高中文科数学知识点函数

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高考文科数学一轮复习:指数与指数函数

高考文科数学一轮复习:指数与指数函数

+2-2×
2
1 4

1 2
-(0.01)0.5;
(2)
5 a 13b-2·(-3 a
1 2
2
1
b-1)÷(4 a 3b-3 );2
6
(a
2 3
b1

)
1 2
a

1 2
b
1 3
(3)
6 ab5
.
1
1
解析
(1)原式=1+ 1×
4

4 9

2
-

1 100
答案 B
解析
4
b=

1 2

3
,而函数y=
1 2

x
在R上为减函数,4 > 2> 1,所以
332
4
2

1 2

3
<

1 2

3
<
1


1 2

2
,即b<a<c.
命题方向二 指数型复合函数的单调性
典例4
(1)函数f(x)=
(3)原式= a
3b2a 2b3
15
a6b6
规律总结
11 1
115
1
= a 3 2 6 · b2 3 6 = .
a
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数 的,先化成假分数. (4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的 运算性质来解答. ▶提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又 含有负指数,形式力求统一.

高中数学公式及知识点总结大全(精华版)

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平面与平面垂直的判定 1、二面⻆的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭l
β
B α
2、二面⻆的记法:二面⻆α-l-β或α-AB-β
11
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
12
共面直线
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。
2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3 等⻆定理:空间中如果两个⻆的两边分别对应平行,那么这两个⻆相等或互补
4 注意点:
① a'与 b'所成的⻆的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直线
八、复数 53、复数的除法运算
.
54、复数
的模 =
=
.
55、复数的相等:
.(
56、复数
的模(或绝对值) =
=
57、复数的四则运算法则
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
58、复数的乘法的运算律
对于任何
,有
交换律:
.
结合律:
分配律:
. .
) .
.
九、参数方程、极坐标化成直⻆坐标
9
55、
十、命题、充要条件
充要条件(记 表示条件, 表示结论)
(1)充分条件:若
,则 是 充分条件.

