第四章 矩阵的标准型 矩阵理论课件
高等代数矩阵的标准型91λ矩阵的等价与法式课件
91λ矩阵标准型的每一行和每 一列只有一个非零元素，而法 式的每一行和每一列只有一个
主元。
法式中的主元位置对应于91λ 矩阵标准型中的非零元素位
置。
91λ矩阵标准型的非零元素位 置可以通过行列式因子确定， 而法式的主元位置可以通过主
元因子确定。
91λ矩阵标准型与法式的应用场景比较
91λ矩阵标准型在矩阵理论、线性代数和数值分析等领域有广泛应用，特别是在求解线性方程组和计算 行列式值等方面。
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SUMMAR Y
02
91λ矩阵的等价性
91λ矩阵的定义与性质
1
91λ矩阵是一个n×n矩阵，其元素由0、1和λ（一 个非零常数）组成。
2
91λ矩阵具有特定的性质，如行列式为0或无穷大 ，特征多项式为λ^n或0等。
3
91λ矩阵的子矩阵和经过有限次初等行变换或初 等列变换后，得到的矩阵仍然是91λ矩阵。
01
高等代数矩阵的标准型
定义与性质
定义
矩阵的标准型是指经过有限次初等行 变换或初等列变换，将一个矩阵化为 某种特定形式。
性质
标准型矩阵具有唯一性，即同一矩阵 经过不同的初等变换可能得到不同的 标准型矩阵，但其标准型阵
下三角矩阵
对角矩阵
循环矩阵
主对角线以下元素全为0 的矩阵。
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SUMMARY
高等代数矩阵的标准 型91λ矩阵的等价与 法式课件
目录
CONTENTS
• 高等代数矩阵的标准型 • 91λ矩阵的等价性 • 91λ矩阵的法式 • 91λ矩阵标准型与法式的关系
矩阵的标准形
矩阵的标准形矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
而矩阵的标准形则是对矩阵进行特征分解的一种形式，通过标准形可以更好地理解和描述矩阵的性质和特点。
本文将介绍矩阵的标准形及其相关概念。
首先，我们来看一下矩阵的定义。
矩阵是由m行n列元素组成的矩形数组，通常表示为A=[aij]m×n。
其中，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵可以进行加法、数乘和乘法等运算，具有很强的代数性质。
接下来，我们介绍矩阵的相似性。
两个n阶矩阵A和B称为相似矩阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P-1AP=B。
相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。
相似矩阵在矩阵的相似变换和对角化等问题中有着重要的作用。
然后，我们引入矩阵的特征值和特征向量。
设A是n阶矩阵，如果存在一个数λ和一个非零向量X，使得AX=λX成立，则称λ是矩阵A的特征值，X是对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以帮助我们理解矩阵的变换规律和特征。
接着，我们介绍矩阵的对角化。
对角化是一种重要的矩阵相似变换，通过对角化可以将一个矩阵化为对角矩阵的形式。
具体地，设A是n阶矩阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P-1AP=Λ成立，其中Λ是对角矩阵，则称矩阵A是可对角化的。
对角化可以简化矩阵的运算和分析，是线性代数中的一个重要概念。
最后，我们来介绍矩阵的标准形。
设A是n阶矩阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P-1AP=J成立，其中J是特殊形式的矩阵，则称J是矩阵A的标准形。
常见的标准形包括实标准形、实规范形、实若当形、复标准形等。
不同的标准形反映了矩阵的不同性质和结构，对于矩阵的分析和运用具有重要的意义。
总之，矩阵的标准形是矩阵理论中的一个重要内容，它可以帮助我们更好地理解和描述矩阵的性质和特点。
通过对矩阵的特征值、特征向量、相似性和对角化等概念的理解，我们可以更深入地研究矩阵的标准形及其应用。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
矩阵理论矩阵的标准型(ppt)
定义 3.1 设有 n 阶 –矩阵 A( ) 、 B( ) ，若可使 A( )B( ) B( )A( ) En
成立，则称 A( ) 为可逆的， B( ) 称为 A( ) 的逆矩 阵，记为 A1( ) ． 满秩的 –矩阵不一定可逆．
定理 3.1 n 阶 –矩阵 A( ) 可逆的充要条件是 A( ) 的行列式是一个非零常数．
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，
加到第 i 行（列）上．
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
还可注意到,如果两个 –矩阵等价,则其秩相等;反之则不然. 这也是 –矩阵与数字矩阵的不同之处.例如:
A(
)
0
1 1
,
B(
)
1 0
1
的秩相等,但不等价.
