函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)8796

函数与导数经典例题-高考压轴
1. 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈．
（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 2. 已知函数21
()3
2
f x x =+，()h x =
（Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)2
4
f x h a x h x --=---；
（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1()()[(1)(2)()]6
f n h n h h h n -+++≥．
3. 设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a
（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 注：e 为自然对数的底数．
4. 设2
1)(ax
e x
f x
+=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3
4
=
a 时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 5. 已知a ，
b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自
然对数的底数）。

（I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； （III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m<M ），使得对每一个t ∈[m ，M]，直线y=t 与曲线y=f （x ）（x ∈[1
e
，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由。

6. 设函数32()2f x x a x b x a =+++，2
()32
gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。

（I ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；
（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)
fx g x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。

函数与导数经典例题-高考压轴答案
1. 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈．
（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．
【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线
方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。

（Ⅰ）解：当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-
(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-
（Ⅱ）解：22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2
t x t x =-=或
因为0t ≠，以下分两种情况讨论：
（1）若0,,t
t t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2
t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝
⎭
的单调递减区间是,2t t ⎛⎫- ⎪⎝
⎭。

（2）若0,t
t t >-<
则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2
t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝
⎭
的单调递减区间是,.2t t ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的单调递减，在,2
t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
内单调
递增，以下分两种情况讨论：
（1）当1,22
t t ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减，
所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。

（2）当01,022t t <
<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫
⎪⎝⎭内单调递增，若33177(0,1],10.244t f t t t ⎛⎫
∈=-+-≤-< ⎪⎝⎭
所以(),12
t f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在内存在零点。

若()3377
(1,2),110.244t t f t t t ⎛⎫∈=-+-<-+< ⎪⎝⎭
所以()0,2
t f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在内存在零点。

所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点。

综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。

2. 已知函数21
()3
2
f x x =+，()h x =
（Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)2
4
f x h a x h x --=---；
（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1()()[(1)(2)()]6
f n h n h h h n -+++≥．
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．
解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥， 2()312F x x '∴=-+．
令()0F x '∴=，得2x =（2x =-舍去）．
当(0,2)x ∈时．()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<，
故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为减函数． 2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=．
（Ⅱ）方法一：原方程可化为42233log [(1)]log ()log (4)2
f x h a x h x --=---，
即为
4222
log (1)log log log x -==，且,
14,x a x <⎧⎨
<<⎩
①当14a <≤时，1x a <<，则1
a x x
--=，即2640x x a -++=，
364(4)2040a a ∆=-
+=->，此时3x ==±1x a <<，
此时方程仅有一解3x =
②当4a >时，14x <<，由14a x x x
--
=-，得2640x x a -++=，364(4)204a a ∆=-+=-，
若45a <<，则0∆>，方程有两解3x =
若5a =时，则0∆=，方程有一解3x
=； 若1a
≤或5a >，原方程无解．
方法二：原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-， 即22
1log (1)log log 2
x -+=，10,
40,
0,(1)(4).
x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⇔⎨
-
>⎪⎪--=-⎩214,(3) 5.x x a a x ⎧
<<⎪
⇔<⎨⎪
=--+⎩ ①当14a <≤时，原方程有一解3x =- ②当45a <<时，原方程有二解3x =
③当5a =时，原方程有一解3x =； ④当1a ≤或5a >时，原方程无解．
（Ⅲ）由已知得(1)(2)()]12h h h n n ++
+=++
+，
11
()()66
f n h n -
=．
设数列{}n a 的前n 项和为
n S ，且1(
)()6
n S f n h n =-（*n ∈N ）
从而有111a S ==，当2100k ≤≤
时，1k k k a S S -=-=
又1[(4(46
k a k k =+-
2
2
16=
106=
>． 即对任意2k ≥时，有k
a >11a =1212n a a a n ++
+≥++
+．
则(1)(2)()n S h h h n ≥++
+，故原不等式成立．
3. 设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a
（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．
注：e 为自然对数的底数．
【解析】（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考
查抽象概括、推理论证能力。

