整式运算和整式方程式讲义

mn m n mn m n m
去括弧法則：如果括弧前是“十”號，把括弧和它前面的“+”號去 掉，括弧裏各項都不變符號；如果括弧前是“一”號，把括弧和它前面的 “一”號去掉，括弧裏各項都改變符號。
=（a ） =（a ） 。
m
n
n
m
1
五、積的乘方 1、積的乘方是指底數是乘積形式的乘方。 2、積的乘方運算法則：積的乘方，等於把積中的每個因式分別乘方， 然後把所得的冪相乘。即（ab） =a b 。 3、此法則也可以逆用，即：a b =（ab） 。
2 2
例 6、用配方法解方程 x2+6x-7=0. 解：x2+6x-7=0 x2+6x+9=7+9 (x+3)2=16 x+3=±4 x1=1，x2=-7 例 7、若實數 x 滿足條件： (x2+4x-5)2+｜x2-x-30｜=0，求 ( x 2 )2 ( x 1 )2 的值. ２ ２ 解：根據題意得 x +4x-5＝0，且 x -x-30=0
2
∴x＝-5 或 x=1，且 x=6 或 x=-5 ∴x＝-5
( x 2) 2 ( x 1) 2 ( 5 2) 2 ( 5 1) 2 3
4
合併同類項的法則：同類項的係數相加，所得結果作為係數，字母和 字母的指數不變。 2、合併同類項時注意： a.如果兩個同類項的係數互為相反數，合併同類項後，結果為 0. b.不要漏掉不能合併的項。 c.只要不再有同類項，就是結果。
三、同底數冪的乘法 1、n 個相同因式（或因數）a 相乘，記作 a ，讀作 a 的 n 次方（冪）， 其中 a 為底數，n 為指數，a 的結果叫做冪。 2、底數相同的冪叫做同底數冪。 3、同底數冪乘法的運算法則： 同底數冪相乘，底數不變，指數相加。即：a ﹒a =a 。 4、此法則也可以逆用，即：a
1 x ( x 2) ( x 1)( x 1) ， 其中 x ． 2
解： x ( x 2) ( x 1)( x 1)
例 9、 計算： ( 0.125) 8
99
100
；
分析：顯然：-0.125 與 8 的乘積是“-1” ，而(-1) 高次方值容易得出答案來： ① （-1）的偶次方是 1；②(-1)的奇次方是（-1） ；所以變化 8 原式= ( 0.125) 8 8 = ( 0.125 8)
x x 2
如果設 一般形式是
x2 2 y x ，那麼原方程可化為關於 y 的一元二次方程的
y2 3 y 2 0
。
例如： 4 x 4 x 1 0
2
4 x 2 16 0
（3）因式分解 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做 把這個多項式分解因式。 因式分解的常用方法： 1．提公因式法： aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ac a (b c) 2．運用公式法： a b ( a b)(a b)
2 2
A． x y x ；B． ( m ) m ；C． 2 x 答案：D； 例 3、下列式子中是完全平方式的是（ A． a ab b 2 a 2a 1 ；
2 2 2
1 2 ； D． ( a )6 ( a )3 a 3 2x
點評：兩次運用題目中的新運算公式： （1） 4☆3 4 3 7 ； （2） 7☆ x 7 x 13 ，所以： x 7 13 36 ，求出： x 6 ；
9
答案：D． 例 4、 若單項式 2am+2nbn-2m+2 與 a5b7 是同類項，求 nm 的值． 例 8、已知： 2 a 3 ， 32 b 6 ，求 2
3 a 10 b
m 2n 5, 由同類項定義可得 解出即可；求出： n 2m 2 7 1 n 3, m 1; 所以： n m 31 ; 3
2
例 1、如果代數式 4y2-2y+5 的值為 7， 那麼代數式 2y2-y+1 的值等於 ( ) A.2 B.3 C.-2 D.4 答案:A 例 2、若 a 的值使得 x2+4x+a=(x+2)2-1 成立，則 a 的值為 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案：C 例 3、已知 m 是方程 x2-x-2=0 的一個根，則代數式 m2-m 的值 等於 。 答案：2 2 例 4、解方程 x +3x=10 解：x2+3x-10=0 (x+5)(x-2)=0 x=-5 或 x=2 x2 2 2x 2 3 例 5、解
m+n m n m+n n n
= a ﹒a 。
m
n
5、開始底數不相同的冪的乘法，如果可以化成底數相同的冪的乘法， 先化成同底數冪再運用法則。
四、冪的乘方 1、冪的乘方是指幾個相同的冪相乘。（a ） 表示 n 個 a 相乘。 2、冪的乘方運算法則： 冪的乘方，底數不變，指數相乘。（a ） =a 。 3、此法則也可以逆用，即：a
a 2 2ab b 2 (a b) 2 a 2 2ab b 2 (a b) 2
3．分組分解法： ac ad bc bd a (c d ) b(c d ) ( a b)(c d ) 4．十字相乘法： a ( p q ) a pq ( a p )(a q )
2 2 2 2
）
2 2
B． a 2a 2 ； C． a 2b b ；
D
．
例 7、計算： ( x y ) ( y x ) ( x y )
2 3 2 3 4
4
解：原式= ( y x ) ( y x ) ( y x ) = ( y x )
2 3 4
= ( y x) ；
完全立方公式：(a+b)3=a +3a b+3ab +b 十、整式的除法
3
2
2
3
(a-b)3=a -a b+ab -b