定理 3.3 若 rank(A()) r ，则
d1()
d2()
A()
D()Biblioteka dr ()00
其中 di ( ) | di1( ) ， i 1, 2, , r 1 (依次相除性)， di ( ) 为首 1 多项式， i 1, 2, , r . D( )为 A( ) 的等价标准形，称为 Smith 标准形.
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
由此可知 n 阶 -矩阵的 Smith 标准形唯一.
矩阵标准形
• 2.1 特征阵及其Smith标准形
• 2.1.1 特征矩阵
④多项式矩阵：对于多项式矩阵A(λ)=R(或C)[λ]m×n，行列式、子式、伴随矩 阵及分块等概念以及运算法则与常数矩阵相同，而以下概念有所不同。 1）多项式矩阵A(λ)的秩：A(λ)中有一个r阶子式（r≤min{m,n}）为非零多项 式（不恒为0），而一切r+1阶子式为0，则A(λ)的秩为r=rankA(λ)。 2）非奇异方阵（满秩的）：A为n阶方阵，detA(λ)不恒为0，即 rankA(λ)=n，显然，对于n阶方阵特征矩阵λE－A的秩为n，显然特征矩阵时 满秩的。 3）可逆矩阵：A(λ)为n阶方阵，若存在n阶方阵B满秩A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=E， A(λ)为可逆的（单模态的）。 ⑤多项式矩阵可逆的条件 1）必要条件：A(λ)∈K[λ]n×n可逆，则A(λ)必非奇异(满秩)； 2）充要条件：A(λ)∈K[λ]n×n可逆等价于detA(λ)为非零常数c。 1 即 det A( ) c 0, A1 ( ) adjA( )
设n阶方阵a是hermite矩阵则有iiiiii都是实数即的主对角元素axax相应有正交即不同特征值的特征向量对应于axax对任意矩阵hermite矩阵与正规矩阵的关系的特征值为实数为正规矩阵且矩阵的充分必要条件为征值为实数前面已证矩阵为正规矩阵且特
• 2.1 特征矩阵及其Smith标准形
• 2.1.1 特征矩阵 • ①定义：对于常数矩阵A=[aij]∈Cn×n，λ∈C，则A的特征矩阵 为λE－A，即 a11 a11 a1n
• ④矩阵可对角化的另一充要条件：λE－A的初等因子均为一次方幂。
• 2.3 矩阵的相似标准形
• 2.3.2 Jordan标准形 • ⑤应用：可见确定一个矩阵的相似形需先确定其特征矩阵λE－A的初等因子 组。
矩阵的标准形
矩阵的标准形矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在矩阵的研究中，矩阵的标准形是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
本文将介绍矩阵的标准形，包括矩阵的相似性和相似对角化等内容。
矩阵的相似性。
两个矩阵A和B被称为相似的，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P^(-1)AP。
相似的矩阵具有许多相似的性质，它们有相同的特征值和特征向量。
矩阵的相似性是矩阵理论中的一个重要概念，它可以帮助我们简化矩阵的运算和分析。
矩阵的相似对角化。
如果一个矩阵A相似于对角矩阵D，即存在可逆矩阵P，使得D=P^(-1)AP，那么我们称矩阵A是相似对角化的。
相似对角化的矩阵具有非常简单的形式，它们可以更容易地进行运算和分析。
相似对角化的矩阵在线性代数和矩阵分析中有着重要的应用，它们可以帮助我们解决许多实际问题。
矩阵的标准形。
矩阵的标准形是指通过相似变换将一个矩阵化为特定形式的过程。
常见的矩阵标准形包括，对角形、黎曼标准形、若尔当标准形等。
矩阵的标准形可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质，从而简化矩阵的运算和分析。
不同的标准形对应着不同的矩阵性质，它们在不同的领域有着广泛的应用。
总结。
矩阵的标准形是矩阵理论中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
通过相似变换，我们可以将一个矩阵化为特定的标准形，从而简化矩阵的运算和分析。
矩阵的标准形在数学和工程领域中有着广泛的应用，它们是矩阵理论中的重要内容之一。
希望本文对矩阵的标准形有所帮助，让读者对矩阵理论有更深入的理解和认识。
矩阵分析与计算--04-矩阵分解-01-Jordan标准型
则 A( ) 的 k 级行列式因子为
Dk ( ) d1 ( )d 2 ( ) d k ( ), k 1,2, r.
