第二讲 基准数法
分数比大小基准数法__概述说明以及解释_
分数比大小基准数法概述说明以及解释1. 引言1.1 概述分数比大小基准数法是一种用于判断和比较分数大小的方法。
在数学中，我们经常遇到需要确定两个或多个分数的相对大小关系的问题。
而分数比大小基准数法能够提供一种简单有效的方式来解决这类问题。
1.2 文章结构本文将按照以下结构展开介绍分数比大小基准数法：引言、正文、分数比大小基准数法的说明、解释分数比大小基准数法的要点以及结论。
通过逐步展开，读者可以全面了解这种方法的含义、使用方式以及其优势和应用场景，并最终得出一个明确的结论。
1.3 目的本文旨在向读者介绍和解释分数比大小基准数法，帮助读者理解和掌握这一方法，并能够运用到实际问题中。
通过阅读本文，读者将会了解到基本原理和计算规则，在实践示例中看到方法的应用，并最终得出结论，加深对这一主题的认识和理解。
以上是文章“1. 引言”部分的内容。
2. 正文在数学中，分数比大小基准数法是一种常见的方法，用于比较两个或多个分数的大小关系。
这种方法可以帮助我们确定分数的相对大小，以便更好地理解和比较分数。
在进行分数比大小基准数法之前，我们首先需要了解分数的含义。
分数由一个分子与一个非零分母组成，表示了一个整体被平均划分成若干等份，并取其中部分的情况。
接下来，让我们看一下如何使用这种方法来确定两个或多个分数之间的大小关系。
首先，我们需要找到每个分数的公共分母，即将它们转换为相同单位的基准。
然后，通过比较各自的分子值来确定它们的大小顺序。
若两个或多个分子相等，则需要进一步比较它们的分母值，因为较小的分母意味着每份所代表的量越大。
最终，我们可以得出结论：具有较大公共基准值且具有较大或相等数字值的分式更大。
应用场景方面，这种方法在日常生活和实际问题中都有广泛应用。
当我们需要对食物或饮料进行比较时，例如两杯果汁中哪一杯的浓度更高，分数比大小基准数法可以帮助我们进行判断。
此外，在学习和工作领域，当我们需要评估成绩或者比较各项指标时，这种方法也能派上用场。
提高学生计算能力教案和练习
一、加法中的巧算1.什么叫“补数”？两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。
如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。
又如：11+89=100，33＋67=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。
对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。
如： 87655→12345， 46802→53198，87362→12638，…下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。
2.互补数先加。
例1巧算下面各题：①36+87+64 ②99+136＋101 ③ 1361＋972＋639＋28解：①式=（36＋64）＋87=100＋87=187②式=（99＋101）＋136=200+136=336③式=（1361＋639）＋（972＋28）=2000+1000=30003.拆出补数来先加。
例2 ①188＋873 ②548＋996 ③9898＋203解：①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）＝200+861=1061②式=（548-4）＋（996＋4）=544+1000=1544③式=（9898＋102）＋（203-102）=10000+101=101014.竖式运算中互补数先加。
如：5、等差数列的求和计算什么叫等差数列呢？日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③ 2，4，6，8，10，12，14…④ 3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.等差数列的和＝（首项＋尾项）×项数÷2奇数数列和和＝中间项（也就是平均数）×项数练习：1、计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝2、计算 1+5+9+13+17+ (1993)练习一二、减法中的巧算1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。
小学数学常用的巧算和速算方法集锦
根据运算定律和数字特点，常常灵活地把算式中的数拆分，重新组合，分别凑成整十、整百、整千。例：998+1413+9989，给998添上2能凑成1000，给9989添上11凑成10000，所以就把1413分成1400、2与11三个数的和，按照拆数凑整法，原式=（998+2）+1400+（11+9989）=1000+1400+10000=12400。
第二部分例题解析
一、“凑整”先算1.计算：
（1）24+44+56
（2）53+36+47
解：（1）24+44+56=24+（44+56）=24+100=124
这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.
（2）53+36+47=53+47+36=（53+47）+36=100+36=136
=9×5中间数是9
=45共有5个数 （5）计算：4+8+12+16+20
=12×5中间数是12
=60共有5个数2.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成： （1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=（1+10）×5=11×5=55共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.