高考数学文科基本初等函数(Ⅰ)及应用最全讲解含答案解析

高考数学文科基本初等函数(Ⅰ)及应用最全讲解含答案解析

第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过一、根式与幂的运算 1.根式的性质 (1)(n a )n=a .(2)当n 为奇数时,na n =a .(3)当n 为偶数时,na n=|a |=⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0),-a (a <0).(4)负数的偶次方根无意义. (5)零的任何次方根都等于零. 2.有理数指数幂 (1)分数指数幂:①正分数指数幂:a m n =na m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1).②负分数指数幂:a -m n =1a m n =1n a m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1).③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的运算性质. ①a r ·a s =ar +s(a >0,r ,s ∈Q ).②(a r)s =a rs (a >0,r ,s ∈Q ).③(ab )r =a r b r(a >0,b >0,r ∈Q ). 二、对数及对数运算 1.对数的定义一般地,如果a x =N (a >0,且a ≠1),那么数x 叫作以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫作对数的底数,N 叫作真数.2.对数的性质 (1)log a 1=0,log a a =1. (2)a log a N =N ,log a a N =N . (3)负数和零没有对数. 3.对数的运算性质如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么 (1)log a (M N )=log a M +log a N . (2)log a MN =log a M -log a N .(3)log a M n=n log a M (n ∈R ). (4)换底公式log a b =log m blog m a(a >0且a ≠1,b >0,m >0,且m ≠1). [小题速通] 1.化简(a 23·b -1)-12·a-12·b136a ·b 5(a >0,b >0)的结果是( )A .aB .abC .a 2bD.1a解析:选D 原式=a3-1b 12a -12b13a 16b56=a---111362·b+-151362=1a. 2.若x =log 43,则(2x -2-x )2=( ) A.94 B.54 C.103D.43解析:选D 由x =log 43,得4x =3,即4-x =13,(2x -2-x )2=4x -2+4-x =3-2+13=43.3.(log 23)2-4log 23+4+log 213=( )A .2B .2-2log 23C .-2D .2log 23-2解析:选B (log 23)2-4log 23+4+log 213=(log 23-2)2-log 23=2-log 23-log 23=2-2log 23.4.已知f (x )=2x +2-x ,若f (a )=3,则f (2a )=( )A .11B .9C .7D .5解析:选C 由题意可得f (a )=2a +2-a =3,则f (2a )=22a +2-2a=(2a +2-a )2-2=7.[清易错]1.在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.易忽视字母的符号.2.在对数运算时,易忽视真数大于零. 1.化简-x 3x 的结果是( )A .--x B.x C .-xD.-x解析:选A 依题意知x <0,故-x 3x=--x 3x 2=--x . 2.若lg x +lg y =2lg(x -2y ),则 xy 的值为________. 解析:∵lg x +lg y =2lg(x -2y ), ∴xy =(x -2y )2,即x 2-5xy +4y 2=0, 即(x -y )(x -4y )=0,解得x =y 或x =4y . 又x >0,y >0,x -2y >0, 故x =y 不符合题意,舍去. 所以x =4y ,即xy =4. 答案:4二次函数[过双基]1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). (2)顶点式:f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0). (3)零点式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0). 2.二次函数的图象和性质解析式f (x )=ax 2+bx +c (a >0)f (x )=ax 2+bx +c (a <0) 图象定义域 RR值域⎣⎡⎭⎫4ac -b 24a ,+∞ ⎝⎛⎦⎤-∞,4ac -b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤-∞,-b2a 上单调递减; 在⎣⎡⎭⎫-b2a ,+∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤-∞,-b2a 上单调递增; 在⎣⎡⎭⎫-b2a ,+∞上单调递减[小题速通]1.若二次函数y =-2x 2-4x +t 的图象的顶点在x 轴上,则t 的值是( ) A .-4 B .4 C .-2D .2解析:选C ∵二次函数的图象的顶点在x 轴上,∴Δ=16+8t =0,可得t =-2. 2.(2018·唐山模拟)如果函数f (x )=x 2-ax -3在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a 的取值范围为( )A .[8,+∞)B .(-∞,8]C .[4,+∞)D .[-4,+∞)解析:选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x =a 2,由题意得a2≥4,解得a ≥8.3.(2017·宜昌二模)函数f (x )=-2x 2+6x (-2≤x ≤2)的值域是( ) A .[-20,4] B .(-20,4) C.⎣⎡⎦⎤-20,92 D.⎝⎛⎭⎫-20,92 解析:选C 由函数f (x )=-2x 2+6x 可知,二次函数f (x )的图象开口向下,对称轴为x =32,当-2≤x <32时,函数f (x )单调递增,当32≤x ≤2时,函数f (x )单调递减,∴f (x )max =f ⎝⎛⎭⎫32=-2×94+6×32=92,又f (-2)=-8-12=-20,f (2)=-8+12=4,∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤-20,92.[清易错]易忽视二次函数表达式f (x )=ax 2+bx +c 中的系数a ≠0.若二次函数f (x )=ax 2-4x +c 的值域为[0,+∞),则a ,c 满足的条件是________.解析:由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0,4ac -164a =0,⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0,ac -4=0.答案:a >0,ac =41.幂函数的定义一般地,形如y =x α的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数. 2.常见的5种幂函数的图象3.常见的5种幂函数的性质1.幂函数y =f (x )的图象过点(4,2),则幂函数y =f (x )的图象是( )解析:选C 令f (x )=x α,则4α=2,∴α=12,∴f (x )=x 12.故C 正确.2.(2018·贵阳监测)已知幂函数y =f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫13,3,则f ⎝⎛⎭⎫12=( ) A.12 B .2 C. 2D.22解析:选C 设幂函数的解析式为f (x )=x α,将⎝⎛⎭⎫13,3代入解析式得3-α=3,解得α=-12,∴f (x )=x -12,f ⎝⎛⎭⎫12=2,故选C.3.若函数f (x )=(m 2-m -1)x m 是幂函数,且在x ∈(0,+∞)上为增函数,则实数m 的值是( )A .-1B .2C .3D .-1或2解析:选B ∵f (x )=(m 2-m -1)x m 是幂函数,∴m 2-m -1=1,解得m =-1或m =2.又f (x )在x ∈(0,+∞)上是增函数,所以m =2.[清易错]幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.幂函数y =xm 2-2m -3(m ∈Z )的图象如图所示,则m 的值为( )A .-1<m <3B .0C .1D .2解析:选C 从图象上看,由于图象不过原点,且在第一象限下降,故m 2-2m -3<0,即-1<m <3;又从图象看,函数是偶函数,故m 2-2m -3为负偶数,将m =0,1,2分别代入,可知当m =1时,m 2-2m -3=-4,满足要求.指数函数指数函数的图象与性质y =a x (a >0,且a ≠1)a >10<a <11.函数f(x )=a x -2+1(a >0,且a ≠1)的图象必经过点( )A .(0,1)B .(1,1)C .(2,0)D .(2,2)解析:选D 由f (2)=a 0+1=2,知f (x )的图象必过点(2,2). 2.函数f (x )=1-2x 的定义域是( ) A .(-∞,0] B .[0,+∞) C .(-∞,0)D .(-∞,+∞)解析:选A 要使f (x )有意义须满足1-2x ≥0,即2x ≤1,解得x ≤0. 3.函数y =a x -a (a >0,且a ≠1)的图象可能是( )解析:选C 当x =1时,y =a 1-a =0,所以函数y =a x -a 的图象过定点(1,0),结合选项可知选C.4.设a =⎝⎛⎭⎫3525,b =⎝⎛⎭⎫2535,c =⎝⎛⎭⎫2525,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a >c >b B .a >b >c C .c >a >bD .b >c >a解析:选A 构造指数函数y =⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R ),由该函数在定义域内单调递减可得b <c ;又y =⎝⎛⎭⎫25x (x ∈R )与y =⎝⎛⎭⎫35x (x ∈R )之间有如下结论:当x >0时,有⎝⎛⎭⎫35x >⎝⎛⎭⎫25x ,故⎝⎛⎭⎫3525>⎝⎛⎭⎫2525,即a >c ,故a >c >b .5.下列四类函数中,具有性质“对任意的x >0,y >0,函数f (x )满足f (x +y )=f (x )f (y )”的是( )A .幂函数B .对数函数C .指数函数D .余弦函数解析:选C 由指数运算的规律易知,a x +y =a x ·a y ,即令f (x )=a x ,则f (x +y )=f (x )f (y ),故该函数为指数函数.[清易错]指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关,要特别注意区分a >1或0<a <1.若函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2,则a 的值为________.解析:当a >1时,f (x )=a x 为增函数, f (x )max =f (2)=a 2,f (x )mi n =f (1)=a . ∴a 2-a =a2.即a (2a -3)=0.∴a =0(舍去)或a =32>1.∴a =32.当0<a <1时,f (x )=a x 为减函数, f (x )max =f (1)=a ,f (x )mi n =f (2)=a 2. ∴a -a 2=a2.即a (2a -1)=0,∴a =0(舍去)或a =12.∴a =12.综上可知,a =12或a =32.答案:12或32对数函数的图象与性质当0<x <1时,y ∈(-∞,0);当x >1时,y ∈(0,+∞) 当0<x <1时,y ∈(0,+∞); 当x >1时,y ∈(-∞,0) 在(0,+∞)上为增函数在(0,+∞)上为减函数1.若函数f (x )=log a (3x -2)(a >0,且a ≠1)的图象经过定点A ,则A 点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0,23 B.⎝⎛⎭⎫23,0 C .(1,0) D .(0,1)答案:C2.已知a >0,且a ≠1,函数y =a x 与y =log a (-x )的图象可能是( )解析:选B 由题意知,y =a x 的定义域为R ,y =log a (-x )的定义域为(-∞,0),故排除A 、C ;当0<a <1时,y =a x 在R 上单调递减,y =log a (-x )在(-∞,0)上单调递增;当a >1时,y =a x 在R 上单调递增,y =log a (-x )在(-∞,0)上单调递减,结合B 、D 图象知,B 正确.3.函数y =log 2|x +1|的单调递减区间为__________,单调递增区间为__________. 解析:作出函数y =log 2x 的图象,将其关于y 轴对称得到函数y =log 2|x |的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y =log 2|x +1|的图象(如图所示).由图知,函数y =log 2|x +1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞).答案:(-∞,-1) (-1,+∞)4.函数f (x )=log a (x 2-2x -3)(a >0,a ≠1)的定义域为________.解析:由题意可得x 2-2x -3>0,解得x >3或x <-1,所以函数的定义域为{x |x >3或x <-1}.答案:{x |x >3或x <-1}[清易错]解决与对数函数有关的问题时易漏两点: (1)函数的定义域. (2)对数底数的取值范围. 1.(2018·南昌调研)函数y =log 23(2x -1) 的定义域是( )A .[1,2]B .[1,2)C.⎣⎡⎦⎤12,1D.⎝⎛⎦⎤12,1解析:选D 要使函数有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧log 23(2x -1)≥0,2x -1>0,解得12<x ≤1.2.函数y =log a x (a >0,且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a 的值为________. 解析:当a >1时,函数y =log a x 在[2,4]上是增函数, 所以log a 4-log a 2=1,即log a 2=1,所以a =2. 当0<a <1时,函数y =log a x 在[2,4]上是减函数, 所以log a 2-log a 4=1,即log a 12=1,所以a =12.故a =2或a =12.答案:2或 12一、选择题1.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x-1,x ≤0,x 12,x >0,满足f (x )=1的x 的值为( )A .1B .-1C .1或-2D .1或-1解析:选D 由题意,方程f (x )=1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,2-x -1=1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x 12=1,解得x =-1或1.2.函数f (x )=ln|x -1|的图象大致是( )解析:选B 令x =1,x -1=0,显然f (x )=ln|x -1|无意义,故排除A ;由|x -1|>0可得函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),故排除D ;由复合函数的单调性可知f (x )在(1, +∞)上是增函数,故排除C ,选B.3.(2018·郑州模拟)设abc >0,二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可能是( )解析:选D 结合二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象知: 当a <0,且abc >0时,若-b2a <0,则b <0,c >0,故排除A ,若-b2a>0,则b >0,c <0,故排除B. 当a >0,且abc >0时,若-b2a <0,则b >0,c >0,故排除C ,若-b2a>0,则b <0,c <0,故选项D 符合. 4.设a =0.32,b =20.3,c =log 25,d =log 20.3,则a ,b ,c ,d 的大小关系是( ) A .d <b <a <c B .d <a <b <c C .b <c <d <aD .b <d <c <a解析:选B 由对数函数的性质可知c =log 25>2,d =log 20.3<0, 由指数函数的性质可知0<a =0.32<1,1<b =20.3<2, 所以d <a <b <c .5.(2018·长春模拟)函数y =4x +2x +1+1的值域为( )A .(0,+∞)B .(1,+∞)C .[1,+∞)D .(-∞,+∞)解析:选B 令2x =t ,则函数y =4x +2x +1+1可化为y =t 2+2t +1=(t +1)2(t >0). ∵函数y =(t +1)2在(0,+∞)上递增, ∴y >1.∴所求值域为(1,+∞).故选B. 6.(2017·大连二模)定义运算:x y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,xy ≥0,y ,xy <0,例如:=3,(-=4,则函数f (x )=x 2x -x 2)的最大值为( )A .0B .1C .2D .4解析:选D 由题意可得f (x )=x2x -x 2)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,0≤x ≤2,2x -x 2,x >2或x <0,当0≤x ≤2时,f (x )∈[0,4];当x >2或x <0时,f (x )∈(-∞,0).综上可得函数f (x )的最大值为4,故选D.7.已知函数f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫21-x +a 是奇函数,且在x =0处有意义,则该函数为( )A .(-∞,+∞)上的减函数B .(-∞,+∞)上的增函数C .(-1,1)上的减函数D .(-1,1)上的增函数解析:选D 由题意知,f (0)=lg(2+a )=0,∴a =-1,∴f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫21-x -1=lg x +11-x ,令x +11-x >0,则-1<x <1,排除A 、B ,又y =21-x -1=-1+-2x -1在(-1,1)上是增函数,∴f (x )在(-1,1)上是增函数.选D.8.(2018·湖北重点高中协作校联考)设函数f (x )=1-x +1,g (x )=ln(ax 2-3x +1),若对任意x 1∈[0,+∞),都存在x 2∈R ,使得f (x 1)=g (x 2),则实数a 的最大值为( )A.94 B .2 C.92D .4解析:选A 设g (x )=ln (ax 2-3x +1)的值域为A ,因为函数f (x )=1-x +1在[0,+∞)上的值域为(-∞,0],所以(-∞,0]⊆A ,因此h (x )=ax 2-3x +1至少要取遍(0,1]中的每一个数,又h (0)=1,于是,实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,9-4a ≥0,解得a ≤94.故选A.二、填空题9.(2018·连云港调研)当x >0时,函数y =(a -8)x 的值恒大于1,则实数a 的取值范围是________.