26
2）（定理4） 矩阵的Smith标准形是唯一的. 证：设 矩阵 A( ) 的标准形为
A( ) 与C ( ) 等价.
16
2) A( )与 B( ) 等价 存在一系列初等矩阵
P1 PS , Q1 Qt 使 A( ) P1 PS B( )Q1 Qt .
17
七、λ－矩阵的对角化
都等价于下列形式的矩阵
d1 ( ) d 2 ( )
19
1 2 1 1 2 0 [1,3] 1 3 1 1 2 1 2 1 1 3 1 0 2 0 3 2 0 0 1 2 0 [21(2 1),[31( 1)]] 0 3 2
2.（定理2）任意一个非零的 s n 的 一矩阵 A( ) 称之为 A( )的 Smith标准 形.
d r ( )
0
0
其中 r 1, d i ( ) ( i 1,2, 多项式，且
, r ) 是首项系数为1的
d i ( ) d i 1 ( ) ( i 1,2,
1
( )
1
i行 j行 1
14
② 初等矩阵皆可逆.
p( i , j )1 p( i , j )
p( i (c ))1 p( i ( 1 c ))
p( i , j( ( ))) p( i , j( ( )))
矩阵理论第四章
1. Hermite 矩阵的谱分解
设 A 为 Hermite 矩阵，则存在酉矩阵 U ，使
1
O
U H AU
2
.
O
n
将U 写成列向量形式，即U u1 u2 ... un ，则
2. 非奇异矩阵的酉对角分解
定理 5.5.1 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 则存在 n 阶酉矩阵U 及V ，使得
A( 2 )
L-21A(1 )
0
a( 0 ) 12
a( 1 ) 22
0
a( 0 ) 13
a( 1 ) 23
a( 2 ) 33
a( 2 ) n3
a( 0 1n
a(1 2n
) )
a( 2 3n
)
a( 2 nn
)
即 A(1) L2 A( 2 )
依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到
则
A
的
r
阶顺序主子式 r
于是
A
P1
E 0
mr
E
0 Q1. rn
记
P
1
E 0
F
,E
0Q1 G.
则 F 为列满秩矩阵， G 为行满秩矩阵,得
A FG .
证毕
显然,满秩分解是不唯一的.
事实上 D Crrr （ r 阶可逆方阵），
则 A FG F (DD-1)G (FD)(D-1G) F1G1，
且 F1 Crmr ,G1 Crrn .
第四章 矩阵分解
所谓矩阵分解，就是将一个矩阵写 成结构比较简单的或性质比较熟悉 的另一些矩阵的乘积．
即可将 A0 第 1 列上从第 2 到第 n 个元素全化为零．
得
a(0) 11
高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-4
立即可得,
a11 a 21 * AA a n1 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn A1 1 A 2 1 A1 2 A 2 2 A1 n A 2 n
d 0 0 0 d 0 dE . 0 0 d数学与计算科学学院 2012-9-22 §4.4 矩阵的逆
AB A 2B
求矩阵B．
解：由
，得 ( A
2 E ) B A ，又
2 3 3 A 2 E 1 1 0 2 0 1 2 1
A 2E
可逆，且
(A 2E )
1
1 1 3 3 1 1 3 2 1 1 1
0 3 3 1 B ( A 2 E ) A 1 2 3 1 1 0
数学与计算科学学院
1 1 E 1
A
1
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
三、逆矩阵的运算规律
1 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 A
1 1 1
A.
2 若 A 可逆 , 数 0 , 则 A 可逆 , 且
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
X A CB
1
1
.
