二元一次方程组解法详解上课讲义
二元一次方程组的解法课件
CHAPTER 04
二元一次方程组的解法总结与提高
二元一次方程组解法的比较与选择
消元法
通过加减消元或代入消元，将二 元一次方程组转化为单个的一元
一次方程，求解方便。
换元法
通过引入新的变量，将复杂的二元 一次方程组简化，便于求解。
矩阵法
利用矩阵的运算性质，将二元一次 方程组转化为线性方程组，求解效 率高。
二元一次方程组的解法 课件
CONTENTS 目录
• 二元一次方程组的基本概念 • 二元一次方程组的解法 • 二元一次方程组的实际应用 • 二元一次方程组的解法总结与提高
CHAPTER 01
二元一次方程组的基本概念
二元一次方程组的定义
定义
二元一次方程组是指包含两个未知数的一次方程组，通常表示为 ax + by = c 和 dx + ey = f，其中 a, b, c, d, e, f 是已知数，x 和 y 是未知数。
研究多元一次方程组的解法，探索其与二元一次 方程组的联系和区别。
高次方程组
研究高次方程组的解法，探索其与一次方程组的 异同点。
实际应用
结合实际问题，研究二元一次方程组的实际应用 ，提高解决实际问题的能力。
THANKS
[ 感谢观看 ]
二元一次方程组解法的技巧与注意事项
观察法
通过观察方程组的特点，选择合 适的解法，避免复杂的计算过程
。
验证答案
解出方程组后，需要对答案进行 验证，确保其符合原方程组的条
件。
理解方程组的意义
在求解过程中，需要理解方程组 的实际意义，避免出现不符合实
际情况的解。
二元一次方程组解法的进一步研究与探索
多元一次方程组
二元一次方程组及其解法课件
创设情境
1.中国古代的《孙子算经》中记载了一个有趣的鸡兔同笼的问题
：
今有鸡兔同笼，
上有三十五头，
下有九十四足，
问鸡兔各几何？
解：设笼中有鸡 只，兔
只.
解：设笼中有鸡 只，兔 只.
创设情境
方程组：由几个方程组成的一组方程叫做方程组.
二元一次方程组：如果 方程组中含有两个未知数，且 含未知数 的项的次数都是一次 ，那么这样的方程组叫做二元一次方程组.
（1）① ②解：把②代入①，得 Nhomakorabea解得
所以原方程组的解是
探究解二元一次方程组的方法
（2）
① ②
解：由②，得
③
把③代入①，得
解得
把 代入③，得
所以原方程组的解是
探究解二元一次方程组的方法
（3） 解：由②，得
①
② ③
把③代入①，得
解得
把
代入③，得
所以原方程组的解是
探究解二元一次方程组的方法
（4）
①
②
解：由①，得
① ②
③
变形 代入 求解 回代 结论
探究解二元一次方程组的方法
例1.解方程组：
解：由②，得
把③代入①，得 解得
把
代入③，得
① ②
③
变形①还是②？
变形成含 的式子表示 还是 变形成含 的式子表示 ？
所以原方程组的解是
探究解二元一次方程组的方法
练2.解下列方程组： （1）
（3）
（2） （4）
探究解二元一次方程组的方法
把③代入②，得
解得
把
代入③，得
③
所以原方程组的解是
二元一次方程组解题技巧讲义（补课用）
⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼀、⼆元⼀次⽅程组的有关概念：1.⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．它的⼀般形式:)0,0(≠≠=+b a c by ax ，如6713,245=-=-n m y x 等是⼆元⼀次⽅程。