②式=1000-（90＋80＋20＋10） ＝1000-200＝800
2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。 例4①4723-（723＋189）②2356-159-256
利用“基准数法”求解的题型
三、利用“基准数法”求解的题型例题：1997+1998+1999+2000+2001A.9993B.9994C.9995D.9996答案为C。
当遇到两个以上的数相加，且他们的值相近时，可以找一个中间数作为基准，然后再加上每个加数与基准的差，从而求得他们的和。
在该题中，选2000作为基准数，其他数分别比2000少3，少2，少1，和多1，故五个数的和为9995。
这种解题方法还可以用于求几个相近数的算术平均数。
1.比例分配问题例题：一所学校一、二、三年级学生总人数450人，三个年级的学生比例为2：3：4，问学生人数最多的年级有多少人？A.100B.150C.200D.250答案为C。
解答这种题，可以把总数看作包括了234=9份，其中人数最多的肯定是占4/9的三年级，所以答案是200人。
2.路程问题例题：某人从甲地步行到乙地，走了全程的2/5之后，离中点还有2.5公里。
问甲乙两地距离多少公里？A.15B.25C.35D.45答案为B。
全程的中点即为全程的2.5/5处，离2/5处为0.5/5，这段路有2.5公里，因此很快可以算出全程为25公里。
3.工程问题例题：一件工程，甲队单独做，15天完成；乙队单独做，10天完成。
两队合作，几天可以完成？A.5天B.6天C.7.5天D.8天答案为B。
此题是一道工程问题。
工程问题一般的数量关系及结构是：工作总量________ =工作时间工作效率我们可以把全工程看作“1”，工作要n天完成推知其工作效率为1/n,两组共同完成的工作效率为1/n11/n2,根据这个公式很快可以得到答案为6天。
另外，工程问题还可以有许多变式，如水池灌水问题等等，都可以用这种思路来解题。
4.植树问题例题：若一米远栽一棵树，问在345米的道路上栽多少棵树？A.343B.344C.345D.346答案为D。
这种题目要注意多分析实际情况，如本题要考虑到起点和终点两处都要栽树，所以答案为346。
1、8754896×48933=(D)A.428303315966B.428403225876C.428430329557D.428403325968解题思路：把两个乘积因子个位数相乘，其个位数应为8，即排除A、B、C。
数资速算技巧（一）：如何提高算数速度——整数基准值法
数资速算技巧（一）：如何提高算数速度——整数基准值法在行测资料分析中，最令我们头疼的就是看到多位数做加减乘除运算了，每每当我们看到这么多的数据，相信，很多考生都会在心里痛骂“万恶的资料分析”，那么，今天石马老师，就带大家学一下，如何快速做多位数的减法运算，让你比其他考生赢在起跑线！我们在做多位数的四则运算时，通常保留三位有效数字，足够我们进行估算，同时，选项的误差范围也足够让我们所接受，那么，下面我们来详细解读三位数减法的运算技巧。
首先，我们来看一下这几组减法，658-524=134，789-682=107，796-524=272，我们可以看到：如果被减数的个十位大于减数的个十位，将百位和个十位分别相减，之后相加即可。
但是，复习过资料分析的同学会发现，考试不会考查这么简单的运算，因为，这太简单了！好，那么，我们再来看这么几组减法，361-275=？，321-189=？，这两组减法属于：被减数（减号前面的数）的个位和十位分别小于减数（减号后面的数）的个位和十位，对于基础比较弱的同学来说，口算不容易算出来，做笔算又会浪费时间，那我们该怎样做，就会提高速度，又能保证正确率呢？那么，我们可以插入一个整百数的基准值，用被减数减去基准值，基准值减去减数，再求和即可。
仍然以上面两组减法为例子：361-275=361-300+300-275=61+25=86；321-189=321-200+200-189=121+11=132，也就是说，我们插入一个整百的基准值，将减法化成加法，进而口算，得出结果。
同学们，你们学到了吗，如果学到了，那下面的几道三位数减法题，你们用这个方法算一下，看看是不是提高了速度，312-252=？，852-169=？，821-692=？，725-652=？，851-496=？，741-652=？在备考过程中，同学们一定要学会巧算方法，并且在平时练习中运用到做题中去，可能开始你会不习惯，感觉生疏，但是，你长久用这种方法练习后，一定会有提高。
华罗庚学校数学课本四年级共十五讲(第一讲至第五讲)
华罗庚学校数学课本：四年级（上册）第一讲速算与巧算（一）例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如199＋1＝200）199999＋19999＋1999＋199＋19＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3 计算（1＋3＋5＋...＋1989）－（2＋4＋6＋ (1988)解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4 计算389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以选380为基准数，则有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）＝4940＋1＝4941.例6 计算54＋99×99＋45解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.54＋99×99＋45＝（54＋45）＋99×99＝99＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900.例7 计算9999×2222＋3333×3334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×（6666＋3334）＝3333×10000＝33330000.例8 1999＋999×999解法1：1999＋999×999＝1000＋999＋999×999＝1000＋999×（1＋999）＝1000＋999×1000＝1000×（999＋1）＝1000×1000＝1000000.解法2：1999＋999×999＝1999＋999×（1000-1）＝1999＋999000-999＝（1999-999）＋999000＝1000＋999000＝1000000.有多少个零.总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.习题一1.计算899998＋89998＋8998＋898＋882.计算799999＋79999＋7999＋799＋793.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？6.求出从1～25的全体自然数之和.7.计算1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.计算（125×99＋125）×1610.计算3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋911.计算999999×7805312.两个10位数1111111111和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数？