连续型随机变量的概率分布
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1.6 概率论——连续型随机变量的概率分布
41 48
例2：设随机变量 X的概率密度 f ( x)为
f
(
x)
4 x
3
0 x1
0 else
(1)求常数 a，使 P( X a) P( X a)
(2)求常数 b，使 P( X b) 0.05 解：(1) 由于 P( X a) 0, 因此有
P(X a) P(X a) 1
从而由题设得 P( X a) 0.5,且有 0 a 1
解： 由p.d. f .的性质，
f ( x)dx
e2xdx 1
2
0
P( X 2)
f ( x)dx
2e2 xdx e4
2
2
P(X
a2
2
X
a2)
P(X
a2, P(XX a2 a2)2)P(X P(X
a2 2) a2)
2e 2 xdx
a2 2
2e2 xdx
e4
a2
e (
y )2
2 d(
y )1 2
泊松积分： e x2 dx ，
概率论
概率论
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰
的陡峭程度.
概率论
正态分布最早是由Gauss在测量误差时得到的，也称为 Gauss分布。后续内容将表明，正态分布在概率统计中有特殊 的重要地位。
概率论
§1.6 c.r.v.的概率密度
c.r.v.及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的c.r.v. 小结
概率论
c.r.v.X所有可能取值充满一个区间, 对 这种类型的随机变量, 不能象d.r.v.那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概 率分布, 而是通过给出 “概率密度函数” (probability density function, p.d.f.) 的方式.
连续型随机变量常见的几种分布
)
29
◆ 对任意区间 ( x1 , x2 ], 则有： x1 X x2 ) P ( x1 X x2 ) P ( x2 x1 ( )
(
)
30
(6) 3 原则 由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
6
解： 设以7:00为起点0，以分为单位 从上午7时起， 每15分钟来 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 一班车，即 1 7:00，7:15， 0 x 30 f ( x ) 30 7:30 其 它 等时刻有汽 0 车到达汽站 为使候车时间X 少于 5 分钟， 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 故所求概率为：
2( 2) 1 2 0.9772 1 0.9544
33
例4. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短，交通拥挤)
所需时间(分钟) X ~ N (27,52 ), 沿 B 路走（路程 长，阻塞少)所需时间(分钟)Y～N (30,22 ) 若现在只有 30分钟. 问：分别选择哪一条路为好? 解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: 30 27 ) A 路: P ( X 30) 1 P ( X 30) 1 ( 5 1 (0.6) 1 0.7257 0.2743
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
7
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P (0 x 5) P (15 x 20)
连续型概率分布
(2)P{(-a/2)<X<(a/2)} ＝F(a/2)- F(-a/2)=
10
解答（续）
在F ( x)的连续点上，F ( x) p( x) 1 1 x 1 1 1 1 [ arcsin ] 2 a a x 2 a x2 1 ( ) a (3)X的概率密度 f(x)为 1
xd (e x )
1
[ xe
x 0
e
0
x
1 x x e dx e dx] 0
2
1
同理：DX ( x EX ) f ( x)dx ( x
0
1
) e
2
x
dx
2
17
1 x 1 1000 解： e X 的密度函数为：f ( x) 1000 0
• 例2：某电子元件的寿命X的服从参数为0.001的指数分 布，求3个这样的元件使用1000个小时至少有一个已经损 坏的概率.
x0 x0
1 P( X 1000) e 1000 1000
x 1000
dx e 1
3个都没有损坏的概率为:
[ P( X 1000)]3 e3
2
2
答案:1/2 求(1)A,(2)F(x),(3)P{0<X<π/4}.
A cos x , 7.设X~ f ( x) 0,
x x
2
2
答案:(1)1/2
0 x 2 1 (2) F ( x) (sin x 1) x 2 2 2 1 x 2
概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件
0 x
则t , dt d
1-(x)
x1
2
3
F(x) 1
(t )2
1 x e
2 2
dt
x
2
e 2 d
( x )
2
2
4. P{a X b} (b ) ( a )
P{X b} (b ) P{X a} 1 (a )
例6
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解：X 的密度函数为
f
x
1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x
e 10
20
e 1
e 2
0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生
故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
应用场合:
若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则
X ~ U a,b
例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率.
