数值分析分段低次插值
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《分段低次插值法》课件
适用场景
分段二次插值适用于需要更高精度插值的情况，但计 算相对复杂。
分段三次插值
三次插值
三次插值使用三次多项式进行插值，比二次插值 更为精确。
分段三次插值
分段三次插值是将数据点分成若干段，每一段使 用三次多项式进行插值。
适用场景
分段三次插值适用于需要更高精度插值的情况， 但计算相对复杂。
04
分段低次插值法的优势与局限性
分段低次插值法
• 引言 • 分段低次插值法的基本原理 • 分段低次插值法的数学模型 • 分段低次插值法的优势与局限性
• 分段低次插值法的应用实例 • 分段低次插值法的未来展望
01
引言
插值法的定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的离散数据点来构造一个连续函数，以便在 整个定义域内进行预测或逼近。
分段低次插值法可以与机器学习算法结合，利用插值结果作 为特征输入，提高机器学习模型的预测精度。
与优化算法结合，通过优化算法对插值结果进行优化，提高 插值的精度和效率。
在大数据处理中的应用前景
在大数据时代，分段低次插值法可以应用于大规模数据的插值处理，提高数据处 理效率。
在数据挖掘和机器学习领域，分段低次插值法可以作为特征提取和数据预处理的 一种有效方法。
多项式插值
使用多项式函数逼近已知数据点，通 过求解多项式来找到未知点的坐标。
分段低次插值的定义
分段低次插值法是一种数学方法，它 将整个数据集分成若干个小的分段， 并在每个分段上使用低次多项式进行 插值。
分段低次插值法的特点是每个分段上 的多项式次数较低，从而减少了计算 复杂度，提高了计算效率。
分段低次插值的实现方式
分段低次插值法的提出，为解决实际 问题提供了一种新的思路和方法，具 有重要的理论和应用价值。
分段二次插值适用于需要更高精度插值的情况，但计 算相对复杂。
分段三次插值
三次插值
三次插值使用三次多项式进行插值，比二次插值 更为精确。
分段三次插值
分段三次插值是将数据点分成若干段，每一段使 用三次多项式进行插值。
适用场景
分段三次插值适用于需要更高精度插值的情况， 但计算相对复杂。
04
分段低次插值法的优势与局限性
分段低次插值法
• 引言 • 分段低次插值法的基本原理 • 分段低次插值法的数学模型 • 分段低次插值法的优势与局限性
• 分段低次插值法的应用实例 • 分段低次插值法的未来展望
01
引言
插值法的定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的离散数据点来构造一个连续函数，以便在 整个定义域内进行预测或逼近。
分段低次插值法可以与机器学习算法结合，利用插值结果作 为特征输入，提高机器学习模型的预测精度。
与优化算法结合，通过优化算法对插值结果进行优化，提高 插值的精度和效率。
在大数据处理中的应用前景
在大数据时代，分段低次插值法可以应用于大规模数据的插值处理，提高数据处 理效率。
在数据挖掘和机器学习领域，分段低次插值法可以作为特征提取和数据预处理的 一种有效方法。
多项式插值
使用多项式函数逼近已知数据点，通 过求解多项式来找到未知点的坐标。
分段低次插值的定义
分段低次插值法是一种数学方法，它 将整个数据集分成若干个小的分段， 并在每个分段上使用低次多项式进行 插值。
分段低次插值法的特点是每个分段上 的多项式次数较低，从而减少了计算 复杂度，提高了计算效率。
分段低次插值的实现方式
分段低次插值法的提出，为解决实际 问题提供了一种新的思路和方法，具 有重要的理论和应用价值。
2.5 分段低次插值
若用插值基函数表示，则在整个区间 [a, b] 上 I h ( x) 为
Ih ( x)
n
其中基函数 l j ( x ) 满足条件l j ( xk ) jk ( j , k 0,1, , n), 其形式是
j 0
f j l j ( x ),
(5.2)
x x j 1 , x j 1 x x j ( j 0略去); x j x j 1 x x j 1 l j ( x) , x j x x j 1 ( j n略去); (5.3) x j x j 1 x [a , b], x [ x j 1 , x j 1 ]. 0 , 7
例1 已知f(x)在四个节点上的函数值如下表所示
xi
f ( xi )
30
1 2
45
2 2
60
3 2
90
1
求f(x)在区间30,90上的分段连续线性插值函数 L(x) 解 将插值区间30,90分成连续的三个小区间 30,45,45,60,60,90 则L(x)在区间30,45上的线性插值为
15
上节中
x x k 1 2 k ( x ) ( x xk )( ) x k x k 1 x xk 2 k 1 ( x ) ( x xk 1 )( ) x [ x , x ] k k 1 x k 1 x k H3 ( x) fkk ( x) fk 1k 1 ( x) fkk ( x) fk1 ( x)k 1 ( x)
2
14
2.5.2
分段三次埃尔米特插值
分段线性插值函数 I h ( x)的导数是间断的，若在节点
xk (k 0,1, , n) 上除已知函数值 f k外还给出导数值 f k mk (k 0,1,, n).
数值分析分段插值
华长生制作
9
L(2k )( x)
yk 1
(x ( xk 1
xk )( x xk 1 ) xk )( xk 1 xk 1 )
yk
(x ( xk
xk 1 )( x xk 1 ) xk 1 )( xk xk 1 )
yk 1
(x ( xk 1
xk 1 )( x xk ) xk 1 )( xk 1 xk
3 fk t(t 1)(t 2) 3!