第二讲速算与巧算（二）例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解：A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为987654321＞123456788，所以A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋3）×（250—3）＝240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250—5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分240 ×250，又有不同的部分1×9，2×8，3×7，4 ×6，5×5，由此很容易看出245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3 求1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5＝9930.例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，...，x—1，x，x＋1， (x)＋n—1，x＋n，其中x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？2.有两个算式：①98765×98769，②98766 ×98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568×764和567×765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？①1992×1999＋1999②1993×1998＋1998③1994×1997＋1997④1995×1996＋19965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少？第三讲定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：①3△2＝3×3-2×2＝9-4＝ 52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 ×39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5. 例2 定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：①5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝8x－13那么8x－13＝3 解出x＝2例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定义：a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出k的值.解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.习题三第四讲等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③2，4，6，8，10，12，14…④3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22， (98)②1，2，1，2，3，4，5，6；③1，2，4，8，16，32，64；④9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。
找基数法简便计算
找基数法简便计算基数法是一种用于简化计算的方法，它适用于某些特定的计算问题。
下面是一些基数法的简便计算方法：1. 加法：- 如果要计算两个数字的和，可以先找一个基准数，将两个数字与基准数的差值相加。
- 例如，计算47 + 38，可以选择基准数为50。
则47 - 50 = -3，38 - 50 = -12，-3 + (-12) = -15。
最后， -15 + 50 = 35，所以 47+ 38 = 85。
2. 减法：- 如果要计算两个数的差，可以先找一个基准数，将两个数字与基准数的差值相减。
- 例如，计算87 - 63，可以选择基准数为100。
则87 - 100 = -13，63 - 100 = -37，-13 - (-37) = 24。
所以 87 - 63 = 24。
3. 乘法：- 如果要计算两个数的乘积，可以选择一个基准数，将第一个数字与基准数的差值乘以第二个数字，并加上第二个数字的平方。
- 例如，计算37 × 42，可以选择基准数为40。
则37 - 40 = -3，42 × (-3) = -126，42 × 42 = 1764。
最后，-126 + 1764 = 1638。
所以 37 × 42 = 1638。
4. 除法：- 如果要计算两个数的商，可以选择一个基准数，将第一个数字与基准数的差值除以第二个数字，并加上第二个数字的商。
- 例如，计算78 ÷ 6，可以选择基准数为80。
则78 - 80 = -2，-2 ÷ 6 = 0，6 ÷ 6 = 1。
最后，0 + 1 = 1。
所以 78 ÷ 6 = 13。
请注意，基数法并不适用于所有计算问题，而且在一些情况下可能并不比传统的计算方法更简便。
因此，在使用基数法之前，最好确定它是否适合特定的计算问题。
七年级第二讲有理数的加减法
第二讲有理数的加减法【知识与技能】掌握有理数的加法法则和减法法则，能熟练地进行有理数加、减法运算。
知识点一：有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得零。
一个数与0相加，仍得这个数。
例1.计算(1)(－3.2)＋(＋4.8) (2)(＋7.1)＋(－2.9)(3) (－14)＋(＋14) (4)(－13)＋(＋313)例2.判断（1）两个有理数相加，和一定比加数大. （）（2）绝对值相等的两个数的和为0.（）（3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数.( )课堂练习1.一个正数与一个负数的和是（）A、正数B、负数C、零D、以上三种情况都有可能2.两个有理数的和（）A、一定大于其中的一个加数B、一定小于其中的一个加数C、大小由两个加数符号决定D、大小由两个加数的符号及绝对例3.有理数加法运算律的应用1．把符号相同的加数相结合计算：（+5）+（-6）+（+4）+（+9）+（-7）+（-8）2．把和为零的加数结合计算：（-15.43）+（-4.15）+（+15.20）+（+4.15）+（+0.23）+（-5）3．把和为整数的加数相结合计算：（+6.4）+（-5.1）+（-3.9）+（-2.4）+（+4.9）4．统一形式后再结合（当同一个算式中既有分数，又有小数时，一般要先统一形式，具体统一成分数还是统一成小数要看哪一种计算简便。
）计算：（-0.125）+（-0.75）+（34）+18+15．把整数与整数，分数与分数分别相结合[在分拆带分数时，要注意符号。