连续型概率分布
连续型概率分布连续型概率分布是概率论中的一个重要概念，用于描述连续随机变量的可能取值范围及其对应的概率。
与离散型概率分布相比，连续型概率分布在数轴上的每一个点都有概率密度函数与之对应，而不是直接给出某个点的概率。
本文将介绍几种常见的连续型概率分布，包括均匀分布、正态分布和指数分布。
一、均匀分布均匀分布是一种简单而常见的连续型概率分布，它假设随机变量在一定的范围内取值的概率是相同的。
在数学上，均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b - a)，a ≤ x ≤ b其中，a和b分别表示均匀分布的下界和上界。
图表上，均匀分布的概率密度函数在[a, b]区间内的取值是一个常数，且在[a, b]之外为0。
这意味着在[a, b]区间内的任意一个子区间上，概率密度的积分就是该子区间的长度除以[a, b]之间的总长度。
二、正态分布正态分布是统计学中最重要的连续型概率分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布在自然界和社会科学中的广泛应用使得它成为了研究的重点。
正态分布的概率密度函数可以写作：f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * exp(-(x - μ)² / (2σ²))其中，μ是均值，σ是标准差。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，其峰值位于μ处，标准差决定了曲线的形状。
正态分布具有许多重要的特性，如68-95-99.7法则，即大约68%的概率密度位于一个标准差范围内，95%位于两个标准差范围内，99.7%位于三个标准差范围内。
三、指数分布指数分布是描述连续随机事件发生的时间间隔的概率分布。
例如，某个服务台上的顾客到达时间间隔、两次地震发生的间隔等，都可以用指数分布来描述。
指数分布的概率密度函数可以写作：f(x) = λ * exp(-λx)，x ≥ 0其中，λ是分布的参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。
指数分布的概率密度函数在区间[0, +∞)上递减，且总面积等于1。
指数分布还有一个重要的特性是无记忆性，即已经等待了一段时间后，再等待一段时间的概率与一开始等待这段时间的概率是相等的。
连续型随机变量及其概率分布
内的概率为：
x 2 x 1
P X a 0
yf x
f x
P x X x x dx 1 2 f
O
P x X x 1 2
x1
x2
x
概率密度 f ( x )不是随机变量 X 取值 x的概率 , 而是 X 在点 x的概率分布的密集程度 , f ( x )的大小能反 映出 X 取 x附近的值的概率大小。 因此对于连续型随
P a X b P a X b P a X b
y F (x)
P a X b ( bF ) ( a ) F
1
连续型随机变量 X 的分布函数
F (x)
o
x
4
一定是连续函数
例1 射手射击时，设目标靶是半径为20厘米的圆盘，以 X 表示 弹着点到圆盘中心的距离，射手击中以靶心为中心，以 X 为半径 的圆内的概率，与圆盘上以 X 为半径的同心圆的面积成正比， 设每次射击都能中靶，试求 X 的分布函数 F ( x )
P x X x x dx 1 2 f
x 2 x 1
三、连续型随机变量一般定义 四、连续型随机变量的常见分布
U ( a ,b ) 1、均匀分布 X~
1 , f x ba 0, a x b 其 它
2、指数分布
X ~ e .
13
练习 (柯西分布)设连续随机变量X 的分布函数为
F ( x ) A B arctan x , x . 求: (1)系数 A 及 B ; (2) 随机变量X 落在区间(-1,1)内的概率;
(3)随机变量X的概率密度.