解析:由题意知,a -8>1,解得a >9. 答案:(9,+∞)10.若函数f (x )是幂函数,且满足f (4)=3f (2),则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________. 解析:设f (x )=x α, 又f (4)=3f (2), ∴4α=3×2α, 解得α=log 23, ∴f ⎝⎛⎭⎫12=⎝⎛⎭⎫12log 23=13. 答案:1311.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e 1-x ,x ≤1,ln (x -1),x >1,则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是________.解析:由题意,f (x )≥2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1,e 1-x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1,ln (x -1)≥2,解得x ≤1-ln 2或x ≥1+e 2,则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是(-∞,1-ln 2]∪[1+e 2,+∞). 答案:(-∞,1-ln 2]∪[1+e 2,+∞)12.若对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0,12,恒有4x<log a x (a >0且a ≠1),则实数a 的取值范围是________. 解析:令f (x )=4x ,则f (x )在⎝⎛⎭⎫0,12上是增函数,g (x )=log a x ,当a >1时,g (x )=log a x 在⎝⎛⎭⎫0,12上是增函数,且g (x )=log a x <0,不符合题意;当0<a <1时,g (x )=log a x 在⎝⎛⎭⎫0,12上是减函数,则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12,解得22≤a <1.答案:⎣⎡⎭⎫22,1 三、解答题13.函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),且f (2)-f (4)=1. (1)若f (3m -2)>f (2m +5),求实数m 的取值范围; (2)求使f ⎝⎛⎭⎫x -4x =log 123成立的x 的值. 解:(1)由f (2)-f (4)=1,得a =12.∵函数f (x )=log 12x 为减函数且f (3m -2)>f (2m +5),∴0<3m -2<2m +5,解得23<m <7,故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23,7.(2)f ⎝⎛⎭⎫x -4x =log 123,即x -4x =3,x 2-3x -4=0, 解得x =4或x =-1. 14.已知函数f (x )=a -22x+1为奇函数. (1)求a 的值;(2)试判断函数f (x )在(-∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论;(3)若对任意的t ∈R ,不等式f [t 2-(m -2)t ]+f (t 2-m +1)>0恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)∵函数f (x )为奇函数,∴f (x )=-f (-x ), ∴a -22x +1=-a +22-x +1,∴2a =2·2x 2x +1+22x +1=2,∴a =1.(2)f (x )在R 上为单调递增函数.证明如下:设任意x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=1-22 x 1+1-1+22 x 2+1 =2(2 x 1-2 x 2)(2 x 1+1)(2 x 2+1).∵x 1<x 2,∴2 x 1-2 x 2<0,(2 x 1+1)(2 x 2+1)>0, ∴f (x 1)<f (x 2),∴f (x )为R 上的单调递增函数. (3)∵f (x )=1-22x+1为奇函数,且在R 上为增函数, ∴由f [t 2-(m -2)t ]+f (t 2-m +1)>0恒成立, ∴f [t 2-(m -2)t ]>-f (t 2-m +1)=f (m -t 2-1), ∴t 2-(m -2)t >m -1-t 2对t ∈R 恒成立, 化简得2t 2-(m -2)t -m +1>0, ∴Δ=(m -2)2+8(m -1)<0, 解得-2-22<m <-2+22,故m 的取值范围为(-2-22,-2+22).高考研究课(一) 幂函数、二次函数的 3类考查点——图象、性质、解析式 [全国卷5年命题分析][典例] (1)(2018·安徽江南七校联考)已知幂函数f (x )=(+2-2)·x n 2-3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n 的值为( )A .-3B .1C .2D .1或-3(2)1.112,0.912,1的大小关系为________.[解析] (1)由于f (x )为幂函数,所以n 2+2n -2=1,解得n =1或n =-3,当n =1时,函数f (x )=x-2为偶函数,其图象关于y 轴对称,且f (x )在(0,+∞)上是减函数,所以n =1满足题意;当n =-3时,函数f (x )=x 18为偶函数,其图象关于y 轴对称,而f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以n =-3不满足题意,舍去.故选B.(2)把1看作112,幂函数y =x 12在(0,+∞)上是增函数. ∵0<0.9<1<1.1,∴0.912<112<1.112. 即0.912<1<1.112.[答案] (1)B (2)0.912<1<1.112[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.[即时演练]1.已知f (x )=x 12,若0<a <b <1,则下列各式正确的是( )A .f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B .f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C .f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D .f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析:选C ∵0<a <b <1,∴0<a <b <1b <1a,又f (x )=x 12为增函数,∴f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a . 2.若(a +1)-13<(3-2a ) -13,则实数a 的取值范围是________________.解析:不等式(a +1)-13<(3-2a ) -13等价于a +1>3-2a >0或3-2a <a +1<0或a +1<0<3-2a . 解得23<a <32或a <-1.答案:(-∞,-1)∪⎝⎛⎭⎫23,32二次函数的解析式二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时,要灵活选择解析式形式以确立解法.[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.[解] 法一:用“一般式”解题 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b 24a =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-4,b =4,c =7.∴所求二次函数为f (x )=-4x 2+4x +7. 法二:用“顶点式”解题 设f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0). ∵f (2)=f (-1),∴抛物线的对称轴为x =2+(-1)2=12,∴m =12.又根据题意,函数有最大值8,∴n =8, ∴y =f (x )=a ⎝⎛⎭⎫x -122+8. ∵f (2)=-1,∴a ⎝⎛⎭⎫2-122+8=-1,解得a =-4, ∴f (x )=-4⎝⎛⎭⎫x -122+8=-4x 2+4x +7. 法三:用“零点式”解题由已知f (x )+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1,故可设f (x )+1=a (x -2)(x +1)(a ≠0), 即f (x )=ax 2-ax -2a -1.又函数有最大值8,即4a (-2a -1)-a 24a =8.解得a =-4或a =0(舍去).∴所求函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x +7. [方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规律如下:[即时演练]1.为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示).若对应的两条曲线关于y 轴对称,AE ∥x 轴,AB =4 cm ,最低点C 在x 轴上,高CH =1 cm ,BD =2 cm ,则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A .y =14(x +3)2B .y =-14(x -3)2C .y =-14(x +3)2D .y =14(x -3)2解析:选D 由题图可知,对应的两条曲线关于y 轴对称,AE ∥x 轴,AB =4 cm ,最低点C 在x 轴上,高CH =1 cm ,BD =2 cm ,所以点C 的纵坐标为0,横坐标的绝对值为3,即C (-3,0),因为点F 与点C 关于y 轴对称,所以F (3,0),因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点,所以设该二次函数为y =a (x -3)2(a >0),将点D (1,1)代入得,a =14,即y =14(x -3)2.2.已知二次函数f (x )是偶函数,且f (4)=4f (2)=16,则函数f (x )的解析式为________. 解析:由题意可设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0),则f (4)=16a +c =16,f (2)=4a +c =4,解得a =1,c =0,故f (x )=x 2.答案:f(x)=x2二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出现,考查二次函数的图象与性质的应用.常见的命题角度有:(1)二次函数的图象与性质;(2)二次函数的最值问题.1.(2018·武汉模拟)已知函数f(x)=ax2+2ax+b(1<a<3),且x1<x2,x1+x2=1-a,则下列结论正确的是()A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析:选A f(x)的对称轴为x=-1,因为1<a<3,则-2<1-a<0,若x1<x2≤-1,则x1+x2<-2,不满足x1+x2=1-a且-2<1-a<0;若x1<-1,x2≥-1,则|x2+1|-|-1-x1|=x2+1+1+x1=x1+x2+2=3-a>0(1<a<3),此时x2到对称轴的距离大,所以f(x2)>f(x1);若-1≤x1<x2,则此时x1+x2>-2,又因为f(x)在[-1,+∞)上为增函数,所以f(x1)<f(x2).2.设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),且实数m的取值范围是()A.(-∞,0] B.[2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.[0,2]解析:选D二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,则a≠0,f′(x)=2a(x -1)<0,x∈[0,1],所以a>0,即函数的图象开口向上,又因为对称轴是直线x=1.所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2.[方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定一不定,要注意分类讨论;(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解.角度二:二次函数的最值问题3.已知二次函数f (x )=ax 2-2x (0≤x ≤1),求f (x )的最小值.解:(1)当a >0时,f (x )=ax 2-2x 图象的开口方向向上,且对称轴为x =1a . ①当1a ≤1,即a ≥1时,f (x )=ax 2-2x 图象的对称轴在[0,1]内, ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0,1a 上递减,在⎣⎡⎦⎤1a ,1上递增. ∴f (x )mi n =f ⎝⎛⎭⎫1a =1a -2a =-1a .②当1a >1,即0<a <1时,f (x )=ax 2-2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧, ∴f (x )在[0,1]上递减. ∴f (x )mi n =f (1)=a -2.(2)当a <0时,f (x )=ax 2-2x 的图象的开口方向向下,且对称轴x =1a <0,在y 轴的左侧, ∴f (x )=ax 2-2x 在[0,1]上递减. ∴f (x )mi n =f (1)=a -2.综上所述,f (x )mi n =⎩⎪⎨⎪⎧a -2,a ∈(-∞,0)∪(0,1),-1a ,a ∈[1,+∞).4.已知a 是实数,记函数f (x )=x 2-2x +2在[a ,a +1]上的最小值为g (a ),求g (a )的解析式.解:f (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1,x ∈[a ,a +1],a ∈R ,对称轴为x =1.当a +1<1,即a <0时,函数图象如图(1),函数f (x )在区间[a ,a +1]上为减函数,所以最小值为f (a +1)=a 2+1;当a ≤1≤a +1,即0≤a ≤1时,函数图象如图(2),在对称轴x =1处取得最小值,最小值为f (1)=1;当a >1时,函数图象如图(3),函数f (x )在区间[a ,a +1]上为增函数,所以最小值为f (a )=a 2-2a +2.综上可知,g (a )=⎩⎪⎨⎪⎧a 2+1,a <0,1,0≤a ≤1,a 2-2a +2,a >1.[方法技巧]二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到:区间的两个端点处,或对称轴处.也可以作出二次函数在该区间上的图象,由图象来判断最值.解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系.1.(2016·全国卷Ⅲ)已知a =243,b =425,c =2513,则( ) A .b <a <c B .a <b <c C .b <c <aD .c <a <b解析:选A 因为a =243,b =425=245,由函数y =2x 在R 上为增函数,知b <a ;又因为a =243=423,c =2513=523,由幂函数y =x 23在(0,+∞)上为增函数,知a <c .综上得b <a <c .故选A.2.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )=f (2-x ),若函数y =|x 2-2x -3|与y =f (x )图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i =1mx i =( )A .0B .mC .2mD .4m解析:选B ∵f (x )=f (2-x ),∴函数f (x )的图象关于直线x =1对称.又y =|x 2-2x -3|=|(x -1)2-4|的图象关于直线x =1对称,∴两函数图象的交点关于直线x =1对称.当m 为偶数时,∑i =1mx i =2×m2=m ;当m 为奇数时,∑i =1mx i =2×m -12+1=m .故选B. 3.(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x -1,x <1,x 13,x ≥1,则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.解析:当x <1时,由ex -1≤2得x ≤1+ln 2,∴x <1;当x ≥1时,由x13≤2得x ≤8,∴1≤x ≤8.综上,符合题意的x 的取值范围是x ≤8.答案:(-∞,8]一、选择题1.(2018·绵阳模拟)幂函数y =(m 2-3m +3)x m 的图象过点(2,4),则m =( ) A .-2 B .-1 C .1D .2解析:选D ∵幂函数y =(m 2-3m +3)x m的图象过点(2,4),∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2-3m +3=1,2m =4,解得m =2.故选D.2.(2018·杭州测试)若函数f (x )=x 2-2x +1在区间[a ,a +2]上的最小值为4,则实数a 的取值集合为( )A .[-3,3]B .[-1,3]C .{-3,3}D .{-1,-3,3}解析:选C ∵函数f (x )=x 2-2x +1=(x -1)2的图象的对称轴为直线x =1,f (x )在区间[a ,a +2]上的最小值为4,∴当a ≥1时,f (x )mi n =f (a )=(a -1)2=4,a =-1(舍去)或a =3;当a +2≤1,即a ≤-1时,f (x )mi n =f (a +2)=(a +1)2=4,a =1(舍去)或a =-3; 当a <1<a +2,即-1<a <1时,f (x )mi n =f (1)=0≠4. 故a 的取值集合为{-3,3}.故选C.3.如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分,图象过点A (-3,0),对称轴为x =-1.给出下面四个结论:①b 2>4ac ;②2a -b =1;③a -b +c =0;④5a <b .其中正确的结论是( ) A .②④ B .①④ C .②③D .①③解析:选B ∵二次函数的图象与x 轴交于两点,∴b 2-4ac >0,即b 2>4ac ,①正确; 对称轴为x =-1,即-b2a =-1,2a -b =0,②错误;结合图象知,当x =-1时,y >0,即a -b +c >0,③错误; 由对称轴为x =-1知,b =2a ,又函数图象开口向下,∴a <0,∴5a <2a ,即5a <b ,④正确.故选B.4.若对任意a ∈[-1,1],函数F (x )=x 2+(a -4)x +4-2a 的值恒大于零,则x 的取值范围是( )A .(1,3)B .(-∞,1)∪(3,+∞)C .(1,2)D .(-∞,1)∪(2,+∞)解析:选B 由题意,令f (a )=F (x )=x 2+(a -4)x +4-2a =(x -2)a +x 2-4x +4,对任意a ∈[-1,1]恒成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)=x 2-3x +2>0,f (-1)=x 2-5x +6>0,解得x <1或x >3. 5.若函数f (x )=mx 2-2x +3在[-1,+∞)上递减,则实数m 的取值范围为( ) A .(-1,0) B .[-1,0) C .(-∞,-1]D .[-1,0]解析:选D 当m =0时,f (x )=-2x +3在R 上递减,符合题意;当m ≠0时,函数f (x )=mx 2-2x +3在[-1,+∞)上递减,只需对称轴x =1m ≤-1,且m <0,解得-1≤m <0,综上,实数m 的取值范围为[-1,0].6.