华长生制作
0 t 1 k 0,1, ,n 2
17
(7)
N2(xk th)
fk fk t
2 fk t(t 1) 2
Rn(x0 th)
f (3)( )
3!
h3t(t 1)(t 2)
3 fk t(t 1)(t 2) 3!
分段二次Newton
i0
1
2
3
4
5
xi 0.30 0.40 0.55 0.65 0.80 1.05 yi 0.30163 0.41075 0.57815 0.69675 0.87335 1.18885
求f (x)在x 0.36, 0.42, 0.75, 0.98,1.1处的近似值(用分段线性)
解: 分段线性Lagrange插值的公式为
f
(
6
)
(
x
xk
1
)(x
xk
)(
x
xk
1
)
, x [xk 1 , xk 1 ], 且与x有关
|R2 ( x)|
1 max | 6 axb
f
(x) | max xk1 xxk1
| (x
xk1)(x
xk )(x
分段低次插值与样条
一致
记 h max | xi 1 xi | ，易证：当 h 0 时，P1h ( x ) f ( x ) y y= f(x)
y=p(x)
o 失去了原函数的光滑性。
x
分段Hermite插值
给定 x0 , ... , xn ; y0 , ... , yn ; y0 , ... , y n
i 1, 2,L , n 1, i 1, 2, L , n 1, i 1, 2,L , n 1.
因 S x 是分段3次多项式 ,故在每个区间 上 xi , xi 1 si x 都是3次多项式 ,从而 S x 共须 个独立条件确定 . 4n n 1 ① S ,和 在 个内结点连续,即满足条件(4.4),因而 S S s x s x , i 1,2,L , n 1, (4.4)给出了 3n 3 个条件； (4.4) s x s x , i 1,2,L , n 1, s x s x , i 1,2,L , n 1. ②(4.2)提供了 n 1 个独立条件; ③还差2个条件,有多种给法.最常见的给法是: S x0 f x0 M 0 , S xn f xn M n , (i) M （简支边界，导致三弯矩关系式, 关系式）, 特别地, M 0(自然边界,三次自然样条); M n 0, (ii) S x0 f x0 m0 , S xn f xn mn ,
分别补充为方程组（6. 9）的第一个和最后一个方程组。
解方程组 经补充后的方程组（6. 9）为
2 0 1 2 1 2 2 M0 d0 M 1 d1 n M n1 d n1 2 Mn dn
记 h max | xi 1 xi | ，易证：当 h 0 时，P1h ( x ) f ( x ) y y= f(x)
y=p(x)
o 失去了原函数的光滑性。
x
分段Hermite插值
给定 x0 , ... , xn ; y0 , ... , yn ; y0 , ... , y n
i 1, 2,L , n 1, i 1, 2, L , n 1, i 1, 2,L , n 1.
因 S x 是分段3次多项式 ,故在每个区间 上 xi , xi 1 si x 都是3次多项式 ,从而 S x 共须 个独立条件确定 . 4n n 1 ① S ,和 在 个内结点连续,即满足条件(4.4),因而 S S s x s x , i 1,2,L , n 1, (4.4)给出了 3n 3 个条件； (4.4) s x s x , i 1,2,L , n 1, s x s x , i 1,2,L , n 1. ②(4.2)提供了 n 1 个独立条件; ③还差2个条件,有多种给法.最常见的给法是: S x0 f x0 M 0 , S xn f xn M n , (i) M （简支边界，导致三弯矩关系式, 关系式）, 特别地, M 0(自然边界,三次自然样条); M n 0, (ii) S x0 f x0 m0 , S xn f xn mn ,
分别补充为方程组（6. 9）的第一个和最后一个方程组。
解方程组 经补充后的方程组（6. 9）为
2 0 1 2 1 2 2 M0 d0 M 1 d1 n M n1 d n1 2 Mn dn
数值计算方法 拉格朗日插值、分段插值 - 拉格朗日插值、分段插值
4!
