华师大版第14章勾股定理电子教材(课本)

第14章勾股定理

§14.1勾股定理

1. 直角三角形三边的关系

2. 直角三角形的判定

阅读材料勾股定理史话

美丽的勾股树

§14.2勾股定理的应用

小结

复习题

课题学习勾股定理的“无字证明”

第14章勾股定理

还记得2002年在北京召开的国际数学家大会（ＩＣＭ２００２）吗?在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标．

那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．

§14.1 勾股定理

1. 直角三角形三边的关系

本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系，让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺．

试一试

测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：

三角尺直角边a直角边b斜边c 关系

1

2

根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、b、c之间的关系．

图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积．即

AC2＋ＢＣ2＝ＡＢ2，

图14.1.1

这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?

试一试

观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝平方厘米；

正方形Q的面积＝平方厘米；

（每一小方格表示1平方厘米）

图14.1.2

正方形R的面积＝平方厘米．

我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是．

由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系．

做一做

在图14.1.3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立．

（每一小格代表1平方厘米）

图14.1.3

概括

数学上可以说明：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2，这种关系我们称为勾股定理．

勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．

例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）

图14.1.4

解如图14.1.4，在Rt△ＡＢＣ中，

ＢＣ＝２.１６米，ＡＣ＝５.４１米，

根据勾股定理可得

ＡＢ＝－ＢＣ

AC2

2＝2

2１６

.５≈４.９６（米）．

４１

.

－２

答：梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ约为4.96米．

练习

1. 在Rt△ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，ＢＣ＝a，AC＝b，∠B＝90°．（1）已知a＝6，b＝10，求c；

（2）已知a＝24，c＝25，求b．

2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?

试一试

剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形．

大正方形的面积可以表示为，又可以表示为．

对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．

图14.1.5 图14.1.6

用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的． 读一读

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．图14.1.7称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．图14.1.8是在北京召开的2002年国际数学家大会（ICM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就．

图14.1.7 图14.1.8 例2如图14.1.9，为了求出位于湖两岸的两点A 、 B 之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160米，ＢＣ长128米．问从点A 穿过湖到点B 有多远?

图14.1.9

解 如图14.1.9，在直角三角形ＡＢＣ中，

AC ＝１６０米， ＢＣ＝１２８米，

根据勾股定理可得 ＡＢ＝22BC AC -＝22128160-＝96（米）．

答： 从点A 穿过湖到点B 有96米．

练习

1. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ＡＢＣD的面积与周长．

2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?

（第1题）（第2题）

2. 直角三角形的判定

古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图14.1.10那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．

你知道这是什么道理吗?

图14.1.10

试一试

试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：

（1）a＝3，b＝4，c＝5；

（2）a＝4，b＝6，c＝8；

（3）a＝6，b＝8，c＝10．

可以发现，其中按（1）、（3）所画的三角形都是直角三角形，而按（2）所画的不是直角三角形．

在这三组数据中，（1）、（3）两组都满足a2＋b2＝c2，而组（2）不满足．以后我们会证明一般的结论：

如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

古埃及人所画的三角形的三边长恰好满足这样的关系，所以其中一个角是直角．

例 3 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直

角三角形：

（1）7，24，25；（2）12，35，37；（3）13，11，9．

解因为252＝２４2＋７2，

３７2＝３５2＋１２2，

１３2≠１１2＋９2，

所以根据前面的判定方法可知，以（1）、（2）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（3）的数为边长的三角形不是直角三角形．练习