2.⼆元⼀次⽅程的解集：适合⼀个⼆元⼀次⽅程的每⼀对未知数的值，叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解．对于任何⼀个⼆元⼀次⽅程，令其中⼀个未知数取任意⼀个值，都能求出与它对应的另⼀个未知数的值．因此，任何⼀个⼆元⼀次⽅程都有⽆数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个⼆元⼀次⽅程的解集．3.⼆元⼀次⽅程组及其解：两个⼆元⼀次⽅程合在⼀起就组成了⼀个⼆元⼀次⽅程组．⼀般地，能使⼆元⼀次⽅程组的两个⽅程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做⼆元⼀次⽅程组的解．它的⼀般形式为:=+=+.,222111c y b x a c y b x a 其中2121,,,b b a a 不全为零，如：?==;2,3y x =+=-;5,3n m n m =-=+-;2,53q p q p 都是⼆元⼀次⽅程组。
4.⼆元⼀次⽅程组的解法：代⼊消元法：在⼆元⼀次⽅程组中选取⼀个适当的⽅程，将⼀个未知数⽤含另⼀个未知数的式⼦表⽰出来，再代⼊另⼀个⽅程，消去⼀个未知数得到⼀元⼀次⽅程，求出这个未知数的值，进⽽求得这个⼆元⼀次⽅程组的解，这种⽅法叫做代⼊消元法。
加减消元法：两个⼆元⼀次⽅程中同⼀未知数的系数相反或相等时，将两个⽅程的两边分别相加或相差，从⽽消去这个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，这种求⼆元⼀次⽅程组的解的⽅法叫做加减消元法，简称加减法．例题精析：例1.⽅程ax-4y=x-1是⼆元⼀次⽅程，则a 的取值为（） A 、≠0 B 、≠－1 C 、≠1 D 、≠2 解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．选B变式题1：如果（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，则a ，b 满⾜什么条件？解题思路：∵（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，∴a －2≠0，b+1≠0，?∴a ≠2，b ≠－1例2.若⼆元⼀次⽅程3x-2y=1有正整数解，则x 的取值应为（）A 、正奇数B 、正偶数D 、0 解题思路：由312x y -=，x 、y 都是正整数，选A变式题1：．⽅程组2528x y x y +=??-=?的解是否满⾜2x －y=8？满⾜2x －y=8的⼀对x ，y 的值是否是⽅程组2528x y x y +=??-=?的解？解：满⾜，不⼀定．∵2528x y x y +=??-=?的解既是⽅程x+y=25的解，也满⾜2x －y=8，?∴⽅程组的解⼀定满⾜其中的任⼀个⽅程，但⽅程2x －y=8的解有⽆数组，如x=10，y=12，不满⾜⽅程组2528x y x y +=??-=?．例3.已知⼆元⼀次⽅程组45ax by bx ay +=??+=? 的解是21x y =??=?,则a+b 的值为____。
湘教版七年级数学上册 3.6 二元一次方程组的解法(第三章 一次方程(组) 学习、上课课件)
感悟新知
例1 用代入消元法解下列方程组： (1) [月考·衡阳蒸湘区] ൝3xx－=27y－=－3y，1；①②
(2) ൝3xx－+2yy==39，；①②
(3) ൝62xx－+54yy==97；，②①
2x－3y=1， ①
(4)
ቐy+1 4
=
x+2 3
.
②
知1－练
感悟新知
解题秘方：紧扣用代入消元法解二元一次方程组
知1－练
解：由①，得 n＝0.6m，③
把③代入②，得 2m－3×0.6m＝1，解得 m＝5，
把 m＝5 代入②，得 2×5－3n＝1，解得 n＝3，
所以这个方程组的解是mn＝＝35.，
感悟新知
知识点 2 加减消元法解二元一次方程组
知2－讲
1. 定义： 对于二元一次方程组，把一个方程进行适当变形后，
再加上 ( 或减去 ) 另一个方程，消去其中一个未知数，得
到只含另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方
程求出另一个未知数的值，再把这个值代入原二元一次方
程组的任意一个方程，就可以求出被消去的未知数的值，
从而得到原二元一次方程组的解 . 这种解二元一次方程组
的方法叫作加减消元法 .