3
2
2
3
1、單項式除以單項式的法則：單項式相除，把係數、同底數冪分別相 除後，作為商的因式；對於只在被除式裏含有的字母，則連同它的指數一 起作為商的一個因式。 2、多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的 每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。
3
3
2
2
a-p =
1 （a≠0） ap
兩數和（或差）的平方，等於它們的平方和，加上（或減去）它們的 積的 2 倍。
七、整式的乘法 1、單項式與單項式相乘法則：把它們的係數、相同字母的冪分別相乘， 其餘字母連同它的指數不變，作為積的因式。 2、單項式與多項式相乘法則：就是根據分配率用單項式去乘多項式中 的每一項，再把所得的積相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。 3、多項式與多項式相乘法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式 的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
2
例 1、計算： ( a 2b)( 2a b) 答案： 2a 5ab 2b ；
2 2
. 例 6、在實數範圍內定義運算“☆” ，其規則為： a☆b a b ，
2 2
例 2、下列運算中正確的是（
3 3 6 2 3 5
）
2
則方程 (4☆3)☆x 13 的解為 x
．17． 6
例5、先化簡，再求值：
的值；
a
點評：根據現有的知識水準，很難求出 a 、 b 的值來，所以我們可以把： 2 、
32b (25 )b 中的 (25 )b 分別看作一個整體，通過整體變換進行求值，則有：
5 b a 3 b 3 2 23a 10 b 23a 210 b (2a )3 (25 )2 b (2a )3 (2 ) (2 ) (32) 3 6 972 2 2
n n n n n n
即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。 注意：①多項式與多項式相乘，必須做到不重不漏。相乘時，要按一 定的順序進行，即一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項。 ②多項式的每一項都包含它前面的符號，確定積中每一項的符號時應 用“同號得正，異號得負”。 ③運算結果中有同類項的要合併同類項。
六、同底數冪的除法 1、同底數冪的除法法則： 同底數冪相除，底數不變，指數相減，即：a ÷a =a （a≠0）。 2、此法則也可以逆用，即：a
m-n m n m-n
八、平方差公式：（a+b）(a-b)=a -b
2
2
兩數和與這兩數差的積，等於它們的平方之差。 1、即：（a+b）(a-b) = 相同符號項的平方 - 相反符號項的平方 2、平方差公式可以逆用，即：a -b =（a+b）(a-b)。 立方和差公式：a -b =（a-b）(a +ab+b ) 九、完全平方公式：(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2
99 99 99
100
x 2 2 x ( x 2 1)
x2 2x x2 1
為： 8 8 ；則有
99
8 =(-1) 8 =- 8 ;
2x 1 ．
當x
1 1 時，原式 2 1 0 ． 2 2
3
整式方程式
（一）一元一次方程 (1)定義：只含有一個未知數且所含未知數項的次數是 1 的整式方程，叫做一元 一次方程. (2)一般形式：ax+b=0(a≠0). 例如： 2 x 4 0 5x 7 0 3x 0 （3）一元一次方程的解法的一般步驟是： a：去分母；b：去括弧；c：移項；d：合併同類項；e：係數化為 1. （二）一元二次方程 (1)定義：只含有一個未知數且所含未知數的最高次數是 2 的整式方程，叫做 一元二次方程. （2）一般形式： ax bx c 0( a 0)
整式的運算
一、整式 單項式：都是數字與字母的乘積的代數式叫做單項式。 1、單項式的數字因數叫做單項式的係數。 2、單項式中所有字母的指數和叫做單項式的次數。 注意：①單項式的係數包括它前面的符號。 ②單項式的係數是帶分數時，應化成假分數。 3、單獨一個數或一個字母也是單項式。 4、只含有字母因式的單項式的係數是 1 或―1，通常省略數字“1”。 5、 單獨的一個數字是單項式， 它的係數是它本身;非零常數的次數是 0。 多項式:幾個單項式的和叫做多項式。 1、多項式中的每一個單項式叫做多項式的項。 2、多項式中不含字母的項叫做常數項。 3、一個多項式有幾項，就叫做幾項式。 4、多項式的每一項都包括項前面的符號。 5、多項式中次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數。 整式：單項式和多項式統稱為整式。 注意:分母中含有字母的代數式不是整式。 二、整式的加減 理論根據是：去括弧法則，合併同類項法則。
3 3 2 2 2 2
= a ÷a （a≠0）。
m
n
3、零指數冪的意義：任何不等於 0 的數的 0 次冪都等於 1。 即：a =1（a≠0）。 4、負指數冪：任何不等於零的數的―p 次冪，等於這個數的 p 次冪的 倒數。
0
a +b =（a+b）(a -ab+b ) (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2