数学与计算科学学院
3. 矩阵积的秩
定理4
A s n ,
若 Ps s , Q n n 可逆，则
R( A) R( PA) R( AQ ) R( PAQ )
证： 令
B PA,
由定理2， R ( B ) R ( A ),
数学与计算科学学院
矩阵的标准形式
矩阵的标准形式矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在矩阵的运算中，标准形式是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和处理矩阵的性质和特点。
本文将介绍矩阵的标准形式，包括矩阵的相似对角化和矩阵的特征值分解等内容。
首先，我们来介绍矩阵的相似对角化。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP是一个对角矩阵D，那么我们称矩阵A和D是相似的，而矩阵P就是相似变换矩阵。
这种对角化的形式称为相似对角化，它可以帮助我们简化矩阵的运算和分析，更好地理解矩阵的性质。
其次，我们来介绍矩阵的特征值分解。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP是一个对角矩阵D，那么我们称D的对角元素就是矩阵A的特征值，P的列向量就是矩阵A的特征向量。
特征值分解可以帮助我们将一个复杂的矩阵分解成特征值和特征向量的形式，从而更好地理解矩阵的性质和特点。
在实际应用中，矩阵的标准形式可以帮助我们简化计算，解决实际问题。
比如在物理学中，矩阵的标准形式可以帮助我们求解线性系统的稳定性和动态特性；在工程学中，矩阵的标准形式可以帮助我们分析控制系统的性能和稳定性；在金融学中，矩阵的标准形式可以帮助我们分析投资组合的风险和收益。
可以说，矩阵的标准形式在各个领域都有着重要的应用和意义。
总之，矩阵的标准形式是线性代数中的重要概念，它可以帮助我们更好地理解和处理矩阵的性质和特点。
通过相似对角化和特征值分解，我们可以将一个复杂的矩阵简化成更容易处理和分析的形式，从而更好地解决实际问题。
希望本文的介绍可以帮助读者更好地理解矩阵的标准形式，更好地应用于实际问题中。
矩阵理论第四章 矩阵的标准形
β = (0,1, −1)
T
综合上述， 综合上述，可得
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
例 4
标准型理论求解线性微分方程组 用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组 标准型理论求解
T
−1 1 0 A = −4 3 0 1 0 2
由上例，存在可逆线性变换 x = P y 使得 由上例，存在可逆线性变换
P −1 AP = J A
其中
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
(1) ij
A−λi I
A−λi I
A−λi I
其中， p 其中，
( j = 1, 2, ⋯ , k i ) 是矩阵 A 关于特征 ( ni j ) (2) 的一个特征向量， 值 λ i 的一个特征向量， p i j , ⋯ , p i j 则称为 λ i ( ni j ) 广义特征向量,称 根向量。 为 λ i 的 ni j 级根向量。 的广义特征向量 称 p i j
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即
d y3 d y1 d y2 = 2 y1 , = y2 + y3 , = y3 dt dt dt
解得
y1 = c1e , y2 = c2e + c3 t e , y3 = c3e ,
−1 1 0 −4 3 0 A= 1 0 2
解： A 特征值为 λ`1 = 2, λ`2 = λ`3 = 1 ，所以设
矩阵理论 矩阵的标准型
ai bj
Hale Waihona Puke i jkdeg( f ( x)g( x)) deg f ( x) deg g( x)
7
GEM
运算规律:
(1) 交换律：f (x)g(x) g(x) f (x) (2) 结合律: ( f (x)g(x))h(x) f (x)(g(x)h(x))
(3) 分配律: f (x)(g(x)h(x)) f (x)g(x) f (x)h(x) (4) 消去律：若 f ( x)h( x) g( x)h( x), h( x) 0
2
GEM
定义. 设 f (x) , g( x) F[x]
f ( x) an xn an1 xn1 L a1 x a0 g( x) bm xm bm1 xm1 L b1 x b0 若其同次项的系数都相等，即 ai bi , i 0
则称 f(x)与 g(x)相等，记作 f(x)= g(x)。
若 an 0, 则称 an xn 为 f ( x) 的首项，an为首项系数， n 称为 f (x)的次数，记作 deg f (x) 或 f (x). 零多项式次数定义为 0.