感悟新知
知2－讲
求出一个未知数 的值
去括号时不 能 漏乘，移项时 所移的项要变号
把求得的未知数的 值代入步 骤 ①中变 形后的方程
求出另一个未知 数的值
把两个未知数的值 用大括号联立起来
表示为ቊx=y=……， 的形式
一般代入变 形 后的方程
用“｛”将 未 知 数的值联立 起来
感悟新知
特别提醒
知1－讲
(完整版)二元一次方程组优秀课件PPT
距离问题
浓度问题
通过给定的两点坐标，利用二元一次 方程组求解两点之间的距离。
通过给定的溶液浓度和体积，利用二 元一次方程组求解溶液的配制比例和 浓度。
速度问题
通过给定的时间和速度，利用二元一 次方程组求解物体的运动轨迹和速度 。
THANKS
[ 感谢观看 ]
(完整版)二元一次方程 组优秀课件
汇报人：可编辑
2023-12-25
CONTENTS
目录
• 二元一次方程组的基本概念 • 二元一次方程组的解法 • 二元一次方程组的实际应用 • 二元一次方程组的变式与拓展
CHAPTER 01
二元一次方程组的基本概念
二元一次方程组的定义
定义
二元一次方程组是由两个或两个以上的方程组成，其中含有两个未知数，且每 个方程中未知数的次数都是一次。
代数问题
例如，在求解两个未知数的和、差、 积、商等问题时，需要使用二元一次 方程组来表示和求解。
物理中的二元一次方程组问题
运动问题
例如，在计算两个物体之间的相对速度和距离时，需要使用二元一次方程组来表示和求 解。
力的问题
例如，在计算两个物体之间的相互作用力和扭矩时，需要使用二元一次方程组来表示和 求解。
示例
x + y = 1, 2x - y = 3。
二元一次方程组的表示方法
代数表示法
使用代数符号表示二元一次方程 组，如x + y = 1, 2x - y = 3。
图形表示法
通过图形表示二元一次方程组的 解，如平面直角坐标系中的直线 。
二元一次方程组的解的概念
01
02
03
解的概念
满足二元一次方程组的未 知数的值称为解。
[伟大的数学课]7.2二元一次方程组的解法课件(共19张PPT)
![[伟大的数学课]7.2二元一次方程组的解法课件(共19张PPT)](https://img.taocdn.com/s3/m/e791318e9a89680203d8ce2f0066f5335a816720.png)
第五组 第六组
7.怎样用加减法解：
第七组
口头 口头
口头 书面 书面
第六组 第五组
第四组 第三组 第二组
展示要求：
书面展示：书写迅速，字迹工整、答题规范、内 容简练。 口头展示：声音洪亮，条理清晰，语言简练。 评价要求：1.声音洪亮，条理清晰，突出重点， 语言简练。
2.点评解题方法及思路。 3.恰当指出展示成果的优缺点 ， 并 打分（100分）。 4.补充或阐述不同观点。
3.方程组32xx
3y 5y
k k
中,x与y的和12,
2
求k的值.
解：解这个方程组得：
x 2k 6
y
4
k
∵ x＋y=12
∴ (2k－6) ＋(4－k)=12
解得：
K=14
布置作业. 1.课本P46页，复习第2题
由学科班长惠春政对本节课进行总 结：
1.可以对本节课的知识掌握、内容理解、深 刻感悟等方面来总结。
③ + ④得：
解得：
9x=114 解得：
y=5 把y=5代入③得:
x=6 把x=6代入②得:
x=5+1=6
∴ x 6
y
5
30+6y=42
解得： y=2
∴ x 6
y
2
质疑再探
同学们，在复习的过程中，你又产 生了哪些新疑惑或又有了什么新的 发现，请大胆的提出来，大家共同 来解决。
运用拓展
——画龙在于点睛，学习在于运用
答案展示：
1.只有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1,系数都不是0的整式方程,叫做二元 一次方程. 由两个一次方程组成,共有两个未知数的方程组,叫做二元一次方程组.
《求解二元一次方程组》二元一次方程组PPT课件
x7 2
所以，原方程组 的解是
x 7 2 y 1
3x 2y 4,
1.二元一次方程5组x 2y 6 （）
A.x 1,
y
1;
x 1,
B.
y
1 2
;
x 1,
C.
y
1 2
;
【解析】选C
的解是
x 1,
D.
y
1 2
.
2.（芜湖·中考）方程组
2x 3y 7,
x
3
y
8
① ②
的解是
C．
y
4
答案：选B
D．
x 4
y
1
3.已知（2x+3y-4）２+∣x+3y-7∣=0，则x= -3 ，
10
y= 3
.
4.（青岛·中考）解方程组：
3x 4 y
x
y
4.
19,
【解析】
3x 4 y 19, ①
x
y
4.
②
由②,得x=4+y ③
把③代入①,得12+3y+4y=19，
解得：y=1.