(x x j ),
j0
[0.10, 0.30]
R3 (0.20)
e 24
(0.20
0.10)(0.20
0.15)(0.20
0.25)(0.20
0.30)
0.000001 e 106
插值多项式计算值 f (0.20) 0.818730 实际更精确的值为 f (0.20) 0.8187308 与上面讨论的余项表明6位的精度是相符的。
其截断误差为
R3( x)
M3 6
(x
x0 )( x
x1 )( x
x2 )
R2
其中 M3
(0.3367) sin 0.3367
max f ( x)
x0 x x2
1
L2(0.3367) 6
cos x0 0.828
(0.828)(0.0167)(0.033)(
0.0233)
0.178
10
用抛物插值计算sin 0.3367时，由公式（2.5）得
sin 0.3367
y0
(x ( x0
x1 )( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
y1
(x ( x1
x0 x0
)( )(
x x2 ) x1 x2 )
y2
(x ( x2
x0 x0
)( )(
x x1 ) x2 x1 )
L2(0.3367) 30374
6
拉格朗日插值问题
课后练习
设函数 f (x) ex，已知下列数据点：
x0 y0
0.10 0.904837
,
x1 y1
0.15 ,
0.860708
x2 y2
数值分析分段低次插值
二次插值
01
二次插值是通过构造一个二次多项式在两个已知数据点之间，并利用这个多项 式来估计其他点的值。
02
二次插值的公式为：$y = a(x - x_0)(x - x_1) + b(x - x_0) + c$，其中$a, b, c$是 待求解的系数，$(x_0, y_0)$和$(x_1, y_1)$是已知数据点，$x$是待估计的点的横 坐标。
分段低次插值的缺点
逼近精度有限
由于插值次数较低，分段低次插值在逼近复杂函数时的精度可能有 限，可能无法满足某些高精度应用的需求。
对数据敏感
对于数据中的噪声和异常值，分段低次插值方法可能较为敏感，可 能导致插值结果失真。
连续性不足
由于分段处理的方式，分段低次插值可能无法保证函数在分段点处的 连续性，这在某些应用中可能是一个问题。
分段低次插值的基本步骤
数据分段
将给定数据点按照某种规则进 行分段，每一段对应一个低次
多项式。
确定多项式
对于每一段数据，选择一个低 次多项式进行插值。
求解插值多项式
利用给定数据点和选择的低次 多项式，求解插值多项式的系 数。
逼近未知函数
将所有分段上的插值多项式组 合起来，形成对未知函数的逼在求解微分方程中的应用
总结词
分段低次插值在求解微分方程中能够提 供稳定和高效的数值解。
VS
详细描述
在求解微分方程时，分段低次插值可以作 为数值方法的基底，提供稳定和高效的数 值解。这种方法在处理非线性微分方程时 具有较好的适应性，能够有效地解决微分 方程的数值求解问题。
06
分段低次插值的优缺点和未来发展方
02
分段低次插值的基本原理
分段低次插值的数学模型
Ch4.4 分段低次插值
已知 ( x j ，y j ) ，j 0 , 1 , 2 , , n，求三次分段多 项式S3 ( x)， 满足：（ 1 ）S3 ( x j ) y j ； （2） S3 ( x j 0) S3 ( x j 0) ；
插值条件 连接条件
S 3 ( x j 0) S 3 ( x j 0 ) ； S3 ( x j 0) S3 ( x j 0) ；
— 边界条件 个条件，通常在端点处 各加一个条件。
常用边界条件：
① S3 ( x0 ) f ( x0 ) ，S3 ( xn ) f ( xn ) ；
② S3 ( x0 ) f ( x0 ) ，S3 ( xn ) f ( xn ) ； 特别，若 S3 ( x0 ) S3 ( xn ) 0
2、几何意义：
3、误差估计：
由于 f ( x) L1， i ( x)
f (i ) 2!
( x xi )(x xi 1 ) ，x xi， xi 1
hi2 hi2 f (i ) max f ( x) 8 8 xi x xi1
(记 x xi t hi，0 t 1 ，xi 1 xi hi，则 ( x xi )(x xi 1 ) t (t 1) hi2 t (1 t ) hi2， 1 易知，当 0 t 1 时，t (1 t ) 最大值为 ， 4 1 2 从而 ( x xi )(x xi 1 ) hi ) 4
三、三次样条插值函数简介
——分段三次插值多项式
实际应用中，如机翼设计、船体放样等往往要求有二 阶光滑度，即二阶连续导数。早期工程师制图时，把富有
弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，其它
数值分析插值法
解 由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为
故
又
可得过前四点的三次牛顿插值多项式
可得N3(x)的截断误差
差分与等距节点的牛顿插值多项式
设函数y=fx在等距节点xi=x0+ih i=01 …n上的函数值为fi=fxih为步长
定义2 fi=fi+1-fi 和 fi=fi-fi-1 分别称为函数fx在点xi处的一阶向前差分和一阶向后差分
求f2.8用牛顿后插公式且由 2.8=3+0.5t 得 t= -0.4
第四节 埃尔米特Hermite插值
一、 埃尔米特插值多项式
为了使插值函数能更好的切合原来的函数许多问题不但要求节点上的函数值相等还要求导数值相同甚至高阶导数也相等这类插值问题称为埃尔米特插值
xi[a, b] (i=0,1, …, n) 为n+1个互异节点,考虑函数值 与导数个数相等的情况。
二、误差估计
定理4 设fx在包含x0、x1的区间ab内存在四阶导数则当x∈ab时有
且与x有关)
例1 已知fx=x1/2在X=121和144时的函数值及其一阶导数的数据见下表用埃尔米特插值公式计算1251/2的近似值并估计其截断误差.
得
由
可求得
例2
第五节 分段低次插值
解 (1) 用线性插值
第三节 均差与牛顿插值公式
一、差商及其基本性质
定义1 称
为 f x在x0、x1点的一阶差商.一阶差商的差商
称为函数f x在x0、x1 、x2 点的二阶差商.