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +6,x ≥0,x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A .(-3,1)∪(3,+∞)B .(-3,1)∪(2,+∞)C .(-1,1)∪(3,+∞)D .(-∞,-3)∪(1,3)解析:选A ∵f (1)=3,∴不等式f (x )>f (1),即f (x )>3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0,x 2-4x +6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0,x +6>3,解得x >3或-3<x <1. 7.已知a ,b ,c ,d 都是常数,a >b ,c >d .若f (x )=2 017-(x -a )(x -b )的零点为c ,d ,则下列不等式正确的是( )A .a >c >b >dB .a >b >c >dC .c >d >a >bD .c >a >b >d解析:选D f (x )=2 017-(x -a )(x -b )=-x 2+(a +b )x -ab +2 017,又f (a )=f (b )=2 017,c ,d 为函数f (x )的零点,且a >b ,c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象,如图所示,由图可知c >a >b >d ,故选D.8.(2017·浙江高考)若函数f (x )=x 2+ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m ( )A .与a 有关,且与b 有关B .与a 有关,但与b 无关C .与a 无关,且与b 无关D .与a 无关,但与b 有关解析:选B f (x )=⎝⎛⎭⎫x +a 22-a24+b , ① 当0≤-a 2≤1时,f (x )mi n =m =f ⎝⎛⎭⎫-a 2=-a 24+b ,f (x )max =M =max{f (0),f (1)}=max{b,1+a +b },∴M -m =max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a24,1+a +a 24与a 有关,与b 无关;②当-a2<0时,f (x )在[0,1]上单调递增,∴M -m =f (1)-f (0)=1+a 与a 有关,与b 无关; ③当-a2>1时,f (x )在[0,1]上单调递减,∴M -m =f (0)-f (1)=-1-a 与a 有关,与b 无关. 综上所述,M -m 与a 有关,但与b 无关. 二、填空题9.已知幂函数f (x )=x -m 2+2m +3(m ∈Z )在(0,+∞)上为增函数,且在其定义域内是偶函数,则m 的值为________.解析:∵幂函数f (x )在(0,+∞)上为增函数, ∴-m 2+2m +3>0,即m 2-2m -3<0,解得-1<m <3. 又m ∈Z ,∴m =0或m =1或m =2.当m =0或m =2时,f (x )=x 3在其定义域内为奇函数,不满足题意;当m =1时,f (x )=x 4在其定义域内是偶函数,满足题意.综上可知,m 的值是1. 答案:110.二次函数y =3x 2+2(m -1)x +n 在区间(-∞,1)上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数m =________.解析:二次函数y =3x 2+2(m -1)x +n 的图象的开口向上,对称轴为直线x =-m -13,要使得函数在区间(-∞,1)上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则x =-m -13=1,解得m =-2.答案:-211.(2018·南通一调)若函数f (x )=ax 2+20x +14(a >0)对任意实数t ,在闭区间[t -1,t +1]上总存在两实数x 1,x 2,使得|f (x 1)-f (x 2)|≥8成立,则实数a 的最小值为________.解析:由题意可得,当x ∈[t -1,t +1]时,[f (x )max -f (x )mi n ]mi n ≥8,当[t -1,t +1]关于对称轴对称时,f (x )max -f (x )mi n 取得最小值,即f (t +1)-f (t )=2at +a +20≥8,f (t -1)-f (t )=-2at +a -20≥8,两式相加,得a ≥8,所以实数a 的最小值为8.答案:812.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,x ≤a ,x 2,x >a ,若存在实数b ,使得函数y =f (x )-bx 恰有2个零点,则实数a 的取值范围为_______.解析:显然x =0是y =f (x )-bx 的一个零点; 当x ≠0时,令y =f (x )-bx =0得b =f (x )x, 令g (x )=f (x )x =⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≤a ,x ,x >a ,则b =g (x )存在唯一一个解.当a <0时,作出函数g (x )的图象,如图所示,显然当a <b <a 2且b ≠0时,b =g (x )存在唯一一个解,符合题意; 当a >0时,作出函数g (x )的图象,如图所示,若要使b =g (x )存在唯一一个解,则a >a 2,即0<a <1, 同理,当a =0时,显然b =g (x )有零解或两解,不符合题意. 综上,a 的取值范围是(-∞,0)∪(0,1). 答案:(-∞,0)∪(0,1) 三、解答题13.(2018·杭州模拟)已知值域为[-1,+∞)的二次函数f (x )满足f (-1+x )=f (-1-x ),且方程f (x )=0的两个实根x 1,x 2满足|x 1-x 2|=2.(1)求f (x )的表达式;(2)函数g (x )=f (x )-kx 在区间[-1,2]上的最大值为f (2),最小值为f (-1),求实数k 的取值范围.解:(1)由f (-1+x )=f (-1-x ),可得f (x )的图象关于直线x =-1对称, 设f (x )=a (x +1)2+h =ax 2+2ax +a +h (a ≠0), 由函数f (x )的值域为[-1,+∞),可得h =-1, 根据根与系数的关系可得x 1+x 2=-2,x 1x 2=1+ha ,∴|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2= -4ha =2,解得a =1, ∴f (x )=x 2+2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[-1,2]上单调递增, 又g (x )=f (x )-kx =x 2-(k -2)x .∴g (x )的对称轴方程为x =k -22, 则k -22≤-1,即k ≤0,故k 的取值范围为(-∞,0].14.(2018·成都诊断)已知函数f (x )=x 2+ax +3-a ,若x ∈[-2,2],f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围.解:f (x )=⎝⎛⎭⎫x +a 22-a24-a +3,令f (x )在[-2,2]上的最小值为g (a ). (1)当-a2<-2,即a >4时,g (a )=f (-2)=7-3a ≥0,∴a ≤73.又a >4,∴a 不存在.(2)当-2≤-a2≤2,即-4≤a ≤4时,g (a )=f ⎝⎛⎭⎫-a 2=-a24-a +3≥0, ∴-6≤a ≤2.又-4≤a ≤4, ∴-4≤a ≤2.(3)当-a2>2,即a <-4时,g (a )=f (2)=7+a ≥0,∴a ≥-7.又a <-4,∴-7≤a <-4.综上可知,a 的取值范围为[-7,2].1.设函数f (x )=ax 2+bx +c (a >b >c )的图象经过点A (m 1,f (m 1))和点B (m 2,f (m 2)),f (1)=0.若a 2+[f (m 1)+f (m 2)]·a +f (m 1)·f (m 2)=0,则( )A .b ≥0B .b <0C .3a +c ≤0D .3a -c <0解析:选A 由f (1)=0可得a +b +c =0,若a ≤0,由a >b >c ,得a +b +c <0,这与a +b +c =0矛盾,故a >0,若c ≥0,则有b >0,a >0,此时a +b +c >0,这与a +b +c =0矛盾;所以c <0成立,因为a 2+[f (m 1)+f (m 2)]·a +f (m 1)·f (m 2)=0,所以(a +f (m 1))(a +f (m 2))=0,所以m 1,m 2是方程f (x )=-a 的两个根,Δ=b 2-4a (a +c )=b (b +4a )=b (3a -c )≥0,而a >0,c <0,所以3a -c >0,所以b ≥0.2.设函数f (x )=2ax 2+2bx ,若存在实数x 0∈(0,t ),使得对任意不为零的实数a ,b ,均有f (x 0)=a +b 成立,则t 的取值范围是________.解析:因为存在实数x 0∈(0,t ),使得对任意不为零的实数a ,b ,均有f (x 0)=a +b 成立, 所以2ax 2+2bx =a +b 等价于(2x -1)b =(1-2x 2)a .当x =12时,左边=0,右边≠0,即等式不成立,故x ≠12;当x ≠12时,(2x -1)b =(1-2x 2)a 等价于b a =1-2x 22x -1,设2x -1=k ,因为x ≠12,所以k ≠0,则x =k +12,则ba =1-2⎝⎛⎭⎫k +122k =12⎝⎛⎭⎫1k -k -2. 设g (k )=12⎝⎛⎭⎫1k-k -2, 则函数g (k )在(-1,0),(0,2t -1)上的值域为R . 又因为g (k )在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减, 所以g (k )在(-1,0),(0,2t -1)上单调递减, 故当k ∈(-1,0)时,g (k )<g (-1)=-1;当k ∈(0,2t -1)时,g (k )>g (2t -1)=12⎝⎛⎭⎫12t -1-2t -1,故要使值域为R ,则g (2t -1)<g (-1),即12t -1-2t -1<-2,解得t >1. 答案:(1,+∞) 高考研究课(二)指数函数的2类考查点——图象、性质 [全国卷5年命题分析][典例] (1)函数f (x )=e ·x e 2x +1的大致图象是( )(2)(2018·广州模拟)若存在负实数使得方程2x -a =1x -1成立,则实数a 的取值范围是( )A .(2,+∞)B .(0,+∞)C .(0,2)D .(0,1)[解析] (1)因为f (-x )=e -x ·x 2e -2x +1=e x ·x 21+e 2x=f (x ),所以函数f (x )为偶函数,所以排除A 、D项.当x =0时,y =0,故排除B 项,选C.(2)在同一坐标系内分别作出函数y =1x -1和y =2x -a 的图象,则由图知,当a ∈(0,2)时符合要求.[答案] (1)C (2)C [方法技巧]指数函数图象问题的求解策略(1)画指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a ),(0,1),⎝⎛⎭⎫-1,1a . (2)与指数函数有关函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. [即时演练] 1.函数f (x )=2|x-1|的图象是( )解析:选B 由题意得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x ≥1,⎝⎛⎭⎫12x -1,x <1,结合图象知,选B.2.(2018·衡水模拟)若曲线|y |=2x +1与直线y =b 没有公共点,则b 的取值范围是________.解析:曲线|y |=2x +1与直线y =b 的图象如图所示,由图可知:如果|y |=2x +1与直线y =b 没有公共点,则b 应满足的条件是b ∈[-1,1].角度一:比较大小或解不等式1.(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A .1.72.5>1.73 B .0.6-1>0.62C .0.8-0.1>1.250.2 D .1.70.3<0.93.1解析:选B A 中,∵函数y =1.7x 在R 上是增函数,2.5<3,∴1.72.5<1.73,故A 错误; B 中,∵y =0.6x 在R 上是减函数,-1<2, ∴0.6-1>0.62,故B 正确;C 中,∵0.8-1=1.25,∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y =1.25x 在R 上是增函数,0.1<0.2, ∴1.250.1<1.250.2, 即0.8-0.1<1.250.2,故C 错误;D 中, ∵1.70.3>1,0<0.93.1<1, ∴1.70.3>0.93.1,故D 错误.2.(2018·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),则{x |f (x -2)>0}=( ) A .{x |x <-2或x >4} B .{x |x <0或x >4} C .{x |x <0或x >6}D .{x |x <-2或x >2}解析:选B ∵f (x )为偶函数, 当x <0时,f (x )=f (-x )=2-x -4.∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x-4,x ≥0,2-x -4,x <0,若f (x -2)>0,则有⎩⎪⎨⎪⎧ x -2≥0,2x -2-4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x -2<0,2-x +2-4>0, 解得x >4或x <0. [方法技巧](1)比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小.(2)有关指数不等式问题,应注意a 的取值,及结合指数函数的性质求解. 角度二:与指数函数有关的函数值域问题3.已知0≤x ≤2,则y =4x -12-3·2x +5的最大值为________.解析:令t =2x ,∵0≤x ≤2,∴1≤t ≤4,又y =22x -1-3·2x +5,∴y =12t 2-3t +5=12(t -3)2+12,∵1≤t ≤4,∴t =1时,y max =52.答案:52[方法技巧]形如y =a 2x +b ·a x +c (a >0,且a ≠1)型函数最值问题多用换元法,即令t =a x 转化为y =t 2+bt +c 的最值问题,注意根据指数函数求t 的范围.角度三:与指数函数有关的单调性问题 4.若函数f (x )=a |2x -4|(a >0,且a ≠1),满足f (1)=19,则f (x )的单调递减区间是( )A .(-∞,2]B .[2,+∞)C .[-2,+∞)D .(-∞,-2]解析:选B 由f (1)=19,得a 2=19,解得a =13或a =-13(舍去),即f (x )=⎝⎛⎭⎫13|2x -4|.由于y =|2x -4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f (x )在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减,故选B.5.已知函数f (x )=a |x +1|(a >0,且a ≠1)的值域为[1,+∞),则f (-4)与f (1)的大小关系是________________.解析:∵|x +1|≥0,函数f (x )=a |x +1|(a >0,且a ≠1)的值域为[1,+∞),∴a >1.由于函数f (x )=a |x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线x =-1对称,则函数在(-∞,-1)上是减函数,故f (1)=f (-3),f (-4)>f (1).答案:f (-4)>f (1) [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成,要注意数形结合思想的运用.角度四:与指数函数有关的最值与参数问题6.设x ,y ∈R ,a >1,b >1,若a x =b y =3,a +b =23,则1x +1y 的最大值为( ) A .2 B.32 C .1D.12解析:选C 由a x =b y =3,可得a =31x ,b =31y, 所以23=a +b =31x +31y≥23+11x y,则1x +1y ≤1,当且仅当x =y 时,等号成立. 故1x +1y 的最大值为1.7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x >0,-x 2-2x ,x ≤0,若函数g (x )=f (x )+3m 有3个零点,则实数m 的取值范围是________.解析:因为函数g (x )=f (x )+3m 有3个零点,所以函数y =f (x )的图象与直线y =-3m 有三个不同的交点,作出函数y =f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x-1,x >0,-x 2-2x ,x ≤0的图象如图所示,则0<-3m <1,所以-13<x <0. 答案:⎝⎛⎭⎫-13,01.(2013·全国卷Ⅱ)若存在正数x 使2x (x -a )<1成立,则a 的取值范围是( ) A .(-∞,+∞) B .(-2,+∞) C .(0,+∞)D .(-1,+∞)解析:选D 法一:不等式2x (x -a )<1可变形为x -a <⎝⎛⎭⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y =x -a 与y =⎝⎛⎭⎫12x的图象.由题意,在(0,+∞)上,直线有一部分在曲线的下方.观察可知,有-a <1,所以a >-1,选D.法二:由2x (x -a )<1得a >x -12x .令f (x )=x -12x ,即a >f (x )有解,则a >f (x )mi n .又y =f (x )在(0,+∞)上递增,所以f (x )>f (0)=-1, 所以a >-1,选D.2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f ⎝⎛⎭⎫x -12>1的x 的取值范围是________.解析:由题意知,可对不等式分x ≤0,0<x ≤12,x >12讨论.当x ≤0时,原不等式为x +1+x +12>1,解得x >-14,∴-14<x ≤0.当0<x ≤12时,原不等式为2x +x +12>1,显然成立.当x >12时,原不等式为2x +2x -12>1,显然成立.综上可知,x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-14,+∞. 答案:⎝⎛⎭⎫-14,+∞ 3.(2015·江苏高考)不等式2x 2-x <4的解集为________. 解析:∵2x 2-x <4,∴2x 2-x <22, ∴x 2-x <2,即x 2-x -2<0,∴-1<x <2. 答案:{x |-1<x <2}4.(2015·山东高考)已知函数f (x )=a x +b (a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a +b =________.解析:当a >1时,函数f (x )=a x+b 在[]-1,0上为增函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a -1+b =-1,a 0+b =0无解.当0<a <1时,函数f (x )=a x +b 在[-1,0]上为减函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a -1+b =0,a 0+b =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =-2,所以a +b =-32.答案:-32一、选择题。