求解求出两个未知数的值 Nhomakorabea写解写出方程组的解
2. 二元一次方程组的解法有____代__入__法__、__加__减__法__ _.
解所得的一元一次方程④ ，得x=3
再把x=3代入③，得y=2
x+y=5
这样，我们就得到二元一次方程组 4x+3y=18
x=3 的解
y=2
因此，李明和妈妈共买了苹果3 kg，梨2 kg.
归纳
上面的解法是把二元一次方程组中的一个方程的某 个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代 入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方 程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元 法，简称代入法.
《二元一次方程组的解法》课件
合作探究：
上面的解法，是由二元一次方程 组中一个方程,将一个未知数用含另 一个未知数的式子表示出来，再代 入另一个方程，实现消元，进而求 得这个二元一次方程组的解，这种 方法叫代入消元法，简称代入法
合作探究：
例:1：用刚刚学习的方法解方程组：
2x+3y=-7 ① x+2y=3 ②
交流：用代入法解二元一次方程组 的一般步骤是什么？
2x+y=60 ②
• 2x+(45-x)=60之间有什么关系？能不能互相 转化？
2、（1）转化后，方程组转化为什么方程？哪 个未知数的值可以先求出来？X求出来后问题 解决完了吗？
（2）怎样求y呢？
合作探究：
二元一次方程组中有两个未知数， 如果消去其中一个未知数，将二元一 次方程组转化为我们熟悉的一元一次 方程，我们就可以先解出一个未知数， 然后再设法求另一未知数.这种将未知 数的个数由多化少、逐一解决的思想， 叫做消元思想.
由①得：n = 1 –2m ③
把③代入②得： 3m – 2（1 – 2m）= 1 3m – 2 + 4m = 1
把m 3 代入③，得： 7
nm = 3
m 3 7
m的值为 3，n的值为 1
7
7
•作业布置
• 课堂作业：习题3.3第5题 • 家庭作业：练习册 3.3（2） 做完
•当堂训练
• 教材101面练习第1、2、3 、 4题
•总结提升
•说一说，通过本节内 容的学习，你有何收 获？还有什么疑惑？
总结提升： 1
1
思考、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、
y的二元一次方程，求m 、n 的值.
第10讲---二元一次方程组的解法精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第八讲 二元一次方程组的解法一、知识梳理（一）二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。
2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。
任何一个二元一次方程都有无数个解。
3．方程组和方程组的解（1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。
（2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。
4．二元一次方程组和二元一次方程组的解（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。
（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。
（二）二元一次方程组的解法： 1．代入法 2．加减法二、典例剖析专题一：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。
（一）、代入消元法：1、直接代入 例1 解方程组②①y x x y ⎩⎨⎧=--=.134,32跟踪训练：解方程组：（1）90152x y x y+=⎧⎨=-⎩ （2）⎩⎨⎧-==+73825x y y x2、变形代入 例2 解方程组②①y x y x ⎩⎨⎧=+=-.1043,95跟踪训练：（1）⎩⎨⎧-=--=-.2354,42y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+②①77322y x y x(3) ⎩⎨⎧=-=+.123,205y x y x (4) ⎩⎨⎧=-=+②①5231284y x y x（二）、加减消元法例3、解方程组（1）⎩⎨⎧=+=-524y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-322543y x y x （3）．