一般地n-1阶差商的差商
称为f x在x0 x1 … xn点的 n 阶差商
差商的计算步骤与结果可列成差商表如下
xk
函数值
一阶差商
数值分析--第2章 插值法
数值分析--第2章插值法第2章 插值法在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。
反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。
此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数)(x f 的一些样点，选定一个便于计算的函数)(x ϕ形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数)(x ϕ作为)(x f 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。
这类方法称为曲线（数据）拟合法。
设已知函数f 在区间],[b a 上的1+n 个相异点ix 处的函数值(),0,,iif f x i n ==，要求构造一个简单函数()x ϕ作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ϕ≈，使得()(),0,1,,iiix f x f i n ϕ=== (2-1) 这类问题称为插值问题。
称f 为被插值函数；()x ϕ为插值函数；nx x ,,0 为插值节点；(2-1)为插值条件。
若插值函数类{()}x ϕ是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。
若{()}x ϕ是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。
若{()}x ϕ是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值1.1 Lagrange 插值多项式设函数f 在1+n 个相异点01,,,nx x x 上的值n i x f f ii ,,1,0),( ==是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()nL x 使得(),0,1,,n i iL x f n n == (2-2) 定理2.1 存在惟一的多项式nn P L ∈满足插值条件(2-2)。
《分段低次插值》课件
02
分段低次插值的定义
分段插值
定义
分段插值是一种数学方法，通过在数据点之间建立分 段多项式来逼近函数。
特点
分段插值能够保证整体平滑性，同时能够适应数据点 的局部变化。
应用场景
分段插值在数值分析、图像处理、信号处理等领域有 广泛应用。
低次插值
01
02
03
定义
低次插值是指使用次数较 低的多项式进行插值的方 法。
03
插值计算的结果可以用于数据预测、函数逼近等领 域。
04
分段低次插值的优缺点
优点
简单易行
分段低次插值方法原理简单，计算过程相对容易，适合于解决实 际问题。
精度可调
可以通过调整分段次数来控制插值的精度，满足不同精度的需求 。
灵活多变
可以根据数据的特点和分布，灵活选择不同的分段方式和低次多 项式进行插值。
分段低次插值
将数据点分段，每段使用低次多项 式进行插值。
插值的应用场景
数据拟合
通过已知数据点，拟合一个连续函数，用于 预测未知数据点的趋势。
图像处理
在图像处理中，可以使用插值方法放大图像 、修复图像等。
数值分析
在数值分析中，插值方法用于求解微分方程 、积分方程等数学问题。
工程应用
在工程领域，插值方法用于测量数据的处理 、物理实验数据的分析等。
数值分析
分段低次插值在数值分析中用于解决微分方程和积分方程。
在数值分析中，分段低次插值可以用于近似求解微分方程和积分方程的解。通过将方程的解表示为分 段低次多项式的组合，可以降低计算复杂度并提高数值稳定性。这种方法在科学计算和工程领域有广 泛的应用。
06
分段低次插值的未来发展
数值分析(14)分段低次插值
R2 ( x ) e p2 ( x )
x
e
6
3
( x x i 1 )( x x i )( x x i 1 )
4 x 4
e
4
e
t ( t 1) h
2
m ax e 6
x
m a x t ( t 1) h
2 1 t 1
3
6 4 e 6
3
2 3 9
数值分析
数值分析
例 ： 考 虑 构 造 一 个 函 数 f ( x ) co s x的 等 距 节 点 函 数 表 ， 要使分段线性插值的误差不大于 长 h应 取 多 大 ？ 1 2 10 ， 最 大 步
4
解 ：R
''
h
2
m ax f ( x )
a xb
''
8
f ( x ) cos x ,
定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数(x)满足条件 (1) (x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是线 性插值多项式;
(2) (xi )= yi ,
| R | h
2
| f ( x ) | 1
''
1 2
10
4
h 2 10
2
8
最 大 步 长 h 应 取 0.02.
数值分析
数值分析
二.分段二次插值与分段三次插值
例 :已 知 等 距 节 点 数 据 表 xi x0 yi y0 x1 y1 ... ... xn yn
x
e
6
3
( x x i 1 )( x x i )( x x i 1 )
4 x 4
e
4
e
t ( t 1) h
2
m ax e 6
x
m a x t ( t 1) h
2 1 t 1
3
6 4 e 6
3
2 3 9
数值分析
数值分析
例 ： 考 虑 构 造 一 个 函 数 f ( x ) co s x的 等 距 节 点 函 数 表 ， 要使分段线性插值的误差不大于 长 h应 取 多 大 ？ 1 2 10 ， 最 大 步
4
解 ：R
''
h
2
m ax f ( x )
a xb
''
8
f ( x ) cos x ,
定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数(x)满足条件 (1) (x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是线 性插值多项式;
(2) (xi )= yi ,
| R | h
2
| f ( x ) | 1
''
1 2
10
4
h 2 10
2
8
最 大 步 长 h 应 取 0.02.
数值分析
数值分析
二.分段二次插值与分段三次插值
例 :已 知 等 距 节 点 数 据 表 xi x0 yi y0 x1 y1 ... ... xn yn
分段低次插值法5
x xk 1 xk xk 1
2
(k 1
)
(
x
)
1
2
x xk
xk 1 xk 1
x xk xk 1 xk
2
( 0
k
)
(
x)
x
xk
x xk
xk 1 xk 1
2
( 1
k
)
(
x
)
x xk1
x xk xk 1 xk
2
我们称
H3(x)
H
(k 3
)
(
x
)
,
x [xk , xk1] k 0,1,L , n 1
2.5 0.13793 0.13750 0.12500
3.5 0.07547 0.07537 0.07206
4.8 0.04160 0.04159 0.04087
L3(x) 0.80000 0.32500 0.13382 0.07443 0.04269
R3(x)=f(x)-H3(x) -0.01250000000000 0.00019230769231 0.00043103448276 0.00009972579487 0.00001047427455
lim max
n 5 x 5
f
( x)
Ln ( x)
即随着n的增长Ln(x)在两端点附近的振荡会越来越大.高次 代数插值所发生的这种现象称为Runge现象.在上个世纪初 由Runge发现.
