求函数零点的方法

……
继续实施上述步骤，直到区间[an,bn] ，函数的零点总位 于区间[an,bn] 上，当an 和 bn 按照给定的精确度所取的近 似值相同时，这个相同的近似值就是函数 y=f(x)的近似零点， 计算中止.这时函数y=f(x) 的近似零点满足给定的精确度.
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例题分析
求函数f (x) = x3+x2-2x-2 的一个正实数零点（精确到0.1）
a1=x0,b1=b0.
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计 算 f(x)与 f(a)， 并 判 断 ：
1
1
(1)如果 f (x1)=0 ，则 x1就是f (x) 的零点，计算中止
(2)如果f(a1)f(x1) <0 ，则零点位于区间[a1,x1]中，令 a2=a1,b2=x1; (3)如果f(a1)f(x1) >0 ，则零点位于区间[x1 , b1]中，令 a2=x1,b2=b1.
解： 由于f (1)=-2<0,f (2)=6>0可以确定区间[1,2]作为 计算的初始区间. 用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值
定区间
a0=1, b0=2
f (1)=-2， f (2)=6
x0=(1+2)/2=1.5
x1=(1+1.5)/2=1.25
x2=(1.25+1.5)/2 =1.375
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二次函数分析
y
1.在[a , b]不间断
2.在区间两端点处的
a
a
函数值异号，即f(a)f(b)<0
0
b
bx
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零点定理
定义：
如果函数y = f(x)在一个区间[a,b]的图像不间
断，并且它的两个端点处的函数值异号，即
f(a)f(b)<0 ，则这个函数紫这个区间上，至少
有一个零点，即存在一点x (a,b) 0
1
1
xa (ba) (ab).
计 算 f(x)与 f 0(a0 )， 2 并 判 0 断 0： 2 0 0
0
0
(1)如果 f (x0)=0 ，则 x0就是f (x) 的零点，计算中止
(2)如果f(a0)f(x0) <0 ，则零点位于区间[a0,x0]中，令
a1=a0,b1=x0.
(3)如果f(a0)f(x0) >0 ，则零点位于区间[x0 , b0]中，令
x3=(1.375+1.5)/2 =1.4375
f (x0)=0.625>0 f (x1)=-0.984<0 f (x2)=-0.260<0 f (x3)=0.162>0
[1,2]
[1,1.5] [1.25,1.5]
[1.375,1.5] [1.375,1.4375]
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由上表计算可知，区间[1.375,1.4375] 的左右端点保 留两位有效数字所取的近似值都是1.4，因此1.4就是 所求函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值。
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习题演练 1.用二分法求函数 y=x2- 2 的一个正零点的近似 值（精确到到0.01）
2.求函数y=x3-3x2+2x-6 的一个正零点的 近似值（精确到0.1）
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1. 变号零点的概念，零点定理 2.二分法的步骤：确定初始区间，计算中点函数值比 较，确定新的区间，反复直至满足要求。
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史实介绍
在16世纪，人们找到了三次函数和四次 函数的求根公式，但对于高于四次的函 数，类似的努力却一直没有成功。到了 19世纪，根据阿贝尔和珈罗瓦的研究， 人们认识到高于四次的函数（即高于四 次的代数方程）不存在求根公式。同时， 对于三次和四次的代数方程，由于公式 解的表示相当复杂，一般来讲并不适宜 用作具体运算。
，使f(x0) =0
这样的零点叫做变号零点。有时曲线通过零
点时不变号，这样的零点叫做不变号零点
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y
找出图中函数的不变
号零点和变号零点。
x0 O x1
不变号零点：x0
Hale Waihona Puke Baidux2
x 变号零点：x1 , x2
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二分法------求函数变号零点的近似值
已知函数y=f (x) 定义在区间D 上，求它在D的一个变号零 点 x0 的近似值 x，使它满足给定的精确度
用二分法求函数零点的一般步骤：
第一步 在 D 内 取 一 个 闭 区 间 [ a , b ] D , 使 f ( a) 与 f ( b ) 异 号 ，
00
0
0
即 f ( a 0 ) f ( b 0 ) < 0 .零点位于区间[a0,b0]中.
第二步 取区间 [a0 , b0] 的中点，则此中点对应的横坐标为