⎩⎨⎧=+=+.1034,1353y x y x跟踪训练：（1） （2） （3）(4) (5)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--9275320232y y x y x (6)11,233210;x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（三）、选择适当的方法解下列方程组 （1）⎩⎨⎧=+---=+.5)3()1(2),1(32x y x y （2）⎩⎨⎧-=+---=+--23)3(5)4(44)3()4(2y x y x⎪⎩⎪⎨⎧=+=+15251102y x y x ⎩⎨⎧=+=-1023724y x y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-++=+3)43(4)1(3)2(311y x y x （4）x 2y+2=02y+22x536⎧⎪⎨⎪⎩－－－＝专题二：有关二元一次方程组的解：例4、（1）若方程(2m －6)x |n |－1+(n +2)y 82-m =1是二元一次方程，则m =_______，n =__________．（2）二元一次方程3a +b =9在正整数范围内的解的个数是_________.（3）已知(3x －2y +1)2与|4x －3y －3|互为相反数，则x =__________，y =________（4）若方程组⎩⎨⎧-=-+=+122323m y x m y x 的解互为相反数，求m 的值。
《二元一次方程组的解法》课件—第一课时
4．写出方程组的解．
x+y=20 ①
1．解方程组
2x+4y=50 ②
解：由①得：y＝20－ x ③ 将③代入②得： 2ｘ＋4（20－ｘ）＝50 解得：ｘ＝15. 把ｘ＝15.代入③得：ｙ＝５ 所以原方程组的解为： x=15 y=5
2．解方程组
将y=2代入③，得x=5 所以原方程组的解是 x=5
y=2
将下列方程变形，用含一个未知数的代数式表
示另一个未知数．
(1) 3x - 4y = 1
(2) 6x - 2y + 7 = 0
y 1 (3x 1) 4
或 x 1 (1 4 y) 3
y 1 (6x 7) 2
或 x 1 (2 y 7) 6
把③代入②得：
5·1 2y -4y = 31
代
3
解这个方程，得
y= – ４
将y= – x=３
４代入③，得
求
所以
x =３
y = -４ 写
1．将方程组里的一个方程变 形，用含有一个未知数的式子 表示另一个未知数；
2．用这个式子代替另一个方 程中相应的未知数，得到一个 一元一次方程，求得一个未知 数的值；
将方程组中的一个方程的某一个未知数，用关于 另一未知数的代数式表示出来，然后将它代入到另一 个方程中，从而转化为解一元一次方程，方程组的这 种解法叫做代入消元法．简称代入法。
3x=1-2y 例1 解方程组 5x-4y=31
① ②
用代入法解二元一次 方程组的一般步骤
解：由①得：x = 1 2y ③ 变 3
x = y -1
2y – 3y + 3 = 1
二元一次方程组解法ppt课件
x 1
所以原方程组的解是
y
1
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
解:由①+②得:
5x=10
x＝2
把x＝2代入①，得： y＝3
x 2
所以原方程组的解是
y
3
直接加减消元法
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
由①+②得: 5x=10
2x-5y=7
①
2x+3y=-1 ②
4、写出方程组的解
随堂练习： 你解对了吗？
1、用代入消元法解下列方程组
⑴
y=2x x=4 x+y=12 y=8
x=y—2-5
⑵
x=5 y=15
4x+3y=65
x+y=11
3x-2y=9
⑶
x=9 ⑷
x=3
y=2 x-y=7
y=0
x+2y=3
能 力 检 验 解二元一次方程组
（1）
2a b 18, a 3b 2.
（2） 2x y 5, 3x 4y 2.
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/21
1
1
2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y
的二元一次方程，求m 、n 的值.
解： 根据已知条件可
列方程组：
2m + n = ①
13m – 2n = ②
由①得：1 n = 1 – ③
by ay
3 3
的解是
x 2
y
1
，则 a b 的值是
．
7.已知关于x，y方程组
2x 3x
3y 5y
二元一次方程组二元一次方程组的解法ppt
学习目标
掌握二元一次方程 组的概念及解题方 法
了解解二元一次方 程组的多种方法， 提高解题能力和思 维水平
能运用二元一次方 程组解决实际问题
02
定义和定理
二元一次方程组的定义
线性方程
二元一次方程组中的每个方程都是线性方程，即 等式左边的未知数和常数项的次数均为1。
两个方程
二元一次方程组中包含两个方程，未知数的个数 为2。
复杂二元一次方程组
高阶方程组
