 x(0) t e
• 当 x(0) 0时,若 t 则必有 x • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现是不收敛和发散的.从而采用特征值判断失效.
一.系统运动稳定性的性质.
• 运动稳定性的实质,归结为系统平衡状态的稳定性. • 平衡状态的稳定性问题实际就是:偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素,或者使之限制在平衡状态的有限临域内,或者使之同时返回平衡状态.
1.预备知识
1).标量函数V(x)性质意义: 令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
(2).如果V(x)除原点以及某些状态等于零外,在域Ω内其余状态处都是正的,则V(x)称
• 定理二
前提如定理一. 1).对所有 x 0 时V(x)>0
( x) 0 ,但不恒等于零,则 2).对所有 x 0 时 V

基于MATLAB的李雅普诺夫第二法稳定性分析

基于MATLAB的李雅普诺夫第二法稳定性分析李雅普诺夫第二法是一种广泛应用于非线性动力系统稳定性分析的方法。

在MATLAB中，我们可以利用多种功能和工具来实现这种分析。

在本文中，将介绍如何使用MATLAB进行李雅普诺夫第二法稳定性分析。

首先，我们将介绍李雅普诺夫第二法的基本概念，然后是在MATLAB中实现该方法的步骤和示例。

李雅普诺夫第二法是一种通过具有特定属性的李雅普诺夫函数来判断非线性系统的稳定性的方法。

具体来说，李雅普诺夫第二法通过找到一个正定函数V(x)以及一个正数a和b，使下式成立：a，x，^2≤V(x)≤b，x，^2其中x是系统状态，x，^2表示欧几里德范数的平方，a和b是正定的。

如果满足这个不等式，那么系统就是稳定的。

现在，我们将介绍在MATLAB中实现李雅普诺夫第二法的步骤。

首先，我们需要编写系统的状态方程。

这可以通过定义一个MATLAB函数来实现。

例如，考虑以下非线性系统：dx/dt = f(x)其中x是系统状态，f(x)是非线性函数。

我们可以将此方程定义为一个名为f.m的函数，它将系统状态作为输入，并返回状态变量的导数。

下面是一个简单的f.m文件的示例：function dxdt = f(x)dxdt = x^2 - x^4;接下来，我们需要选择一个合适的李雅普诺夫函数V(x)。

我们可以通过考虑系统的能量来选择一个合适的函数。

在这种情况下，我们可以选择V(x) = x^2，因为它是系统能量的一种度量方式。

然后，我们需要计算李雅普诺夫函数的时间导数Vdot(x)。

这可以通过将李雅普诺夫函数应用于系统的状态方程来实现。

在MATLAB中，我们可以利用符号计算工具箱来实现这一点。

下面是一个计算Vdot(x)的示例代码：syms xf_sym = x^2 - x^4;V=x^2;Vdot = diff(V, x) * f_sym;最后，我们需要使用MATLAB的求解器来满足条件的李雅普诺夫函数。

李雅普诺夫稳定性分析

概述(3/6)
分析一个控制系统的稳定性, 一直是控制理论所关注的最重要的问题对于简单系统, 常利用经典控制理论中线性定常系统的稳定性判据在经典控制理论中, 借助于常微分方程稳定性理论, 产生了许多稳定性判据, 如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据和奈奎斯特判据等, 都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统输入输出间动态关系, 讨论的是线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性, 未研究系统的内部状态变化的稳定性, 也不能推广到时变系统和非线性系统等复杂系统.
x’ f(x,t) 所描述的系统在初始时刻t0的平衡态 xe是李雅普诺夫意义下稳定的,且系统状态最终趋近于系统的平衡态xe, 即 limt x(t) xe
x2
x(0)
x1
则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳定的若(,t0)与初始时刻t0无关, 则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下一致渐近稳定的
平衡态(1/4)
5.1.1 平衡态
设我们所研究的系统的状态方程为 x’ f(x,t) 其中x为n维状态变量, f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数定义5-1 动态系统 x’ f(x,t) 的平衡态是使 f(x,t) 0 的状态,并用xe来表示
平衡态(2/4)
难点喔!
矩阵符号(正定性、负定性等)检验方法李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫稳定性的基本定理(2/2)
下面先讲述李雅普诺夫第一法,然后讨论
李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫第一法(1/7)
5.2.1 李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似数学模型(线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是:

李雅普诺夫稳定性分析(二)

但是，如果我们一时找不到这样的李雅普诺夫函数，也并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。 2) 对于渐近稳定的平衡态，满足条件的李雅普诺夫函数总是存在的，但并不唯一。 3) 对于非线性系统，虽然具体的李雅普诺夫函数可证明所讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的，但并不意味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定的; 4) 李雅普诺夫第二法的结论并没有指明寻找李雅普诺夫函数的方法。寻找李雅普诺夫函数的方法将依具体的系统和状态方程而具体分析。
2 V (x) = x12 + x2 2 ′ ′ V ′(x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2 x2 ≤ 0
由于V’(x)是负半定函数，由定理5-5的1)可知，系统为一致稳定的。
′ x1 = x2 ′ x2 = − x1 − x2
对例5-5，选取李雅普诺夫函数为
1 2 2 V ( x , t ) = ( x1 + x2 ) 2 + 2 x1 + x2 2
T
例5-10 控制系统方块图如下图所示。要求系统渐近稳定，试确定增益的取值范围。
x3
k s +1
1 s+2
x2
1 s
x1
-
解: 由图可写出系统的状态方程为 ɺ 1 0 x1 x1 0 x = 0 x ɺ2 −2 1 2 x3 − k 0 − 1 x 3 ɺ
解出p11、p12和p22，得
p11 p12 1 3 1 P= = 2 1 2 p12 p22
为了验证对称矩阵P的正定性，用合同变换法检验如下:
1 3 1 行( 2) −(1) / 3→( 2) 1 9 0 P= ⇒ 2 1 2 列( 2)−(1) / 3→( 2) 6 0 5

自动控制理论第10章李雅普诺夫稳定性分析

２）如果ｘｅ＝０为系统的平衡状态，则李氏函数应满足Ｖ（ｘｅ）＝Ｖ（０）＝０。但当ｘ（ｔ）≠ ０
时，不管其分量大于零或小于零，均能使Ｖ（ｘ）＞０。
基于上述的性质，人们常以状态矢量ｘ的二次型函数Ｖ（ｘ）作为李氏函数
的候选函数，即
式中，ｘ为实变数矢量。只要矩阵Ｐ是正定的，则上式所示的Ｖ（ｘ）就符合对李氏函数性质的要求。
对于连续定常系统，李雅普诺夫第二方法是根据Ｖ（ｘ）和
的性
质去判别它的稳定性。因此需要研究以下两个问题：
１）具备什么条件的函数才是李雅普诺夫函数，简称李氏函数。
２）怎样利用李氏函数去判别系统平衡状态的稳定性？
由对图10-2所示系统的讨论，可知李氏函数必须要同时具有如下两个性质：
１）李氏函数是自变量为系统的状态矢量ｘ（ｔ）的标量函数。
态是不稳定的。
2021/6/18
第十章李雅普诺夫稳定性分析
6
为了能更直观地理解上述平衡状态稳定性的概念，
下图在二维状态平面上分别画出了系统平衡状态的稳定、渐近稳定和不稳定３种情况。
2021/6/18
第十章李雅普诺夫稳定性分析
7
自动控制理论
第二节李雅普诺夫第二方法
正定函数
2021/6/18
11
自动控制理论
由上式可见，除了ｘｅ＝０外，系统的能量Ｖ（ｘ）在运动过程中由于受到了阻尼器的阻尼作用而不断地减小，最后使Ｖ（ｘ）＝０。这个例子很容易把能量函数Ｖ（ｘ）与实际系统联系起来。然而，对一般的系统而言，至今还没有一个普遍适用“能量函数” 的表达式。对此，李雅普诺夫提出了一个虚拟的能量函数，人们称它为李雅普诺夫函数，用Ｖ（ｘ）表示。
则称系统的平衡状态ｘｅ是渐近稳定的。