高中数学基础知识

高中数学基础知识

高中数学基础知识一、函数部分: 1.函数性质:(1)单调性:增+增为 ,减+减为 ,增-减为 ,增+减不确定, (2)奇偶性:奇±奇为 ,偶±偶为 ,奇*奇为 ,偶*偶为 , 奇*偶为 。

2.分数指数幂与根式的性质: (1)m na = .(2)m na-= .2.指数式与对数式的互化: log a N b =⇔ .(1)、p a -= ; (2)、0a = (0a ≠) ; (3)、 log 1a = ;(4)、 log a a = ; (5)、a ( )b =; (6) log a n =( );3. 对数的换底公式 :log a N =4.对数的四则运算法则:若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则(1)log log a a M N += ; (2) log log a a M N -= ; (3)log na M = ; (4) log m na N = 。

二、三角函数:1.圆心角α= ;弧长公式:l = ;扇形面积公式:S= = 。

2.三角函数的定义:sin α= , cos α= ,tan α= .3.同角三角函数的基本关系:平方关系: , 商的关系:。

4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:①sin()αβ±= ;cos()αβ±= ;tan()αβ±= .②sin cos y a x b x =+= (tan baϕ= ). 5.二倍角公式: ①sin 2α= .②cos2α= = = (二倍角公式).③tan 2α= 。

④sin cos αα= ,2cos α= ; 2sin α= (降幂公式).r lα7.周期公式:①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期T = (A 、ω、ϕ为常数, 且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期T = (A 、ω、ϕ为常数,且A ≠0). 8.正、余弦定理:⑴正弦定理: (R 2是ABC ∆外接圆直径)S = = = .⑵余弦定理:2a = ;2b = ; 2c = ;cos A = ;cos B = ;cos C = 。

高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总

高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总

高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,考生想要在考场上准确求出定义域,就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来,列成不等式组,不等式组的解集就是该函数的定义域。

在求一般函数定义域时,要注意以下几点:分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。

函数的定义域是非空的数集,在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。

复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。

第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数,判断分段函数的单调性有两种方法:第一,在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间,然后对各个段上的单调区间进行整合;第二,画出这个分段函数的图象,结合函数图象、性质能够进行直观的判断。

