重庆大学材料力学

重庆大学材料力学答案2.9 题图2.9所示中段开槽的杆件，两端受轴向载荷P 的作用，试计算截面1-1和2-2上的应力。

已知：P = 140kN ，b = 200mm ，b 0 = 100mm ，t = 4mm 。

题图2.9解：(1) 计算杆的轴力 kN 14021===P N N (2) 计算横截面的面积21mm 8004200=⨯=⨯=t b A202mm 4004)100200()(=⨯-=⨯-=t b b A (3) 计算正应力MPa 1758001000140111=⨯==A N σ MPa 3504001000140222=⨯==A N σ (注：本题的目的是说明在一段轴力相同的杆件内，横截面面积小的截面为该段的危险截面)2.10 横截面面积A=2cm 2的杆受轴向拉伸，力P=10kN ，求其法线与轴向成30°的及45°斜截面上的应力ασ及ατ，并问m ax τ发生在哪一个截面？ 解：(1) 计算杆的轴力kN 10==P N(2) 计算横截面上的正应力MPa 501002100010=⨯⨯==A N σ(3) 计算斜截面上的应力MPa 5.37235030cos 2230=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==οοσσMPa 6.2123250)302sin(230=⨯=⨯=οοστ MPa 25225045cos 2245=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯==οοσσMPa 251250)452sin(245=⨯=⨯=οοστ (4) m ax τ发生的截面 ∵0)2cos(==ασαταd d 取得极值 ∴ 0)2cos(=α 因此：22πα=， ο454==πα故：m ax τ发生在其法线与轴向成45°的截面上。

（注：本题的结果告诉我们，如果拉压杆处横截面的正应力，就可以计算该处任意方向截面的正应力和剪应力。

对于拉压杆而言，最大剪应力发生在其法线与轴向成45°的截面上，最大正应力发生在横截面上，横截面上剪应力为零）2.17 题图2.17所示阶梯直杆AC ，P =10kN ，l 1=l 2=400mm ，A 1=2A 2=100mm 2，E =200GPa 。

试计算杆AC 的轴向变形Δl 。

题图2.17解：(1) 计算直杆各段的轴力及画轴力图kN 101==P N （拉） kN 102-=-=P N （压）(2) 计算直杆各段的轴向变形mm 2.010010002004001000101111=⨯⨯⨯⨯==∆EA l N l （伸长） mm 4.05010002004001000102222-=⨯⨯⨯⨯-==∆EA l N l （缩短） (3) 直杆AC 的轴向变形m m 2.021-=∆+∆=∆l l l （缩短）(注：本题的结果告诉我们，直杆总的轴向变形等于各段轴向变形的代数和)2.20 题图2.20所示结构，各杆抗拉（压）刚度EA 相同，试求节点A 的水平和垂直位移。

( a) (b)题图2.20(a) 解：(1) 计算各杆的轴力以A 点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得0=∑X ，P N =2( 拉 ) 0=∑Y ，01=N(2) 计算各杆的变形01=∆lEAPl EA Pl EA l N l 245cos /222===∆ο(3) 计算A 点位移以切线代弧线，A 点的位移为：EA Pll x A 245cos 2=∆=∆ο0=∆A y(b) 解：(1) 计算各杆的轴力以A 点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得0=∑X ，P N 21= ( 拉 )0=∑Y ，P N-=2( 压 )(2) 计算各杆的变形EAPaEA a P EAl N l 222111=⨯==∆ ( 伸长 )EAPa EA a P EA l N l =⨯==∆222 ( 缩短 ) (3) 计算A 点位移以切线代弧线，A 点的位移为：EA PaEA Pa EA Pa l l A C AB x A )122(2245cos 21+=+=∆+∆='+=∆οEAPal y A -=∆-=∆2 [注：①本题计算是基于小变形假设(材料力学的理论和方法都是基于这个假设)，在此假设下，所有杆件的力和变形都是沿未变形的方向。

②计算位移的关键是以切线代弧线。

)2.15 如题图2.15所示桁架，α =30°，在A 点受载荷P = 350kN ，杆AB 由两根槽钢构成，杆AC 由一根工字钢构成，设钢的许用拉应力MPa 160][=t σ，许用压应力MPa 100][=c σ。

试为两根杆选择型钢号码。

题图2.15解：(1) 计算杆的轴力以A 点为研究对象，如上图所示，由平衡方程可得0=∑X ，0cos cos 12=-ααN N0=∑Y ，0sin sin 21=-+P N Nαα∴ kN 3501==P N (拉) kN 35012==N N (压) (2) 计算横截面的面积 根据强度条件：][max σσ≤=AN，有211mm 5.21871601000350][2=⨯=≥t N A σ，21m m 75.1093≥A222mm 35001001000350][=⨯=≥c N A σ (3) 选择型钢通过查表，杆AB 为No.10槽钢，杆BC 为No.20a 工字钢。

(注：本题说明，对于某些材料，也许它的拉、压许用应力是不同的，需要根据杆的拉、压状态，使用相应得许用应力)2.25 题图2.25所示结构，AB 为刚体，载荷P 可在其上任意移动。