这表明: 并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好, 精度也不一定是随次数的提高而升高.
结论: 不适宜在大范围使用高次代数插值.
h0
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
分段低次插值
二、分段多项式插值
在大范围且节点较多的情况下，常采用分段低次多项式插值， 大致可分为两类，一类为局部化分段插值，即把插值区间分段后， 在每个小区间上直接构造低次插值多项式，也叫简单分段插值； 另一类是非局部化分段插值，即在整个区间上构造分段插值多项 式，如样条插值。 1、分段线性插值 y 所谓分段线性插值就是用通过插值点的折线段逼近f(x).
,x j 1 x x j ( j 0 略去 ), ,x x x j j 1 ( j n 略去 ),
2
2
x [ x j 1 , x j 1 ].
2 x x j1 ,x ( x x j ) j 1 x x j ( j 0 略去 ), x x j1 j 2 x x j1 ,x x x j ( x ) ( x x j ) j j 1 ( j n 略去 ), x x j1 j x [ x j 1 , x j 1 ]. 0,
jk
, ( j , k 0 ,1 , , n ), 表示为 , x j 1 x x j ( j 0 略去 ), , x j x x j 1 ( j n 略去 ), x [ x j 1 , x j 1 ].
x x j1 x j x j1 x x j1 x j x j1 0,
x xk f k ( x x k 1 ) x k 1 xk
若在整个区间
[ a , b ]上定义一组分段三次插
值基函数 j ( x )
及 j ( x ) ( j 0 ,1 , , n ), 则 I h ( x ) 可表示为 I h ( x ) f j j ( x ) f j j ( x ) ,
数值分析-计算方法-插值b精品文档
f [x0, …, xn] f [x1, …, xn+1]
f [x0, …, xn+1]
例：已知 si6 n1 2,si4 n1 2,si3 n2 3
3.2 Newton’s Interpolation
分别利用 1次、2次 Newton 插值公式计算 sin 50。
解一：取 x 0 /6 ,x 1 /4 ,x 2 /3 构造差商表
? 注： 由唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 只是算法不同，故其
余f项[x 也,x 相0,同.，.,Nx .即nn (]x)k ＝1(x L) n(xf()(n n 1 )1 ()! x) k 1(x)
f[x0,..,x .k]f(k k)(!), (xm,ix n m)ax
xi
f (xi)
f [xi, xj]
f [xi, xj , xk]
500 5
18
π/6
1/2
π/ 4
1/√2 0.79110
π/ 3
√3/2 0.60703
Байду номын сангаас
…
…
…
N 1 (x ) f (x 0 ) f [ x 0 ,x 1 ] (x x 0 )
-0.35155
x 0
x1
x2
sin 50 = 0.7660444…
差商(亦称均差) /* divided difference */
f[x i,xj]f(x x i) i x fj(xj) (ij,x ixj)
1阶差商 /* the 1st
divided difference of f w.r.t. xi and xj */
f[x i,x j,x k]f[x i,x x ji] x fk [x j,x k](i k ) 2阶差商
教案三埃尔米特插值法和分段低次插值法
f (1) = 0, f (2) = 0.693147, f ′(2) = 0.5.
试用埃尔米特插值法计算 f (1.5) 的近似值。 重点讲解基函数的构造和计算过程。
2.5.2 构造差商表的方法 如果插值条件中不仅出现了一阶导数，还出现了高阶导数，那么利用构造差
商表的方法十分有效。方法如下：
（1）．在利用插值条件构造差商表时，把具有一阶导数要求的节点看成是二 重节点（即两个节点），把具有二阶导数要求的节点看成是三重节点（即三个节
（2.9）
因为该插值条件包含 2n+2 个独立等式，所以一定可以确定唯一一个 2n+1 次的
多项式 H (x) 满足上述条件。记之为 H2n+1(x) 。
1
2.5.1 构造基函数的方法
类似于拉格朗日插值多项式的构造方法，用具有特殊性质的基函数来构造 埃尔米特插值多项式。利用插值节点构造如下两类特殊的 是 αi (x) 和 βi (x),i = 0,1,L, n, 的 线 性 组 合 ， 组 合 系 数 为
yi , mi ,i = 0,1,L, n, 所以称αi (x) 和 βi (x) 为埃尔米特插值多项式的基函数，并把上 述求埃尔米特插值多项式的方法叫做构造基函数方法。 例 2.5.1 设 f (x) = ln x 。现已知 f (x) 的下列数据：
,
βi−1
(x)
=
(x
−
)⎛
xi−1 ⎜ ⎝
x − xi xi−1 − xi
⎞1 ⎟ ⎠
,
βi
(
x
)
=
(
x
−
xi
)
⎛ ⎜ ⎝
x xi
− −
xi −1 xi −1
数值分析
2 2
这里h为常数，称为步长， , 和 分别为向前, 向后和中心差分算子.