非性线性连续系统李雅普诺夫第二方法稳定性分析

非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析目录1、前言 (7)1.1发展状况 (7)1.2 Lyapunov稳定性实际应用 (7)1.3 Lyapunov应用研究现状 (9)1.4 Lyapunov关于稳定性定义 (10)1.5 Lyapunov第一方法 (11)2 、非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析 (13)2.1 引言 (13)2.2 问题描述 (13)2.3 Lyapunov第二方法直观解释 (13)2.4 标量函数的符号性质 (14)2.5 Lyapunov第二方法相关定理 (14)2.6非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析 (16)3、仿真示例 (20)4、总结与展望 (23)致谢 (24)参考文献 (25)摘要对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此Lyapunov第二方法就显示出很大的优越性。

Lyapunov第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。

Lyapunov第二方法的局限性在于，运用时需要系统的稳定性问题。

现在，随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的Lyapunov函数，而且还能确定系统的稳定区域。

本文主要通过分析李雅普诺夫当前发展状况和在实际中的应用，进而研究非线性连续系统Lyapunov第二方法的稳定性分析。

关键字：非线性连续系统 Lyapunov第二方法稳定性AbstractDirectly determine the stability of system state equation. The limitations of lyapunov second method is that the need when using the stability of the system problem. Now, with the development of computer technology, with the aid of a digital computer can find not only the need of lyapunov function, but also can determine the stability regions of the system. In this paper, by analyzing the lyapunov's current development status and application in the actual, and study the nonlinear stability analysis of continuous system lyapunov second method.Keywords：Stability of nonlinear; continuous system; Lyapunov second method1 前言（Introduction）1.1 Lyapunov发展状况Lyapunov稳定性理论能同时适用于分析定常系统和时变系统的稳定性、线性系统和非线性系统、，是更为一般的稳定性分析方法。

基于MATLAB的李雅普诺夫第二法稳定性分析

基于MATLAB的李雅普诺夫第二法稳定性分析引言：对于一个给定的控制系统，稳定性是系统的一个重要特性。

稳定性是系统正常工作的前提，是系统的一个动态属性。

在控制理论工程中，无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理，都不可避免地要遇到系统稳定性问题，而且稳定性分析的复杂程度也在急剧增长。

当已知一个系统的传递函数或状态空间表达式时, 可以对其系统的稳定性进行分析；当系统的阶次较高时，分析、计算的工作量很大, 给系统的分析带来很大困难。

运用MATLAB 软件，其强大的科学计算能力和可视化编程功能, 为控制系统稳定性分析提供了强有力的工具。

一．MATLAB 语言简介MATLAB 是MATrix LABoratory 的缩写, 它是MA TLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。

它具有强大的矩阵计算能力和良好的图形可视化功能, 为用户提供了非常直观和简洁的程序开发环境, 因此被称为第四代计算机语言。

MA TLAB 发展至今, 现已集成了许多工具箱, 一般来说, 它们都是由特定领域的专家开发的, 用户可以直接是用工具箱学习、应用和评估不同的方法而不需要自己编写代码，大大提高了分析运算的效率，为此MA TLAB 语言在控制工程领域已获得了广泛地应用。