3
GEM
多项式加法
为了方便起见，设 n m, bn bm1 0
f (x) g(x) (an bn )xn (an1 bn1 )xn1 L (a1 b1 )x (a0 b0 )
n
(ai bi )xi i0
deg( f ( x) g( x)) max{deg f ( x),deg g( x)}
4
GEM
运算规律:
(1) 交换律：f (x) g(x) g(x) f (x) (2) 结合律: ( f (x) g(x))h(x) f (x)(g(x)h(x)) (3) 零元素：f ( x) 0 f ( x) (4) 负元素: f (x)( f (x))0
第四章 矩阵的相似标准形
第四章 矩阵的相似标准形复方阵在相似意义下的标准形——Jordan 标准形（B A B AP P ~1⇔=-）。
第一节 特征值 特征向量如果存在任意的一组基n ααα,,,21 ，使=),,,(21n f ααα ),,,(21n ααα ),,,(21n d d d d ，则n i d f i i i ,,2,1,)( ==αα。
定义1.1 设),hom(V V f ∈，V 为数域F 上的线性空间，若存在F ∈λ以及非零向量V ∈ξ，使得 λξξ=)(f则称λ是线性变换f 的特征值，ξ为f 对应于特征值λ的特征向量。
例如：1 是恒等变换I 的特征值；0是零变换O 的特征值，一切非零向量都是他们的特征向量。
设V 为n 维线性空间，n ααα,,,21 为V 的一组基，f 在该组基下的矩阵为A ，ξ的坐标向量为X ，则)(ξf 的坐标向量为AX ，于是存在0≠ξ，使得⇔=λξξ)(f 存在0≠X ，使得⇔=X AX λ存在0≠X ，使得⇔=-0)(X I A λ0=-A I λ。
因此，f 的特征值即是特征方程0=-A I λ在数域F 上的根；特征值λ对应的特征向量ξ的坐标向量X 就是齐次线性方程组0)(=-X A I λ的非零解。
定义1.2 设n n C A ⨯∈，n 次多项式0)(=-=A I C λλ称为矩阵A 的特征多项式；称0)(=-=A I C λλ的根为矩阵A 的特征值，记矩阵A 的特征值集为)(A λ；称满足X AX λ=的非零向量X 为矩阵A 的特征向量（属于特征值λ）。
定理1.1 若B A ~，则A 与B 有相同的特征多项式。
证 由B A ~知，B AP P =-1，于是A I AP P I B I -=-=--λλλ1。
定理1.2 设n n ij a A ⨯=)(，则∑=--+=-nk k n k k nb A I 1)1(λλλ。
其中A b k =的所有k 阶主子式之和，特别)(1A tr b =，A b n =。
矩阵的标准型分解课件
满秩分解法是将一个矩阵分解为一个或多个秩为1的矩阵的乘 积的方法。通过这种方法，可以将一个复杂的矩阵问题转化 为多个简单的问题，便于分析和计算。满秩分解在数值分析 、线性代数等领域有广泛应用。
约当标准型分解法
总结词
将矩阵通过一系列行变换和列变换化为 约当型，得到标准型分解。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
约当标准型分解法是将一个矩阵通过一系 列行变换和列变换化为约当型的方法。约 当型是一种特殊形式的矩阵，其特点是每 一对角线上的元素都是非零的，且其他位 置上的元素都为零。约当标准型分解在解 决线性方程组、判断矩阵是否可逆等问题 中有广泛应用。
应用广泛
在许多领域中，如线性代 数、数值分析、控制论等 ，标准型分解都发挥着重 要的作用。
矩阵标准型分解的历史背景
早期研究
矩阵的标准型分解思想可 以追溯到19世纪末，当时 数学家开始研究矩阵的分 解问题。
关键进展
20世纪初，数学家如埃尔 米特、嘉当和克莱因等做 出了重要贡献，推动了标 准型分解理论的发展。
各个元素。
三阶矩阵的标准型分解实例
总结词
通过三阶矩阵的实例，进一步展示标准型分 解的复杂性和计算技巧。
详细描述
选取一个三阶矩阵B，对其进行一系列初等 行变换和初等列变换，将其化为标准型矩阵 。在变换过程中，详细解释每一行变换的步 骤和计算方法，以及如何得到标准型矩阵的
各个元素。
高阶矩阵的标准型分解实例
性质
标准型分解具有唯一性，即对于同一个矩阵，其标准型分解是唯一的。此外， 标准型分解还具有可交换性，即矩阵的乘法运算和标准型分解的顺序可以交换 。
矩阵标准型分解的重要性
01
02
高等代数课件--第四章 矩阵§4.2 矩阵的运算
为反对称矩阵；A可表示为一个对称矩
阵与一个反对称矩阵之和。