解 (1) lim F ( x ) lim A B arctan x A B 0, x x 2 lim F ( x ) lim A B arctan x A B1 , x x 2 1 1 11 解得 A , B . F ( x ) arctan x , x . 2 2 1 1 1 1 1 (2) P . 1 X 1 F 1 F 1 2 4 2 4 2
x 2 x 1
P X a 0
yf x
f x
P x X x x dx 1 2 f
O
P x X x 1 2
x1
x2
x
概率密度 f ( x )不是随机变量 X 取值 x的概率 , 而是 X 在点 x的概率分布的密集程度 , f ( x )的大小能反 映出 X 取 x附近的值的概率大小。 因此对于连续型随
P a X b P a X b P a X b
y F (x)
P a X b ( bF ) ( a ) F
1
连续型随机变量 X 的分布函数
F (x)
o
x
4
一定是连续函数
例1 射手射击时，设目标靶是半径为20厘米的圆盘，以 X 表示 弹着点到圆盘中心的距离，射手击中以靶心为中心，以 X 为半径 的圆内的概率，与圆盘上以 X 为半径的同心圆的面积成正比， 设每次射击都能中靶，试求 X 的分布函数 F ( x )
P x X x x dx 1 2 f
x 2 x 1
三、连续型随机变量一般定义 四、连续型随机变量的常见分布
U ( a ,b ) 1、均匀分布 X~
1 , f x ba 0, a x b 其 它
2、指数分布
X ~ e .
13
练习 (柯西分布)设连续随机变量X 的分布函数为
F ( x ) A B arctan x , x . 求: (1)系数 A 及 B ; (2) 随机变量X 落在区间(-1,1)内的概率;
(3)随机变量X的概率密度.
解 (1) lim F ( x ) lim A B arctan x A B 0, x x 2 lim F ( x ) lim A B arctan x A B1 , x x 2 1 1 11 解得 A , B . F ( x ) arctan x , x . 2 2 1 1 1 1 1 (2) P . 1 X 1 F 1 F 1 2 4 2 4 2
连续型随机变量及其概率分布
14
Probability and Statistics
③正态分布（或高斯分布）
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x μ 2σ2
)2
x
,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称 X 服从参数为 μ, σ
的正态分布或高斯分布,记为 X ~ N ( μ,σ2 ).
15
②指数分布
Exponent(指数)
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
1 θ
e
x
θ
,
x 0,
0,
x 0.
其中 θ 0 为常数,则称 X 服从参数为 的指数
分布.记作X E( ).
10
Probability and Statistics
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的 寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.
故在计算X落在某一区间的概率时，可以不必 考虑区间是否包括端点,即
P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}
4
Probability and Statistics
源“ 概 率 密 度 ” 名 称 的 来
设f (x)在点x处连续，则有
P(x X x x)
1
a
,
a
x
b,
1
0,
其他
ba
0a
则称X在区间（a,b)上服从均匀分布,
记为XU(a,b).
bx
7
Probability and Statistics
例2 等待时间 公共汽车每10分钟按时通过一车站， 一乘客在随机选择的时间到达车站.以X记他的等车 时间（以分计），则X是一个随机变量，且有
2.3连续型随机变量及其分布
2、指数分布 定义3 设连续型随机变量X的概率密度为
ex, x0,
f (x)0,
其它 ,
其中λ >0为常数,则称随机变量X服从参数为θ 的 指数分布.
分布函数为
1ex, x0,
F(x) 0,
其它 .
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
可得：
（1）P(Xt)et(t0) （2）P ( t 1 X t2 ) e t 1 e t2 ( 0 t 1 t2 )
P ( 1 0 X 1 5 ) P ( 2 5 X 3 0 ) 1 5 1 d x 3 0 1 d x 1
1 0 3 0 2 5 3 0 3
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
练习 设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程
4 x24 K x K 20
(1)P{X10}0 10P{X10}00 1F(10)00
0,
x 1b,
a a
,
x a, a x b, x b.
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
均匀分布的概率密度的图形
均匀分布的特点是:随机变量X落入(a,b)中任意等长 度的小区间内的概率都相等；此概率与子区间的长度 成正比，而与子区间的起点无关。
均匀分布的分布函数的图形
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
例3 设公交车站从上午7时起，每15分钟来一班车. 某乘客在7时到7时半之间随机到达该站，试求 他的候车时间不超过5分钟的概率.
