二次根式 知识点总结

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个

非负数时，

才有意义．

【例2】若式子

3

x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三：

1、使代数式2

21x x

-

+-有意义的x 的取值范围是

2、如果代数式mn

m 1+

-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=

解题思路：式子a （a ≥0），50

,50x x -≥⎧⎨

-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014 举一反三： 111x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ）

A ．－1

B ．1

C ．2

D ．3

3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。

已知a 5b 是51

2

a b +

+的值。 若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y

x 1

2

+

的值.

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．

2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：

3. a a a a a a 2

00==≥-<⎧⎨⎩

||()() 注意：（1）字母不一定是正数．

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．

4. 公式a a a a a a 2

00==≥-<⎧⎨

⎩||()()

与()()a a a 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．

（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．

【典型例题】

【例4】若()2

240a c --=，

则=+-c b a ．

举一反三：

1、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为

＿＿＿＿＿＿.

2、若1a b -+()

2005

_____________a b -=。

（公式)0

(

)

(2≥

=a

a

a的运用）

【例5】

化简：2

1

a-+的结果为（）

A、4—2a

B、0

C、2a—4

D、4

举一反三：

3

，则斜边长为

（公式

⎩

⎨

⎧

<

-

≥

=

=

)0

a(a

)0

a(a

a

a2的应用）

【例6】已知2

x<,

A、2

x- B、2

x+C、2

x

--D、2x

-

举一反三：

2

2

得（）

（A） 2 （B）44

x

-+（C）－2 （D）44

x-

3、已知0

a<

【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│

的结果等于（）

A．－2b B．2b C．－2a D．2a

举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简

：1______

a-=．

【例8】

化简1x

-2x-5，则x的取值范围是（）（A）x为任意实数（B）1≤x≤4 （C）x≥1 （D）x≤

1

o

b a

举一反三：2，则a 的取值范围是（ ） Ａ．4a ≥

Ｂ．2a ≤

Ｃ．24a ≤≤

Ｄ．2a =或4a =

【例9】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ）

A. a=0

B. a=1

C. a=0或a=1

D. a ≤1

举一反三：

1、如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是（ ）

.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥

2、若03)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ） （A ）3>x （B ）3

【例10】化简二次根式2

2

a

a a +-

的结果是 （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a

1、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，x x b ＝ ；a

a --11)1(＝ 。

知识点三：最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．

2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

【典型例题】