试求使CD 杆重量最轻时，夹角α应取何值？题图2.25解：(1) 计算杆的轴力载荷P 在B 点时为最危险工况，如下图所示。

以刚性杆AB 为研究对象0=∑AM， 02sin =⋅-⋅l P l N CD ααsin 2PN CD =(2) 计算杆CD 横截面的面积设杆CD 的许用应力为][σ，由强度条件，有ασσσsin ][2][][PN N A CD ===(3) 计算夹角α设杆CD 的密度为ρ，则它的重量为ασραασραρρρ2cos ][cos sin ][2cos PlPl l A CD A V W ==⋅=⋅== 从上式可知，当ο45=α时，杆CD 的重量W 最小。

（注：本题需要注意的是：①载荷P 在AB 上可以任意移动，取最危险的工作状况（工况）；② 杆的重量最轻，即体积最小。

）2.34 题图2.34所示结构，AB 为刚性梁，1杆横截面面积A 1=1cm 2，2杆A 2=2cm 2，a=1m ，两杆的长度相同，E =200GPa ，许用应力[σt ]=160MPa ，[σb ]=100MPa ，试确定许可载荷[P ]。

题图2.34解：(1) 计算杆的轴力以刚性杆AB 为研究对象，如下图所示。

0=∑AM， 03221=⋅-⋅+⋅a P a N a N即：P N N 3221=+ (1) 该问题为一次静不定，需要补充一个方程。

(2) 变形协调条件如上图所示，变形协调关系为2Δl 1 =Δl 2 (2)(3) 计算杆的变形由胡克定理，有 111EA aN l =∆； 222EA a N l =∆代入式(2)得：22112EA aN EA a N =即：22112A N A N =(3) (4) 计算载荷与内力之间关系由式(1)和(3)，解得： 112134N A A A P += (4) 或 222164N A A A P +=(5) (5) 计算许可载荷如果由许用压应力[σb ]决定许可载荷，有：])[4(31][34][34][2111211121b b b A A A A A A N A A A P σσ+=⋅+=+=)(30)(30000100)2004100(31kN N ==⨯⨯+= 如果由许用拉应力[σt ]决定许可载荷，有：])[4(61][64][64][2122212221t t t A A A A A A N A A A P σσ+=⋅+=+=)(24)(24000160)2004100(61kN N ==⨯⨯+=比较两个许可载荷，取较小的值，即 {})(24][,][m in ][kN P P P t b == （注：本题需要比较由杆1和杆2决定的许可载荷，取较小的一个值，即整个结构中，最薄弱的部位决定整个结构的许可载荷。

）2.42 题图2.42所示正方形结构，四周边用铝杆(E a =70GPa ，αa =21.6×10-6 ℃-1)；对角线是钢丝(E s =70GPa ，αs =21.6×10-6 ℃-1)，铝杆和钢丝的横截面面积之比为2:1。

若温度升高ΔT=45℃时，试求钢丝内的应力。

题图2.42解：(1) 利用对称条件对结构进行简化由于结构具有横向和纵向对称性，取原结构的1/4作为研究的结构如下图所示，(2) 计算各杆的轴力以A 点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得0=∑X ，045cos =-a sN Nο即： a s N N 2= ①(3) 变形协调关系如上图所示，铝杆与钢丝的变形协调关系为： a s l l ∆=∆2 ② 钢丝的伸长量为：(设钢丝的截面积为A ) )(22AE l N l T A E l N l T l s s s s s s s s s s +∆=+∆=∆αα ③ 铝杆的伸长量为： )2(41AE lN l T A E l N l T l a a a a a a a a a a -∆=-∆=∆αα ④ 由①②③④式，可解得： A T E E E E N s a sa s a s ⋅∆-+=)(2222αα(4) 计算钢丝的应力 T E E E E A N s a sa sa s ∆-+==)(2222αασ )(3.4445)107.11106.21(1020010702210200107022663333MPa =⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-- 3.8题图3.8所示夹剪，销钉B 的直径d=5mm,销钉与被剪钢丝的材料相同，剪切极限应力u τ=200Mpa ，销钉的安全系数n=4，试求在C 处能剪断多大直径的钢丝。

解：设B,C 两点受力分别为1F , 2F 。

剪切许用应力为：[]unττ==50Mpa 对B 点，有力矩和为零可知：B M ∑=0，即：1F =4P 由力平衡知：1F +P=2F∴2F =541F 其中：2F =[]τ⋅A=12.52d π 故： 1F =102d π 又由强度要求可知：uτ≤11F A 即： d ≤114uF πτ53.11车床的转动光杆装有安全联轴器，当超过一定载荷时，安全销即被剪断。

已知安全销的平均直径为5mm ，其剪切强度极限b τ=370Mpa ，求安全联轴器所能传递的力偶矩m.解：设安全销承受的最大力为，则：F =b τ ⨯214d π 那么安全联轴器所能传递的力偶矩为：m = F ⋅D 其中b τ=370Mpa ，b=5mm ，D=20mm ， 代入数据得：力偶矩 m=145.2N m ⋅4.7求题图4.7中各个图形对形心轴z 的惯性矩z I 。