如：-423=（-4) +（-23），而不是(-4+23)]计算：-423+313+612+214拓展延伸1.有一批水果，包装质量为每筐25千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）：27，24，23，28，21，26，22，27，为了求得8筐样品的总质量，我们可以选取的一个恰当的基准数进行简化运算．（1）你认为选取的一个恰当的基准数为______。
小学数学难题讲解及答案
第一讲速算与巧算例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200）199999＋19999＋1999＋199＋19＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3 计算（1＋3＋5＋...＋1989）－（2＋4＋6＋ (1988)解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以选380为基准数，则有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）＝4940＋1＝4941.例6 计算54＋99×99＋45解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.54＋99×99＋45＝（54＋45）＋99×99＝99＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900.例7 计算 9999×2222＋3333×3334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×（6666＋3334）＝3333×10000＝33330000.习题一1.计算899998＋89998＋8998＋898＋882.计算799999＋79999＋7999＋799＋793.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？6.求出从1～25的全体自然数之和.7.计算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.计算（125×99＋125）×1610.计算 3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9第二讲速算与巧算例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5＝9930.例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1，x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？2.有两个算式：①98765×98769，②98766 × 98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568×764和567×765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？① 1992×1999＋1999② 1993×1998＋1998③ 1994×1997＋1997④ 1995×1996＋19965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.第三讲等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③ 2，4，6，8，10，12，14…④ 3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22， (98)②1，2，1，2，3，4，5，6；③ 1，2，4，8，16，32，64；④ 9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。
五年级 2、平均数问题(精英班)
第二讲平均数问题【知识要点】求若干个数的平均数，就是将各数的总和除以这些数的个数的商。
当数比较大且分布比较均匀时可以找基准数使计算比较方便，当数的排列比较有规律时可以用移多补少的办法来求平均数比较简单。
几个特殊平均数的求法：平均速度=路程总和÷时间总和（切记一般不可用速度之和除以速度数量）平均效率=工作量总和÷时间总和（切记一般不可用效率之和除以效率数量）【例题】例1、小明参加数学考试，前2次的平均分是85分，后3次的总分是270分，小明这五次考试的平均分数是多少分？例2、中关村三小有15名同学参加跳绳比赛，他们每分钟跳绳的个数分别为93、94、85、92、86、88、94、91、88、89、92、86、93、90、89，求每个人平均每分钟跳绳多少个？例3、一条大河上游与下游的两个码头相距240千米，一艘航船顺流而下的速度为每小时航行30千米，逆流而上的速度为每小时航行20千米．那么这艘船在两码头之间往返一次的平均速度是多少？例4、五位裁判员给一名体操运动员评分后，去掉一个最高分和一个最低分，平均得9.58分；只去掉一个最高分，平均得9.46分；只去掉一个最低分，平均得9.66分．这个运动员的最高分与最低分相差多少?例5、四川地震中，有一次3名解放军在废墟中找到一名伤员，准备用担架抬回救护车，伤员离救护车1500米，担架轮流每次由两个人抬，那么3名解放军平均每人抬几米？例6、十个人围成一个圆圈，每人选择一个整数并告诉他的两个邻座的人，然后每个人算出并宣布他两个邻座所选数的平均数，这些平均数如图所示，则宣布6的那个人选择的数是多少？【池中戏水】1、四年级语文测验，第二小组的同学得分情况如下：1人得98分，3人得92分，4人得86分，2人得76分，这个小组的平均成绩是多少分？2、从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原路返回，只用2小时到达山脚，求这辆汽车往返平均速度是多少千米/小时？3、小强考了语文、数学、英语、历史、自然五门功课，数学成绩不算在内，平均成绩是90分．把数学成绩加上去，平均成绩是92分．小强的数学成绩是多少分？4、小叶前4次语文测验的平均成绩是87分，前5次语文测验的平均成绩是88分，第5次测验得了多少分？5、王新同学期末考试成绩如下：语文和数学平均成绩是94分；数学和外语平均成绩是88分；外语和语文平均成绩是86分．王新同学语文、数学、外语各得多少分？6、9个人玩3副象棋，从14：00玩到17：00每人平均玩几小时？【江中畅游】1、甲、乙、丙三人一起钓鱼，甲钓得1条，乙钓得6条，丙钓到5条。
简算练习
