自控实验 实验三 控制系统稳定性研究

实验三控制系统稳定性研究
一. 实验目的
观察线性系统稳定和不稳定的运动状态，验证理论上的稳定判据的正确性。

研究系统的开环放大系数K对稳定性的影响。

了解系统时间常数对稳定性的影响。

二. 实验设备
MATLAB 2020
三. 实验内容
（一）系统稳定性观察，验证稳定判据
系统的开环传递函数为：
；；
；；
1. 取 n=3
k1 T1k2 T2k3 T3方案一10 110 10 1 0.1
方案二同上同上 1 0.01
方案三同上同上10 1改变α，观察并记录各组参数对稳定性的影响，记下系统由稳定到出现自持振荡的α值。

注：考虑到 MATLAB 仿真实验的局限性，预先结合表格中系数计算出系统临界稳定时的α值。

计算α值时采用劳斯判据方法，理论根据如下：
劳斯判据方法
通过系统开环传递函数G(s)得到系统的特征方程后，进一步确定出劳斯表。

由劳斯判据可知，当第一列有零的时后说明系统不稳定，存在虚根或复平面右半平面的点；当有全零行的时候，有右半平面和虚轴上的点。

同时，第一列如果位于零上面的系数符号与位于零下面的系数符号相同，则有一对虚根的存在。

根据上述理论，通过对劳斯表的第一列系数的求取来得到临界稳定时的α值。

上表中三种方案的具体处理如下：
实验代码示例如下：
结论：可见，曲线振荡幅度逐渐减小，符合预期目标。

α=1.22，为理论值，预计应为临界振荡
代码示为：
clf % 清除当前图形t =0:0.1:10 % 产生时间序列K1=10K2=10K3=1T1=1T2=10T3=0.1a =1.22K =K1*K2*K3 % Ki 为比例系数，请同学们自行按要求设定numo =[K *a ] % 开环传递函数的分子系数向量deno =conv (conv ([T1,1],[T2,1]),[T3,1])% 计算开环传递函数的分母系数向量numc =numo % 闭环传递函数的分子系数向量denc =[zeros (1,length (deno )-length (numo )),numo ]+deno % 闭环传递函数的分母系数向量step (numc ,denc ,t ) % 绘出阶跃响应1
2
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11
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结论：可见，曲线振荡幅度不变，符合预期目标。

α=1.50，大于理论值，振荡幅度逐渐增强，出现自持振荡，系统不稳定。

代码示为：
clf % 清除当前图形t =0:0.1:10 % 产生时间序列K1=10K2=10K3=1T1=1T2=10T3=0.1a =1.50K =K1*K2*K3 % Ki 为比例系数，请同学们自行按要求设定numo =[K *a ] % 开环传递函数的分子系数向量deno =conv (conv ([T1,1],[T2,1]),[T3,1])% 计算开环传递函数的分母系数向量numc =numo % 闭环传递函数的分子系数向量denc =[zeros (1,length (deno )-length (numo )),numo ]+deno % 闭环传递函数的分母系数向量step (numc ,denc ,t ) % 绘出阶跃响应1
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结论：符合预期目标。

方案二
取示例代码中 k1=10，T1=1；k2=10，T2=10；k3=1，T3=0.01；
理论α值为 11.1，额外取α1 =10，α2 = 15，形成对照，观察仿真效果注：代码调整与方案一中类似，故不再重复给出。

只给出具体的仿真效果。

1. α =10
2. α =11.1
3. α =15
方案三
取示例代码中 k1=10，T1=1；k2=10，T2=10；k3=10，T3=1；
理论α值为 0.0242，额外取α1 =0.01，α2 = 0.05，形成对照，观察仿真效果注：代码调整与方案一中类似，同时将 t 的范围扩展为50，步长仍为 0.1。