满分15分。

（Ⅰ）解：因为22()ln .0f x a x x ax x =-+>其中 所以2()(2)
()2a x a x a f x x a x x
-+'=-+=-
由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞
（Ⅱ）证明：由题意得，(1)11,f a c a c =-≥-≥即 由（Ⅰ）知()[1,]f x e 在内单调递增， 要使21()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立， 只要2
2
2
(1)11,()f a e f e a e ae e
=-≥-⎧⎨
=-+≤⎩
解得.a e =
4. 设2
1)(ax
e x
f x
+=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3
4
=
a 时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.
【解析】（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 解：对)(x f 求导得.)1(1)(2
22ax ax
ax e x f x
+-+=' ①
（I ）当34
=
a ，若.2
1,23,0384,0)(212===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知
所
以,2
31=
x 是极小值点
,
2
1
2=
x 是极大值点.
（II ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知
0122≥+-ax ax
在R 上恒成立，因此,0)1(4442≤-=-=∆a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤<a
5. 已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自
然对数的底数）。

（I ）求实数b 的值；
（II ）求函数f （x ）的单调区间；
（III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m<M ），使得对每一个t ∈[m ，M]，直线
y=t 与曲线y=f （x ）（x ∈[1
e
，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由。

【解析】22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、
运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。

解：（I ）由()22,f e b ==得
（II ）由（I ）可得()2ln .f x ax ax x =-++ 从而'()ln .f x a x =
0a ≠因为，故：
（1）当0,a >时由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0<x<1; （2）当0,'()001,'()0 1.a f x x f x x <><<<>时由得由得 综上，当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞， 单调递减区间为（0，1）；
当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为（0，1）， 单调递减区间为(1,)+∞。

（III ）当a=1时，()2ln ,'()ln .f x x x x f x x =-++=
由（II ）可得，当x 在区间1(,)e 内变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：
又22,'()([,])f x x e e
e
-<=∈所以函数的值域为[1，2]。

据经可得，若1,2
m M =⎧⎨=⎩，则对每一个[,]t m M ∈，直线y=t 与曲线1
()([,])y f x x e e =∈都有公
共点。

并且对每一个(,)(,)t m M ∈-∞+∞，直线y t =与曲线1
()([,])y f x x e e
=∈都没有公共点。

综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个[,]t m M ∈，直线y=t
与曲线1()([,])y f x x e e
=∈都有公共点。

6. 设函数32()2f x x a x b x a =+++，2
()32
gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。

（I ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；
（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)
fx g x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。

【解析】20．本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识
进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分13分） 解：（Ⅰ）2()34,()2 3.f x x ax b g x x ''=++=-
由于曲线()()y f x y g x ==与在点（2，0）处有相同的切线， 故有(2)(2)0,(2)(2) 1.f g f g ''====
由此得8820,2,1281, 5.a b a a a b b +++==-⎧⎧⎨⎨
++==⎩⎩
解得
所以2,5a b =-=，切线l 的方程为20x y --=
（Ⅱ）由（Ⅰ）得32()452f x x x x =-+-，所以32()()32.f x g x x x x +=-+ 依题意，方程2(32)0x x x m -+-=有三个互不相同的实数120,,x x ， 故12,x x 是方程2320x x m -+-=的两相异的实根。

所以194(2)0,.4
m m ∆=-->>-即
又对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-成立，
特别地，取1x x =时，111()()f x g x mx m +-<-成立，得0.m < 由韦达定理，可得12121230,20,0.x x x x m x x +=>=-><<故 对任意的1221[,],0,0,0x x x x x x ∈≤-≥>有x-x
则12111()()()()0,()()0f x g x mx x x x x x f x g x mx +-=--≤+-=又 所以函数12()()[,]f x g x mx x x x +-∈在的最大值为0。

于是当0m <时，对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-恒成立， 综上，m 的取值范围是1(,0).4
-。