简算练习第一天：添括号、去括号（易错）：一个原则：减变加不变，除变乘不变⑴在“+ ”号后面添括号或者去括号，括号内的“+ ”、“- ”号都不变；37+（12+29）=37+12+29 56+22+78=56+（22+78）⑵在“- ”号后面添括号或者去括号，括号内的“+ ”、“- ”号都改变，其中“+ ”号变成“- ”号，“- ”号变成“+ ”号；99-（69+43）=99-69-43 128-36-64=128-（36+64）1、856+（230+144）=2、186-（86-29）=3、367-（167+100）=4、456-（56-100）=5、580-（230-220）=6、456-23-77=7、785-47-53=8、2345-258-157-242+655-143=第二天：分组凑整法把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”1、47+25+75+53=2、34+22+36+56+68+54=3、117＋229＋333＋471＋528＋622 =4、（1350＋249＋468）＋（251＋332＋1650）=5、756－248－352=6、894－89－111－95－105－94=7、785-（85-300）-256-34=8、1847-1928+628-136-64=附加题：103-102-101+100+99-98-97+96+95-94……-6-5+4+3-2-1第三天:加补凑整加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．1、99+98+1032、1003+999+999+10023、298＋396＋495＋691＋799＋214、195＋196＋197＋198＋199＋155、574-（74-200）-32-686、89+99+59+111+101+1417、98－96－97－105＋102＋1018、399＋403＋297－501第四天:基准数法and位值原理“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）比如89+92+87+91+95=90×5-1+2-3+1+5=454数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．比如125可以写成100+20+51、588-(88-100)-39-61=2、255+47+36-55+53+64=3、298+299+301+302=4、78+76+83+82+77+80+79+85=5、132+133+128+126+134=6、38+41+38+43+45+36=7、325+425+525+825=8、1234+2341+3412+4123=第五天:乘法分配率1、加括号46×12+36×12=(46+36)×12 125×38-25×38=（125-25)×382、去括号（125-22）×8=125×8-22×8 （25+8）×4=25×4+8×43、接近整百 101×53=（100+1）×53 39×99=39×（100-1）4、瘸腿 56+56×99=56×1+56×99 152+76X98=76X（2+98）=76005、特殊数字要拆 44×25=（4+40）×25 64×125=（8×8）×1256、直接做（62+38）×57=100X57 8×（8×125）=8X1000 练习题1、125×（8+80） 36×（100+50）2、36×34＋36×66 93×6＋93×43、 69×102 25×414、29×99 25×395、83＋83×99 56＋56×996、125×81－125 91×31－912007年台湾小学数学竞赛初赛第一试:36×74×25=第六天:乘法凑整常见好朋友数2×5=1025×4=100125×8=1000625×16=100007×11×13=1001比如：36×25=4×9×25=4×25×9=900今天的题都是这种类似的解法,拆成常见的好朋友数就可以了一、口算125×16=250×16=75×12=125×32=625×32=7×13×22=32×35=16×75=二、笔算1、786×5=2、124×25=3、96×125=4、75×25×8=5、（100-4）×25=6、8×13×125=7、25×125×96=8、875×56=附加题2012年第十二届少文杯模拟题125×28×25×56=(2010.4《数学思维训练导引-新概念奥林匹克数学丛书-三年级》请问：6×16×24×5×15×25×125结果的末尾有多少个连续的零？第七天:首相同尾和十两个两位数相乘，如果它们的十位数都一样，而个位数又互补，计算起来就特别简单。
基准数法
1.基准数法
练一练
（1） 101 ＋98 ＋97 ＋100 ＋105 ＝
（2） 301＋305＋298＋300＋297＝
（3） 501＋503 ＋496＋499－493 ＝
（4） 203＋204＋202＋205－98－97－99＝
1.基准数法
例题4 某小组有10人，他们的数学成绩分别 是92分、88分、93分、89分、91分、90分， 求这个组的数学总成绩？
1.基准数法
练一练 某小组有6个人，他们的数学成绩分别 为92分、90分、88分、93分、91分、89分， 求这个组数学的总成绩？
2加减补凑整法 例题5 加补凑整
（1） 99999＋9999＋999＋99＋9＝
（2） 59997＋3998＋196＋89＝
2加减补凑整法
练一练
（1） 9＋19＋199＋1999＝
（2） 8＋88＋899＋8999＝
2加减补凑整法
例题6 加补凑整（减法运用）
（1） 257－98＝
（2）751－203＝
（3）895－504－97 ＝
（4）1034－399－102 ＝
2加减补凑整法
练一练
（1） 146－98＝
（2）234－203＝
（3）598－396－97 ＝
（4）534－399－98 ＝
1.基准数法： a.几个接近的数全部看作同一个整十数、整百数、整
千数等，变加为乘。
2.105＋96＋97 ＝
（2） 122＋121＋118＋119＋120 ＝
1.基准数法
例题3 几个接近数的加减运算 （1） 201 ＋198 ＋197 ＋200 ＋205 ＝
二精致第1讲解析
第1讲速算与巧算基础知识：巧算与巧算的方法：1、凑整法将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果相加。
2、找“基准数”法：当几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）3、添括号法、去括号法：改变运算顺序，带着符号搬家。
在给数搬家时，要注意数前面的符号要和数一起搬家。
一、基础例题【例1】计算大比拼。
5+12+18= 10+17+13= 4+24+16= 25+15+7=13+54+17= 6+13+14= 12+13+17+28= 5+16+14+15=答案：略。
用凑整法。
【例2】计算下列各题：（1）1+2+3+4+5+6+7+8+9 （2）6+9+12+15+18+21+24答案：（1）原式=（1+9）+（2+8）+（3+7)+(4+6)+5=10+10+10+10+5=45(2)原式=（6+24）+（9+21）+（12+18）+15=30+30+30+15=105【例3】你会用简便方法计算下面各题吗？（1）23+20+21+22+24 （2）102+100+101+103+104答案：找基准数原式=（20+3）+20+（20+1）+（20+2）+（20+4）=20+20+20+20+20+3+1+2+4=100+10=110原式=（100+2）+100+（100+1）+（100+3）+（100+4）=100+100+100+100+100+2+1+3+4=500+10=510【例4】请你算一算：（1）10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 （2）1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11答案：（1）改变运算顺序。