例4 A反对称，B对称．证明： 1）A2对称．2）ABBA对称； AB+BA反对 称． 3）AB反对称的充要条件为 AB=BA． 例5 A为n级实对称矩阵,且A2＝0,证明:A=0。
§4.2 矩阵的运算
一、加法
1. 定义
设A=(aij)sn, B=(bij)sn 则矩阵
C = (cij)sn=(aij+bij)sn 称为矩阵A与B的和，记作 C=A+B．
2．性质
1）交换律 2）结合律 3） A+0=A 4） A+(A)=0 A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C )
3．减法：A B= A+(B)
1. 定义
设A=(aij)sn, kP, 记矩阵
B = (kaij)sn 称B为矩阵A与k的数量乘积，记作 B=kA．
2．性质：
1) (k+l)A=kA + lA 2) k (A+B)= kA + kB 3) k(lA)=(kl)A 4) 1A=A
5) k (AB)= (kA)B= A(kB)
6) 若A是n级方阵，则|kA|=
(AB)k与AkBk 是否相等？如果不等，
又需要添加什么条件？
7) 对于两个n级矩阵A, B,当AB=0时， R(A) + R(B) n 8) 对于n级矩阵A, 当A2=0时，
R(A+E) + R(AE) = n
9) 对于n级矩阵A, 当A2=A时， R(A) + R(AE) = n三、数量乘法（数乘） Nhomakorabea 性质：
第四章 矩阵的标准型 矩阵理论课件
最后，根据 J j ( i ) 的结构，设
p ij (p i(1 j),p i(2 j), ,p i(n jij))
由 A pij pijJj( i)，可知
(
A
i
I
)
p
( i
1 j
)
(
A
iI
)
p
( i
2 j
)
p
( i
1 j
)
(
A
iI
)
p ( ni ij
j
)
p ( ni j 1) ij
解这个方程组，可得到Jordan链
求下列状态方程的约当标准型：
0 1 0 0 xAxBu0 0 1x0u.
2 3 0 1
|IA | 3 0 2 3 2 .
故矩阵 A 称为特征多项式 | I A| 的友矩阵。
解： A
的特征值为 `12, `2`31，故设
JA
A1(2)
A2(1)
因为特征值 `1 2 为单根，所以 A1(2) 2
i 1
Ji(i)
i
, i 1,2, ,s 1
i mimi
为 m i 阶Jordan 块。
定理 2 设 ACnn。如果 A 的特征多项式可
分解因式为 () ( 1 ) m 1 (s ) m s
( m 1 m 2 m s n )
则 A 可经过相似变换化成唯一的 Jordan标准型 J (不计Jordan块的排列次序)，即存在可逆矩阵(称为
并从 (A2I)x解得对应的特征向量为
1 (1,2,4)T
对于二重特征值 `2,3 1 ，由 (AI)x
只解得唯一的特征向量为
2 (1,1,1)T
标准型矩阵的定义
标准型矩阵的定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊标准型矩阵。
这玩意儿啊，就像是一个独特的小世界。
你看啊，矩阵就好像是一个排列整齐的队伍。
标准型矩阵呢，那就是这个队伍经过精心编排后的样子。
它有着特定的规则和形式，可不能乱来哟！想象一下，一个矩阵里的元素就像是一群小伙伴，它们都有着自己的位置和作用。
在标准型矩阵中，这些小伙伴们都乖乖地站在自己该站的地方，整整齐齐，一目了然。
标准型矩阵有啥特别的呢？它能让我们更清楚地看到矩阵的本质和特点呀！就好像是透过一层迷雾，一下子看清了事物的真面目。
比如说，通过标准型矩阵，我们能快速了解一个线性变换的关键信息，这多厉害呀！那怎么才能把一个矩阵变成标准型矩阵呢？这可就像是一场变形记啦！我们要运用各种奇妙的方法和技巧，就像魔法师挥动魔法棒一样，把矩阵变得符合标准型的要求。
这过程可不简单哦！需要我们细心、耐心，还得有那么一点点的智慧和灵感。
有时候可能会遇到一些小麻烦，就像路上的小石子，但咱可不能被它们绊倒，得勇敢地跨过去。
你说，要是没有标准型矩阵，那我们研究矩阵的时候得多混乱呀！就像没有指挥的乐队，乱成一团。
但有了标准型矩阵，一切都变得井井有条，有章可循。
它就像是黑暗中的一盏明灯，为我们指引着方向。
让我们在矩阵的海洋中不至于迷失，能找到属于自己的路。
而且啊，标准型矩阵在很多领域都有大用处呢！在数学里，它是解决问题的得力助手；在工程中，它能帮助工程师们设计出更优秀的产品；在计算机科学中，它也发挥着重要的作用。
