线性代数考试题及答案
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2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。
评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A
-=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a
【 】5.设矩阵A 与B 等价，则有
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系_
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_班级
姓名_
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（
密
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封
）
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（
线
）
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(C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小
【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解
的充分必要条件是
(A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r >
【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m ΛΛ线性相关的充分必要条件是
(A) m a a a ,,,21ΛΛ中至少有一个零向量
(B) m a a a ,,,21ΛΛ中至少有两个向量成比例
(C) m a a a ,,,21ΛΛ中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示
(D) m a a a ,,,21ΛΛ中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示
【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是
(A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值
(C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵
二、填空题。(每小题3分,共15分)
1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。
2.设矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组
0=Ax 的基础解系，
则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ⨯矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组0S 的秩=0s R 。
5.设λ是方阵A 的特征值，则 是2
A 的特征值
三、计算题(每小题8分,共40分).
1．计算行列式2431
1012
3121
5201
---。
2.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=814
312
201
A ，求其逆矩阵1-A 。
3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量且
⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=54321η，⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+432132ηη，求该方程组的通解。
4.求矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21
12
A 的特征值和特征向量。
5.用配方法化二次型3231212
3222162252x x x x x x x x x f +++++=成标准型。
四、综合体(每小题8分,共16分)
1. 解下列非齐次线性方程组 ⎪⎩
⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412432143214321x x x x x x x x x x x x
2. 已知向量组
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1613,132,321321a a a 求)1(向量组的秩；)2(向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。
五、证明题（5分） 证明：设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并
求1-A 及1
)2(-+E A 。
一、单项选择题。(每小题3分,共24分
1 A
2 B
3 C
4 B
5 C
6 C
7 D
8 C
二、填空题。(每小题3分,共15分)
1. 4
2.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-6412 3. ),(212211R c c c c x ∈++=*ηξξ 4. r n - 5.