函数题离不开函数图象,而函数图象反应了函数的所有性质,考生在解答函数题时,要第一时间在脑海中画出函数图象,从图象上分析问题,解决问题。

对于函数不同的单调递增(减)区间,千万记住,不要使用并集,指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域,对函数具有奇偶性的前提条件不清,对分段函数奇偶性判断方法不当等等。

判断函数的奇偶性,首先要考虑函数的定义域,一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称,如果不具备这个条件,函数一定是非奇非偶的函数。

在定义域区间关于原点对称的前提下,再根据奇偶函数的定义进行判断。

在用定义进行判断时,要注意自变量在定义域区间内的任意性。

第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的,在解答此类问题时,考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。

多用特殊赋值法,通过特殊赋可以找到函数的不变性质,这往往是问题的突破口。

高考文科数学总知识点

高考文科数学总知识点

高考文科数学总知识点高考文科数学是高中毕业生参加高考时必须考察的科目之一,它的考察对象包括数学的基本概念、运算规则、解题方法等等。

下面是高考文科数学的总知识点。

1.数与代数1.1 数的性质与运算1.2 代数运算与因式分解1.3 一元一次方程与一元一次不等式1.4 二次根式与二次方程1.5 高次方程与不等式1.6 数列的概念与性质2.函数2.1 函数的性质与图像2.2 一次函数与二次函数2.3 指数函数与对数函数2.4 三角函数3.几何3.1 点、直线和平面3.2 各种角的概念与性质3.3 三角形的概念与性质3.4 四边形的概念与性质3.5 圆的概念与性质3.6 空间几何4.概率与统计4.1 随机事件与概率4.2 统计的基本概念和方法4.3 相关系数与回归直线5.数学推理与证明5.1 几何证明5.2 数学归纳法5.3 数论证明以上是高考文科数学的总知识点,通过对这些知识点的掌握,考生能够在高考中取得较好的成绩。

高考数学的重点在于对基本概念的理解和解题能力的培养,所以考生在备考过程中要注重理论的学习和题目的练习。

同时,考生还要注重方法的灵活运用,多思考、多总结,提高解题的效率和准确性。

为了高效地备考数学,考生可以采取以下方法:首先,理论学习要扎实。

要充分理解并掌握每一个知识点,掌握其内在的联系和运用方法。

其次,进行大量的习题训练。

通过大量的练习,逐步提高解题的技巧和速度。

再次,注重错题的总结和订正。

对于做错的题目,要找出错因,加以总结和订正,避免同样的错误再次出现。

最后,要有计划地进行复习。

将所有的知识点进行系统的梳理,进行有针对性的复习,强化薄弱环节。

总之,高考文科数学是一门理论与实践相结合的学科,需要灵活运用所学知识进行解题。

通过系统的学习和大量的练习,考生一定能够取得令人满意的成绩。

希望大家都能在高考中取得优异的成绩,实现自己的理想!。

高考文科数学函数与方程考点讲解

高考文科数学函数与方程考点讲解
考情精解读 2
函数与方程
考纲解读
考查内容
函数的零点
考查频次
3年20考
考查题型
选择题、填空题
所占分值
4分或5分
命题规律
命题趋势
高考复习讲义
考情精解读 3
函数与方程
考纲解读
预计本部分高考命题的热点有三个: (1)确定函数零点所在的区间; (2)根据函数图象的特征确定函数零点的个数; (3)已知函数零点的个数或所在的区间求解函数解析 式中的参数.
么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程
f(x)=0的根.
在上述定理的条件下,只能判断出零点存在,不能确定零点的个数.
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 5
函数与方程
通关秘籍
f(a)·f(b)<0与函数f(x)存在零点的关系
1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续
3.若函数f(x)在[a,b]上单调,且f(x)的图象是连续不断的一条曲线,则f(a)·f(b)<0⇒函数
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f(x)在[a,b]上只有一个续学习
高考复习讲义
考点全通关 3
函数与方程 考点一 函数的零点
3.二次函数的零点 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其零点个数可根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
根的判别式来确定,具体情形如下表:
Δ>0 Δ=0 Δ<0 方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数 有两个不相等的实 有两个相等的实数根 无实数根 数根 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点个数 有两个零点 a>0 有一个二重零点 无零点

文科高等数学重要知识点汇总

文科高等数学重要知识点汇总

第一章函数与极限一、内容提要1.函数是微积分研究的对象,定义域、对应法则构成其两要素。

2.极限分成数列极限与函数极限,是微积分学的基础,以后的内容绝大多数与此紧密相关。

3.无穷小与无穷大是两个特殊的变量,为了更精细的研究它们之间的关系,必须讨论它们之间比较时产生的阶的关系。

4.求极限的方法有多种,本章主要有利用极限运算法则及两个极限存在法则方法,并利用后者得到两个重要极限。

5.利用极限来描述连续这种直观现象是用极限对函数研究的第一次应用,并得到了初等函数的连续性。

作为连续函数,当其在闭区间上时具有特殊的性质。

二、重要结论1.lim an =a的定义为:∀ε>0,∃N>0,∀n>N,满足an−a<ε。

n→∞2.lim f (x)=A的定义为:∀ε>0,∃δ>0,∀x∈U(x,δ),满足f(x)−A<ε。

x→x0lim+f(x)=A的定义为:∀ε>0,∃δ>0,∀x∈(x,x+δ),满足f(x)−A<ε。

x→xlim−f(x)=A的定义为:∀ε>0,∃δ>0,∀x∈(x−δ,x),满足f(x)−A<ε。

x→xlim f(x)=A的定义为:∀ε>0,∃X>0,∀x满足x>X时,成立f(x)−A<ε。

x→∞lim f(x)=A的定义为:∀ε>0,∃X>0,∀x满足x>X时,成立f(x)−A<ε。

x→+∞lim f(x)=A的定义为:∀ε>0,∃X>0,∀x满足x<−X时,成立f(x)−A<ε。

x→−∞3.数列极限或函数极限若存在则必唯一。

4.收敛数列必为有界数列,函数极限存在有局部有界性。

5.函数极限若存在,则有局部保号性。

6.lim f (x)=A,当n→∞时,xn与上极限中的x有相同的变化趋势,则lim f(xn)=A。

n→∞7.lim f(x)=A⇔f(x)=A+o(1)。

高中文科数学公式及知识点总结大全(精华版).doc

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高中文科数学公式及知识点速记一、函数、导数1、函数的单调性(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;若0)(<'x f ,则)(x f 为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f =-,则)(x f 是偶函数; 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f -=-,则)(x f 是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。

3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.*二次函数: (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+- 4、几种常见函数的导数①'C 0=;②1')(-=n n nx x ; ③x x cos )(sin '=;④x x sin )(cos '-=;⑤a a a x x ln )('=;⑥xx e e =')(; ⑦a x x a ln 1)(log '=;⑧xx 1)(ln '= 5、导数的运算法则(1)'''()u v u v ±=±. (2)'''()uv u v uv =+. (3)'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值7、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=.当()00f x '=时: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么()0f x 是极小值. 指数函数、对数函数分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈,且1n >).(2)1m nm naa-==0,,a m n N *>∈,且1n >).根式的性质(1)当na =; 当n,0||,0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩.有理指数幂的运算性质(1) r sa a⋅=(2) ()r s rsa a=(3)()r rab a b=注:若a>0,指数幂都适用..(0,1,0)a a N>≠>..1a≠,0m>,且1m≠,0N>).对数恒等式:).推论log m nab).常见的函数图象822sin cosθθ+9απ±kα看成锐角时该函数的符号;αππ±+2kα看成锐角时该函数的符号。

人教A版高考总复习文科数学精品课件第4章三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数基本关系式及诱导公式

人教A版高考总复习文科数学精品课件第4章三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数基本关系式及诱导公式
cos

π
π + ,
2
∈ 可以实现角 α 的弦切互化.
2.“1”的灵活代换:1=cos α+sin α=(sin α+cos α) -2sin αcos
2
2
2
3.关于sin α,cos α的齐次式,往往化为关于tan α的式子.
π
α=tan4 .
对点训练 3 已知直线 2x-y+1=0 的倾斜角为

tan
3.已知
=-1,求下列各式的值:
tan -1
sin -3cos
(1) sin +cos ;
(2)sin2α+sin αcos α+2.
解:由已知得 tan
sin -3cos
(1) sin +cos
=
1
α=2.
tan -3
5
=- .
tan +1 3
si n 2 +sin cos
=
sin
cos
+
cos
sin
=
1
=2.
sin cos
1
α=2,
)
本 课 结 束

sin ( -)+cos ( +)
2
2
(
A.-3
5
B.
3
C.3
D.5
=
)
答案:(1)A (2)C
解析:(1)由题意|OP|=1,sin α=cos 1 180°=cos(360°×3+100°)
=cos 100°=sin(-10°),cos α=sin 1 180°=sin(360°×3+100°)

高等文科数学大一知识点

高等文科数学大一知识点

高等文科数学大一知识点
一、数列与数列极限
1. 数列的定义与性质
2. 数列极限的定义与性质
3. 数列极限的计算方法
二、函数与极限
1. 函数的定义与性质
2. 函数的极限与连续性
3. 函数的极限计算方法
三、导数与微分
1. 导数的定义与性质
2. 导数的计算方法
3. 微分的定义与性质
四、不定积分与定积分
1. 不定积分的定义与性质
2. 基本初等函数的不定积分公式
3. 定积分的定义与性质
4. 定积分的计算方法
五、微分方程
1. 一阶线性微分方程
2. 一阶可降解微分方程
3. 高阶非齐次线性微分方程
六、级数与幂级数
1. 级数的定义与性质
2. 收敛级数与发散级数
3. 幂级数的定义与性质
七、概率与统计
1. 概率的基本概念
2. 随机变量与概率分布
3. 统计量与抽样分布
八、线性代数
1. 线性方程组的解法
2. 矩阵与向量的基本运算
3. 矩阵的特征值与特征向量
九、离散数学
1. 集合论与逻辑推理
2. 图论与网络流
3. 组合数学与离散概率
十、数理逻辑
1. 命题逻辑与谓词逻辑
2. 形式化证明与推理规则
3. 模态逻辑与公理系统
以上是高等文科数学大一的知识点概览。