总之，标准型矩阵可真是个宝贝呀！我们可得好好认识它、了解它、掌握它。
让它为我们的学习和工作带来更多的便利和惊喜。
难道不是吗？所以啊，大家可别小瞧了这个看似普通却又无比重要的标准型矩阵哟！。
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V=
0 0.4082 0.4082 0 0.8165 0.8165
1.0000 -0.4082 -0.4082 不能正确算出广
D=
义特征向量！！
200 010 001
%ex401.m（续）
A=[-1 1 0;-4 3 0; 1 0 2]; [P,J]= jordan(A) %使用内置的jodan函数
2 J1(1) (n11 1)
2
1 2
J2(1) (n12 2)
21 21
A1( 1 )
2
1 2
J ( )
1
2
31
(n13 5)
p p 1 ( 1 1 )p 1 ( 1 2 ) p 1 ( 2 2 ) p 1 ( 1 3 ) p 1 ( 3 2 ) p 1 ( 3 3 ) p 1 ( 3 4 ) p 1 ( 3 5 ) 1
i 1
Ji(i)
i
, i 1,2, ,s 1
i mimi
为 m i 阶Jordan 块。
定理 2 设 ACnn。如果 A 的特征多项式可
分解因式为 () ( 1 ) m 1 (s ) m s
( m 1 m 2 m s n )
则 A 可经过相似变换化成唯一的 Jordan标准型 J (不计Jordan块的排列次序)，即存在可逆矩阵(称为
适当选取每个子空间 N i 的基（称为Jordan基）， 则每个子空间的Jordan基合并起来即为 V 的Jordan
基，并且 V 在该Jordan基下的矩阵为块对角阵 J d i a g ( J 1 ( 1 ) , J 2 ( 2 ) ,, J s ( s ) )
称 J 为 A 的Jordan标准型。并称方阵
做可逆线性变换 x P1 x ，则
xP1xP1APP1xP1Bu
AxBu
yCPxDuCxDu
显然，最简单的 A 就是 A 的Jordan标准型。此时
虽然没有实现状态变量间的完全解耦，但也达到了可
能达到的最简耦合形式。因此线性变换就是状态空间
的基底变换，其目的在于寻找描述同一系统的运动行
为的尽可能简单的状态空间描述。
值 i 的一个特征向量，
的广义特征向量,称
p
( i
n j
i
j
)
pi(2j),
为 i
,
p(ni j ij
)
则称为
i
的 n i j 级根向量。
当所有的 n i j 1 时，可知 k i n i ，此时矩阵没
有广义特征向量， p i 的各列是 i 的线性无关的特
征向量，因此Jordan块 J j(i)(j 1 , ,k i;
P= 0 -2 1 0 -4 0 -1 2 1
正确算出广义特 征向量！！
J= 200 011 001
例 4 用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组
d x1 dt
x1
x2
d d
x2 t
4 x1
3 x2
d x3 dt
x1
2 x3
解： 方程组的矩阵形式为
dx Ax dt
这里 x(x 1,x 2,x 3)T ,d d x t(d d x t1,d d x t2,d d x t3)T ,
(A(1)I)x解得两个特征向量为
2 ( 1 ,0 ,0 , 1 ) T ,3 ( 0 ,1 ,0 , 1 ) T
因此A 2 ( 1 ) 中有两个Jordan块，即
1 1 1
A2(1)
1 或 1
1 1 1
求解 (A+I)2，无解！！
求解 (A+I)3，可得所需的广义特征向量
(1， 0,1,0)T
i1, , t)都是一阶的，此时Jordan标准型为
J d ia g (1 , ,1 ,2 , ,2, ,t, ,t)
n 1
n 2
n t
即矩阵 A 是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最
特殊的可对角化矩阵。
例 3 求矩阵 A 的 Jordan标准型 J A 和相应的
Jordan变换矩阵 P ，其中
个
i
阶数为 n i j ( n i 1 n i 2 n i k i n i ) 的
Jordan块，即 A i ( i ) d i a g ( J 1 ( i ) , J 2 ( i ) ,, J k i ( i ) )
根据 J A 的结构，将Jordan变换矩阵 P 列分块为