以向前差分为例 利用一阶差分可定义二阶差分
2 f k f k 1 f k f k 2 2 f k 1 f k .
还可以定义m阶差分 m f k m 1 f k 1 m 1 f k ;
xi ƒ(xi) x0 x1 x2 x3 xn ƒ(x0) ƒ(x1) ƒ(x2) ƒ(x3) ƒ(xn) 一阶 均差 二阶均差 三阶均差 n阶均差
ƒ[x0, x1] ƒ[x1, x2] ƒ[x0, x1, x2] ƒ[x2, x3] ƒ[x1, x2, x3] ƒ[x0, x1, x2, x3] ƒ[xn-1, xn] ƒ[xn-2, xn-1, xn] ƒ[xn-3, xn-2, xn-1, xn] ƒ[x0, x1,…, xn]
0 ( x) 1 1 ( x ) x x0 2 ( x ) ( x x0 )( x x1 )
LL n ( x ) ( x x0 )( x x1 ) L ( x xn1 )
当增加一个节点xn+1时，只需加上基函数
n1 ( x xi ) 即可.
n n n j
f k ( I E ) f k (1)
1 2
n1
………… f [ x, x0 , ... , xn1 ] f [ x0 , ... , xn ] ( x xn ) f [ x, x0 , ... , xn ]
1 + (x x0) 2 + … … + (x x0)…(x xn1)
n1
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] ( x x1 ) f [ x, x0 , x1 ]
这里h为常数，称为步长， , 和 分别为向前, 向后和中心差分算子.
以向前差分为例 利用一阶差分可定义二阶差分
2 f k f k 1 f k f k 2 2 f k 1 f k .
还可以定义m阶差分 m f k m 1 f k 1 m 1 f k ;
xi ƒ(xi) x0 x1 x2 x3 xn ƒ(x0) ƒ(x1) ƒ(x2) ƒ(x3) ƒ(xn) 一阶 均差 二阶均差 三阶均差 n阶均差
ƒ[x0, x1] ƒ[x1, x2] ƒ[x0, x1, x2] ƒ[x2, x3] ƒ[x1, x2, x3] ƒ[x0, x1, x2, x3] ƒ[xn-1, xn] ƒ[xn-2, xn-1, xn] ƒ[xn-3, xn-2, xn-1, xn] ƒ[x0, x1,…, xn]
0 ( x) 1 1 ( x ) x x0 2 ( x ) ( x x0 )( x x1 )
LL n ( x ) ( x x0 )( x x1 ) L ( x xn1 )
当增加一个节点xn+1时，只需加上基函数
n1 ( x xi ) 即可.
n n n j
f k ( I E ) f k (1)
1 2
n1
………… f [ x, x0 , ... , xn1 ] f [ x0 , ... , xn ] ( x xn ) f [ x, x0 , ... , xn ]
1 + (x x0) 2 + … … + (x x0)…(x xn1)
n1
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] ( x x1 ) f [ x, x0 , x1 ]
数值分析各算法流程图
01,,n1,,n1,,)n x及数值分析各算法流程图一、插值1、 拉格朗日插值流程图：( 相应程序：lagrintp(x,y,xx))2,,n ,,j n 1,2,,n 1,,)n 2、 牛顿插值流程图(1)产生差商表的算法流程图(相应程序：divdiff(x,y))注：1、另一程序divdiff1(x,y)，输出的矩阵包含了节点向量。
而divdiff(x,y)不含节点向量。
2、另一程序tableofdd(x,y,m)，输出的是表格形式，添加了表头。
1,,),,n m 及1,,m (2)非等距节点的牛顿插值流程图(相应程序：newtint11(x,y,xx,m)) 、注：1、虽然程序newtint11(x,y,xx,m)考虑了多种情形，看上去很复杂，但基本流程结构还是如上图所示。
2、程序中调用的子程序是divdiff 。
若调用的子程序是divdiff1的话，流程图中的第三，第四，第五步要相应的改一下数字。
2,3,,1m +1,,j1,2,,n=1,2,,)n m 及(3)求差分表的流程图(相应程序：difference(y,m))注：1、difference 输出的是矩阵D 。
而另一程序tableofd(y,m)，输出的是带有表头的差分表。
n x m1,,),,1,,m注：1、程序newtforward1(x,y,xx,m))的结构与上述流程图一致，xx可以是数组。
2、另一程序newtforward(x,y,xx,m))先求出插值多项式，再求插值多项式在插值点的函数值。
基本结构还是和上面的流程图一样。
n x m1,,),,-x x1,,m注：1、程序newtbackward1(x,y,xx,m))的结构与上述流程图一致，xx可以是数组。
2、另一程序newtbackward(x,y,xx,m))先求出插值多项式，再求插值多项式在插值点的函数值。
基本结构还是和上面的流程图一样。
1,2,,n1,2,,n ,2,,)n x及3、Hermite 插值流程图(1) 已知条件中一阶导数的个数与插值节点的个数相等时的Hermite 插值流程图。
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定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b,
的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数(x)满足条件 (1) (x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是线
性插值多项式;
(2) (xi )= yi , i=0,1,2,…,n (3) (x)在区间[a , b]上连续; 则称(x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值多项式。
数值分析
数值分析
3.分段线性插值函数的余项
定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x) ， 且| f″(x)| ≤m2, 记： h = max |xi+1-xi|,就有估计：
|R(x)| =|f(x)- (x) |≤m2h2/ 8 , x∈[a, b]。
注意: h随分段增多而减少，因此用分段插值提高精 度是很好的途径.