深入学习和掌握这些知识,对于在数学领域的进一步研究与应用至关重要。

高三文科数学知识要点总结

高三文科数学知识要点总结

高三文科数学知识要点总结无论你是理科生还是文科生,数学公式,你必须掌握。

接下来是小编为大家整理的高三文科数学知识要点总结,希望大家喜欢!高三文科数学知识要点总结一1、函数的单调性(1)设x1、x2[a,b],x1x2那么f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数;f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数.(2)设函数yf(x)在某个区间内可导,若f(x)0,则f(x)为增函数;若f(x)0,则f(x)为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x,都有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数; 对于定义域内任意的x,都有f(x)f(x),则f(x)是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。

高三文科数学知识要点总结二【一、《集合与函数》】内容子交并补集,还有幂指对函数。

性质奇偶与增减,观察图象最明显。

复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。

指数与对数函数,两者互为反函数。

底数非1的正数,1两边增减变故。

函数定义域好求。

分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数;正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。

两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X是对称轴;求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。

幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。

【二、《三角函数》】三角函数是函数,象限符号坐标注。

函数图象单位圆,周期奇偶增减现。

同角关系很重要,化简证明都需要。

正六边形顶点处,从上到下弦切割;中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,顶点任意一函数,等于后面两根除。

诱导公式就是好,负化正后大化小,变成税角好查表,化简证明少不了。

二的一半整数倍,奇数化余偶不变,将其后者视锐角,符号原来函数判。

高考文科数学必考知识点归纳

高考文科数学必考知识点归纳

高考文科数学必考知识点归纳精选全国高考文科数学必考知识点一、基本概念1.函数与曲线:定义函数与曲线,二次函数方程;二次曲线函数表达式;参数方程的图形;定义域和值域;一次函数与l2函数的性质;反函数的求解;函数和曲线变换;极坐标函数图形;求值点;联系函数和曲线。

2.三角函数:三角函数基本性质;弧度和角度的关系;周期性特点;正弦定理、余弦定理及其应用;正弦曲线以及余弦曲线的性质;三角函数变换;三角函数的值的计算。

3.解析几何:定义几何图形,平面直角坐标系;圆的性质;椭圆及其性质;双曲线的特点;点、直线、圆及其几何关系;不等式的图形表示;空间几何图形;解析几何方法解决几何问题;锐角三角形内角和外角的关系;三角函数与角度;等腰三角形及其特殊性质;空间三角形和其内角和外角关系;四边形面积;六边形面积;新结构和性质;特殊定点定理和性质。

4.统计:统计的基本概念;概率的含义;概率的计算;分类资料的相互关系;抽样分析;概率的判断;统计数据的分类;统计数据的计算;统计图的制作及其应用;回归分析;误差估计。

二、代数与方程1.代数:定义多项式;解题步骤和算法;系数;根;因式分解;乘法定理;互异因数;无穷序列求和;除号自由把法;十二项式;因式定理;求取代数方程的根;多项式的因式分解;代数的性质;多项式的奇偶性;分数的运算;平方根运算。

2.方程:定义方程;一元二次方程的求解;整式化简;同余方程;不等式及其解法;定义不等式;不等式解法;二元一次方程组;合并算法;解法及应用;三元一次方程组;连立方程解法;恒等变换;解三元一次方程组。

三、推理与证明1.数学推理:数学推理的基本概念;式子、条件、命题、证明;直觉猜想;演绎推理;证明方式和思路;言语推理;判断推理;数列的构造;数列的求和及其性质;模式推理;推理与逻辑;数学归纳法;归纳证明;归纳定理;反证法的应用;数论。

2.证明方法:数论的基本概念;数论的证明方法;数学分析的基本任务;证明的步骤和思路;数学初步证明;假设证明法;特例法;反证法;常数项法;例证法;椭圆函数的性质;变量分离法。

高中数学文科之函数的极值和最值(文)知识梳理

高中数学文科之函数的极值和最值(文)知识梳理

函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。

2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。

【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值 函数的极值的定义一般地,设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义,(1)若对于0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f <,则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值,记作)(0x f y =极大值;(2)若对0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f >,则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值,记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值. 要点诠释:求函数极值的的基本步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数)(x f '; ③求方程0)(='x f 的根;④检查'()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值;在开区间),(b a 内连函数的极值和最值函数在闭区间上的最大值和最小值函数的极值函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1()(0)f x x x=>. 要点诠释:①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个,但最值只有一个。

2.通过导数求函数最值的的基本步骤:若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义,在开区间(,)a b 内有导数,则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下:(1)求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '; (2)求方程0)(='x f 在),(b a 内的根;(3)求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ,)(b f ; (4)比较上面所求的值,其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值,最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.【典型例题】类型一:利用导数解决函数的极值等问题【高清课堂:函数的极值和最值394579 典型例题一】例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值,试求m 的值,并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程;【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。

高一文科数学知识点总结

高一文科数学知识点总结

高一文科数学知识点总结# 高一文科数学知识点总结## 第一章:集合与函数### 1.1 集合的概念- 集合的定义- 元素与集合的关系- 集合的表示方法### 1.2 集合的基本运算- 并集- 交集- 补集- 差集### 1.3 函数的概念- 函数的定义- 函数的三要素:定义域、值域、对应法则- 函数的表示方法### 1.4 函数的基本性质- 单调性- 奇偶性- 有界性### 1.5 基本初等函数- 幂函数- 指数函数- 对数函数- 三角函数## 第二章:不等式与不等式组### 2.1 不等式的概念- 不等式的定义- 不等式的解集### 2.2 不等式的基本性质- 传递性- 可加性- 乘法性质### 2.3 不等式的解法- 一元一次不等式的解法- 一元二次不等式的解法- 分式不等式的解法### 2.4 不等式组的解法- 线性不等式组的解法- 非线性不等式组的解法## 第三章:数列### 3.1 数列的概念- 数列的定义- 通项公式### 3.2 等差数列- 等差数列的定义- 等差数列的性质- 等差数列的求和公式### 3.3 等比数列- 等比数列的定义- 等比数列的性质- 等比数列的求和公式### 3.4 数列的通项与求和- 通项公式的求解- 数列求和的方法## 第四章:三角函数与三角恒等变换### 4.1 三角函数的定义- 正弦函数- 余弦函数- 正切函数### 4.2 三角函数的基本性质- 周期性- 奇偶性- 单调性### 4.3 三角恒等变换- 正弦定理- 余弦定理- 两角和与差的三角函数公式### 4.4 三角函数的图象与性质- 三角函数的图象- 函数的值域- 函数的对称性## 第五章:解析几何### 5.1 直线的方程- 点斜式- 斜截式- 两点式- 一般式### 5.2 圆的方程- 圆的标准方程- 圆的一般方程### 5.3 椭圆、双曲线、抛物线- 椭圆的定义与方程- 双曲线的定义与方程- 抛物线的定义与方程### 5.4 圆锥曲线的性质- 焦点- 准线- 离心率## 第六章:统计与概率### 6.1 统计初步- 数据的收集与整理- 描述性统计### 6.2 概率的基本概念- 事件- 概率的定义- 概率的基本性质### 6.3 古典概型- 古典概型的定义- 古典概型的计算方法### 6.4 条件概率与事件的独立性- 条件概率的定义- 事件的独立性## 结语本文总结了高一文科数学的主要知识点,旨在帮助学生系统地回顾和掌握数学基础。

高考数学(文科)总复习:函数的奇偶性与周期性

高考数学(文科)总复习:函数的奇偶性与周期性

题型三 函数的周期性 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 019).
思考题 1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= x2-4; (2)f(x)=x-sinx; (3)f(x)=ln22-+xx; (4)f(x)=ax-1 1+12 (a>0,且 a≠1).
【解析】 (1)偶函数. (2)奇函数. (3)f(x)的定义域为(-2,2), f(-x)=ln22+-xx=-ln22-+xx=-f(x), ∴函数 f(x)为奇函数. (4)∵f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}, 其定义域关于原点对称,并且有
均为非奇非偶函数,故选 B.
4.若函数 y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一 定在函数 y=f(x)图像上的是( )
A.(a,-f(a)) C.(-a,-f(-a))
B.(-a,-f(a)) D.(a,f(-a))
答案 B
解析 ∵函数 y=f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a).
思考题 2 (1)将例 2(1)中“奇函数且定义域为 R”改为 “ 偶 函 数 且 定 义 域 为 {x∈R|x≠0}” , 则 f(x) 的 解 析 式 为 ________.
【答案】 f(x)=x1+-1x, ,( (xx><00) )
(2)将例 2(2)中“已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递 增”改为“函数 f(x)=x2+e|x|”,则 x 的取值范围是________.