P (p 1 ,p 2 , ,p t) 其中 p i 是 n n i 阶的矩阵。 由 APPJA ，可知
A p i p iA i(i)( i 1 ,2 ,,t)
进一步，根据 A i ( i ) 的结构，将 p i 列分块为
p i (p i1 ,p i2 , ,p ik i)
其中
p ij(j 1 ,2 ,
,k i)是 n ni
阶矩阵。
j
由 Api piA i(i) ，可知
A p ij p ijJ j(i)( j 1 ,2 ,,k i)
Jordan变换矩阵 P ，其中
2 1 1 1
A
2
1
3
2
1 1 0 1
1
1
2
2
解： A 的特征值为 `1 0 ,`2`3`4 1 ，则
JA
A1(2)
A2(1)
因为特征值 `1 0 为单根，所以 A1(0) 0
并从 (A0I)x解得对应的特征向量为
1(1,3,1,2)T
对于三重特征值`2`3`41，由
p 11
p 12
p 13
原理分析：
把 A 的同一个特征值的若干个Jordan块排列在一起，
就得到Jordan标准型 J A d i a g ( A 1 ( 1 ) , A 2 ( 2 ) ,, A t ( t ) )
(n 1 n 2 n t n )
其中 A i ( i ) 是 n
i
阶的Jordan子矩阵，有 k
要特别当心的是，如果选取三重特征值`2`3`41
解得
y 1 c 1 e 2 t,y 2 c 2 e t c 3 te 2 t,y 3 c 3 e t,
最后，由可逆线性变换 x P y 得原方程组的解
xx12
c2et c3t et 2c2et c3(2t
1)et
x3 c1e2t c2et c3(t 1)et
%ex402.m 用dsolve求解符号微分方程组 syms t x1 x2 x3 %声明符号变量
1 1 0
A
4
3
0
1 0 2
由上例，存在可逆线性变换 x P y 使得
P1APJA
其中
0 1 0
2 0 0
P0 2 1, JA0 1 1
1 1 1
0 0 1
所以原方程组变为
d dy tP 1d dx tP 1A xP 1A PyJAy
即 d dy t12y1, d dy t2y2y3, d dy t3y3
因此 A 2 ( 1 ) 中只有一个Jordan块，即
1 1
A2
(1)
0
1
求解 (AI)2，可得所需的广义特征向量
(0,1,1)T
综合上述，可得
0 1 0
2 0 0
P0 2 1, JA0 1 1
1 1 1
0 0 1
%ex401.m
A=[-1 1 0;-4 3 0; 1 0 2]; [V,D]= eig(A) %应该使用内置的jodan函数
Jordan变换矩阵) PCnn 使
P1APJ
APJP 或者 A 有Jordan分解
1
二、 Jordan标准型的一种简易求法
2
21
2
21 21
A1( 1 )
21
2 1
2
p 1 ( 1 1 )p 1 ( 1 2 )p 1 ( 2 2 )p 1 ( 3 1 )p 1 ( 3 2 )p 1 ( 3 3 )p 1 ( 3 4 )p 1 ( 3 5 ) p 1
并从 (A2I)x解得对应的特征向量为
1 (1,2,4)T
对于二重特征值 `2,3 1 ，由 (AI)x
只解得唯一的特征向量为
2 (1,1,1)T
因此 A 2 ( 1 ) 中只有一个Jordan块，即
A2(1) 01
1 1
求解 (AI)2，可得所需的广义特征向量
(1,0,1)T
综合上述，可得
1 1 1
2 0 0
P2 1 0, JA0 1 1
4 1 1
0 0 1
1 2 1
P 1
1 9
2
6
5 3
2
3
因此经过可逆线性变换xP1 x 后，系统矩阵 A 和
控制矩阵 B 分别为
2 0 0
A P1AP0 1
1
J
0 0 1
2
B
P 1B
1 9
1
.
1
例 6 求矩阵 A 的 Jordan标准型 J A 和相应的
综合上述，可得
1 2 3
1 1 0 1
P 3 0 1 0 ,
1 0 0 1
2 1 1
0
0
JA
1
1 1
1
经验证，成立等式
0
P1AP
JA
1
1 1
1
从上述过程也可以看出，由于特征向量和广义特征 向量的取法不唯一，因此相似变换矩阵 P 不唯一。 但注意，不计顺序，Jordan矩阵 J A 是唯一的。
{pi(1 j),pi(2 j), ,pi(n jij)}
这个名称也可以这样理解：
p i ( n j i j ) A i I p i ( n j i j 1 ) A i I A i I p i ( 1 j ) A i I