其余保持，故不再重复给出。

只给出具体的仿真效果。

1. α =0.01
可见，α取值小于理论值时，响应最终趋于稳定，即为衰减振荡。

与前述分析相同。

2. α =0.0242
3. α =0.05
结论：可见，振荡幅度逐渐增大，即出现自激振荡（自持振荡）。

K1 T1K2 T2K3 T3方案一 1 0.1 1 0.1 1 0.1方案二
1 0.1
10 1
0.5 0.05
2. 取 n=3，A1 接成积分器
实验线路图：
注意到，此时开环传递函数发生变化：
α 理论值计算
MATLAB 实现
因 A1 接成积分器，故对 MATLAB 代码作必要修改
将 deno 改为：deno=conv(conv([T1,0],[T2,1]),[T3,1])
其余对应参数值作相应调整
第一组
取示例代码中 k1=1，T1=0.1；k2=1，T2=0.1；k3=1，T3=0.1；
理论α值为 2，额外取α1 =1.5，α2 = 2.5，形成对照。

观察仿真效果
1. α =1.5
2. α =2
3. α =2.5
第二组
取示例代码中 k1=1，T1=0.1；k2=10，T2=1；k3=0.5，T3=0.05；
理论α值为 0.42，额外取α1 =0.20，α2 = 0.60，形成对照。

观察仿真效果1. α =0.20
2. α =0.42
3. α =0.60
注：本小节中实验结论与 1 小节中相似，不再赘述。

3-2 所示的系统，结合（一）中的程序，取 n = 5，测出其临界开环比例系数。

仿真结果明显为自激振荡，即 a 值选取过大2. a=0.5
仿真结果仍为自激振荡，减小 a 值
3. a=0.2
4. a=0.15
5. a=0.13
仿真结果显示为衰减振荡，a 值选取过小，适当增大 a 值
如图， a=0.14时，仿真结果显示系统处于临界振荡状态。

故选取α =0.14.
临
综上可得：
= 7。

n=4,观察 K 由小到大变化（即α由小到大）时，系统动态响应的
deno 的求法：n=4，则 deno=conv(conv(conv([T1,1],[T2,1]),[T3,1]),[T4,1]))
不妨取：
；；；
；；；
MATLAB 代码如下：
1. α=0.5，K=
2.5α=1，K=5
α=1.5，K=7.5
4. α=1.7，K=8.5
5. α=2，K=10
综上：随着 K 的增大（即α由小到大），系统响应曲线由衰减振荡转变为临界振荡（K=8.5），最后变为自激振荡（K=10）
（三）系统中各时间常数的比例对稳定性的影响
；；
2. a=2，K=11.25
3. a=5，K=37.45
自振荡频率：1/(6.71-5.44)=0.79
（四）思考题
1. 三阶系统的各时间常数怎样组合系统稳定性最好？何种组合最差？
答：
从小节（三）的实验结果看，当时间常数比例逐渐增大时（表现为各级单个系统
的时间常数相差越大），系统的临界振荡比例系数逐渐增大，表明系统的稳定性
逐渐增强。

实验中可以看到，当各系统的时间常数按倍数关系递增且倍数越大时
系统的稳定性越好。

故可认为三阶系统中，三个单系统的时间常数差距越大，组
合系统的稳定性越好，反之则越差
依据实验数据，当 a=1，T1：T2：T3 = 1：1：1时，系统稳定性最差。

2. 已知三阶系统各时间常数，如何估计其自振荡频率
答：通过闭环传递函数得到分母三阶方程，尝试求取系统是否有主导极点，
若系统存在主导极点，则可利用该主导极点将系统简化为二阶系统，进而估计出
系统的自然振荡频率。

（注：对于二阶系统，从系统的闭环频率响应的Mr和
ωr，可精确地计算出二阶系统的时间响应。

）
若不存在主导极点，可仿照本实验中方法，从 MATLAB 的仿真结果中估计出自
振荡频率。

（五）思考与总结
闭环系统利用反馈极大地提高了系统的响应性能，但同时也带来了系统不稳定性的问题。

虽然大多数系统都需要保持稳定性，但有些情况下可以利用系统的不稳定性实现预期目，如信号发生器等。

系统的比例系数 K 与临界开环比例系数 K c的关系：
1. 比例系数 K 小于临界开环比例系数 K c：系统绝对稳定
2. 比例系数 K 等于临界开环比例系数 K c：系统形成等幅振荡
3. 比例系数 K 大于临界开环比例系数 K c：系统不稳定
4. 随着比例系数 K 的逐渐增大，系统的上升时间越短，稳态误差越小，超调量越
大，调节时间越长，系统的振荡幅度越大。