如
P6(0.96)=0.4233 P10(0.96)=1.80438 f(0.96)=0.0416
chzh00.m
数值分析
数值分析
数值稳定性 从计算的数值运算误差看,对于等距节点的差分
形式,由于高阶差分的误差传播,函数值的微小变化都 将使插值产生很大的误差.
龙格(Runge)现象表明插值多项式序列不收敛， 实际上，严格的理论分析可知插值多项式序列确是不 收敛的，而且高阶插值还是不稳定的。
L1 (
x)
l (1) 3
(
x)
y3
l (1) 4
(
x)
y4
,
f ( xt ) L1( xt )
数值分析
数值分析
n次Lagrange插值多项式为
n
Ln ( x) l j( x) y j
j0
将分段线性插值函数记为Lh1 ( x),将Lh1 ( x)表为
n
Lh1 ( x) lih( x) yi
l0h ( x )
x0 x1 … xi xi+1 ,,, xn
x xi1
xi
xi 1
lih (
x)
x xi
xi 1 xi 1
0
x [ xi1 , xi ] x [ xi , xi1]
其余
i 1, 2, ..., n 1
l
h i
(
x
)
x0 … xi-1 xi xi+1 数…值分x析n
数值分析
x0
x1
x2
…
xn X
数值分析
数值分析
例:已知数据表
xi x0 x1 ... xn yi y0 y1 ... yn
用线性插值求f ( xt )的近似值。
解 : 设x3 xt x4
x0 x1 x2 x3 x4 x5 ... xn
y0 y1 y2 y3 y4 y5 ... yn
xt 取两点 x3、x4,构造插值多项式
数值分析
数值分析
我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，
…，n) 上的n次插值多项式Pn (x) 的余项
R( x)
f ( x) Pn ( x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n i0
(x xi )
设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项 可知，当f(x)充分光滑时，若余项随n增大而趋于0时， 这说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是 这样吗？
i0
其中lih( x)为分段线性插值基函数.
分段线性插值基函数lih( x)应满足
（1）lih( x)为分段线性函数，
（2）lih( x j ) ij
1 0
i j i j
数值分析
数值分析
分段线性插值基函数lih( x)的具体形式为
l0h
(
x)
x x0
x1 x1
0
x [x0 , x1] 其余
数值分析
数值分析
因此，实践上作插值时一般只用一次、二次 最多用三次插值多项式。
那么如何提高插值精度呢？ 因此实际应用中常采用分段低次插值。 （1）分段线性插值 （2）分段二次插值与分段三次插值 （3）分段Hermite插值 (4) 分段三次样条插值
数值分析
数值分析
一、分段线性插值多项式
1.问题的提法
0
lnh ( x)
x
xn1
xn xn1
其余
lnh ( x )
x [ xn1 , xn ]
x0 x1… xi … xn-1 xn
分段线性插值函数可分段表示为:
对x [ xi , xi1 ]，
n
Lh1 ( x)
lih ( x)
yi
lih ( x) yi
lh i 1
(
x
)
yi 1
i0
i 0,1, 2, ..., n 1
例:1901年龙格(Runge) 给出一个例子:
对于函数f
(x)
1
1 25 x2
(1
x
1), 取等距节点
xk
1
k n
(即将区间[1, 1]进行n等分), 得到
n
P n( x) l j( x) y j
j0
数值分析
数值分析
插值多项式情况，见图:取n=6和n=10 从图中可见， P10(x)仅在区间[-0.2,0.2]内能较好地 逼近f(x),而在其于位置, P10(x)与f(x)的值相差很大, 越靠近 端点,近似的效果越差.对于等距节点,高次多 项式插值发生的这种现象称为龙格现象.
数值分析
第五节 分段低次插值
我们已经知道插值有多种方法：Lagrange 插 值、Newton插值、Hermite 插值等多种方式。插 值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼近 是为得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。 那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到 这个目的呢？现在我们来讨论一下这个问题。
分段线性插值问题的解存在唯一.
数值分析
数值分析
2.分段线性插值函数的表达式
由定义， (x)在每个子区间[xi ,xi+1](i=0,1,2,,n-1)
上是一次插值多项式;
( x) L1( x)
x xi1 xi xi1
yi
x xi xi1 xi
yi1
y=f(x)
Y
分段线性插值曲线图：xi , x xi1来自数值分析数值分析
例：考虑构造一个函数f ( x) cos x的等距节点函数表，
要使分段线性插值的误差不大于 1 104，最大步 2
长h应取多大？
解：R
h2 max
f ''( x)
是否有
lim
n
Pn
(
x
)
f (x)，即要讨论收敛性问题。
数值分析
数值分析
龙格(Runge)现象
插值节点的增多,尽管使插值多项式在更多的插
值节点上与函数 f(x) 的值相等,但在两个节点之间
Pn(x)不一定能很好地逼近 f(x) , 有时误差会大得惊人, 著名的龙格(Runge)现象证实了这个观点.