原式=（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）=1+1++1+1+1=5（2）带着符号搬家原式=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）=1+1+1+1+1+1=6【例5】怎样计算才能更简便呢？（1）110-1-2-3-4 （2）96+97+98+99答案：（1）原式=110-（1+2+3+4）=110-10=100（2）原式=100+100+100+100-4-3-2-1=400-（4+3+2+1）=400-10=3901、算一算：（1）15+32+15 （2）17+11+29（3）23+24+26 （4）12+18+26（1）原式=（15+15）+32=30+32=62（2）原式=17+（11+29）=17+40=57（3）原式=23+（24+26）=23+50=73(4)原式=（12+18）+26=30+26=562、算一算:(1)3+5+7+9+11+13+15+17 (2)2+4+6+8+10+12+14+16+18+20（1）原式=（3+17）+（5+15）+（7+13）+（9+11）=20+20+20+20=80（2）原式=（2+18）+（4+16）+（6+14）+（8+12）+10+20=20+20+20+20+10+20=1103、算一算:(1)3+5+6+8+25+12+24+67 (2)28+34+29+12+36+11（1）原式=（3+67）+（5+25）+（6+24）+（8+12）+10+20=70+30+30+20=150（2）原式=（28+12）+（34+36）+（29+11）=40+70+40=1504、算一算(1)16+8+8+8 (2) 19+28+37 (3)9+9+99（1）原式=10+2+2+2+2+8+8+8=10+10+10+10=40（2）原式= 20+30+40-1-2-3=90-(1+2+3)=90-6=84(3)原式=10+10+100-3=120-3=1175、算一算:(1)199+299+399 （2）109-5-15-1-8（1）原式=（200-1）+(300-1)+(400-1)=200+300+400-3=897（2）原式=109-1-8-(5+15)=100-20=80校内知识(另补充)回家作业：1、算一算：（1）32+24+28 （2）52+69+18+31（3）96+115+14+85 （4）47+62+89+38+55+53+112、算一算：（1）87-27+32 （2）55+36-25-16 （3）89+65-49+353、怎样计算才方便呢？（1）375-75-25 （2）534-109+66。
华罗庚学校奥林匹克数学课本_小学生3年级
二、用简便方法求和：
① 536＋（541＋464）＋459 ＝（536+464）+（541＋459）
=2000 ② 588＋264＋148 =588+（12+252）+148 ＝（588＋12）+（252＋148） ＝600+400
=1000 ③ 8996＋3458＋7546 =（8996＋4）＋（3454＋7546） =9000+11000（把 3458分成 4和=9000+11000 3454） ＝20000 ④ 567＋558+562＋555＋563 ＝560×5+（7-2+2-5+3）（以560为基准数） ＝2800+5＝2805 三、用简便方法求差： ① 1870-280-520 ＝1870-（280+520）
=1000×100=100000 3.应用乘法分配律。 例3 计算① 175×34＋175×66 ②67×12+67×35＋67×52+6 解：①式=175×（34+66）
=175×100=17500 ②式=67×（12＋35＋52＋1） ＝ 67×100＝6700 （原式中最后一项67可看成 67×1） 例4 计算① 123×101 ② 123×99 解：①式=123×（100＋1）=123×100＋123 ＝12300＋123=12423 ②式=123×（100-1）
=1941 3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运 算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。
例 5 ①506-397 ②323-189 ③467＋997 ④987-178-222-390 解：①式=500＋6-400+3（把多减的 3再加上）
(完整版)整数加减法速算与巧算教师版
整数加减法速算与巧算教案目标本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。
要求学生熟记加减法运算规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。
知识点拨一、基本运算律及公式一、加法加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。
即：a＋b＝b＋a其中a，b各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。
即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）其中a，b，c各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。
二、减法在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一个数．在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．如：a＋（b－c）＝a＋b－ca－（b＋c）＝a－b－ca－（b－c）＝a－b＋c在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。
如：a＋b－c＝a＋（b－c）a－b＋c＝a－（b－c）a－b－c＝a－（b＋c）二、加减法中的速算与巧算速算巧算的核心思想和本质：凑整常用的思想方法：1、分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）例题精讲模块一：分组凑整【例 1】计算：（1）117＋229＋333＋471＋528＋622（2）（1350＋249＋468）＋（251＋332＋1650）（3）756－248－352（4）894－89－111－95－105－94【考点】分组凑整【难度】1星【题型】计算【解析】在这个例题中，主要让学生掌握加、减法分组凑整的方法。
四年级奥数知识点
3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百 、整千……的数相加，然后再与其它的数相加 ． 4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于 某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数 ”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上 ） 例题精讲
模块一：分组凑整思想 【例 1】 91.8186.789.6270.490.288.891.5
【练习3】 1.1208－569－208 2.283+69－183 3.132－85+68 4.2318+625－1318+375
【练习2】 1.50+52+53+54+51 2.262+266+270+268+264 3.89+94+92+95+93+94+88+96+87 4.381+378+382+383+379 5.1032+1028+1033+1029+1031+1030 6.2451+2452+2446+2453.