解：该乘客于7时过X分到达该车站.依题意 X U(0,30) 候车时间不超过5分钟，即10X15或 25X30
几种常用的连续型分布
0.2514
15
故
P{Y 0} (1 p)3 0.4195
作业2-4： 1，5，6
P(A) P{10 X 15} P(25 X 45} P{55 X 60} 5 20 5 1 60 2
f (x)
2. 指数分布(P40)
若 X～ f (x)＝ex , x 0
0, x 0
x
0
则称X服从参数为>0的指数分布。 其分布函数为
F (x)＝1 ex , x 0 0, x 0
峰的陡峭程度.
4.标准正态分布(p41) 参数＝0，2＝1的正态分布称为 标准正态分布，记作X~N(0, 1)。
其密度函数表示为
(x)
1
x2
e 2 , x .
2
分布函数表示为
( x) P{X x}
x t2
1 e 2 dt, x 2
( x)
( x)
1 0 1 ;
一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分 布Ｎ(μ,σ2),且知寿命低于800小时的概率约为2.28%; 寿命超过900小时的概率约为84.13%; 问保质期最多 设为多少小时,才能使元件寿命低于保质期的概率小 于0.1?
几个常用的连续型随机变量
均匀分布 P{c<X<d}
正态 分布
指数分布 无记忆性
随机变量的分布函数
单调不减性 非负性
归一性
连续型随机变量 的概率密度
右连续性 F(x)…f(x) P{a<X<b}
二 几种常用的连续型分布
1. 均匀分布(p39)
若X～f(x)＝
1 , a x b b a
0，其它
f(x)
。。
0a b x
连续型随机变量及其概率分布
解：由归一性可知
0Leabharlann 34xf ( x)dx 0dx kxdx (2 )dx 0dx
0
3
2
4
0 1 kx2 3 (2x 1 x2 ) 4 0 1
20
43
k1 6
二、分布函数与概率密度函数
二、分布函数与概率密度函数
二、分布函数与概率密度函数
0
例2
设连续型随机变量X
:
F
1、连续型随机变量与密度函数的概念
对于随机变量X，若存在非负可积函数f ( x)( x R)
使得随机变量X 取值任意区间 a, b的概率为
b
P(a X b) a f ( x)dx
则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数，简称概率密度.
f(x) 几何定义
0a
x b
一、连续型随机变量及其密度函数
lim
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落
在区间 (x, x x] 上的概率与区间长度 x 之比的
极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于
线密度.
二、分布函数与概率密度函数
6、连续型随机变量密度函数的意义.
f ( x) F ( x) lim P( x X x x)
x x
lim
f (t )dt 0
x0 x
由此可以得到如下结论：
由P(A)=0, 不能推出
由P(B)=1, 不能推出 B=S
二、分布函数与概率密度函数
4、连续型随机变量任意区间内的概率求法 由于连续型随机变量X ,x R, P( X x) 0 a, b R, a b P(a X b) P(a X b) P(a X b)
连续型随机变量及其概率分布
aБайду номын сангаас
b
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
f (x) （4）在 f (x) 的连续点 x 处， F(x)=
注:
（1）连续型随机变量 X 的分布函数F(x)处处连续. (2)连续型随机变量取任一指定实数值a 的概
P X = a=. 0 (3) 率均为0. 即
P X a F ( a ) l i m F ( a x ) = F ( a ) F ( a ) = 0
例. 设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数 ( 1 X 2 ) 及 P( X 1) 和 P
3 e 3 x x 0 解： X 的概率密度 f ( x ) x 0 0
P ( x X x ) xd )x 1 2 f(
x 1
3 P ( X 1 ) fx ( ) d x 3 e d x e 1 1 3 x
, 正 态 分 布 ， 记 为
2
X ~N ( ,2)
具有下述性质 fx :
正态分 布曲线
1
曲线 f x 关于 轴对称；
P μ X μ h P μ hX μ h 0
1 时 , 取最大值 f( ) 2 x 2
常见的连续型随机变量
1. 均匀分布
定义：若 随机变量 X的概率密度为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
f ( x)
1 b a
a
b
则称X在区间[ a, b]上服从均匀分布， 记作 X ～ U(a, b)
X的分布函数为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
b
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
f (x) （4）在 f (x) 的连续点 x 处， F(x)=
注:
（1）连续型随机变量 X 的分布函数F(x)处处连续. (2)连续型随机变量取任一指定实数值a 的概
P X = a=. 0 (3) 率均为0. 即
P X a F ( a ) l i m F ( a x ) = F ( a ) F ( a ) = 0
例. 设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数 ( 1 X 2 ) 及 P( X 1) 和 P
3 e 3 x x 0 解： X 的概率密度 f ( x ) x 0 0
P ( x X x ) xd )x 1 2 f(
x 1
3 P ( X 1 ) fx ( ) d x 3 e d x e 1 1 3 x
, 正 态 分 布 ， 记 为
2
X ~N ( ,2)
具有下述性质 fx :
正态分 布曲线
1
曲线 f x 关于 轴对称；
P μ X μ h P μ hX μ h 0
1 时 , 取最大值 f( ) 2 x 2
常见的连续型随机变量
1. 均匀分布
定义：若 随机变量 X的概率密度为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
f ( x)
1 b a
a
b
则称X在区间[ a, b]上服从均匀分布， 记作 X ～ U(a, b)
X的分布函数为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
连续型随机变量的概率分布
均匀分布的分布函数为 ：
0,
xa
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
1,
xb
如, 每隔10分钟发车一辆,乘客等车的时间 X~U(0,10) 读数采用四舍五入法,设最小刻度为1,则误差 Y~U(-0.5,0.5)
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例1: 某站点从8点到10点有一班车随机到达, 一 乘客9点到达车站。问他能坐上该班车的概率。
x2
e 2,
x
2
( ( x)为偶函数，其图形关于纵轴对称）
分布函数为:
x
(x)
1
t2
e 2 dt
2
性质： (i) (0) 0.5
(ii) ( x) 1 ( x)
(x)
由图形对称性
P(X x) P(X x)
( x) 1 ( x)
标准正态分布有表可查P254， 如
(0.3) 0.6179 (3) 0.9987
更一般的 P( X G) f ( x)dx
G
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（5）对连续型随机变量X，任给实数a,必有
P(X a) 0
0 P( X a) F (a) F (a x) x 0 0 注: 这表明求连续型随机变量落在一个区间上的概率 值时，不必考虑区间端点的情况。即
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
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(3) N (, 2)与N (0,1)的联系
定理：若X ~ N (, 2) , 则 X ~ N (0,1)
证明：设Z X 则Z的分布函数为:
FZ ( x)
P（Z
x）
P（X
x）
P{X x} FX ( x)
0,
xa
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
1,
xb
如, 每隔10分钟发车一辆,乘客等车的时间 X~U(0,10) 读数采用四舍五入法,设最小刻度为1,则误差 Y~U(-0.5,0.5)
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例1: 某站点从8点到10点有一班车随机到达, 一 乘客9点到达车站。问他能坐上该班车的概率。
x2
e 2,
x
2
( ( x)为偶函数，其图形关于纵轴对称）
分布函数为:
x
(x)
1
t2
e 2 dt
2
性质： (i) (0) 0.5
(ii) ( x) 1 ( x)
(x)
由图形对称性
P(X x) P(X x)
( x) 1 ( x)
标准正态分布有表可查P254， 如
(0.3) 0.6179 (3) 0.9987
更一般的 P( X G) f ( x)dx
G
上页 下页 返回
（5）对连续型随机变量X，任给实数a,必有
P(X a) 0
0 P( X a) F (a) F (a x) x 0 0 注: 这表明求连续型随机变量落在一个区间上的概率 值时，不必考虑区间端点的情况。即
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
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(3) N (, 2)与N (0,1)的联系
定理：若X ~ N (, 2) , 则 X ~ N (0,1)
证明：设Z X 则Z的分布函数为:
FZ ( x)
P（Z
x）
P（X
x）
P{X x} FX ( x)
§3、连续型随机变量及其分布
综上所述，即得随机变量X的分布函数为
0, 当x 0时 1 F ( x) x 2 , 当0 x 2时 4 1, 当x 2时
对F(x)求导数，可得 x 2时 f ( x) F ( x) 2 0, 其它
P{a X b} F (b) F (a ) b a .