二．控制系统稳定性的基本概念稳定性是控制系统的重要特性, 也是系统能够正常运行的首要条件。

如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施, 是自动控制理论的基本任务之一。

1892年，俄国数学家李雅普诺夫（Lyaponov）提出了分析稳定性的两种方法。

第一种方法，通过对线性化系统特征方程的根的分析情况来判断稳定性，称为间接法。

此时，非线性系统必须先线性近似，而且只能使用于平衡状态附近。

第二种方法，从能量的观点对系统的稳定性进行研究，称为直接法，对线性、非线性系统都适用。

稳定性与李雅普诺夫方法

只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定旳系统则称临界稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
经典控制理论(线性系统）不稳定 (Re(s)>0) 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)<0)
Lyapunov意义下
不稳定
稳定
渐近稳定
2024/10/11
25
4.3 李雅普诺夫第一法
2024/10/11
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发旳一条状态运动旳轨线，称系统旳运动或状态轨线
2024/10/11
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平衡状态
若系统存在状态向量xe，对全部t，都使： f (xe , t) 0
成立，则称xe为系统旳平衡状态。
对于一种任意系统，不一定都存在平衡状态，有时虽然存在也未必是唯一旳。
早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将鉴定系统稳定性旳问题归纳为两种措施：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。
前者是经过求解系统微分方程，然后根据解旳性质来鉴定系统旳稳定性。它旳基本思想和分析措施与经典理论是一致旳。
2024/10/11
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本章要点讨论李雅普诺夫第二法。
它旳特点是不求解系统方程，而是经过一种叫李雅普诺夫函数旳标量函数来直接鉴定系统旳稳定性。
所以，它尤其合用于那些难以求解旳非线性系统和时变系统。
李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于对系统瞬态响应旳质量进行评价以及求解参数最优化问题。
另外，在当代控制理论旳许多方面，例如最优系统设计、最优估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论都有广泛旳应用。
2024/10/11
所以，怎样拟定渐近稳定旳最大区域，而且尽量扩大其范围是尤其主要旳。

李雅普诺夫稳定性分析

第5章李雅普诺夫稳定性分析本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。

主要介绍李雅普诺夫稳定性的定义以及分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法;着重讨论李雅普诺夫第二法及其在线性系统和3类非线性系统的应用、李雅普诺夫函数的构造、李亚普诺夫代数(或微分)方程的求解等。

最后介绍李亚普诺夫稳定性问题的Matlab 计算与程序设计。

一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统,即当系统受到外界干扰时它的平衡被破坏,但在外界干扰去掉以后,它仍有能力自动地恢复在平衡态下继续工作。

系统的这种性能,叫做稳定性。

例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力、电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。

具有稳定性的系统称为稳定系统，不具有稳定性的系统称为不稳定系统。

也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性,用数学方法表示就是ε≤Δ∞→)(Lim t x t 式中，)(t x Δ为系统被调量偏离其平衡位置的变化量;ε为任意小的规定量。

如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不可能是一个稳定系统。

在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生了许多线性定常系统的稳定性判据,如劳斯-胡尔维茨(Routh-Hurwitz)判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的稳定性判别及设计方法。

但这些稳定性判据仅限于讨论SISO 线性定常系统输入输出间动态关系,讨论的是有界输入有界输出(BIBO)稳定性,未研究系统的内部状态变化的稳定性。

再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用,但是难以胜任一般系统。

现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素,即使是系统结构本身, 往往也需要根据性能指标的要求而加以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。

MATLABsimulink稳定性分析时域分析

对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面左半平面，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。
Re( pi ) 0,i 1,2, , n
对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于Z平面的单位圆内，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。
pi 1,i 1,2, , n 2
直接判定方法
对于传递函数模型tf(num,den)，利用求根函数roots(den)来求极点。对于状态空间模型 SS(A,B,C,D)利用求特征值函数eig(A)来求特征值。这样根据极点或特征值即可直接判定系统的稳定性。
[u,t]=gensig(type,Ta,Tf,T)
其中：产生一个类型为type的信号序列u(t)， type为以下标识字符串之一：’sin’—正弦波；’square’— 方波；’pulse’—脉冲序列，Ta为周期，Tf为持续时间，T为采样时间。
运行结果显示： System is Stable
8
3. 利用李雅普诺夫第二法来判断系统的稳定性
线性定常连续系统
x Ax
在平衡状态xe=0处渐近稳定的充要条件是：对任给的一个正定对称矩阵Q，存在一个正定的对称矩阵P，
且满足李雅普诺夫方程
ATP+PA＝-Q
而标量函数V(x)=xTPx是这个系统的一个二次型李雅
roots(d) 运行结果显示：
ans =
-12.8990
-5.0000
-3.1010
4
例7-1 已知闭环系统的传递函数为
G(s) 3s4 2s3 s2 4s 2 3s5 5s4 s3 2s2 2s 1
试判断系统的稳定性，并给出不稳定极点。
解：MATLAB程序如下
10

