点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射2-3.4介绍

f (U ) f (U ) f (U ) f (U )
c c c c
1 c 1 c
1
1
1
1
f (U ) ( f (U )) FX f 1 (U ) X
Department of Mathematics
二. 内部与边界
V 定义2.14. 设X是一个拓扑空间， A X ,称含于 VA A的所有开集的并称为集合A的内部,记为: A
定理2.17 拓扑空间X的任何一个子集A的闭 包 A 都是闭集. 定理2.18 设X是一个拓扑空间，F是由空间X 中所有包含A的闭集构成的族，则对于X的每一
个子集A，有
Department of Mathematics
A
BF . A B
B
定理2.19
设X和Y是两个拓扑空间，f :X→Y．
则以下条件等价：
作: A
定理2.15
拓扑空间X的子集A是闭集的充要
条件是 A A
证明: 集合A为闭集当且仅当d(A) A
而这又当且仅当A=A∪d(A)
Department of Mathematics
定理2.16
设X是一个拓扑空间,则对于任意
A,B∈X,有：
(1) ,
(2) A A
(3) A B A B , (4) A A
BF1
B ∈F
有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开
集．其余情形不一定． 有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭
集．其余情形不一定．
Department of Mathematics
3. 闭包
A X ,集合A 定义2.13. 设X是一个拓扑空间，
与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合A的闭包,记
证明(4)设：
由此(4)成立
Department of Mathematics
2. 闭集
A X ,如果A 定义2.12. 设X是一个拓扑空间，
的每一个凝聚点都属于A，即: d ( A) A,则称 A是拓扑空间X中的一个闭集． 说明 离散空间中的任何一个子集都是闭集 平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是
Department of Mathematics
x d ( A) U U x , U ( A { x}) x d ( A) U U x , U ( A { x})
例2.4.
离散空间中集合的凝聚点和导集． d(A)＝
例2.5.
平庸空间中集合的凝聚点和导集．
闭集
A X 定理2.13 设X是一个拓扑空间，
则A是一个闭集，当且仅当A的补集 A c是开集.
Department of Mathematics
证明必要性：设A是一个闭集
充分性：设：
即A是一个闭集．
Department of Mathematics
例2.6 实数空间R中作为闭集的区间． 设a,b∈R，a＜b．闭区间[a,b]是实数空间R
中的一个闭集.
(-∞,a]，[b,∞)都是闭集，(-∞,∞)＝R显然更
是一个闭集．
（a，b]，[a，b）是否闭集? 回答: 不是
Department of Mathematics
定理2.14.
设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集
构成的族．则：
(1) X , F (2) 若A, B∈F. 则A∪B∈ F (3) 若 F1 F . 则
成立．
Department of Mathematics
1 B Y , f ( B) X (3)蕴涵(4)设 集合
应用(3)即得:
(4)蕴涵(l)．设U是Y中的一个开集．
c U 则 是Y中的一个闭集．对此集合应用(4)
可见: f 1 (U c ) f 1 (U c ) f 1 (U c ) 而:
点 集 拓 扑 学
-哈尔滨工程大学-理 学 院 -林 锰 -
第二章 拓扑空间与连续映射
本章教学基本要求
掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓 扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映
射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与
邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌 握证明开集与邻域的证明方法 掌握闭集和闭包等相关
Department of Mathematics
证明
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)蕴涵(2)．设 B Y 是闭集
则 B c 是一个开集，因此根据 (1)
f 1 ( Bc ) ( f 1 ( B))c 是X中的一个开集，因此
f 1 ( B) 是X中的一个闭集．
(2)蕴涵(3). 设 A X , 由于f(A) 根据(2)，
(l) f 是一个连续映射
1 f (2) Y中的任何一个闭集B的原象 ( B) 是闭集
(3) 对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象 包含于A的象的闭包，即 f ( A ) f ( A) (4) 对于Y中的任何一个子集B， B的原象的闭 包含于B的闭包的原象，即 f 1 ( B) f 1 ( B )
(4) d ((d ( A)) A d ( A) x d ( A) 证明(3)必要性: 如果 x d ( A) d ( B) x d ( B)
综上所述，可见(3)必要性成立．
Department of Mathematics
(4) d (( d ( A)) A d ( A)
概念. 重点：拓扑空间,同胚映射,拓扑的建立和证明. 难点：拓扑空间,同胚映射
§2.3 拓扑空间的其他概念 一. 导集，闭集，闭包 1. 导集
定义2.11. 设 ( X , )为拓扑空间, A X ,如果点
x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，则称 点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所 有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d(A)． 说明 凝聚点可以属于A,也可以不属于A 如果x∈A并且x不是A的凝聚点，则称x为A 的一个孤立点．
d ( A) X A X
Department of Mathematics
A A { x0 } A的元素多于一个
A X则: 定理2.12 设X是一个拓扑空间， (1) d () (2) A B d ( A) d ( B) (3) d ( A B) d ( A) d ( B)