例如，方程组 `x^2 + y^2 = 1` 和 `x^2 - y^2 = 1` 可以合并为 `(x^2 - 1)(x^2 + y^2) = 0`，解得 `x=\pm 1`，再代入第 二个方程得到 `y=0` 或 `y=2`。
VS
非线性方程组
例如，方程组 `x^2 + y^2 = 4` 和 `x - y = 2` 可以转化为 `(x-2)^2 + y^2 = 4`， 解得 `x=y=2`。
加减消元法
通过两个方程的加减运算，消去其中一个未知数，从而求解出另 一个未知数的值。
参数消元法
将方程组中的两个方程用一个参数表示，通过对参数的运算实现 消元，从而求解出未知数的值。
解法的选择建议
当方程组中系数较简单时，推荐使用代入消元法 。
当两个方程之间存在明显的倍数关系或加减关系 时，推荐使用加减消元法。
加减法
概念
加减法是通过对方程组中的两个方程进行变形，将两个方程 相加或相减得到一个一元一次方程，进而求解出未知数的方 法。
步骤
将方程组中的一个方程乘以一个系数，另一个方程乘以另一 个系数，然后将两个方程相加或相减得到一个一元一次方程 ，进而求解出未知数的值。
(完整版)二元一次方程组优秀课件PPT
代入法的基本步骤是先将一个方程中的变量用另一个方程中 的变量表示出来，然后将其代入另一个方程中，消去一个变 量，得到一个简单的一元一次方程，最后求解这个一元一次 方程即可。
消元法
总结词
通过对方程进行加、减、乘、除等运 算，消去一个变量，得到一个简单的 一元一次方程。
详细描述
消元法的基本步骤是先将两个方程进 行加、减、乘、除等运算，消去一个 变量，得到一个简单的一元一次方程 ，然后求解这个一元一次方程即可。
二元一次方程组的实际应用
应用场景
二元一次方程组在日常生活和生 产中有着广泛的应用，如路程问 题、价格问题、工作效率问题等 。
示例
一个工人加工零件，x小时加工了 y个零件，已知x+y=10, 2x-y=5 ，求该工人加工零件的效率。
02
二元一次方程组的解法
代入法
总结词
通过将一个方程中的变量用另一个方程中的变量表示出来， 从而消去一个变量，得到一个简单的一元一次方程。
详细描述
在距离问题中，我们常常需要计算两地之间的距离、速度和时间等参数。例如，一辆汽车从A地开往B 地，已知速度和时间，需要求出两地之间的距离。通过设立二元一次方程组，我们可以方便地解决这 类问题。
分配问题
总结词
分配问题是二元一次方程组在经济领域的应用，主要涉及到资源的合理分配和最大化利 用。
详细描述
示例
x+y=10, 2x-y=5
二元一次方程组的解法
解法
通过消元法或代入法，将二元一 次方程组转化为一个或两个一元 一次方程，然后求解得到未知数
的值。
消元法
通过加减或代入的方式消去一个未 知数，将二元一次方程组转化为一 元一次方程。
7.2 二元一次方程组的解法课件(共20张PPT)
3x 5y 5 3x 4y 23
① ②
等式性质
如果把这两个方程的左边与左边相减,右边与右边相减, 能得到什么结果?
分析: 3x 5y 3x 4y = 5 23
①左边
②左边 = ①右边 ②右边
解方程组:
3x 5y 5 3x 4y 23
① ②
分析: ①左边
②左边 = ①右边 ②右边
拓展
如何利用加减法解方程组35xx
6 4
y y
42 10
通过本节课的学习，你有哪 些收获？
通过本节课的学习，你还有 疑惑吗？
P32 练习：解下列方程组
谢谢！
两个方程
4x+6y=14
只要两边 分别相减就可以消去未知数 x
练一练
（二）用加减法解二元一次方程组。
⑴ 5x+y=7 3x-y=1
⑵ 4x-3y=5 4x+6y=14
答案：xy
1 2
答案：xy
2 1
练一练
3、已知
x 2
y
1
的解，则 a b
是二元一次方程aa组xx Fra bibliotekby by
7 1
的值为（ -1 ）
3x 5y 3x 4y = 5 23
3x 5y 3x 4y 18
注意符号
9y 18 y 2
将y=-2代入①,得 3x 5 2 5
x5
用括号将两个式子相减，注意减去前面是负 号的项，去括号要变号。
解方程组:
3x 3x
5 4
y y
5 23
① ②
解:由①-②得:
9y 18 y 2
问题：利用加减消元法直接解二元一
次方程组的前提条件是什么？
《二元一次方程组的解法》数学教学PPT课件(3篇)
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数 消去一个元 分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
学习目标
1、理解解二元一次方程组的另一种常用方法——“加减 消元法” ； 2、熟练以及灵活应用加减消元法解二元一次方程组.
新知探究
想一想
为了解方程组
3x+2y=13 3x-2y=5
不用代入法能否消去其中的未知数y ？
旧校舍面积的4倍,那么应该拆除多少旧校舍,建造多少新校
舍?(单位:m2 )
拆 (x m2)
设应拆除旧校舍x m2 ,建 造新校舍y m2 .