的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数(x)满足条件 (1) (x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是线
性插值多项式;
(2) (xi )= yi , i=0,1,2,…,n (3) (x)在区间[a , b]上连续; 则称(x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值多项式。
数值分析
数值分析
3.分段线性插值函数的余项
定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x) ， 且| f″(x)| ≤m2, 记： h = max |xi+1-xi|,就有估计：
|R(x)| =|f(x)- (x) |≤m2h2/ 8 , x∈[a, b]。
注意: h随分段增多而减少，因此用分段插值提高精 度是很好的途径.
如
P6(0.96)=0.4233 P10(0.96)=1.80438 f(0.96)=0.0416
chzh00.m
数值分析
数值分析
数值稳定性 从计算的数值运算误差看,对于等距节点的差分
形式,由于高阶差分的误差传播,函数值的微小变化都 将使插值产生很大的误差.
龙格(Runge)现象表明插值多项式序列不收敛， 实际上，严格的理论分析可知插值多项式序列确是不 收敛的，而且高阶插值还是不稳定的。
L1 (
x)
l (1) 3
(
x)
y3
l (1) 4
(
x)
y4
,
f ( xt ) L1( xt )
数值分析
数值分析
n次Lagrange插值多项式为
n
Ln ( x) l j( x) y j
j0
将分段线性插值函数记为Lh1 ( x),将Lh1 ( x)表为
n
Lh1 ( x) lih( x) yi
l0h ( x )
x0 x1 … xi xi+1 ,,, xn
x xi1
xi
xi 1
lih (
x)
x xi
xi 1 xi 1
0
x [ xi1 , xi ] x [ xi , xi1]
其余
i 1, 2, ..., n 1
l
h i
(
x
)
x0 … xi-1 xi xi+1 数…值分x析n
数值分析
x0
x1
x2
…
xn X
数值分析
数值分析
例:已知数据表
xi x0 x1 ... xn yi y0 y1 ... yn
用线性插值求f ( xt )的近似值。
解 : 设x3 xt x4
x0 x1 x2 x3 x4 x5 ... xn
y0 y1 y2 y3 y4 y5 ... yn
xt 取两点 x3、x4,构造插值多项式
数值分析
数值分析
我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，
…，n) 上的n次插值多项式Pn (x) 的余项
R( x)
f ( x) Pn ( x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n i0
(x xi )
设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项 可知，当f(x)充分光滑时，若余项随n增大而趋于0时， 这说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是 这样吗？
i0
其中lih( x)为分段线性插值基函数.
分段线性插值基函数lih( x)应满足
（1）lih( x)为分段线性函数，
（2）lih( x j ) ij
1 0
i j i j
数值分析
数值分析
分段线性插值基函数lih( x)的具体形式为
l0h
(
x)
x x0
x1 x1
0
x [x0 , x1] 其余
数值分析
数值分析
因此，实践上作插值时一般只用一次、二次 最多用三次插值多项式。
那么如何提高插值精度呢？ 因此实际应用中常采用分段低次插值。 （1）分段线性插值 （2）分段二次插值与分段三次插值 （3）分段Hermite插值 (4) 分段三次样条插值
数值分析
数值分析
一、分段线性插值多项式
1.问题的提法
0
lnh ( x)
x
xn1
xn xn1
其余
lnh ( x )
x [ xn1 , xn ]
x0 x1… xi … xn-1 xn
分段线性插值函数可分段表示为:
对x [ xi , xi1 ]，
n
Lh1 ( x)
lih ( x)
yi
lih ( x) yi
lh i 1
(
x
)
yi 1
i0
i 0,1, 2, ..., n 1
例:1901年龙格(Runge) 给出一个例子:
对于函数f
(x)
1
1 25 x2
(1
x
1), 取等距节点
xk
1
k n
(即将区间[1, 1]进行n等分), 得到
n
P n( x) l j( x) y j
j0
数值分析
数值分析
插值多项式情况，见图:取n=6和n=10 从图中可见， P10(x)仅在区间[-0.2,0.2]内能较好地 逼近f(x),而在其于位置, P10(x)与f(x)的值相差很大, 越靠近 端点,近似的效果越差.对于等距节点,高次多 项式插值发生的这种现象称为龙格现象.
数值分析
第五节 分段低次插值
我们已经知道插值有多种方法：Lagrange 插 值、Newton插值、Hermite 插值等多种方式。插 值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼近 是为得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。 那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到 这个目的呢？现在我们来讨论一下这个问题。
分段线性插值问题的解存在唯一.
数值分析
数值分析
2.分段线性插值函数的表达式
由定义， (x)在每个子区间[xi ,xi+1](i=0,1,2,,n-1)
上是一次插值多项式;
( x) L1( x)
x xi1 xi xi1
yi
x xi xi1 xi
yi1
y=f(x)
Y
分段线性插值曲线图：xi , x xi1来自数值分析数值分析
例：考虑构造一个函数f ( x) cos x的等距节点函数表，
要使分段线性插值的误差不大于 1 104，最大步 2
长h应取多大？
解：R
h2 max
f ''( x)
是否有
lim
n
Pn
(
x
)
f (x)，即要讨论收敛性问题。
数值分析
数值分析
龙格(Runge)现象
插值节点的增多,尽管使插值多项式在更多的插
值节点上与函数 f(x) 的值相等,但在两个节点之间
Pn(x)不一定能很好地逼近 f(x) , 有时误差会大得惊人, 著名的龙格(Runge)现象证实了这个观点.