稳定性和李雅普诺夫方法

xe x0
S ( ) S ( )
xe x0
S ( ) S ( )
xe x0
S ( )
(a)
(b)
(c)
此三个图分别表达平衡状态为稳定、渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起旳经典轨迹。
9
4.2 李雅普诺夫第一法
➢ 李雅普诺夫第一法又称间接法。 ➢ 基本思绪是经过状态方程旳解来鉴别系统旳
稳定性。
线性定常系统：由特征方程旳根来判断稳定性。非线性系统：先线性化，再鉴别。
数项 R(x) 来决定。
15
4.2.2 非线性系统旳稳定性
例4-2 已知非线性系统
x1 x1 x1x2 x2 x2 x1x2
试分析系统平衡状态旳稳定性。
解：系统有两个平衡状态为 xe1 = 0 0T , xe2 = 1 1T
在 xe1 处线性化，得
A
1 0
0 1
特征值为 1 1, 2 1。故，该平衡点不稳定。
f (xe ,t) 0 成立，则称 xe为系统旳平衡状态。
假如 f (x,t) Ax ，且 A非奇异，则原点是系统唯一旳平衡
状态。
平衡状态不一定存在，也不一定唯一。
如：
x1 x1
x2
x1
x2
x23
其平衡状态有：
0
0
0
xe1 0 , xe2 1 , xe3 1
稳定性是相对于平衡点而言旳！
在 xe2 处线性化，得
A
0 1
1
0
特征值为 j ，实部为0。故，该平衡点用此措施
无法鉴定稳定性。
16
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.1 预备知识 1. 标量函数符号性质
设 V (x) 是向量 x 旳标量函数，且在 x=0 处，恒有V (0) 0，

李雅普洛夫稳定性分析

G ( s ) C ( s A I ) 1 B 0 1 s 1 s 6 1 1 1 2 ( s ( s 2 ) s 2 ) 3 ( ) ( s 1 3 )
极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。系统是有界输入有界输出稳定的。
（2）
求系统的特征方程：
4）(半)正定和(半)负定间的关系
V(x)为正定，则－V(x)为负定； V(x)为半正定，则－V(x)为半负定；
5）不定性如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正值也可为负值，则V(x)为不定。
4.3 二次型标量函数XTPX 1、二次型函数V(x)：
p11 p12 p1nx1
V(x)[x1,x2, ,xn]p21
如果 1 p 1 10 , 2p p 1 21 1p p 1 2 2 20 , ,n P 0
则P为正定，即V(x)正定。
2）二次型 V(x)xTPx为负定，或实对称阵P为负定的
充要条件是P的主子行列式满足 i 0(i为奇数；）i 0
（ i为偶数）i=1，2，3，…,n。
4.4 稳定性判据
判据1：设系统的状态方程为 xf(x)
dI e A t ) ( 1 6 1 ( 2 )( 3 ) 0
求得 12 ，： 2 3
系统不是渐近稳定的。
3.2 非线性系统的李亚普洛夫第一法
对非线性系统 Xf(X,t)
当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将
其作线性化处理，在Xe 领域内展开成泰勒级数 X X fT(XX e)R (X ) 。
A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。 3、对任意 xe 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。

基于MATLAB的李雅普诺夫第二法稳定性分析

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