x
x
x 2 a x 2 a x dx a x arcsin C . 2 2 a
2 2
2
8
③当
x x 1 时，
1
F ( x)
f (t )dt
2 0 1 t 2 dt 0 1 1;
注：积分 所以
1
1
1 1 t dt 12 为单位圆面积一半． 2
19
正态分布密度函数 图形曲线的几何性质： (1)概率密度曲线 关于 x =μ为轴对称； (2)密度函数的 最大值为
f max ( x ) f ( )
(3)在点 x±μ处有拐点，凸凹区间为 (, ), ( , ), ( ,); (4)概率密度曲线以 x 轴为水平渐近线． 参数μ (X的数学期望)是其位置参数；参数σ (X的均方差)是其形状参数．
注：分布函数F(x)的不可导点仅两个，……
6
【例1】设随机变量X的概率密度为
求X的分布函数． 【解】 注意到其概率密度 f(x)是分段函数，因此 根据其分段定义区间(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞)，分段 求其分布函数F(x)． ①当
x
2 1 x 2 , 1 x 1, f ( x) 其它, 0,
2.4 连续型随机变量的概率分布
p P{ X 10} 10
即： Y ~ B( 5, e 2 ).
1 e dx e 5
x 5
x 5 10
e 2
至少有一次未得到服务而离开的概率为：
P{Y 1} 1 P{Y 0}
1 C
0 5
e 1 e
2 0 2
a F ( x ) bx ln x cx d d
求：(1) 系数a，b，c，d ;
x1 1 x e xe
(2) X落在区间(2 , 3)内的概率。 (3) X的概率密度。
(1) 利用分布函数性质 F ( ) 1和 F ( ) 0 解： 以及连续型随机变量的分布函数的连续性计算
xe
xe
be e 1 1
由此得：a 0, b 1, c 1, d 1
0 F ( x ) x ln x x 1 1
x1 1 x e xe
(2)
P{2 X 3} F (3) F (2) 1 (2ln 2 1) 2 2ln 2
0 x
F ( x)
x
-
f ( t )dt
x 1 x 0
x 1
x
若x 1
-1 -
F( x )
0
x
-
f ( t )dt
1
= 0 dt -1 (1 t )dt 0 (1 t )dt 1 0 dt 1
所以
x
0 2 (1 x ) 2 F(x) 2 1 x x 2 2 1
(3)
f ( x ) F ( x )
连续型随机变量的分布函数
连续型随机变量的分布函数引言连续随机变量是概率论中的重要概念之一，其取值范围是一段连续的实数区间。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的分布函数是一个实函数，描述了随机变量取值小于等于某一实数的概率。
本文将介绍连续型随机变量的分布函数的定义、性质以及常见的连续分布函数。
一、连续型随机变量的分布函数定义在概率论中，对于一维连续型随机变量X，其分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)其中P为概率函数，表示X取值小于等于x的概率。
分布函数F(x)具有以下性质：1.F(x)是自变量x的单调不减函数；2.F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1；3.当x→负无穷时，F(x)→0；当x→正无穷时，F(x)→1。
二、连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)是分布函数F(x)的导数，即：f(x) = dF(x)/dx概率密度函数描述了连续型随机变量在不同取值下的概率密度。
概率密度函数具有以下性质：1.f(x)是非负函数，即对于所有x，有f(x)≥0；2.连续型随机变量所有可能取值的概率密度函数在取值范围上的积分等于1，即∫f(x)dx = 1。
通过概率密度函数可以计算出在某个区间内连续型随机变量的取值概率，即概率密度函数在该区间上的积分。
三、常见的连续分布函数1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型随机变量分布，其概率密度函数在一个区间内全等于常数，即：f(x) = 1/(b-a)，a≤x≤b，否则 f(x) = 0其中a和b是区间的上下界。
均匀分布的分布函数是线性的，在区间[a,b]内为0，在区间左侧小于a时为0，在区间右侧大于b时为1。
均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)²/12。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最具代表性的连续型随机变量分布之一，也称为高斯分布。