根据题意列方程组
20000 m2
y=4x
y-x=20000× 30﹪.
y=4x 即
y-x=6000
新建 (y m2)
1.解方程组: x=3y+2, ① x+3y=8. ②
随堂练习
1、用代入消元法解下列方程组
y=2x ⑴
x=4
x=—y2-5
y=8 ⑵
x=5 y=15
x+y=12
4x+3y=65
x+y=11 x=9
3x-2y=9
x=3
⑶ x-y=7
y=2 ⑷ x+2y=3
y=0
2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y的二元 一次方程，求m 、n 的值.
把y=0.8代入①可得x=2
{ x=2
故原方程的解为 y=0.8
{7x+4y-10=0
例3 解方程组 4x+2y-5=0
{7x+4y=10 ①
解：原方程组可化为 4x+2y=5 ②
由方程②得y=（5-4x）/2 将上式带入①整理，得10- x =10
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、二元一次方程组解法总结
1、二元一次方程组解法的基本思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.
即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.
2、代入消元法
由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.
（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.
4、加减消元法
两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤
（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；
（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
（5）把求出的未知数的值写成的形式.
6、二元一次方程组解的情况
若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则
（1）当时，这个方程组只有唯一解；
（2）当时，这个方程组无解；
（3）当时，这个方程组有无穷多个解.
二、重难点知识归纳
二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．
三、典型例题讲解
例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（）
①②③
④mn＋m=7⑤x＋y=6
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（）
A．2B．－2C．±2D．以上都不对
分析：
一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件：
①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．
解答：
（1）∵方程①③不是整式方程，
∴它们不是二元一次方程．
∵mn的次数为2，
∴方程④不是二元一次方程．
∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件，∴方程②⑤是二元一次方程．
故此题应选择B．
（2）∵方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一次方程，
∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，
解得k=±2且k≠2且k≠－1．
∴k=－2．
例2、在方程3x－ay=0中，如果是它的一个解，那么a的值为_____．．
由于方程的解必使方程左右两边的值相等，
所以只需将代入方程中，解关于a的一次方程即可．
解答：
∵是方程3x－ay=0的一个解，
∴3×3－a·2=0，
例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c的值．
将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，
但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？
方程组的解应满足每一个方程，因此正确解
满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2，
那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．
解答：
都是方程①的解．
又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．
故a、b、c的值分别为
例4、解下列方程组.
（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值.
（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.
解：
（1）将①化简得：3y=4x＋5③
把③代入②得：2x－(4x＋5)=1
解得x=－3
将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5
∴
∴原方程组的解为.
（2）原方程组整理为
由③×3－④×4，得7b=14，∴b=2.
将b=2代入③，得a=2.
∴原方程组的解为.
例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b 的值.
题设的已知条件是两个方程组有相同的解。
按常规思路是分别求出这两个方程组的解，再根据其解相同，得到关于a、b的方程组从而求出问题的解，显然这两个方程不易求解，须另辟思路，根据方程组的解相同，利用解的定义可知，这一组解既满足第一个方程组，又满足第二个方程组，因此该组解必须满足第一个方程组中的第一个方程2x ＋3y=7，又满足第二个方程组的第二个方程4x－5y=3。
所以两方程组的相同解即为方
程组的解.
例7、已知，
求（1）x︰z的值；（2）x︰y︰z的值；（3）的值.
把未知数z看做是常数，则把方程组看做是关于x，y的二元一次方程组，解这个方程组，即可把x，y用z的代数式表示出来.
解：
由①－②，得3x－2z=0，
例9、市府超市某种罐头比解渴饮料贵1元，小彬和同学买了3听罐头和2听解渴饮料一共用了16元，你能求出罐头和解渴饮料的单价各是多少元吗？
问题中包含两个条件：罐头价格－饮料价格=1元，3听罐头的金额＋两听饮料的金额=16元.
设罐头的单价为x元，饮料的单价为y元，根据两个条件，得
由①得x=y＋1③
把③代入②得3(y＋1)＋2y=16
解这个方程，得y=2.6
把y=2.6代入③得x=3.6
这个方程的解是：x=3.6 y=2.6。