直线的倾斜角与斜率导学案

直线的倾斜角与斜率导学
案
Prepared on 24 November 2020
3.1.1直线的倾斜角与斜率
【学习目标】
1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件。

2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3．能用公式和概念解决问题.
【重点】直线的倾斜角和斜率的应用，两条直线平行和垂直的条件。

【难点】斜率概念理解与斜率公式的灵活运用，启发学生, 把研究两条直线
的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．
一、自主学习
新知1：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做 .
关键：① ；② ；③ .
注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 .
试试：请描出下列各直线的倾斜角.
反思：直线倾斜角的范围
新知2：一条直线的倾斜角()2παα≠的 叫做这条直线的斜率.记为k= .
试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为
⑴当0o α=时，则k ；⑵当090o o α<<时，则k ；
⑶当90o
α=时，则k；⑷当0
90180o
α
<<时，则k .
新知3：已知直线上两点111222
(,),(,)
P x y P x y
12
()
x x
≠的直线的斜率公式：
k= .
练习：
1．已知直线的倾斜角(90)ο
αα≠，则直线的斜率为；已知直线上两
点
1122
(,),(,)
A x y
B x y且
12
x x
≠，则直线的斜率为 .
2. 若直线l过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l的斜率为 ,倾斜角为 .
3．斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则a、b的值分别为 .
4．已知
12
,l l的斜率都不存在且
12
,l l不重合，则两直线的位置关系 . 5．已知一直线经过两点(,2),(,21)
A m
B m m
--，且直线的倾斜角为60ο，则m= .
问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直．
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为，两直线位置
关系是 .
(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为，两直线的位置关系是 .
问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线
1
l和
2
l的斜率为
1
k和
2
k.
两条直线平行的情形．如果
2
1
//l
l，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗
新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那
么它们的斜率；反之，如果它们的斜率相
等，则它们，即
12
//
l l
注意，上面的等价是在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．
两条直线垂直的情形.如果
12
l l
⊥，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗
新知2：两条直线都有斜率，如果
它们互相垂直，则它们的
斜率；反之，如果它
们的斜率，则它们互相垂直.
即
12
l l
⊥
二、典型例题
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并
判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
动手试试
练. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴(2,3),(1,4)A B -； ⑵(5,0),(4,2)A B -.
例2、已知(2,3),(4,0),(3,1),(1,2)A B P Q ---，试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并
证明你的结论.
例3．已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2),
D(2,3), 试判断四边形ABCD 的形状,并给出证明.
例4．已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB 与PQ 的位置关系.
例5.已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC 的形状.
三、总结提升
（一）学习小结
1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是 .
2.直线斜率的求法：⑴ ；⑵ ；⑶ 当直线的倾斜角90ο
α= 3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：
1212//l l k k ⇔=12,l l 5．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.
(二) 课堂检测
1. 下列叙述中不正确的是（ ）.
A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角
C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o 或90ο
D ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
2. 经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的倾斜角（ ）.
A ．45ο
B ．135ο
C ．90ο
D ．60ο
3. 过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ).
.4 C 或3 或4
4. 下列说法正确的是（ ）.
A ．若12l l ⊥，则121k k =-
B ．若直线12//l l ，则两直线的斜率相等
C ．若直线1l 、2l 的斜率均不存在，则12l l ⊥
D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行
5. 经过(,3)m 与(2,)m 的直线l 与斜率为4-的直线互助垂直，则m 值为（
）. A ．75- B ．75 C ．14
5- D ．14
5。