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1 e x , x 0 解 : X的分布函数为 F ( x ) 0, 其 他
P ( X c ) 1 P ( X c ) 1 F (c )
即 : 1 (1 e
c
1 1 ln 2 c ) e c 2 2
例2: (P72习题20)设某顾客在某银行窗口等待服务的 时间X（以分钟计）服从指数分布，其概率密度 为：
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二、几种重要连续型随机变量的分布
1、均匀分布 定义：若随机变量X的概率密度为 可能值
1 f ( x) b a 0
记为 X~U( a , b )
a xb 其它
则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．
均匀分布的含义是：随机变量X取区间(a , b) 内任何一点是等可能的。即X落入区间(a , b)内等 长度的子区间内的概率相同。 均匀分布的分布函数为 ：
p P ( X 10) 1 P( X 10) 1 F (10) e
(3)设Y为他5次去银行中未受到服务的次数，则
2
Y~B( 5, e )
(4)该顾客未受到服务的次数不少于1的概率为：
-2
P (Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 e 2 )5 0.5167
x 1 1 5 e ,x0 f ( x) 5 0, 其 他
该顾客的习惯是，等待时间超过10分钟便离开， 现知他一个月到银行5次，求他未受到服务的次 数不少于1次的概率。
1 x 1 e 5 , x 0 F ( x) 解 : (1) X的分布函数 0, 其他 (2)该顾客未受到服务的概 率为:
概率密度函数 f ( x )反映r.v.X落在
概率
x 处附近，
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单位长度所具有的概率。
从而得到
P ( x X x x )
F ( x x ) F ( x ) f ( x )x
概率微分
（4）连续型随机变量X的值落入区间 （ a , b ]内的概率
P (a X b) F ( b) F ( a)
求(1) P(0. 3 < X < 0.7) ; (2)X的概率密度f(x).
(1) P (0.3 X 0.7) F (0.7) F (0.3) 0.4 解：
2 x , 0 x 1 (2) f ( x ) F ( x ) 0, 其它
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例2 设连续型随机变量X的概率密度为：
0.7
0.3
( x )dx
2 xdx x
0.3
0.7
2 0 .7 0 .3
0 .4
( 3)F ( x ) ( t )dt
x
当 x 0 时，F ( x ) ( t )dt
x
x
0dt 0
当0 x 1 时，F ( x ) (t )dt
则称X服从参数为的指数分布.记作：X～E(θ )
1 e x , x 0 其分布函数 F ( x ) x0 0,
如, 电子元件的寿命 X~ E(θ)
例1：(P72习题18) 设随机变量X服从参数为θ 的指数 1 且P ( X c ) 分布， ，试确定常数c. 2
3、正态分布
(1) 一般正态分布: (2) 标准正态分布:
X ~ N ( , )
2
X ~ N (0, 1)
( 3) N ( , 2 )与N (0,1)的联系
(4) 标准正态分布的上α分位点
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(1) 一般正态分布: X ~ N ( , 2 ) 定义 若连续型随机变量X的概率密度为
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当 x 0 时，F ( x )
0
x
f (t )dt
x 1 t 1 t e dt e dt 2 0 2 1 x 1 0 t 1 x t e dt e dt 1 e 2 2 0 2
1 x 2e , x 0 F ( x) 1 x 1 e , x 0 2
, x
1 e 2
t2 2
( ( x )为偶函数，其图形关于纵轴对称）
分布函数为:
( x )
x
dt
性质：
( i ) (0)
( ii )
由图形对称性
( x ) 1 ( x )
( x)
0 .5
P( X x) P( X x)
（2）设观测值大于3的概率为p , 则
p P ( X 3)
5 3
1 2 f ( x )dx dx 33 3
5
(3)设Y为3次独立观测中观测值大于3的次数，则