高中文科数学知识点精编——三角函数

高中文科数学知识点精编——三角函数

高中文科数学知识点精编——三角函数一、任意角三角函数定义:1. 定义:设α是一个任意角,α的终边上任意一点P 的坐标是(x ,y ),它与原点的距离22()r r x y =+,那么sin ,cos ,tan y x yx x x r r x=== 2. 三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割o o ox yx yxy二、三角函数公式:1. 同角三角函数的基本关系式:(1)平方关系:1cos sin 22=+αα (2)商数关系: αααtan cos sin = αααcot sin cos =(2)倒数关系:1cot tan =⋅αα 2.诱导公式:“奇变偶不变,符号看象限”。

象限 一 二 三 四 一 二 三四角 2k πα+ k Z ∈ πα- πα+ 2πα-或α- 2πα- 2πα+32πα- 32πα+ 正弦余弦 正切3.特殊角的函数值:角 0o 6π4π3π 90o 120o π43π 32π 74π 2π 正弦 余弦 正切3. 两角和差与倍角公式:()sin sin cos cos sin sin sin cos αβαβαβαβααα±=±=−→−−−=令22()cos cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβααα±==−→−−−=- 令222 ()tan tan tan tan tan αβαβαβ±=±1 · =-=-⇒211222cos sin ααtan tan tan 2212ααα=-cos cos sin cos 22122122αααα=+=-4. 合一变形,化为同名三角函数:roxya 的终边P (x,y )(1)()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a ,其中,2222cos ,sin a b a ba bϕ=ϕ=++(2)sin cos sin αααπ+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪24(3)sin cos sin αααπ+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪323 三、三角函数的图象与性质:1. 三角函数的图象与性质:sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时,max1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z时,min 1y =-.当()2x k k π=∈Z 时,max 1y =;当2x k ππ=+()k ∈Z 时,min 1y =-.既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是增函数; 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数.在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数; 在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数. 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k ∈Z 上是增函数.函数 性质。

高考文科数学三角函数的图像和性质专项讲解

高考文科数学三角函数的图像和性质专项讲解

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第二部分
函数 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ))的最小正周期 T=2|ωπ|.应特别注意 y=
π
|Asin(ωx+φ)|的最小正周期为 T=|ω|.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
7
【解析】
(1)A
中,函数
f(x)=|cos
π 2x|的周期为 2 ,当
x∈π4 ,π2 时,2x∈π2 ,π,
函数
f(x)单调递增,故
A
正确;B
中,函数
f(x)=|sin
π 2x|的周期为 2 ,当
x∈π4 ,π2
时,2x∈π2 ,π,函数 f(x)单调递减,故 B 不正确;C 中,函数 f(x)=cos|x|=cos x
第二部分 高考热点 分层突破
专题一 三角函数与解三角形
第1讲 三角函数的图象与性质
数学
第二部分 专题一 三角函数与解三角形
1
01
做高考真题 明命题趋向
02
研考点考向 破重点难点
03
练典型习题 提数学素养
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
2
考点 3 三角函数的性质(综合型) [知识整合]
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
25
2.若存在实数 φ,使得圆面 x2+y2≤4 恰好覆盖函数 y=sinπk x+φ图象的最高点
或最低点共三个,则正数 k 的取值范围是________. 解析:函数 y=sinπk x+φ的图象的最高点或最低点一定在直线 y=±1 上,由

高中文科数学知识点大全及解题方法

高中文科数学知识点大全及解题方法

高中文科数学知识点大全及解题方法一、函数与方程1.二次函数:定义、图像、性质、定点、求最值、解方程、应用2.一次函数与斜率:定义、图像、性质、直线方程、平行线、垂直线、解方程、应用3.线性规划:线性规划问题、解法、图像解法、应用4.幂函数与指数函数:定义、图像、性质、对数函数、解方程、应用5.极限与连续:定义、性质、计算方法、极限存在准则、连续性、中值定理、应用二、概率与统计1.随机事件与随机变量:概率、样本空间、事件、概率计算、离散随机变量、连续随机变量、期望、方差、标准差、应用2.抽样调查与统计描述:抽样方法、频率分布表、组织数据、图表、统计参数、抽样误差、应用3.统计推断:参数估计、假设检验、置信区间、显著性检验、两个总体参数的推断、回归分析、相关分析、应用三、数列与数学归纳法1.等差数列与等比数列:定义、通项公式、求和公式、性质、应用2.数学归纳法:原理、应用四、平面与立体几何1.平面几何:点、线、面、平行线、垂直线、角、三角形、四边形、相似、全等、平行四边形、圆、周长、面积、体积、应用2.立体几何:正方体、长方体、棱柱、棱锥、棱台、球、圆锥、圆柱、剖面、二面角、弓形、扇形、投影、旋转体、应用五、数与函数1.数与运算:有理数、实数、复数、分数、整式、混合运算、因式分解、分式方程、幂次方程、根式、二次方程、不等式、绝对值、应用2.函数:定义、图像、性质、逆函数、复合函数、函数方程、函数图像、应用六、解析几何1.坐标系与坐标变换:平面直角坐标系、空间直角坐标系、坐标变换、终点、中点、距离、斜率、条件、方程、离散点2.直线与圆:直线方程、圆方程、位置关系、切线、判别式、解题方法、应用3.抛物线、双曲线与椭圆:标准方程、参数方程、性质、坐标变换、焦点、准线、渐近线、应用七、数学推理与证明1.数学推理基础:条件、命题、谓词、命题连接词、充分条件、必要条件、推理方法、证明方法、逆否命题、矛盾法、应用2.数学归纳法:原理、应用3.基本证明方法:直接证明、间接证明、逆证法、归谬法、应用八、解题方法1.立体几何解题:画图法、标志线法、平面坐标法、计算法、平面投影法、力学法、综合法、分析法、应用2.函数与方程解题:整体法、逐步法、转化法、因果法、逆向法、归纳法、举反例法、综合法、应用3.统计与概率解题:列出可能性、通过问题分析建立模型、估计数据、推断、应用4.数学推理与证明解题:抽取条件、列出结论、寻找证明方法、推理过程、验证结果、应用。

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高中文科数学知识点精编——函数一、函数的概念: 1.映射:一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。

记作“f (对应关系):A (原象)→B (象)”对于映射f :A →B 来说,则应满足:(1)集合A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。

;2.函数的概念:设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作:y=f(x),x ∈A .其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域.函数的三要素:定义域、对应关系、值域.3.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等.4.函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. 二、定义域的求法:能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时,列不等式组的主要依据是:<(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1; (5)指数为零,底不可以等于零;(6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合;(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 三、值域的求法: .1.函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类: (1)求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 2.函数值域的常用方法: (1)观察法:通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。

(2)配方法: .(二次或四次)转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为含有自变量的平方式与常数的和,型如:),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式,然后根据变量的取值范围确定函数的最值。

(3)换元法:代数换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的;三角代换法可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题,化归思想。

(4)分离常数法:对某些分式函数,可通过分离常数法,化成部分分式来求值域。

(5)反求法:通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围;常用来解,型如:),(,n m x dcx bax y ∈++=((6)判别式法:若函数y =f (x )可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a (y )x 2+b (y )x +c (y )=0,则在a (y )≠0时,由于x 、y 为实数,故必须有Δ=b 2(y )-4a (y )·c (y )≥0,从而确定函数的最值,检验这个最值在定义域内有相应的x 值。

(7)最值法:对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a),f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y 的值域。

(8)基本不等式法:转化成型如:)0(>+=k xkx y ,利用基本不等式公式来求值域。

(9)单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。

<如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上单调递增,在区间[b ,c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b );如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上单调递减,在区间[b ,c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b ) (10)数形结合:根据函数图象或函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。

(11)构造法:根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。

(12)导数法:利用导数求值域。

[四、解析式的求法: 1.待定系数法:已知函数图象,确定函数解析式,或已知函数的类型且函数满足的方程时,常用待定系数法。

2.函数性质法:如果题目中给出函数的某些性质(如奇偶性、周期性),则可利用这些性质求出解析式。

3.图象变换法:若给出函数图象的变化过程,要求确定图象所对应的函数解析式,则可用图象变换法。

4.换元法: -5.配凑法:6.赋值(式)法: 五、函数图象: 1.定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C 上.2.画法:(1)描点法:(2)图象变换法:…常用变换方法有三种:平移变换、伸缩变换、对称变换3.区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.六、函数的单调性:1.定义:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.{如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意:函数的单调性是函数的局部性质2.图象的特点:如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.3.函数单调区间与单调性的判定方法:(1)定义法:任取x1,x2∈D,且x1<x2;作差f(x1)-f(x2);变形(通常是因式分解和配方);定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);~下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(2)图象法(从图象上看升降)4.函数单调性的常用结论:(1)若(),()f xg x均为某区间上的增(减)函数,则()()f xg x+在这个区间上也为增(减)函数;(2)若()f x为增(减)函数,则()f x-为减(增)函数;(3)若()f x与()g x的单调性相同,则[()]y f g x=是增函数;若()f x与()g x的单调性不同,则[()]y f g x=是减函数;其规律:“同增异减”(4)奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反;(5)常用函数的单调性解答:比较大小、求值域与最值、解不等式、证不等式、作函数图象;】(6)函数的单调区间只能是定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成并集。

七、函数的奇偶性:1.定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.2.具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 3.判断函数奇偶性的步骤: \首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 确定f(-x)与f(x)的关系;作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.4.函数奇偶性的常用结论:(1)如果一个奇函数在0x =处有定义,则(0)0f =,如果一个函数()y f x =既是奇函数又是偶函数,则()0f x =(反之不成立)(2)两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。

(3)一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。

-(4)两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。

(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称,则()f x 可以表示为11()[()()][()()]22f x f x f x f x f x =+-+--,该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

(6)若函数)(x f y =是偶函数,则)()(a x f a x f --=+;若函数)(a x f y +=是偶函数,则)()(a x f a x f +-=+. (7)多项式函数的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. '多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.八、函数的对称性: 1.函数自对称:(1)关于y 轴对称的函数(偶函数)的充要条件是)()(x f x f =-(2)关于原点()0,0对称的函数(奇函数)的充要条件是0)()(=-+x f x f (3)关于直线y x =对称的函数的充要条件是1()()f x f x -=(4)函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时,函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称。

(注:特别地,当a =b =0时,该函数为偶函数)"(5)函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时,函数()y f x =的图象关于点(2a b+,2c )对称。

(注:当a =b =c =0时,函数为奇函数)2.两个函数的图象对称性:(1))(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称。

换种说法:)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=,即它们关于0=y 对称。

(2))(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称。

换种说法:)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=,即它们关于0=x 对称。

(3))(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

换种说法:)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=,即它们关于a x =对称。

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