【巩固】 2006＋200.6＋20.06＋2.006＋ 994＋99.4＋9.94＋0.994＝
【例 3】 计算 56.43＋12.96＋13.57－4.33 －8.96－5.67
模块二、加补凑整思想 【例 5】 (1) 0.999990.99990.9990.990.9 (2)199.819.971.996 (3)999999999.799.79.7 0.7
【巩固】 199.819.971.996
第四讲 体育比赛中的数学问题
一、知识点总结 1.单循环赛：每两个队之间都要比赛一场，无主客场之分。 （通俗的说就是除了不和自己比赛，其他人都要比）
常用的巧算和速算方法
常用的巧算和速算方法一、加法巧算和速算方法凑整法 凑整法是加法巧算和速算中最常用的方法之一。
它的基本思想是将加数凑成整十、整百、整千等，然后再进行计算。
例如，计算 23+45+55 时，可以将 45 和55 凑成 100，然后再加上 23，得到 123。
交换律和结合律 交换律和结合律是加法运算中的基本定律，它们可以帮助我们简化计算。
例如，计算 23+45+55 时，可以先将 45 和 55 相加，得到 100，然后再加上23，得到 123。
基准数法 基准数法是一种将加数都近似地看作某个基准数的方法。
例如，计算23+22+24+21 时，可以将 23 看作基准数，然后将其他加数都近似地看作 23，得到23×4=92。
二、减法巧算和速算方法凑整法 凑整法同样适用于减法巧算和速算。
例如，计算 100-45 时，可以将 45 凑成50，然后再用 100 减去 50，得到 50。
交换律和结合律 交换律和结合律在减法运算中同样适用。
例如，计算 100-45-55时，可以先将 45 和 55 相加，得到 100，然后再用 100 减去 100，得到 0。
基准数法 基准数法在减法运算中也可以使用。
例如，计算 100-45-55 时，可以将100 看作基准数，然后将其他减数都近似地看作 100，得到 100-100=0。
三、乘法巧算和速算方法乘法分配律 乘法分配律是乘法运算中的基本定律，它可以帮助我们简化计算。
例如，计算 25×(40+4)时，可以先将 40 和 4 分别乘以 25，然后将结果相加，得到25×40+25×4=1000+100=1100。
乘法结合律 乘法结合律是乘法运算中的另一个基本定律，它可以帮助我们简化计算。
例如，计算 25×4×25 时，可以先将 25 和 4 相乘，得到 100，然后再将 100 乘以 25，得到 2500。
乘法交换律 乘法交换律是乘法运算中的基本定律之一，它可以帮助我们简化计算。
第二讲 基准数法(共15张PPT)
2加减补凑整法
例题6 加补凑整〔减法运用〕
〔1〕 257－98＝
〔2〕751－203＝
〔3〕895－504－97 ＝
〔4〕1034－399－102 ＝
2加减补凑整法
练一练
〔1〕 146－98＝ 〔2〕 67＋58＋62＋55＋63＋60＝
〔2〕234－203＝
〔2〕88＋86＋90＋91＋92＝
〔4〕534－399－98 ＝
1.基准数法： a.几个接近的数全部看作同一个整十数、整百数、整千数等，
变加乘。
2.加补凑整。
a.每个数分别凑整，在计算。
第二讲
一、基准数法 二、拆补凑整法
课前活动
以下算式怎样计算更简便？ 〔1〕3＋3＋3＋3＋3＋3 ＝
〔2〕 7＋7＋7＋7＋7＋7 ＋7 ＝
1.基准数法
例题1 看谁算得快？ 〔1〕31＋30＋29﹦ 〔2〕13＋10＋9＋12＋8＋11﹦ 〔3〕 47＋41＋50＋53＋55＋59﹦ 〔4〕 95＋97＋99＋101＋103＋105﹦
1.基准数法
练一练
〔1〕 101 ＋98 ＋97 ＋100 ＋105 ＝
〔2〕 301＋305＋298＋300＋297＝
〔3〕 501＋503 ＋496＋499－493 ＝
1.基准数法
例题4 某小组有10人，他们的数学成绩分别 是92分、88分、93分、89分、91分、90分， 求这个组的数学总成绩？