2 Y ~ B( 3, ) 3
（4）至少有两次观测值大于3的概率为：
2 k 1 3 k P(Y 2) C ( ) ( ) 3 3 k 2
cx, 0 x 1 ( x) 0, 其他
求: (1) 常数c ; (2) P(0. 3 < X < 0.7) ;
(3)求分布函数F(x)并作图
(1)由 ( x )dx 1 解：
cxdx 1 c 2
0
1
(2) P (0.3 X 0.7)
( x ) 1 ( x )
标准正态分布有表可查P254， 如
(0.3) 0.6179
( 3) 0.9987
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例1: 设X ~ N (0,1), 试求 :
F ( x)
x
f ( t )dt
则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密 度函数，简称概率密度。 2说明 (1) 分布函数F(x)是连续函数. (因为F(x)是积分上 限函数) (2) f ( x )的性质
(i ) f ( x ) 0
( ii)
f ( x )dx 1
更一般的
b
a
f ( x )dx
P ( X G ) f ( x )dx
G
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（5）对连续型随机变量X，任给实数a,必有
P( X a) 0
0 P( X a) F (a) F (a x) 0
注: 这表明求连续型随机变量落在一个区间上的概率 值时，不必考虑区间端点的情况。即
x
0
0dt 2tdt x 2
0
x
当 x 1 时，F ( x ) (t )dt
x
0dt 2tdt 0dt 1
0 1
0
1
x
0, x 0 2 即F ( x ) x , 0 x 1 1, x 1
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例3 设连续型随机变量X的概率密度为：
f ( x) ce
求: (1) 常数c ;
x
, x
(2) P(0 < X <1) ;
(3)求分布函数F(x)
解：(1)由 f ( x )dx 1 ce dx 1
x
2
0
1 ce dx 1 c 2
极值：
f 最大 （）
1 2
（4）凹凸性：凸弧（-，+）
凹弧（-，-）（+，+）
1 拐点： ( x , y ) ( , e ) 2
1 2
（5）渐近线：y=0
(6)
１
2
1 21 1 2 2
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特点: 落在 附近的概率大 落在远离 的概率小 所以, 若对X进行观测, 大多数的观测值在 附近, 少数的观测值远离 ，呈现中间多， 两头少的格局 如，考试成绩，人的寿命，身高，家庭收入 等都服从正态分布
x 0
P (a X b) P (a X b)
P (a X b) P (a X b)
F (b) F (a )
b
a
f ( x )dx
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例1 已知连续型随机变量X的分布函数为：
x0 0, 2 F ( x) x , 0 x 1 1, x1
P ( X 9)
9
f ( x )dx
10 9
1 1 dx 2 2
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例2: 设随机变量X在区间[2 ,5]上服从均匀分 布。现对X进行3次独立观测，试求至少有两次
观测值大于3的概率。
解: (1) 因为X～U（2，5）, 故X的概率密度为
1 ,2 x5 f ( x) 3 0, 其他
k 3
3
2 2 1 20 3 2 3 C ( ) C3 ( ) 3 3 3 27
2 3
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例3 : 设X ~ U ( 0,10), 试求方程
x 2 Xx 1 0有实根的概率 .
解:
有实根 X 2 4 0
“X 2”或“X 2”
由题意X的概率密度为：
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
x
, 0为常数 , 则称X服从参数为µ，σ 的
正态分布，记作: X ~ N ( , 2 )
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概率密度f(x)的图形与性质
1 2
y
-
+
x
（1）定义域:（-，+） （2）对称性：关于x=对称 （3）单调性：在区间（- ，）单调上升， 在区间（，+）单调下降；