材料力学 重庆大学试题集

拉压静不定

如图所示结构由刚性横梁AD 、弹性杆1和2组成，梁的一端作用铅垂载荷F ，两弹性杆均长l ，拉压刚度为EA ，试求D 点的垂直位移。（图上有提示）

解：在力F 作用下，刚性梁AD 发

生微小转动，设点B 和C 的铅垂位移分别为δ1和δ2，则 δ1＝δ2

设杆1和杆2的伸长量分别为

△l 1和△l 2，根据节点B 和C 处的变形关系，有

1113cos 302

l δδ∆=︒=

2221cos 602

l δδ∆=︒=

则△l 1和△l 2的关系为 1232

l l ∆=

∆ （a ）

由平衡条件，对A 点取矩得 12sin 60sin 3023N N F a F a F a ︒+︒= 即 12332l l EA

EA

F l l

∆∆+= （b ）

联立方程（a ）和（b ），解得 2127F l l E A

∆=

D 点位移为 223336222

7D a F l l a

E A

δ∆=

=

∆=

------------------------------------------------------------------------------------------------------ 一．摩尔积分 单位载荷法

直径80m m d =的圆截面钢杆制成的钢架，在自由端C 处受到集中力1kN F =作用，钢杆的弹性模量为200G Pa E =，0.8m R =， 2.4m h =，不计剪力和轴力的影响，试求自由端c 处的水平位移。（提示：可采用莫尔积分方法求解）

题图 解：（1）求梁的内力方程

半圆弧BC 段： θθcos )(F F N = )(πθ≤≤0 )c o s ()(θθ-=1FR M )(πθ≤≤0 直杆AB 段： F x F N -=)( )(h x ≤≤0 FR x M 2=)( )(h x ≤≤0 （2）求自由端的水平位移

在自由端水平方向加单位载荷，如图)(b 所示，由水平单位载荷产生的轴力和弯矩方程分别为：

半圆弧BC 段： θθsin )(=N F )(πθ≤≤0

θθs i n )(R M -= )(πθ≤≤0 直杆AB 段： 0=)(x F N )(h x ≤≤0 x x M =)( )(h x ≤≤0 由莫尔积分，可得自由端c 处的水平位移为：

3

3

2

()()

()()

cos sin 2(1cos )(sin )208.91m m

N N C x l

l h

F x F x M x M x dx dx

E A E I

F F R F R

dx d xdx E A

E I

E I

F R F R h E I

E I

π

π

δθθθθθ=

+

=

+

--+

=-+

=∑∑⎰⎰

⎰

⎰

⎰

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A

B

C

R

F

h

θ

------------------------------------------------------------------------------------------------------下一题有问题，M（x1，2，3）？

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二．应力应变分析

图2所示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。

（1）从梁表面的A，B，C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。

（2）定性地绘出A，B，C三点的应力圆。

（3）在各点的单元体上，大致画出主应力单元体图。

（4）试根据第一强度理论，说明（画图表示）梁破坏时裂缝在B，C两点处的走向。

图2

解：

（1）中间段是纯弯曲，故切应力为零。点C在中性层上，所以正应力为零。单元体受力如图2.1所示。

图2.1

（2）点B应力圆与 轴相切，点C应力圆以原点为圆心，见图2.2。

图2.2

（3）主应力单元体如图2.3所示。

图2.3

（4）根据第一强度理论，物体是由最大拉应力造成破坏，故裂缝面应垂直于主应力1σ，如图2.4所示。

图2.4

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图示矩形截面h b ⨯简支梁在集中载荷P 作用下. 1 在y 方向间距4

h a =

的A 、B 、C 、D 、E 五点取单元体,定性分析这五点的应力

情况, 并指出单元体属于哪种应力状态.(C 点位于中性层)

2 若测得梁上D 点在x 及y 方向上的正应变为εx =4.0×10 - 4及εy = -1.2×10 – 4. 已知材料的弹性模量 E=200GPa,泊松比μ=0.3.试求D 点x 及y 方向上的正应力.

解：1各点的应力状态[10分(每个单元体2分)]

A 、E 点为单向应力状态；C 点为纯剪切应力状态；

B 、D 点为二向应力状态。

b h

A

B

C E D

P

y x