〔几2个〕接1近22的＋数1全21部＋看11作8＋同1一19个＋整12十0数＝、整百数、整千数等，变加为乘。
看几谁个算 接得近快的？数全部看作同一个整十数、整百数、整千数等，变加为乘。
快速排序 基准数
快速排序基准数
快速排序（Quick Sort）是一种高效的排序算法，其基本思想是通过选择一个基准数，将数组划分为两个子数组，小于基准数的放在左边，大于基准数的放在右边，然后对左右子数组分别进行递归排序。
基准数的选择对快速排序的性能有一定的影响。
通常情况下，有几种常见的基准数选择策略：
固定位置基准数：选择数组的第一个元素、最后一个元素或者中间元素作为基准数。
这是最简单的选择方式，但在某些情况下可能会导致不平衡的划分。
随机基准数：随机选择数组中的一个元素作为基准数。
这样可以降低最坏情况的发生概率，使算法更具有随机性。
三数取中法：选择数组的第一个、中间和最后一个元素，然后取这三个数的中间值作为基准数。
这样可以在一定程度上减少最坏情况的概率。
基准数的选择策略会影响快速排序的性能，但在实际应用中，快速排序通常是一种非常高效的排序算法，平均时间复杂度为 O(n log n)。
在实现时，可以根据具体情况选择不同的基准数选择策略。
1。
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一、基准数法 二、拆补凑整法
课前活动
下列算式怎样计算更简便？
（1）3＋3＋3＋3＋3＋3 ＝ （2） 7＋7＋7＋7＋7＋7 ＋7 ＝ （3） 6＋6＋6＋6＋6＋6 ＋5 ＝ （4） 9＋8＋8＋8＋8＋8＝
1.基准数法
例题1
看谁算得快？
（1）31＋30＋29﹦ （2）13＋10＋9＋12＋8＋11﹦ （3） 47＋41＋50＋53＋55＋59﹦ （4） 95＋97＋99＋101＋103＋105﹦
1.基准数法
例题4
某小组有10人，他们的数学成绩分别 是92分、88分、93分、89分、91分、90分， 求这个组的数学总成绩？
1.基准数法
练一练
某小组有6个人，他们的数学成绩分别 为92分、90分、88分、93分、91分、89分， 求这个组数学的总成绩？
2加减补凑整法
例题5
加补凑整
（1） 99999＋9999＋999＋99＋9＝
（2） 59997＋3998＋196＋89＝
2加减补凑整法
练一练
（1） 9＋19＋199＋1999＝
（2） 8＋88＋899＋8999＝
2加减补凑整法 加补凑整（减法运用） （1） 257－98＝ （2）751－203＝
例题6
（3）895－504－97 ＝
（4）1034－399－102 ＝
2加减补凑整法
1.基准数法
练一练
（1）38＋39＋41＋42 ＝
（2）88＋86＋90＋91＋92＝
（3）92＋88＋93＋89＋91 ＝ （4） 100＋101＋102＋103＝
1.基准数法
例题2
（1） 101＋98＋97＋100＋105 ＝
（2） 67＋584） 351＋348＋353＋350－201－203 －198 ＝
1.基准数法
练一练
（1） 101 ＋98 ＋97 ＋100 ＋105 ＝ （2） 301＋305＋298＋300＋297＝ （3） 501＋503 ＋496＋499－493 ＝ （4） 203＋204＋202＋205－98－97－99＝
（1） 103＋104＋105＋96＋97 ＝
（2） 122＋121＋118＋119＋120 ＝
1.基准数法
几个接近数的加减运算 （1） 201 ＋198 ＋197 ＋200 ＋205 ＝
（2） 567 ＋558 ＋562 ＋555 ＋560 ＝
例题3
（3） 199＋199 ＋201 ＋203＋198－196 ＝
练一练
（1） 146－98＝
（2）234－203＝
（3）598－396－97 ＝
（4）534－399－98 ＝
1.基准数法： a.几个接近的数全部看作同一个整十数、整百数、整 千数等，变加为乘。 2.加补凑整。 a.每个数分别凑整，在计算。