基于MATLAB的李雅普诺夫第二法稳定性分析

基于MATLAB的李雅普诺夫第二法稳定性分析

引言：对于一个给定的控制系统，稳定性是系统的一个重要特性。稳定性是系统正常工作的前提，是系统的一个动态属性。在控制理论工程中，无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理，都不可避免地要遇到系统稳定性问题，而且稳定性分析的复杂程度也在急剧增长。当已知一个系统的传递函数或状态空间表达式时, 可以对其系统的稳定性进行分析；当系统的阶次较高时，分析、计算的工作量很大, 给系统的分析带来很大困难。运用MATLAB 软件，其强大的科学计算能力和可视化编程功能, 为控制系统稳定性分析提供了强有力的工具。

一．MATLAB 语言简介

MATLAB 是MATrix LABoratory 的缩写, 它是MA TLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。它具有强大的矩阵计算能力和良好的图形可视化功能, 为用户提供了非常直观和简洁的程序开发环境, 因此被称为第四代计算机语言。MA TLAB 发展至今, 现已集成了许多工具箱, 一般来说, 它们都是由特定领域的专家开发的, 用户可以直接是用工具箱学习、应用和评估不同的方法而不需要自己编写代码，大大提高了分析运算的效率，为此MA TLAB 语言在控制工程领域已获得了广泛地应用。

二．控制系统稳定性的基本概念

稳定性是控制系统的重要特性, 也是系统能够正常运行的首要条件。如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施, 是自动控制理论的基本任务之一。1892年，俄国数学家李雅普诺夫（Lyaponov）提出了分析稳定性的两种方法。第一种方法，通过对线性化系统特征方程的根的分析情况来判断稳定性，称为间接法。此时，非线性系统必须先线性近似，而且只能使用于平衡状态附近。第二种方法，从能量的观点对系统的稳定性进行研究，称为直接法，对线性、非线性系统都适用。Lyaponov定义下的稳定性，是对任何系统都适用的关于稳定性的一般性定义。系统平衡态问题就是：偏离系统平衡态的受扰运动能否仅依靠系统内部的结构因素，就能使系统返回到初始平衡，或者使之限制在平衡态的有限邻域内。

三．Lyaponov第二法的稳定性判据

3.1 在现代控制理论中，李雅普诺夫第二方法是研究稳定性的主要方法，既是研究控制系统理论问题的一种基本工具，又是分析具体控制系统稳定性的一种常用方法。李雅普诺夫第二方法的局限性，是运用时需要有相当的经验和技巧，而且所给出的结论只是系统为稳定或不稳定的充分条件；但在用其他方法无效时，这种方法还能解决一些非线性系统的稳定性问题。

3.1.1 Lyaponov第二法又称直接法，从能量的观点来研究系统的稳定性问题。其基本思想是：系统所具有能量是状态矢量x的标量函数，且平衡状态具有的能量最小。进而通过能量函数V（x）和的正负判断系统的稳定性。

3.2 设系统的状态方程为

对于线性定常系统，不失一般性，可把状态空间的原点作为系统的平衡状态。若找到一个单值标量函数，而且对状态矢量x的每个分量，均有连续一阶偏导

；

存在。可据此判断系统的稳定性。

3.3 Lyaponov第二法的稳定性判据

3.3.1 判据一

设系统状态方程为，是平衡状态，如果存在一个对t具有一阶连续偏导数的标量函数，且满足以下条件：

（1）>0,是正定的；

（2）<0,是负定的；

则系统在处是渐进稳定的。

此外，若，有，则系统在处大范围渐进稳定。

3.3.2 判据二

若及其满足

（1）>0,是正定的；

（2）≤0,半负定；

则系统在处是渐进稳定的。

（3）此外，对任意初始时刻时的任意状态，在t≥时，除在x= 时有=0外，不恒等于0。则系统在处是渐进稳定的。如果进一步还有，有，则系统在处是大范围渐进稳定。

①，运动轨迹将落在某个特定的曲面=C上，而不会收敛至原点。这种情况可能对应于线性系统中作等幅震荡的临界稳定，或非线性系统中出现的极限环。

②不恒等于0，运动轨迹只在某特定时刻与某个特定曲面=C相切，运动轨迹通过切点后继续向原点收敛，因此，这种情况属于渐进稳定。

3.3.3 判据三

（1）>0,是正定的；

（2）≤0,是正定的；

则系统在处是不稳定的。

（3）类似判据二，若除原点外不恒为0，条件（2）可改为半正定。

3.3.4 几点说明

1）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。

2）对于非线性系统能给出关于在大范围内稳定性的信息。

3）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。

4）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得出该系统稳定性方面的任何结论。

5）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状态的稳定性。

6）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定是存在的。

3.4 对于高阶对称矩阵，需要利用塞尔维斯特判据判断是否正定。

塞尔维斯特判据：正定（记作V（x）>0）的充要条件为P的所有主子行列式为正。如果P 的所有主子行列式为非负，V（x）为半正定（记作V（x）≥0）；如果-V（x）为正定，则V（x）为负正定（记作V（x）<0）;如果-V（x）为半正定，则V（x）为半负定（记作）。

四．基于MATLAB利用Lyaponov第二法判断系统是否为大范围渐进稳定。

4.1 当运用Lyaponov第二法分析系统的稳定性时，可以利用以下函数系统的Lyaponov函数Q=lyap（A,P），可用于求解线性定常连续的矩阵方程

P=dlyap（G，Q），可用于求解线性定常离散系统的矩阵方程，

由于lyap与dlyap函数的实际算法分别是，，因此，求解时，需要将系统矩阵A或者P 进行一次转置运算，才能得到正确结论。

4.2 例：

已知系统的状态方程为，试判断其稳定性。

取Q=I

A=[0 1 0;0 -2 1;-4 0 -1];

>> A=A';

>> Q=eye(3,3);

>> P=lyap(A,Q)

P =

21.5000 7.8750 0.1250

7.8750 4.1875 1.4375

0.1250 1.4375 1.9375

>> format rat

>> P

P =

43/2 63/8 1/8

63/8 67/16 23/16

1/8 23/16 31/16

det((P(1:2,1:2)))

ans =

1793/64

>> det(P)

ans =

1615/128

由塞尔维斯特判据，判断P为正定，系统渐进稳定，而系统的李雅普诺夫函数及其导数分别为